張嘯甫，施光林

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，上海 200240)

0 前言

液壓機(jī)械臂常應(yīng)用在一些需求大功率、高承載力的應(yīng)用場合，如農(nóng)林、礦業(yè)、工程施工等領(lǐng)域[1-2]。由于液壓系統(tǒng)具有高功率密度比、高響應(yīng)速度、大扭矩輸出等優(yōu)點，使得液壓機(jī)械臂在上述領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用。

傳統(tǒng)通過手動控制多路閥實現(xiàn)液壓機(jī)械臂各關(guān)節(jié)運(yùn)動的開環(huán)控制方式會造成很大的能量損失，另外一些采用閉環(huán)控制的先進(jìn)液壓機(jī)械臂由于大多數(shù)情況下采用了閥控系統(tǒng)，也存在著較大的節(jié)流能量損失。由于在許多工業(yè)系統(tǒng)中，特別是在特殊應(yīng)用場合下，與其他性能要求相比，能源效率一般成為次要的設(shè)計目標(biāo)。然而，由于液壓機(jī)械臂常應(yīng)用在行走式機(jī)械中，所攜帶能源的空間是有限的。因此如何降低能量消耗的同時，不以犧牲控制性能為代價，是液壓機(jī)械臂面臨的一個重要挑戰(zhàn)。

一般來說，影響液壓系統(tǒng)能量效率的能量損失主要有3種類型：機(jī)械損失、容積損失以及閥的節(jié)流損失。有學(xué)者提出利用泵控系統(tǒng)來代替閥控系統(tǒng)，即利用變量泵直接控制液壓執(zhí)行器，通過改變泵的排量實現(xiàn)負(fù)載匹配[3-4]，或者利用伺服電機(jī)驅(qū)動定量泵作為動力源，通過改變伺服電機(jī)的轉(zhuǎn)速實現(xiàn)泵輸出流量的改變。雖然泵控系統(tǒng)具有更高的能效，并且可以大大簡化系統(tǒng)的動態(tài)特性，但是泵控系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)要慢得多，控制精度也比閥控系統(tǒng)低。液壓系統(tǒng)另一種比較常用的節(jié)能方式是采用負(fù)載敏感系統(tǒng)(LS)，特別是在移動式液壓機(jī)械臂平臺上。LS系統(tǒng)通過負(fù)載敏感閥感應(yīng)負(fù)載的壓力或者流量變化，控制變量泵的斜盤傾角從而改變泵的出口流量實現(xiàn)負(fù)載匹配，以達(dá)到節(jié)能的目的[5-6]。對于液壓機(jī)械臂這種多執(zhí)行機(jī)構(gòu)來說，也有學(xué)者提出對每個液壓缸采用進(jìn)出口獨立控制方式(SMIMO)，對液壓缸的進(jìn)出油口分別使用多個兩通閥來進(jìn)行壓力或流量獨立控制，使得兩腔的壓力或者流量與負(fù)載盡可能匹配，從而降低能耗[7-8]。除了降低液壓系統(tǒng)的能量損耗，通過蓄能器等裝置實現(xiàn)液壓機(jī)械臂運(yùn)動時勢能以及制動能量回收，也可以進(jìn)一步提高系統(tǒng)的能效[9-10]。上述的節(jié)能策略大多是在液壓執(zhí)行層級上實現(xiàn)，而忽視了液壓機(jī)械臂運(yùn)動規(guī)劃上的能量優(yōu)化。

本文作者將根據(jù)液壓機(jī)械臂關(guān)節(jié)運(yùn)動與液壓系統(tǒng)的動態(tài)特性，建立基于液壓系統(tǒng)能量消耗與運(yùn)動時間的多目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化算法實現(xiàn)系統(tǒng)的全局能量優(yōu)化的節(jié)能控制策略。

1 液壓機(jī)械臂模型分析

本文作者研究的一款液壓機(jī)械臂如圖1所示。該型液壓機(jī)械臂具有5個自由度，其中每個關(guān)節(jié)均由單獨的比例閥控制液壓缸進(jìn)行驅(qū)動，且各關(guān)節(jié)位置由絕對式編碼器與位移傳感器采集，液壓缸兩腔均有壓力傳感器反饋壓力信息。動力系統(tǒng)由一套伺服電機(jī)與定量泵組成，可通過調(diào)節(jié)伺服電機(jī)轉(zhuǎn)速實現(xiàn)流量調(diào)節(jié)。

圖1 液壓機(jī)械臂結(jié)構(gòu)

1.1 關(guān)節(jié)與液壓缸之間的力、運(yùn)動轉(zhuǎn)換

圖2為液壓機(jī)械臂單個驅(qū)動關(guān)節(jié)示意，關(guān)節(jié)的運(yùn)動狀態(tài)將由液壓缸的伸縮運(yùn)動來實現(xiàn)，求解關(guān)節(jié)運(yùn)動與液壓缸運(yùn)動之間的映射關(guān)系是后續(xù)工作的前提。對于第i個關(guān)節(jié)(i=1，2，…，5)，根據(jù)幾何關(guān)系可以得出液壓缸的伸縮長度為

圖2 液壓機(jī)械臂單關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)

(1)

式中：yi0為液壓缸首尾鉸接點O2O3的初始長度；ci、li分別為鉸接點O1O2、O1O3的長度；轉(zhuǎn)角βi=θi+Δθi0，Δθi0為關(guān)節(jié)初始構(gòu)型角度。

對上式求導(dǎo)，可以得到液壓缸的伸縮速度為

(2)

進(jìn)一步地，可以得到液壓缸的加速度為

(3)

同時，關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動力矩由圖2中的Fci實現(xiàn)，根據(jù)圖中所示幾何關(guān)系，可以計算當(dāng)前位置的驅(qū)動力矩τi為

τi=liFiy=liFcisinγi=J2iFci

(4)

式中：Fci為液壓缸負(fù)載力；Fiy為液壓缸垂直于連桿方向的分力；γi為液壓缸與連桿之間的夾角，該角度可以通過以下幾何關(guān)系求得：

(5)

根據(jù)式(1)—(5)，在已知各個關(guān)節(jié)的運(yùn)動與受力情況下，可以求出對應(yīng)驅(qū)動液壓缸的運(yùn)動與負(fù)載情況，從而實現(xiàn)液壓缸的控制。

1.2 液壓系統(tǒng)動態(tài)特性

以第i個關(guān)節(jié)對應(yīng)的第i根液壓缸為例，液壓缸兩腔的壓力動態(tài)方程可以表示為

(6)

式中：pi1、pi2分別為液壓缸無桿腔與有桿腔的壓力；pil為液壓缸兩腔的壓差；Vi1、Vi2分別為液壓缸兩腔的容積；Ai1、Ai2分別為無桿腔和有桿腔的有效作用面積；βe為液壓油的有效體積模量；Ct為液壓缸的內(nèi)部泄漏系數(shù)。qi1、qi2為液壓缸兩腔的流量，根據(jù)流量與壓力關(guān)系，液壓缸兩腔的流量可以表示為

(7)

式中：pis、pir分別為機(jī)械臂液壓系統(tǒng)的供油壓力與回油壓力；kq為閥的流量增益系數(shù)；xvi為閥芯位移。

對于液壓系統(tǒng)來說，由于通常情況下系統(tǒng)的頻寬遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于比例閥的頻寬，可以近似地認(rèn)為閥芯位移與控制電壓之間為比例關(guān)系[11]，即滿足關(guān)系式xvi=kvui。

為了求解關(guān)節(jié)力矩映射到液壓缸的輸出力，根據(jù)牛頓定律，液壓缸活塞桿的力平衡方程可以表示為

(8)

式中：bi為黏性阻尼系數(shù)；mci為第i根液壓缸活塞桿的質(zhì)量?？紤]到液壓缸活塞桿質(zhì)量小，所產(chǎn)生的慣性力相比較機(jī)械臂本體的重力與負(fù)載來說幾乎可以忽略不計，同時為了簡化系統(tǒng)模型，結(jié)合映射關(guān)系式(1)—(3)，上式可以進(jìn)一步改寫為

(9)

液壓機(jī)械臂單個關(guān)節(jié)的非線性模型由上述關(guān)系式描述，建立控制電壓與關(guān)節(jié)運(yùn)動的映射關(guān)系。

2 關(guān)節(jié)軌跡插值

為了后續(xù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的建立，需要從末端執(zhí)行器路徑中設(shè)置一定的途徑點，然后通過逆運(yùn)動學(xué)得到關(guān)節(jié)空間相應(yīng)的位置，并通過插值函數(shù)在關(guān)節(jié)空間中生成軌跡，同時考慮機(jī)械臂關(guān)節(jié)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)上的邊界限制。為了保證軌跡起始點與末端點的速度、加速度、加加速度可以任意配置且光滑連續(xù)，使用非均勻有理B樣條來獲得沿幾何路徑軸線的歸一化運(yùn)動輪廓的公式。對于給定的關(guān)節(jié)位置-時間節(jié)點序列{pj，tj}(j=1，2，…，f)，k階B樣條可通過De Boor公式[12]遞歸定義為

(10)

式中：p(u)為關(guān)節(jié)位置；di為控制頂點；u是一個由非遞減歸一化時間節(jié)點組成的向量；n為控制頂點的個數(shù)；Ni，k表示B樣條曲線的基函數(shù)，該基函數(shù)表示為

(11)

式中：ui(i=0，1，…，m)為時間節(jié)點。由于B樣條曲線的性質(zhì)，插值出的軌跡一般不經(jīng)過起始點與終止點，為了保證軌跡經(jīng)過始末點，節(jié)點序列u=[u0，u1，…，un+k+1]的兩端節(jié)點的重復(fù)度需要保證為k+1，且控制頂點di的個數(shù)滿足n+1=k+f+1，時間節(jié)點的個數(shù)滿足m+1=2k+f+1。對節(jié)點向量進(jìn)行歸一化處理，歸一化后的時間節(jié)點矩陣表示為

u=[0，0，…，0，uk+1，…，uf+k-2，1，1，…，1]

(12)

式中的時間節(jié)點滿足：

(13)

為了保證關(guān)節(jié)軌跡的加加速度連續(xù)且足夠光滑，設(shè)定B樣條階次為5階，并通過虛擬點技術(shù)將軌跡起始點與結(jié)束點的加加速度約束到零。因此在給定控制頂點di(i=0，1，…，n)、時間節(jié)點序列u=[u0，u1，…，un+k+1]以及B樣條階次k后，通過式(10)—(13)便可以求解出關(guān)節(jié)軌跡。但是通常情況下，控制點無法確定，需要根據(jù)給定的途徑點進(jìn)行求解。公式(10)確定了f-2個方程，另外需要k+1個約束方程來構(gòu)成線性方程組對控制點進(jìn)行求解，這些約束由始末點的速度、加速度、加加速度給出。根據(jù)公式(10)確定的軌跡上任意一點的運(yùn)動學(xué)量，可以通過下式進(jìn)行求解：

(14)

聯(lián)立式(10)的B樣條軌跡方程與約束條件(14)，可以得到求解控制頂點的線性方程組為

d=Q-1p

(15)

式中：

d=[d0，d1，…，dn]T

p=[p1，p2，…，pf-2，v0，vf，a0，af，j0，jf]T

式中：bij分別為根據(jù)約束條件(14)求出的各運(yùn)動學(xué)軌跡的首末點表達(dá)式的各項系數(shù)。

因此，給定關(guān)節(jié)途經(jīng)點序列，將時間節(jié)點矩陣歸一化，明確B樣條曲線的邊界條件后，根據(jù)式(15)求解軌跡的控制頂點，最后將求解的控制頂點與時間節(jié)點代入到式(10)(14)中，即可以得到任意時刻的關(guān)節(jié)位置、速度、加速度以及加加速度。通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，通過調(diào)整關(guān)節(jié)途經(jīng)點序列中途經(jīng)點位置以及相鄰兩點之間的時間間隔來改變軌跡。本文作者將途經(jīng)點的時間間隔作為優(yōu)化變量，來實現(xiàn)關(guān)節(jié)軌跡的可調(diào)性。

3 全局能量優(yōu)化問題

3.1 全局能量優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

為了獲得液壓機(jī)械臂完成指定任務(wù)時的全局能量最優(yōu)軌跡，定義運(yùn)動時的目標(biāo)函數(shù)為

(16)

式中：S1為時間目標(biāo)函數(shù)，評價整體運(yùn)動的時間效率，其中Δti為各個關(guān)節(jié)軌跡途經(jīng)點的時間間隔，即優(yōu)化變量，通過調(diào)整途經(jīng)點的時間間隔來改變運(yùn)動狀態(tài)；S2為液壓系統(tǒng)的平均消耗能量，其中T為總的運(yùn)動時間，qs為液壓泵的輸出流量，為恒值，psd是根據(jù)液壓缸兩腔壓力動態(tài)特性與關(guān)節(jié)軌跡反解出的最優(yōu)供油壓力，該壓力的求解過程如下。

(17)

當(dāng)液壓缸伸出運(yùn)動時，根據(jù)壓力流量公式(7)可得液壓缸有桿腔流量為

(18)

聯(lián)立式(17)(18)得到當(dāng)前運(yùn)動時刻液壓缸有桿腔壓力為

(19)

由液壓缸的受力平衡方程可知：

(20)

式中：bi為黏性阻尼系數(shù)；mci為液壓缸活塞桿質(zhì)量；Fci為液壓缸與連桿之間的作用力，可由機(jī)械臂動力學(xué)求得關(guān)節(jié)力矩，再由式(4)(5)計算得到。進(jìn)一步地，可求解液壓缸無桿腔壓力為

(21)

上式存在著控制輸入xvi，在理想條件下，忽略系統(tǒng)存在的擾動，根據(jù)液壓機(jī)械臂數(shù)學(xué)模型式(6)(7)計算近似的閥芯位移。

進(jìn)而根據(jù)公式(7)得到當(dāng)前液壓缸的理想供油壓力為

(22)

同理當(dāng)液壓缸縮回運(yùn)動時，可得液壓缸的理想供油壓力為

(23)

由于液壓機(jī)械臂每個關(guān)節(jié)的負(fù)載情況不一致，并且理想軌跡也不一致，因此需要分別計算每個關(guān)節(jié)液壓缸的理想供油壓力，取其中最大值作為整個系統(tǒng)的供油壓力，即：

ps=max{p1s，p2s，…，pns}

(24)

考慮到摩擦等擾動影響，并保證系統(tǒng)的安全性，需要將計算的系統(tǒng)供油壓力加上一個安全閾值，此時系統(tǒng)的供油壓力為

psd=ps+psth

(25)

式中：psth為供油壓力安全閾值，需要根據(jù)實際的負(fù)載情況進(jìn)行選擇，文中選擇的閾值范圍為1～2 MPa。

3.2 多目標(biāo)求解

快速非支配遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是一種求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的優(yōu)化算法，由于該算法引入了當(dāng)前個體被支配個數(shù)與該個體支配解的集合這兩個參數(shù)，降低了非支配前沿面搜索的時間復(fù)雜度。引入了基于擁擠度與擁擠度比較算子的密度計算方法，保證前沿面分布的廣泛性與多樣性；同時使用精英保留策略，提高種群水平，擴(kuò)大了采樣空間[13]。

NSGA-II算法的流程如下所示：

Step1，初始化種群P。根據(jù)多目標(biāo)問題的維度以及約束條件確定初始種群，包括初始優(yōu)化變量以及其上下邊界。其中種群個體的適應(yīng)度值的計算方式如圖3所示，種群個體優(yōu)化變量即為途經(jīng)點的時間間隔Δti，不同的時間間隔根據(jù)式(10)—(15)插值得到不同的軌跡，并根據(jù)式(17)—(25)得到不同的系統(tǒng)供油壓力，從而得到每個個體的兩個適應(yīng)度值。

圖3 種群個體適應(yīng)度值計算

Step2，使用基于擁擠比較算子的競賽選擇方法，在父種群Pt上進(jìn)行交叉和變異操作，創(chuàng)建后代種群Ct，其中t表示種群代數(shù)。然后將后代種群及其父代種群相結(jié)合產(chǎn)生整個種群Rt。

Step3，快速非支配排序。根據(jù)提出的基于約束違背度的Pareto支配，確定所有個體的支配關(guān)系，并將整個種群按照支配等級分層。一旦排序完成，將計算所有個體擁擠距離值。種群中的個體是根據(jù)支配等級和擁擠距離來選擇的。

Step4，采用模擬二進(jìn)制交叉和變突變率多項式變異的實數(shù)編碼遺傳算法來產(chǎn)生新的種群。

Step5，重復(fù)這個過程，直到達(dá)到最大的迭代次數(shù)。

由于傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法中采用的是定突變率，對于種群搜索來說，變突變率更有利于種群收斂到全局最優(yōu)值。在迭代開始時，希望更大的突變率來避免種群陷入到局部最優(yōu)解中，在迭代搜索結(jié)束時則希望小的突變率使得分布結(jié)果更加精確。因此作者提出一種基于Sigmoid函數(shù)突變率的變異算子，其突變率mr的形式為

(26)

式中：tmax為最大迭代次數(shù)；c1、c2為調(diào)整因子，與始末設(shè)定的突變率大小有關(guān)。隨著迭代次數(shù)的不斷增加，突變率逐漸減少且光滑連續(xù)。

NSGA-Ⅱ算法最終得到一個最優(yōu)解集(Pareto 前沿)，可以通過基于隸屬度值的選擇方法得到全局最優(yōu)解。

4 仿真結(jié)果與分析

為了驗證所提方法的有效性，設(shè)置3組節(jié)能控制策略，分別如下所示：

節(jié)能策略1(C1)：文中提出的基于全局能量優(yōu)化的節(jié)能策略，將液壓系統(tǒng)的能量消耗與運(yùn)行時間構(gòu)成多目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解。

節(jié)能策略2(C2)：傳統(tǒng)的規(guī)劃層級節(jié)能策略，將C1的多目標(biāo)函數(shù)代替為一般的基于時間-能量的多目標(biāo)優(yōu)化策略，即：

(27)

式中：n為關(guān)節(jié)個數(shù)；θi為關(guān)節(jié)角度。同時上式求出的軌跡利用式(17)—(24)反解出最優(yōu)供油壓力，控制液壓系統(tǒng)。

節(jié)能策略3(C3)：傳統(tǒng)的定供油壓力控制方法，軌跡跟蹤時液壓系統(tǒng)的供油壓力保持不變。各個關(guān)節(jié)軌跡采用C2策略得到的軌跡。

按照順序分別選取途經(jīng)點為(1 290，50)，(1 432，300)，(1 670，630)，(1 760，830)(單位均為mm)，通過運(yùn)動學(xué)逆解可以得到每個途徑點對應(yīng)的關(guān)節(jié)構(gòu)型。C1和C2優(yōu)化后的最優(yōu)時間間隔如表1所示。

表1 途經(jīng)點最優(yōu)時間間隔 單位：s

根據(jù)以上條件，液壓機(jī)械臂在3種策略下的能量消耗如圖4所示，其中C1策略較C3策略節(jié)約了46.73%的能量，較C2策略節(jié)約了8.62%的能量。圖5與圖6分別為液壓系統(tǒng)的供油壓力與機(jī)械臂末端軌跡情況，可以看出C1策略求解出的理想供油壓力最小，末端軌跡也更加平滑。

圖4 不同策略下的能量消耗情況

圖5 不同策略下的供油壓力

圖6 C1與C2策略的末端軌跡

C1策略根據(jù)各關(guān)節(jié)軌跡反解出每一時刻液壓機(jī)械臂系統(tǒng)對應(yīng)的理論供油壓力，從而構(gòu)造液壓層級的能量函數(shù)，并將該能量函數(shù)引入到規(guī)劃層級中構(gòu)造多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化求解，從而得到液壓機(jī)械臂全局最優(yōu)能量軌跡。反解出的供油壓力可以作為可變溢流閥的控制信號，以此控制液壓系統(tǒng)的供油壓力，從而降低能量消耗。

不難發(fā)現(xiàn)C1策略較C2策略節(jié)約的能量并不十分明顯，這是由于C2策略的優(yōu)化目標(biāo)同樣包含了能量函數(shù)。但該能量函數(shù)基于機(jī)械結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)加速度，并沒有考慮液壓層級的能量損耗情況。同時由于固定了關(guān)節(jié)空間的途經(jīng)點，限制了系統(tǒng)能量的優(yōu)化能力，后續(xù)可考慮將途經(jīng)點加入到優(yōu)化目標(biāo)中，進(jìn)一步降低能量消耗。

5 結(jié)論

本文作者針對液壓機(jī)械臂存在的能效較低問題，提出一種基于全局能量優(yōu)化的節(jié)能方法，將液壓系統(tǒng)的能量消耗函數(shù)加入到多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)中。在得到關(guān)節(jié)理論軌跡的情況下，根據(jù)流量-壓力映射關(guān)系反推出每一時刻對應(yīng)的理論供油壓力，以此壓力計算液壓系統(tǒng)的能量函數(shù)，并與運(yùn)動時間構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化問題。最后通過改進(jìn)的變突變率的NSGA-Ⅱ多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行求解。通過對比仿真結(jié)果可知，在文中工況下，提出的全局能量優(yōu)化算法與固定供油壓力策略相比，節(jié)約了46.73%的能量，與傳統(tǒng)的基于時間-能量優(yōu)化的節(jié)能策略相比節(jié)約了8.62%的能量，從而驗證了所提節(jié)能策略的有效性，為液壓機(jī)械臂的節(jié)能控制策略研究提供了理論參考。