趙均業(yè)， 劉云攀， 吳林峰

（三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北宜昌 443000）

0 引言

隨著永磁材料的性能日益增強(qiáng)，高性能控制系統(tǒng)里的永磁電機(jī)被使用頻率越來越高。永磁同步電機(jī)跟傳統(tǒng)的電勵磁電機(jī)相比，它有重量較輕、體積較小、能量密度高、效率更高、功率因數(shù)高等優(yōu)點(diǎn)。然而永磁體和電樞鐵芯相互作用產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩是永磁電機(jī)特有的問題，導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩波動，引起振動和噪聲，影響系統(tǒng)的控制精度。因此減小永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩尤為重要。

關(guān)于齒槽轉(zhuǎn)矩的抑制方法，已經(jīng)有許多專家學(xué)者對其進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]在給出齒槽轉(zhuǎn)矩表達(dá)式的基礎(chǔ)上，提出了最佳的極弧系數(shù)可以有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，但會影響電機(jī)的空載電動勢。采用轉(zhuǎn)子斜極能有效降低齒槽轉(zhuǎn)矩[2]，但制造難度較大，成本較高。文獻(xiàn)[3]提出對永磁體進(jìn)行磁極偏心設(shè)置可有效削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，但會對每極磁通產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[4]提出了一種相鄰兩極極弧系數(shù)不等的方法來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。文獻(xiàn)[5]研究了定子齒開輔助槽對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，但其也會影響齒面磁場的飽和程度。

上述方法所進(jìn)行優(yōu)化的參數(shù)是單一結(jié)構(gòu)，雖然可以使齒槽轉(zhuǎn)矩的影響降低，但是也會出現(xiàn)轉(zhuǎn)矩密度降低、齒槽損耗增大等問題。所以設(shè)置多個參數(shù)，對其同時優(yōu)化可以更好地降低齒槽轉(zhuǎn)矩和提升電機(jī)性能。文獻(xiàn)[6-7]提出采用田口法實(shí)現(xiàn)對永磁電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化，但是無法得到最優(yōu)目標(biāo)下各優(yōu)化參數(shù)的精確值。文獻(xiàn)[8]采用響應(yīng)面法和最大-最小蟻群算法實(shí)現(xiàn)對V 型異步啟動永磁同步的多目標(biāo)優(yōu)化，但是該算法收斂速度慢，易陷入局部最優(yōu)。文獻(xiàn)[9]采用粒子群算法實(shí)現(xiàn)對永磁直流電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化，同樣存在易早熟收斂的問題。相較于蟻群算法和粒子群算法，蝙蝠算法（BA）具有很高的適用性、較強(qiáng)的尋優(yōu)性能以及較高的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率，但也存在后期易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)[10]，在算法中引入Lévy飛行可有效克服該缺點(diǎn)。

磁極偏心結(jié)構(gòu)在極數(shù)與極槽最大公約數(shù)比值盡可能小的永磁電機(jī)中能對齒槽轉(zhuǎn)矩達(dá)到最好的削弱效果，24 槽4 極電機(jī)滿足上述極數(shù)與極槽最大公約數(shù)比值最小的條件。綜合以上，本研究以24槽4 極表貼式永磁同步電機(jī)為例，首先通過田口法對永磁同步電機(jī)的定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，篩選出對優(yōu)化目標(biāo)影響比重較大的參數(shù)，利用響應(yīng)面擬合出齒槽轉(zhuǎn)矩與相關(guān)優(yōu)化參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，最后通過具有Lévy 飛行特征的BA 對上述模型進(jìn)行尋優(yōu)，確定最小齒槽轉(zhuǎn)矩下的參數(shù)最優(yōu)值，從而削弱電機(jī)齒槽的轉(zhuǎn)矩。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析分析和電機(jī)的主要參數(shù)

齒槽轉(zhuǎn)矩定義為電機(jī)不通電時的磁場能量W相對于位置角α的負(fù)導(dǎo)數(shù)，即

如果忽略飽和的影響，電樞鐵芯的磁導(dǎo)率是無限的，所以它的電磁能力就可被簡單地表述為來自于電機(jī)氣隙與永磁體的電磁，即

式中：μ0是空氣磁導(dǎo)率。氣隙磁密沿永磁電機(jī)電樞表面的分布可近似表示為

式中：α為某一指定永磁體中心線和某一指定齒中心線之間的夾角；θ=0 位置設(shè)在磁極中心線上；Br為剩磁；hm為永磁體厚度；δ為有效氣隙長度。將（3）式代入到（2）式中，得

對B2r(θ)和進(jìn)行傅里葉分解，有

式中：αp為極弧系數(shù)；p為極對數(shù)；G0、Gn為相對氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解系數(shù)；q為電樞槽數(shù)；θs0表示定子槽口寬度對應(yīng)的弧度值。

若不考慮斜槽，齒槽轉(zhuǎn)矩的表達(dá)式為

式中：LFe為電樞鐵芯的軸向長度；R1為轉(zhuǎn)子外徑；R2為定子內(nèi)徑；n為使為整數(shù)的整數(shù)。

綜合上述公式，選取極弧系數(shù)αp、氣隙長度δ、磁極偏心距h、永磁體厚度hm、槽開口寬度bs0五個參數(shù)作為最終優(yōu)化參數(shù)，電機(jī)初始參數(shù)如表1所示，在有限元中建立初始參數(shù)的電機(jī)模型，其齒槽轉(zhuǎn)矩為268.67 mN·m。

表1 PMSM主要尺寸參數(shù)

2 電機(jī)優(yōu)化流程

2.1 基于田口法的正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及結(jié)果

田口法是為提高產(chǎn)品質(zhì)量而提出的一種降低各種干擾影響的局部優(yōu)化方法，對應(yīng)于不同的行業(yè)，有時可以優(yōu)化一些選項(xiàng)。利用正交仿真實(shí)驗(yàn)，大大減少試驗(yàn)次數(shù)，便于快速找到最優(yōu)參數(shù)組合[11]。根據(jù)電機(jī)設(shè)計(jì)手冊[12]，優(yōu)化參數(shù)的水平值如表2所示。

表2 優(yōu)化參數(shù)及其水平值

由表2 的優(yōu)化參數(shù)及其水平值，根據(jù)田口法的設(shè)計(jì)原理和正交表的構(gòu)建原則來建立L25 正交表，僅需25次實(shí)驗(yàn)就可以實(shí)現(xiàn)多變量優(yōu)化設(shè)計(jì)，大幅度降低了實(shí)驗(yàn)次數(shù)和計(jì)算程度[13]。通過有限元軟件建立與每組實(shí)驗(yàn)參數(shù)水平相對應(yīng)的25個電機(jī)模型，對每個電機(jī)模型進(jìn)行仿真分析，其結(jié)果如表3所示。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)分析

為了得到優(yōu)化參數(shù)的變化對優(yōu)化目標(biāo)的影響及比重，對表3 的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行方差分析。首先根據(jù)式（13）得到優(yōu)化目標(biāo)有限元分析結(jié)果的平均值，計(jì)算結(jié)果為95.84 mN·m。

式中：m為優(yōu)化目標(biāo)的平均值；Si為第i次實(shí)驗(yàn)優(yōu)化目標(biāo)值。然后計(jì)算優(yōu)化參數(shù)在不同水平值下優(yōu)化目標(biāo)的平均值，例如氣隙長度δ在水平2 下優(yōu)化目標(biāo)平均值計(jì)算公式如式（14）所示。

通過采用上述計(jì)算方法，可以獲得不同水平下齒槽轉(zhuǎn)矩的平均值，具體情況可參見表4。極弧系數(shù)在水平5下齒槽轉(zhuǎn)矩有最小的平均值，氣隙長度、磁極偏心距、永磁體厚度在水平2 下齒槽轉(zhuǎn)矩有最小的平均值，槽開口寬度在水平4 下齒槽轉(zhuǎn)矩有最小的平均值。綜合上述結(jié)果，田口法下齒槽轉(zhuǎn)矩最小的參數(shù)組合為αp(5)δ(2)h(2)hm(2)bs0(4)，即極弧系數(shù)取0.8、氣隙長度取0.75 mm、磁極偏心距取11.75 mm、永磁體厚度取4.75 mm、槽開口寬度2.4 mm，在有限元軟件中建立上述參數(shù)的電機(jī)模型并對其進(jìn)行仿真分析，得到田口法優(yōu)化后電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩為68.69 mN·m。相比于初始參數(shù)電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，降低了74.43%，但通過表3 的仿真結(jié)果可以看出，田口法下優(yōu)化組合得到的齒槽轉(zhuǎn)矩還有進(jìn)一步的優(yōu)化空間。

表4 各優(yōu)化參數(shù)在不同水平下優(yōu)化目標(biāo)的平均值

通過式（15）計(jì)算方差值（SS），可以更好地了解各個優(yōu)化參數(shù)對于最終目標(biāo)的影響程度。計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表5 優(yōu)化參數(shù)改變對優(yōu)化目標(biāo)的影響比重

式中：x為優(yōu)化參數(shù)；Tcog,avg,x,l為優(yōu)化參數(shù)x在水平l下優(yōu)化目標(biāo)的平均值。

由表5 得，氣隙長度、磁極偏心距、永磁體厚度的變化會引起齒槽轉(zhuǎn)矩較大的變化，為了得到更小的齒槽轉(zhuǎn)矩，在田口法優(yōu)化的基礎(chǔ)上，選取這三個參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化。

2.3 構(gòu)建響應(yīng)模型

響應(yīng)面法開始是在1951 年由Box 和Wilson 提出的一種解決多變量的統(tǒng)計(jì)方法，它的兩種常見形式分別為：中央集成模式(Box-Behnken)與三水平模式(box-behnken)。與傳統(tǒng)的中央集成模式（Box-Behnken）不同，box-behnken 模式的實(shí)施更加簡單，因此選擇三水平的Box-Behnken 模式。由表4 可知，氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度分別在水平2 下齒槽轉(zhuǎn)矩的均值最小，因此在水平2 左右選取對稱的兩個值作為下一步的水平數(shù)對應(yīng)值，重新劃定的參數(shù)水平如表6所示。

表6 優(yōu)化參數(shù)水平

傳統(tǒng)的反饋面模型一般采用完整的線性回歸和二次多項(xiàng)式，其表達(dá)方式可以用式（16）～式（18）來表示。

線性型：

不含交叉項(xiàng)的二次項(xiàng)：

含交叉項(xiàng)的二次項(xiàng)：

式中：y為響應(yīng)值；x為自變量；β為待定系數(shù)；ε為擬合誤差。響應(yīng)值具有明顯的彎曲特性，因此選擇一種包括二次項(xiàng)的多項(xiàng)式模型，它可以準(zhǔn)確地反映出實(shí)際的狀態(tài)。

模型建立后，利用Design-Expert.V8.0.6.1 軟件自動生成17個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，通過有限元計(jì)算出每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)齒槽轉(zhuǎn)矩的幅值，如表7所示，其中A、B、C分別代表氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度。

根據(jù)表7中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的響應(yīng)面模型如式（19）所示。

通過響應(yīng)面軟件的方差分析，發(fā)現(xiàn)齒槽轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面方程具有很好的擬合程度，具體可以參考表8（齒槽轉(zhuǎn)矩響應(yīng)面分析）。此外，還使用R-Squared來估算總的判定系數(shù)，得出的值達(dá)到了0.9873，說明齒槽轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面方程擬合程度較高。P和F表示模型的失擬項(xiàng)和檢驗(yàn)系數(shù)，P一般小于0.001，可以認(rèn)定所采用的樣本點(diǎn)滿足了模型的預(yù)期；而當(dāng)F高于4 時，則可以認(rèn)定所采用的模型達(dá)到了預(yù)期的準(zhǔn)確性，即4.852。

表8 齒槽轉(zhuǎn)矩響應(yīng)面分析

3 含Lévy飛行特征的蝙蝠算法尋優(yōu)

3.1 基本的蝙蝠算法

蝙蝠算法（BA）是根據(jù)蝙蝠利用回聲定位覓食時，通過對種群中各蝙蝠的脈沖發(fā)射率、響度、速度、脈沖頻率進(jìn)行迭代更新而設(shè)計(jì)的一種群體智能算法[14]。每只蝙蝠的脈沖頻率fi、位置xti以及速度vti迭代公式如下

式中：fi為蝙蝠i發(fā)出的脈沖頻率；頻率的最小值和最大值為fmin和fmax；β∈[0,1]，是均勻分布的隨機(jī)數(shù)；vti和xti分別表示蝙蝠i在t時刻的飛行速度和位置；x*代表當(dāng)前最優(yōu)位置。

在算法的局部搜索過程中，需在當(dāng)前最優(yōu)解附近進(jìn)行隨機(jī)游走產(chǎn)生新解[15]：

式中：ε∈[-1,1]，是均勻分布隨機(jī)數(shù)；At為蝙蝠在第t代響度的平均值。

同時，脈沖發(fā)射率和響度的迭代公式為

式中：rt+1i和At+1i分別表示第t+ 1 代的脈沖發(fā)射率和響度；r0i為初始脈沖發(fā)射率；d和γ為調(diào)節(jié)系數(shù)。

3.2 含Lévy飛行特征的改進(jìn)蝙蝠算法

由于傳統(tǒng)的BA 無法在解過程探索中發(fā)生突變，并且蝙蝠個體有一定概率陷入局部最佳位置，導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)；另外在迭代后期脈沖發(fā)射率趨于最大值[16]，響度趨于零，若產(chǎn)生的優(yōu)良新解因不滿足條件而不能被接受，導(dǎo)致算法早熟。針對上述問題，本文引入Lévy飛行行為加強(qiáng)算法跳出局部最優(yōu)和加強(qiáng)全局搜索能力[17]。

Lévy 飛行行為屬于隨機(jī)游走模型的一種。隨機(jī)游走模型是描述一系列不穩(wěn)定移動構(gòu)成軌跡的數(shù)學(xué)形式，在任意維度的空間里，一個點(diǎn)在任意方向上移動隨機(jī)步長的距離，然后重復(fù)這一步驟的過程。從數(shù)學(xué)角度看，Lévy 飛行特征的變化量服從Lévy 分布，是一種非正態(tài)隨機(jī)過程[16]。在全局最優(yōu)解的搜索過程中使用Lévy 飛行特征來替代蝙蝠個體對最佳位置的探尋，可以提升算法的尋優(yōu)范圍，最大程度地避免蝙蝠個體陷入局部最佳位置。改進(jìn)蝙蝠算法速度和位置的更新如下

式中：Lévy(λ)為位置更新時步長服從Lévy分布的任意探尋向量；λ是[1,3]之間的尺度參數(shù)；?表示矢量運(yùn)算。改進(jìn)的蝙蝠算法流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)的蝙蝠算法流程圖

3.3 尋優(yōu)結(jié)果對比

根據(jù)響應(yīng)面劃定的參數(shù)范圍，結(jié)合式（19）分別利用基本的BA 和具有Lévy 飛行特征的BA 求解響應(yīng)面模型的最小值，從而確定氣隙長度、磁極偏心距以及永磁體厚度的精確值，其結(jié)果如表9 所示?；镜腂A尋優(yōu)后氣隙長度取0.72 mm，磁極偏心距取11.73 mm，永磁體厚度取4.71 mm，齒槽轉(zhuǎn)矩為52.74 mN·m；具有Lévy 飛行特征的BA 尋優(yōu)后氣隙長度取0.68 mm，磁極偏心距取11.69 mm，永磁體厚度取4.74 mm，齒槽轉(zhuǎn)矩為47.21 mN·m。相較于優(yōu)化前的齒槽轉(zhuǎn)矩268.67 mN·m，基本的BA優(yōu)化后其幅值降低了80.37%，具有Lévy 飛行特征的BA 優(yōu)化后其幅值降低了82.43%，且相比于基本的BA 優(yōu)化后的幅值降低了10.49%。因此，采用響應(yīng)面法與具有Lévy 飛行特征的BA 相結(jié)合的優(yōu)化方法，可準(zhǔn)確計(jì)算出PMSM的最小齒槽轉(zhuǎn)矩。

表9 齒槽轉(zhuǎn)矩的優(yōu)化結(jié)果

4 仿真分析

通過Maxwell 建立的有限元模型的應(yīng)用，可以有效地驗(yàn)證上述方法的可行性，具體結(jié)果參見表10。通過基本BA 優(yōu)化后的極弧系數(shù)取0.8、氣隙長度取0.72 mm、磁極偏心距取11.73 mm、永磁體厚度取4.71 mm，槽開口寬度取2.4 mm，有限元驗(yàn)證結(jié)果為53.18 mN·m；通過具有Lévy 飛行特征的蝙蝠算法優(yōu)化后的極弧系數(shù)取0.8、氣隙長度取0.68 mm、磁極偏心距取11.69 mm、永磁體厚度取4.74 mm、槽開口寬度取2.4 mm，有限元驗(yàn)證結(jié)果為47.99 mN·m。優(yōu)化后的齒槽轉(zhuǎn)矩與有限元驗(yàn)證結(jié)果相近，說明建立的齒槽轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模型比較準(zhǔn)確。

表10 有限元對比驗(yàn)證結(jié)果

轉(zhuǎn)速達(dá)到1500 r/min 的情況下，通過優(yōu)化電機(jī)參數(shù)，可以顯著降低齒槽轉(zhuǎn)矩，這是由于改變了氣隙之間的磁導(dǎo)率，有效地改善了氣隙磁路。通過削弱齒槽轉(zhuǎn)矩，可以有效地減少轉(zhuǎn)矩脈動，尤其是轉(zhuǎn)矩趨于40 ms 穩(wěn)定的情況下，這種脈動的程度可以明顯降低，與初始轉(zhuǎn)矩脈動相比，可以減少8.2%，從而使電機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)更加穩(wěn)定。在額定功率15 kW時電機(jī)的效率最高。經(jīng)過有限元仿真分析，電機(jī)的初始效率從94.2%最終上升到95.8%，優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩降低的同時，電機(jī)的效率也得到了提升。

5 結(jié)論

通過有限元仿真驗(yàn)證其有效性,優(yōu)化后電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩明顯降低，電機(jī)的轉(zhuǎn)矩脈動也隨之減小，使電機(jī)的運(yùn)行性能得到提升，同時電機(jī)的效率也有所提高。但針對單一目標(biāo)的優(yōu)化，無法保證其他性能最優(yōu)，具有一定的局限性，對電機(jī)的多目標(biāo)優(yōu)化還需要進(jìn)一步研究。