喬亞茹，吳懷宇，陳志環(huán)+，陳 晨

(1.武漢科技大學 冶金自動化與檢測技術教育部工程研究中心，湖北 武漢 430081； 2.武漢科技大學 機器人與智能系統(tǒng)研究院，湖北 武漢 430081； 3.水電水利規(guī)劃設計總院 規(guī)劃處，北京 100120)

0 引 言

在特定問題的所有解中找到一個最優(yōu)解的過程為最優(yōu)化。隨著群智能優(yōu)化算法的興起[1，2]，用于優(yōu)化問題的算法也層出不窮[3，4]。

Shahrzad等[5]提出的蝗蟲優(yōu)化算法(grasshopper optimization algorithm，GOA)是一種新型群智能優(yōu)化算法，它通過模擬蝗蟲群在自然界的種群行為來解決優(yōu)化問題。

其優(yōu)勢在于能夠較好地進行局部開發(fā)、參數(shù)少。但是，GOA也存在全局探索能力弱，易陷入局部最優(yōu)等缺點[6]。為解決這些問題，Luo等[7]提出Levy飛行策略的GOA，提高了算法的搜索能力。Zhao等[8]提出隨機跳躍策略的GOA，隨機跳躍策略可以避免算法陷入局部最優(yōu)。Taher等[9]提出混合策略的GOA，通過變異更新、隨機突變擴大搜索的區(qū)域來防止陷入局部最優(yōu)。然而，以上所引文獻的尋優(yōu)精度還有待提高，算法性能還存在著較大的提升空間。

另一方面，同步參數(shù)觀測器(SPO)因其控制器簡單，易于實現(xiàn)等優(yōu)點被廣泛應用于混沌系統(tǒng)參數(shù)辨識中。但是，SPO模型中參數(shù)通常根據(jù)經(jīng)驗所得，選取不當會大大降低模型的辨識精度。隨著群智能優(yōu)化算法的興起，越來越多算法被應用在參數(shù)優(yōu)化中。因此，設計一種通用性強的算法來優(yōu)化SPO模型參數(shù)十分必要。

基于以上討論，本文針對GOA算法的不足，提出了SA-NGOA算法，并采用一類具有不同復雜特性的測試函數(shù)對該算法的優(yōu)化能力進行評價。為了進一步驗證算法的有效性，還將SA-NGOA算法應用到擴展同步參數(shù)觀測器的參數(shù)優(yōu)化中，選擇最合適的參數(shù)，提高辨識的精度。

1 蝗蟲優(yōu)化算法和擴展SPO

1.1 蝗蟲優(yōu)化算法

GOA作為一種啟發(fā)式優(yōu)化算法，它主要是模擬蝗蟲的社會性活動。在GOA中，將優(yōu)化問題的候選解抽象成蝗蟲個體的位置?；认x在進行社會性活動的過程中，如繁殖、覓食、遷徙、聚集等，個體的位置主要受到蝗蟲間的社會作用力Si、 該蝗蟲受到的重力Gi和風力Ai這3個因素的影響。用數(shù)學模型表述為

Xi=Si+Gi+Ai

(1)

式中：Si，Gi，Ai的表達式如下

(2)

s=fe-r/l-e-r

(3)

式中：f和l分別表示吸引強度參數(shù)和尺度參數(shù)，本文l取值為1.5，f取值為0.5。

將Si，Gi，Ai代入式(1)中可得

(4)

然而，式(4)蝗蟲可以以很快的速度到達舒適區(qū)，除此之外，它不會收斂到一個特定的值，為了解決這個問題，通常利用參數(shù)來區(qū)分不同階段的尋優(yōu)，此時位置更新公式如下

(5)

(6)

式中：cmax、cmin分別為c的最大值和最小值；t為算法的當前迭代次數(shù)；Tmax為算法的最大迭代次數(shù)。

1.2 擴展SPO

在文獻[10]中，作者提出了一種同步參數(shù)觀測器(SPO)來辨識動力系統(tǒng)中的未知參數(shù)。相比于其它參數(shù)觀測器，SPO結構簡單并且辨識精度更高。在本文中，我們基于SPO的設計原理將其進一步擴展(ESPO)，具體設計原理如下：

考慮以下一組非線性微分方程描述的混沌系統(tǒng)

(7)

(8)

設系統(tǒng)(8)的第i個方程為

(9)

構造擴展同步參數(shù)觀測器如下

(10)

證明：從式(11)和式(12)可以得到如下誤差系統(tǒng)

(11)

(12)

對式(12)求導，并將式(11)帶入式(12)可得

(13)

結合式(12)和式(13)由Lyapunov定理得到，該觀測器是穩(wěn)定的，可以識別出系統(tǒng)(9)所有的未知參數(shù)。

2 SA-NGOA算法和優(yōu)化策略

GOA作為近年來剛發(fā)展起來的一種群體智能優(yōu)化算法，該算法具有協(xié)調局部和全局的能力、模型參數(shù)少和局部開發(fā)能力較好等優(yōu)點。同時，與GA、PSO和DA[11]等傳統(tǒng)群智能優(yōu)化算法相比，GOA算法具有一定的競爭性。然而，GOA也有易陷入局部最優(yōu)，收斂精度不高等缺陷。本文針對GOA的這些缺陷對其進行了一系列的改進。

2.1 SA-NGOA

傳統(tǒng)蝗蟲優(yōu)化算法中參數(shù)c采用線性更新，這不利于算法在前期進行全局探索和后期的開發(fā)，除此之外，在蝗蟲位置更新過程中，一些位置不好的蝗蟲也會參與并影響其它蝗蟲位置的更新，這降低了算法的尋優(yōu)效率以及尋優(yōu)精度。在本節(jié)中針對傳統(tǒng)GOA的不足，提出了一種非線性自適應和模擬退火的蝗蟲優(yōu)化算法(SA-NGOA)，改進如下：

(1)改進策略一：非線性自適應蝗蟲優(yōu)化算法

式(5)中，括號外的參數(shù)c控制整個算法尋優(yōu)過程策略的轉變，即由全局搜索逐漸進入局部勘探，這一點與粒子群算法中設置的慣性權重ω思想不謀而合，隨著迭代次數(shù)的增加，收縮蝗蟲搜尋與目標值相鄰的區(qū)域，使其能夠逐漸收斂于目標值；由于括號內的c參數(shù)作用整個算法過程中，調節(jié)蝗蟲間的吸引域、舒適域等關鍵過程。對于參數(shù)c策略的使用好壞決定著整個算法的尋優(yōu)質量，但是原算法中參數(shù)c更新策略為線性，因此在尋優(yōu)過程中存在全程搜索時間太短與局部收斂過程過長的不足，導致算法的解陷入局部最優(yōu)，無法收斂到目標值[12-14]。針對上述問題，為了更好地平衡算法的前期探索和后期的開發(fā)，本文提出利用非線性自適應代替線性自適應更新參數(shù)c的策略，合理分配勘探與開采的占比，表達式如下

(14)

從式(14)可以明顯看出，參數(shù)c的更新公式仍然是遞減函數(shù)，相較于改進前的GOA線性自適應的策略，本文提出非線性自適應參數(shù)使得算法迭代中，參數(shù)c的數(shù)值更新曲線明顯優(yōu)異于初始算法，不僅有利于算法初期在全局探索過程的延長，還縮短了迭代后期的收斂過程所消耗的代價。

(2)改進策略二：模擬退火蝗蟲優(yōu)化算法

在GOA中，蝗蟲的位置不僅與當前蝗蟲位置有關，還同時受到其它所有蝗蟲位置的干擾，而無法跟隨目標蝗蟲的位置。雖然GOA的局部開采能力較為優(yōu)異，與之而來產(chǎn)生的代價使得其它蝗蟲可能去跟隨更新后的當前蝗蟲位置，即使更新后的蝗蟲位置沒有達到算法要求，從而使得GOA的收斂速度放緩，因此，限制每只蝗蟲的活動范圍就顯得尤為重要，影響著整個蝗蟲算法的精度和收斂速度。因此，本文結合模擬退火算法，先對迭代更新的蝗蟲位置進行取舍，剔除更差的更新個體位置，再進行下一步驟。

模擬退火算法是由Metropolis等[15]提出的一種全局優(yōu)化算法，它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機算法，類比物理學中固體升溫使得粒子變的有序，從而達到更快冷卻的現(xiàn)象，將所得到的局部最優(yōu)解適當“加溫”，從而達到跳出局部最優(yōu)的狀態(tài)，該算法采用Metropolis準則接收產(chǎn)生的最優(yōu)問題解。Metropolis準則表示如下

(15)

式中：Xn為后一時刻；X0為前一時刻；E(Xn)、E(X0) 分別為Xn時刻和X0時刻的內能；KB為玻爾茲曼常數(shù)。

由于蝗蟲算法的全局搜索能力較弱，極易陷入局部最優(yōu)，而模擬退火算法的Metropolis準則可以幫助蝗蟲以一定概率跟隨其它蝗蟲位置，從而增大全局搜索的范圍，避免陷入局部最優(yōu)，強化整個算法的全局勘探能力，從而提升算法性能。在模擬退火中蝗蟲的隨機位置公式如下

(16)

式中：xi是蝗蟲的當前位置解；xi+1是蝗蟲的下一個位置解；r是0和1之間的隨機數(shù)。式(16)中，在算法后期，蝗蟲活動的空間會隨著迭代次數(shù)的增加而受到限制，這樣能夠增強算法的開發(fā)能力。SA-NGOA算法的運行框架如算法1所示。

算法1：SA-NGOA算法迭代尋優(yōu)的執(zhí)行偽碼

(1)隨機初始化種群位置xi

(2)計算每個個體的適應度值

(3)保存適應度值最好的蝗蟲位置，即Pbest

(4)當終止條件不滿足時(例如t

4.1 對每一個蝗蟲

根據(jù)式(14)更新參數(shù)c

由式(5)更新蝗蟲的位置，并計算適應度

對蝗蟲進行模擬退火操作

由式(16)選擇新的解，并計算適應度

根據(jù)Metropolis準則更新新解

結束當前循環(huán)

4.2 計算所有蝗蟲的適應度值

4.3 如果4.2中得到更好的適應度值，則更新Pbest

(5)如果滿足終止條件則結束循環(huán)，否則跳到4.1

(6)輸出最佳位置和目標函數(shù)值

2.2 優(yōu)化策略

從上文可以看出，ESPO具有較多的控制參數(shù)，初始增益的設定會影響到模型的辨識精度。群智能算法在解決目標優(yōu)化問題中表現(xiàn)突出，為使ESPO實現(xiàn)最佳辨識效果，本文利用SA-NGOA算法對ESPO模型中增益組合進行優(yōu)化，選擇最優(yōu)增益組合，提高辨識的精度，整個優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 SA-NGOA算法優(yōu)化ESPO參數(shù)的流程

SA-NGOA算法和非線性系統(tǒng)之間的橋梁是蝗蟲個體(即SPO增益集)和適應度值。算法中每個個體位置代表一組ESPO模型中的增益組合，SA-NGOA算法優(yōu)化ESPO模型參數(shù)基本步驟如下：

(1)初始化種群位置，賦值給ESPO增益組合；

(2)定義非線性系統(tǒng)的仿真時長、采樣步長、狀態(tài)變量的初始值；

(3)用龍格-庫塔法求解微分方程，在有限時間內輸出對應的狀態(tài)變量；

(4)通過輸出的未知參數(shù)的真實值和觀測值，可以求出參數(shù)估計誤差；

(5)計算適應度值，適應度函數(shù)用于評估每個蝗蟲性能的好壞，因此適應度函數(shù)的選取是ESPO參數(shù)優(yōu)化中最關鍵的問題。本文選取的適應度函數(shù)如下

(17)

式中：m是待辨識的未知參數(shù)個數(shù)，n是模擬時間，ω是權重系數(shù)，在本文中取ω=4×10-4。

(6)將適應度向量集傳輸?shù)絊A-NGOA中作為該蝗蟲的適應值，促使算法搜索過程向前推進；

(7)更新參數(shù)c，更新蝗蟲位置；

(8)進行模擬退火操作，在蝗蟲鄰域內選擇新解，并根據(jù)Metropolis準則更新新解；

(9)迭代次數(shù)隨著每一代蝗蟲群的更新而不斷增加，當它等于預先設定的最大迭代次數(shù)時，整個迭代過程停止，得到最優(yōu)增益組合。

3 實驗與結果分析

3.1 基準函數(shù)測試

為了對本文提出的非線性自適應和模擬退火算法(SA-NGOA)的性能進行測試分析，選取6個具有一定代表性的基準函數(shù)，其中，F(xiàn)1～F3為單模態(tài)的基準測試函數(shù)，F(xiàn)4～F6為多模態(tài)的基準測試函數(shù)，選擇的基準函數(shù)具有一定的代表性。其函數(shù)表達式和定義域見表1，它們的尋優(yōu)目標都是求解函數(shù)的最小值，所選函數(shù)的理想最優(yōu)值均為0。

在這部分中，本文利用表1中的6個基準函數(shù)分別對DA[11]、GA[16]、GOA、SA-NGOA的求解性能進行了仿真測試。為了保證測試結果的準確性，相同參數(shù)設置為：種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)Tmax=500。而具體參數(shù)因不同的算法而改變：對于GOA，cmax=1，cmin=10-4；對于SA，初始溫度T0=100，結束溫度T=1，KB=10；DA、GA算法的參數(shù)設置與文獻[11]和文獻[16]保持一致；其它改進GOA與基本GOA設置一樣。為減少算法的隨機性誤差，對4種算法在6個函數(shù)下獨立運20次，記錄并比較各個算法適應度的最小值、最大值、平均值和標準差，測試結果見表2。

從表2可知，除函數(shù)F5之外，GOA算法在整體上都要好于DA算法和GA算法，但SA-NGOA算法的尋優(yōu)結果最好。對于函數(shù)F1和F3，從平均值與標準值的數(shù)量級差別可知，DA尋優(yōu)能力較差，GA和GOA次之，SA-NGOA最好。對于函數(shù)F2，DA、GA和GOA尋優(yōu)結果相近，但GOA標準差最小，可知GOA尋優(yōu)結果較穩(wěn)定，而SA-NGOA不論是尋優(yōu)精度還是穩(wěn)定性上都更有優(yōu)勢。對于多模態(tài)的基準函數(shù)F4和F6存在多個極值點，DA早熟陷入局部最優(yōu)，SA-NGOA相比于GA和GOA具有更高的收斂精度。主要由兩個因素導致這樣的結果。在算法初期，依據(jù)SA的Metropolis準則可以幫助蝗蟲以一定概率跟隨其它蝗蟲位置，從而增大全局搜索的范圍，避免陷入局部最優(yōu)，強化整個算法的全局勘探能力；在算法后期，模擬退火算法對每個蝗蟲的活動領域進行限制，可有效改善收斂時間長、最優(yōu)解精度低等不足。

表1 基準測試函數(shù)

表2 不同算法尋優(yōu)結果對比

為了進一步驗證不同改進策略的有效性，將SA-NGOA與只含有改進策略一的非線性自適應蝗蟲優(yōu)化算法(NGOA)、只含有改進策略二的結合模擬退火蝗蟲優(yōu)化算法(SA-GOA)以及GOA進行對比。為了保證算法之間比較的一致性，參數(shù)的設置與上文一致。不同改進策略算法的平均收斂曲線如圖2所示。從圖2可以看出，在兩種改進策略的算法中，結合模擬退火的SA-GOA的改進效果更好。因為策略二相比于策略一，對后期蝗蟲的隨機域進行收縮限制，使其僅在最優(yōu)解小范圍內迭代，不僅提升了算法的收斂精度，還節(jié)省了大量的開采時間。

圖2 不同策略算法的平均收斂曲線

NGOA的改進效果并不突出，但其尋優(yōu)精度也高于GOA的尋優(yōu)精度。該策略采用非線性更新參數(shù)c的方法，使全局探索和局部開發(fā)的能力達到平衡。結合兩種改進的策略，將兩種改進策略各自的優(yōu)點充分融合，使得SA-NGOA相對于兩種改進策略算法在收斂速度和尋優(yōu)精度上都具有顯著的優(yōu)越性。

3.2 基于SA-NGOA的ESPO參數(shù)優(yōu)化

為驗證SA-NGOA算法的有效性，本文將該算法用于ESPO參數(shù)優(yōu)化?？紤]如下Chen系統(tǒng)[17]

(18)

式中：a、b、c表示系統(tǒng)參數(shù)。當a=35，b=3，c=28時，系統(tǒng)(18)呈現(xiàn)混沌特性，即出現(xiàn)混沌吸引子，如圖3所示。

圖3 Chen系統(tǒng)的吸引子

若參數(shù)a、b、c全部未知的情況下，根據(jù)式(10)設計觀測器如下

(19)

為了分析算法性能，將SA-NGOA算法與SA、GOA算法進行比較，在數(shù)值仿真中，整個迭代過程如圖1所示。為了公平起見，種群數(shù)量為30，最大迭代次數(shù)為50，每個算法獨立運行20次，其它參數(shù)不做改變。

對于Chen系統(tǒng)，在仿真中，采用4階龍格-庫塔法求解微分方程(18)，步長為0.01 s，仿真時間為5 s。系統(tǒng)的相關參數(shù)見表3。系統(tǒng)中增益參數(shù)k=[k1，k2，k3，k4，k5，k6] 取值范圍為[0，20]。

圖4是ESPO參數(shù)優(yōu)化過程中適應度函數(shù)平均收斂曲線。從圖4中可以看出，SA-NGOA相比SA、GOA收斂速度更快，尋優(yōu)精度更高。圖5～圖7為Chen系統(tǒng)文獻[10]中經(jīng)典SPO、SA-NGOA算法優(yōu)化后ESPO分別對未知參數(shù)a、b、c的辨識曲線。其中，在SA-NGOA算法優(yōu)化ESPO參數(shù)中，算法找到的最佳值作為ESPO的增益值。從圖中可以看出，文獻[10]中經(jīng)典SPO和SA-NGOA算法優(yōu)化后ESPO都可以準確辨識出未知參數(shù)。但是，SA-NGOA算法優(yōu)化下的ESPO擁有更高的辨識效率和滿意的辨識精度。

表3 Chen系統(tǒng)的初始狀態(tài)

第3部分結果分析中，為分析SA-NGOA算法的有效性，選用不同算法對6個基準函數(shù)進行對照實驗，從尋優(yōu)速度、收斂精度上來看，SA-NGOA均優(yōu)異于改進前的算法，還從側面驗證了改進策略的合理性和有效性。同時，將SA-NGOA算法用于ESPO參數(shù)優(yōu)化，結果顯示優(yōu)化后的ESPO有更高的辨識精度和辨識速度?？傊?，以上實驗都驗證了改進算法的有效性。

圖4 3種算法的平均收斂曲線

圖5 參數(shù)a的辨識曲線

圖6 參數(shù)b的辨識曲線

圖7 參數(shù)c的辨識曲線

4 結束語

為改善GOA算法的性能，本文提出了一種非線性自適應模擬退火的蝗蟲優(yōu)化算法(SA-NGOA)，該算法利用非線性自適應更新參數(shù)c，更好地平衡了全局探索與局部開發(fā)，并在此基礎上混合了模擬退火算法，避免算法陷入局部最優(yōu)，結果表明，SA-NGOA算法有效提高了蝗蟲優(yōu)化算法的收斂速度與全局尋優(yōu)性能。為了更好地發(fā)揮SA-NGOA算法求解復雜優(yōu)化問題的優(yōu)勢，將SA-NGOA算法用于ESPO參數(shù)優(yōu)化，實驗結果表明，SA-NGOA算法有效實現(xiàn)了ESPO增益組合的優(yōu)化，與經(jīng)典SPO相比具有更快的辨識速度和更高的辨識精度。