張培森，郭忠峰，杜文龍，彭世杰

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧沈陽 110870；2.中船九江海洋裝備(集團)有限公司，江西九江 332000)

0 前言

機器人技術(shù)的創(chuàng)新與發(fā)展對工業(yè)自動化具有重大實際意義，被廣泛應(yīng)用于搬運、裝配、焊接、噴漆等行業(yè)，降低人工成本，提高工作效率。機器人的研究是設(shè)計開發(fā)應(yīng)用的基礎(chǔ)，機器人軌跡規(guī)劃領(lǐng)域的研究則是解決問題的前提和基礎(chǔ)[1-2]。為了實現(xiàn)機器人平穩(wěn)、高效地完成工作任務(wù)的基本要求，規(guī)劃機器人驅(qū)動關(guān)節(jié)的運動軌跡，實現(xiàn)在約束條件下關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的位移、速度以及加速度的連續(xù)[3]。根據(jù)機器人實際的工作任務(wù)需求，在滿足機器人工作性能的條件下，生成一系列包含姿態(tài)和位置信息的動作序列，組成軌跡離散數(shù)據(jù)庫。在關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃領(lǐng)域，對于軌跡插值，插值點的選取與樣條曲線的階次會影響最終樣條曲線的特征，插值點分布不均則會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)運行不連續(xù)。TONDU、EL-ZORKANY[4]運用平滑的折線段代替多項式插值，進行軌跡插值，達到降低軌跡中間點數(shù)量的目的。此方法由于缺少插值點，導(dǎo)致關(guān)節(jié)的運動軌跡精度較差。曹成濤等[5]運用散亂節(jié)點的方法確定軌跡插值點，運用于機器人軌跡規(guī)劃中，達到平滑運動軌跡的目的。

本文作者首先通過PH曲線平滑處理機器人動平臺的門字形軌跡的直角拐角，設(shè)定軌跡時間后，對機器人的時間-主動桿關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角所組成的離散數(shù)據(jù)庫進行軌跡壓縮，獲得保留軌跡特征的最優(yōu)離散數(shù)據(jù)點。利用5次NUBRS曲線，進行軌跡插值，得到關(guān)節(jié)角度、角速度、角加速度曲線。與按時間均勻劃分所得相同數(shù)目的軌跡數(shù)據(jù)點作為插值點，進行軌跡插值后數(shù)據(jù)的對比。利用聯(lián)合仿真與實驗，通過控制并聯(lián)機器人各個主動桿轉(zhuǎn)動角度，實現(xiàn)動平臺運動軌跡的可視化，驗證此方法能否有效實現(xiàn)運動的平穩(wěn)性。

1 Delta機器人末端拾放軌跡優(yōu)化

Delta機器人由動平臺、靜平臺和3條相同支鏈組成。每條支鏈都由主動桿與從動桿組成，機構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 Delta機器人的機構(gòu)簡圖

在實際生產(chǎn)生活中，Delta機器人主要實現(xiàn)對物體的拾放操作，末端動平臺的常見運動軌跡為包括豎直、水平、豎直軌跡3個部分的門字形軌跡。由于豎直與水平方向軌跡的連接處存在直角拐角，當機器人處于高速運動狀態(tài)下，速度與加速度發(fā)生突變，結(jié)構(gòu)易產(chǎn)生沖擊、振動，降低機器人使用壽命。為使動平臺按照門字形軌跡運行時更加平滑，采用曲線過渡直角拐角的方法優(yōu)化此拾放操作軌跡。對于直角過渡處，許多學(xué)者通過橢圓弧、拉姆曲線或者其他曲線完成對軌跡的平滑設(shè)計，達到平穩(wěn)扭矩、降低殘留振動的目的，提高機器人的工作效率。

PH 曲線作為一類特殊的貝塞爾曲線，曲率連續(xù)變化、曲線平滑，其長度和曲率均可通過有理表達式表示，便于計算與應(yīng)用。基于以上優(yōu)點，選取3次PH曲線對常見門字形軌跡的直角過渡處進行平滑處理[6]，如圖2所示。

圖2 PH曲線及坐標系

3次PH曲線表示如下：

τ∈[0，1]

(1)

參數(shù)化表達式為

P(τ)=P0(1-τ)3+3P1(1-τ)2τ+3P2(1-

τ)τ2+P3τ3

(2)

PH曲線上各點坐標表示如下：

(3)

(4)

運用PH曲線對門字形軌跡的直角拐角處進行過渡平滑處理，根據(jù)機器人實際工況確定最終的軌跡信息。確定機器人在傳送帶拾取物體的區(qū)域，已知Delta機器人的有效工作空間，首先確定傳送帶與機器人靜平臺的豎直距離，明確機器人在傳送帶的有效工作區(qū)域，選擇傳送帶上合理的拾取區(qū)域為一長方形。將拾取區(qū)域劃分成2 mm×2 mm的正方體網(wǎng)格，如圖3所示，以每個網(wǎng)格的中心坐標為并聯(lián)機器人拾取物體的起始點坐標。根據(jù)物體拾取位置坐標點和物體放置坐標點，繪制一個豎直平面，經(jīng)過這兩點，在此平面內(nèi)形成一個優(yōu)化的門字形路徑軌跡。將軌跡的原始數(shù)據(jù)點通過壓縮，形成稀疏的軌跡離散點，作為離線數(shù)據(jù)儲存在機器人的數(shù)據(jù)庫中。每一個網(wǎng)格都存儲相關(guān)的軌跡離散點。圖3中左右兩個正方形表示機器人末端動平臺放置物體的中心位置。當機器人末端用于對小型食品的拾放時，放置點的位置在空間中豎直方向低于拾取點的位置，由此作者選擇拾取點與放置點距離最遠的軌跡拾取點進行計算與仿真實驗。Delta機器人末端動平臺運動軌跡如圖3所示。6個軌跡點的三維坐標分別為P0(0，200 mm，-620 mm)，P1(0，200 mm，-590 mm)，P2(18 mm，191 mm，-550 mm)，P3(382 mm，9 mm，-550 mm)，P4(400 mm，0，-590 mm)，P5(400 mm，0，-670 mm)。

圖3 傳送帶有效拾放區(qū)域與典型軌跡的俯視

2 軌跡數(shù)據(jù)處理

2.1 同步歐氏距離

圖4 同步歐氏距離

公式如下所示：

(5)

其中：

2.2 軌跡數(shù)據(jù)壓縮

通過對機器人結(jié)構(gòu)中末端移動平臺的運動軌跡的劃分與壓縮，提高軌跡數(shù)據(jù)處理與數(shù)據(jù)特征提取的效率。根據(jù)機器人運動軌跡的特點提出了基于時間與空間特征的壓縮方法。機器人末端動平臺的運動軌跡在本質(zhì)上是連續(xù)的，但采集、存儲和處理技術(shù)使得實驗只能通過離散的軌跡數(shù)據(jù)實現(xiàn)對物體運動過程的描述與研究。機器人離散軌跡數(shù)據(jù)較多，在保證機器人盡可能多的有效軌跡信息的前提條件下，對移動對象的軌跡數(shù)據(jù)進行壓縮處理，提取出有價值的位置信息。在節(jié)約存儲空間、便于存儲的同時，可以減少軌跡數(shù)據(jù)數(shù)量，便于數(shù)據(jù)的傳輸；而后便于對動平臺的軌跡數(shù)據(jù)進行深入分析與后續(xù)的軌跡插值[7]。

軌跡數(shù)據(jù)包含軌跡的位置信息與時間信息。由圖3可知，將優(yōu)化后的機器人末端軌跡劃分成直線上升段P0P1、曲線上升段P1P2、直線水平段P2P3、曲線下降段P3P4、直線下降段P4P5五段軌跡后，將笛卡爾坐標系下軌跡三維坐標點依次代入反解程序，得出3個主動桿的轉(zhuǎn)動角度，以3個主動桿的轉(zhuǎn)角表示動平臺運動軌跡點，繼而對機器人的關(guān)節(jié)空間角度軌跡進行軌跡壓縮分析。

2.2.1 軌跡數(shù)據(jù)壓縮方法

由于軌跡離散數(shù)據(jù)點已知，選用離線壓縮方法處理更為合適。采用自頂向下算法，即TDTR算法。通過比較軌跡離散點的同步歐氏距離與壓縮閾值大小，進行遞歸計算。方法計算復(fù)雜度較高，為O(n2) ，但其同時考慮空間與時間兩大特性，能較好地保證軌跡的時空特征，壓縮結(jié)果較好[8]。對于當前軌跡壓縮算法，需要用戶預(yù)先設(shè)置同步歐氏距離的壓縮閾值，才能實現(xiàn)軌跡數(shù)據(jù)的壓縮。根據(jù)最終壓縮結(jié)果的不同要求，需要通過大量的實驗不斷確定壓縮閾值的較優(yōu)值。

考慮軌跡數(shù)據(jù)中的時間因素，由于軌跡運動周期時間短，設(shè)定最終壓縮得出的相鄰軌跡特征點的間隔時間介于10～20 ms之間；然后以同步歐氏距離對原有的TDTR算法進行改進，消除軌跡壓縮閾值的約束條件，以軌跡壓縮的后相鄰兩數(shù)據(jù)點的時間間隔介于10～20 ms的閾值為要求，進行軌跡壓縮。

壓縮誤差為軌跡中非特征點到相鄰特征點連線的平均距離，計算公式如下：

(6)

式中：lk為非特征點k到兩端相鄰最近的特征點的距離之和；M1為壓縮前的數(shù)據(jù)點個數(shù)；M2為壓縮后的數(shù)據(jù)點個數(shù)。

前期預(yù)處理中，將各段軌跡的關(guān)節(jié)弧度按長度與時間均分為n段，得到n+1個軌跡數(shù)據(jù)點，作為軌跡壓縮的前期樣本數(shù)據(jù)。具體步驟如下：

步驟一，導(dǎo)入樣本數(shù)據(jù)點后，求解軌跡數(shù)據(jù)離散點中除起止點之外所有數(shù)據(jù)點的同步歐氏距離lTESD，i(i=1，2，…，n)。

步驟二，判斷步驟一中軌跡采樣點之間的時間間隔是否都滿足時間的閾值要求，如果滿足要求，則直接輸出軌跡采樣點、壓縮誤差信息；否則就繼續(xù)下一步驟。

步驟三，以最大同步歐氏距離的采樣點為界限將此軌跡劃分為兩段，再將兩段軌跡中的離散采樣點作為樣本數(shù)據(jù)點分別代入步驟一中繼續(xù)壓縮，實現(xiàn)對軌跡壓縮數(shù)據(jù)的提取。

改進的TDTR算法流程如圖5所示。

圖5 改進的TDTR流程

TDTR-GA是將智能算法中遺傳算法與改進的TDTR軌跡壓縮算法結(jié)合，實現(xiàn)軌跡劃分段數(shù)的尋優(yōu)。為評價軌跡壓縮的準確性，達到最大程度保留軌跡特征的要求，根據(jù)改進的TDTR算法對原始離散軌跡進行壓縮。給定軌跡所需時間，通過對初始運動軌跡的劃分，實現(xiàn)對軌跡壓縮誤差的單目標優(yōu)化。優(yōu)化模型如下：

f=min(E)

(7)

進而輸出產(chǎn)生的最優(yōu)壓縮誤差的初始軌跡劃分段數(shù)n。重新代入改進TDTR算法，最終得出機器人空間中關(guān)節(jié)的最優(yōu)壓縮軌跡數(shù)據(jù)點，即軌跡的特征點，以便進行下一步的軌跡插值與軌跡仿真。

2.2.2 軌跡數(shù)據(jù)壓縮實驗

明確此次實驗的軌跡基本數(shù)據(jù)，設(shè)定各段時間。令P0P1、P1P2、P2P3、P3P4、P4P5各段所需時間分別為t1=0.05 s、t2=0.1 s、t3=0.25 s、t4=0.1 s、t5=0.135 s。壓縮后各段所得軌跡數(shù)據(jù)點數(shù)量依次為5、7、17、8、9。匯總后，以3個主動桿的轉(zhuǎn)角為自變量繪制的壓縮前后的整體離散軌跡數(shù)據(jù)點如圖6所示。圖中q1、q2、q3分別表示機器人3個主動桿的轉(zhuǎn)動角度。

圖6 壓縮前后的離散軌跡角度點

3 NURBS曲線插補

3.1 NURBS曲線表示

由于前期對并聯(lián)機器人主動桿的轉(zhuǎn)動角度數(shù)據(jù)進行壓縮處理，以所得的軌跡壓縮特征點為插值點，調(diào)用 NURBS曲線進行插補，生成一條NURBS 曲線。繼而對NUBRS求導(dǎo)，得出該主動桿關(guān)節(jié)軌跡空間中每一個時間點的角度、速度、加速度值。k次NURBS 曲線函數(shù)如下所示：

(8)

式中：u為曲線的控制變量；n為插值點個數(shù)；ωi為權(quán)因子，并且ω1>0，ωn>0，ωi≥0，(i=2，3，…，n-1)；曲線節(jié)點向量為U=[u0，u1，…，uk，uk+1，…，un，un+1，…，un+k+1]；Ni，k(u)為依據(jù)節(jié)點向量按照DeBoor-Cox遞推公式定義，同時規(guī)定0/0=0。

(9)

(10)

文中采用規(guī)范節(jié)點矢量，令u0=u1=…=um=0，um+n=um+n+1=…=u2m+n=1，并使用累積弦長參數(shù)化方法對時間間隔矢量進行歸一化得到節(jié)點矢量U的元素ui：

在規(guī)定0/0=0的前提條件下，m次B樣條基函數(shù)的k階導(dǎo)矢為

(11)

式中：

根據(jù)上式即可求解物體運動中不同時刻的速度與加速度，繪制參數(shù)曲線[9]。

3.2 插值曲線對比試驗

將第2.2.2節(jié)中軌跡壓縮所得的離散軌跡數(shù)據(jù)點作為插值點，利用五次NUBRS曲線進行軌跡插值，相繼求出Delta機器人各個主動桿關(guān)節(jié)角度、角速度和角加速度如圖7所示。

圖7 軌跡壓縮后的機器人主動桿運動曲線

根據(jù)前期各段軌跡數(shù)據(jù)壓縮后所得離散軌跡數(shù)據(jù)點的數(shù)量，將軌跡數(shù)據(jù)按長度與時間進行均勻劃分，生成同等數(shù)量的軌跡離散點作為插值點，采用五次NUBRS樣條曲線進行軌跡插值，最終得出Delta機器人的各主動桿關(guān)節(jié)的角度、角速度、角加速度曲線如圖8所示。

圖8 軌跡均勻劃分后的機器人主動桿運動曲線

速度方面，圖7(b)中各主動桿的角速度最大數(shù)值分別為5.08、6.99、3.94 rad/s；圖8(b)中各主動桿的角速度最大數(shù)值依次為5.10、6.96、4.00 rad/s。相比于均勻劃分軌跡，應(yīng)用軌跡壓縮方法得出的數(shù)據(jù)點，主動桿1與主動桿3角速度最大值分別下降0.4%與1.5%，主動桿2則上升0.4%，且各角度曲線的極差分別下降1.1%、0.5%、1.3%。

加速度方面，分析圖7(c)與圖8(c)，比較機器人主動桿轉(zhuǎn)動角加速度的最大數(shù)值與極差。主動桿1的角加速度最大時間點與極差時間段位于周期前0.05 s內(nèi)，軌跡數(shù)據(jù)壓縮相對于軌跡均分，兩值分別縮小4.32%、1.82%；主動桿2的角加速度最大數(shù)值的時間點與極差時間段位于周期前0.05 s內(nèi)，軌跡數(shù)據(jù)壓縮相對于軌跡均分，兩值分別縮小6.02%、3.14%；主動桿3的角加速度最大數(shù)值時間點與極差時間段位于周期中最后0.05 s內(nèi)，軌跡數(shù)據(jù)壓縮后相對于軌跡均分，兩值分別縮小5.08%、6.06%。

通過圖中數(shù)據(jù)分析與對比發(fā)現(xiàn)，利用軌跡壓縮方法得出的離散數(shù)據(jù)點作為插值點，插值后所得的角速度與角加速度在整個周期內(nèi)更加平穩(wěn)，減緩驅(qū)動電機的轉(zhuǎn)動速度變化，提高壽命，證明了運用軌跡壓縮獲取插值點方法的可行性和優(yōu)越性。

4 仿真與實驗

4.1 MATLAB與ADAMS聯(lián)合仿真

ADAMS作為機械系統(tǒng)仿真軟件，利用此軟件可實現(xiàn)機器人復(fù)雜運動過程的仿真。采用ADAMS與MATLAB/Simulink聯(lián)合仿真對并聯(lián)機器人的各個主動桿轉(zhuǎn)動角度進行控制，實現(xiàn)對機器人結(jié)構(gòu)中移動平臺運動軌跡的仿真，實現(xiàn)末端動平臺軌跡的可視化[10]，獲取整體運動性能，為后期控制算法提供依據(jù)。

將Delta機器人的三維簡化模型導(dǎo)入ADAMS軟件中，對機械結(jié)構(gòu)中相互接觸的零部件添加連接方式，在機器人各個主動桿轉(zhuǎn)動副的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度添加狀態(tài)變量。令各個主動桿轉(zhuǎn)動副的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動角度為輸入變量，令動平臺幾何中心的坐標點為輸出變量。利用ADAMS中的Controls模塊將虛擬樣機機械系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成MATLAB/Simulink中子系統(tǒng)模塊[11]。建立各輸入、輸出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，實現(xiàn) ADAMS 與 MATLAB 的數(shù)據(jù)的實時交互傳遞[12]。MATLAB/Simulink中子系統(tǒng)模塊如圖9所示。

圖9 MATLAB/Simulink的子系統(tǒng)模塊

將前期在MATLAB中根據(jù)軌跡插補得出的機器人各主動桿的兩組時間-轉(zhuǎn)動角度數(shù)據(jù)分別進行擬合，得出曲線函數(shù)，代入各自模塊，得出在規(guī)定時間內(nèi)動平臺的運動軌跡、運動速度與加速度。Simulink中求解器顯示機器人末端動平臺的位移、速度及加速度的仿真曲線。兩組數(shù)據(jù)中動平臺的加速度曲線對比圖如圖10所示。

圖10 軌跡壓縮與軌跡均勻劃分的機器人動平臺加速度曲線對比

通過ADAMS與MATLAB對機器人聯(lián)合仿真。由于軌跡周期相同，對比最大加速度。軌跡壓縮相比均勻劃分的加速度最大值，x方向下降2.32%，y方向下降2.70%的，z方向則下降0.9%，動平臺運動較穩(wěn)定。仿真驗證軌跡壓縮理論有效性的同時實現(xiàn)了機器人動平臺運動軌跡的可視化。

4.2 實驗

為驗證機器人按軌跡壓縮點運行的運動性能，搭建如圖11所示的Delta機器人實驗平臺。

圖11 Delta機器人實驗平臺

此實驗平臺選用臺達通用伺服電機ECM-B3M-CA0604SS1，驅(qū)動器的型號為ASD-B3-0421-E，運動控制卡為固高GE400。樣機中收集加速度數(shù)據(jù)采用的加速度傳感器為維特智能公司的WT901C485九軸姿態(tài)角度傳感器，穩(wěn)定性極高，數(shù)據(jù)傳輸穩(wěn)定，傳輸距離較遠。通過電機控制各主動桿的轉(zhuǎn)角與離散的軌跡壓縮點吻合，測量動平臺的加速度如圖12所示。

圖12 機器人實驗動平臺加速度

由圖12可知機器人動平臺在空間坐標系中的加速度。與圖10中采用軌跡壓縮方法的仿真曲線對比，發(fā)現(xiàn)動平臺在空間坐標系x、y、z方向上加速度變化規(guī)律一致，且數(shù)值在一定范圍內(nèi)不斷波動，這是由于機器人結(jié)構(gòu)的所選材料具有彈性、關(guān)節(jié)連接處存在的間隙導(dǎo)致。仿真與實驗對照，動平臺沿x方向運動加速度最大數(shù)值處的時間吻合，數(shù)值誤差為0.443 m/s2，沿y方向加速度最大數(shù)值處的時間吻合，數(shù)值誤差為1.394 m/s2，沿z方向加速度最大數(shù)值處的時間吻合，數(shù)值誤差為1.21 m/s2，均處于可控范圍之內(nèi)。

結(jié)果證明基于軌跡壓縮進行軌跡數(shù)據(jù)點的選取方法對于實現(xiàn)機器人平穩(wěn)運動的有效性，驗證仿真模型正確性的同時保障拾取物體的速率可達50 次/min。

5 結(jié)論

對Delta機器人進行軌跡優(yōu)化，采用PH曲線平滑過渡動平臺門字形軌跡的直角拐角。通過遺傳算法與改進的TDTR算法的結(jié)合，進行軌跡離散數(shù)據(jù)的壓縮處理，獲得有效保留關(guān)節(jié)軌跡的曲線特征的最優(yōu)軌跡特征點。采用五次NUBRS樣條曲線以特征點為插值點進行軌跡插值，獲得關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動角速度與角加速度曲線。與按時間均勻劃分所得相同數(shù)目的軌跡數(shù)據(jù)點作為插值點進行軌跡插值，相關(guān)參數(shù)對比表明：采用軌跡壓縮算法的軌跡插值方法具有降低速度與加速度的最大值與極差的優(yōu)點，在提高運動平穩(wěn)性方面具有明顯優(yōu)勢。最后通過聯(lián)合仿真與測試實驗實現(xiàn)了機器人優(yōu)化軌跡的可視化，結(jié)果表明，采用此軌跡方法，機器人動平臺運動更加平穩(wěn)，循環(huán)拾取操作的速率可達50次/min。