陳雨婷， 薛 梓， 謝勝龍， 鄒 偉， 朱 進， 肖美梁

（1.中國計量大學 機電工程學院， 浙江 杭州 310018； 2.中國計量科學研究院， 北京 100029；3.浙江省計量科學研究院， 浙江 杭州 310018）

0 引 言

多軸轉臺作為空間角度的發(fā)生裝置，被廣泛應用于飛行器姿態(tài)測量、慣性導航測試與校準、精密加工等領域[1]。多軸轉臺的精度由多個環(huán)節(jié)的指標精度綜合而得，其中回轉軸線相交度是其重要的指標。安裝、調(diào)整多軸轉臺的過程中會導致各軸之間存在相交誤差而不能完全相交，從而影響多軸轉臺實際測量時的精度，轉臺轉動過程中負載和轉速會導致軸線相交度發(fā)生變化。轉臺安裝、調(diào)試、校準、應用環(huán)節(jié)對軸線相交度的實時快速測量，有助于提高轉臺的測量精度[2]。

針對多軸轉臺軸線相交度的求解問題，眾多研究人員提出了測量方法。Zhou J 等使用打表法測量安裝于三軸轉臺上的三維實體棒轉動角度并對其調(diào)同軸，通過測量三維實體棒得出影響軸線的長度及角度信息[3]；畢超等將三坐標機作為輔助測量儀器，移動轉臺找到最佳測量位置，測量標定物標定軸線[4]；Guo X T 等采用單站相機測量轉臺上若干靶標，建立轉臺坐標系，測量一定范圍的靶標位置信息進而計算軸線[5]；仁順清等采用水平儀測量軸線鉛垂度，再用經(jīng)緯儀觀測安裝于軸端的靶標，結合細絲引出各軸軸線，得到了五軸轉臺非整周回轉的軸線[6]；于之靖等提出一種基于單CCD 相機多基站測量法，建立了單點多站光線交會模型，通過整周空間點位姿擬合球面獲得球心，進一步擬合軸線[7]；魯亞楠等將多站相機固定于轉臺上，通過對相機自身標定來測量轉臺平面[8]；王明元等人采用激光跟蹤儀跟蹤軸兩端靶鏡，靜態(tài)測量整周轉動中的若干點，構造兩圓并通過連接兩圓心獲得軸線方程[9]；余佳煥等提出一種室外全站儀跟蹤棱鏡測量太陽能發(fā)電系統(tǒng)裝置軸線的方法，對測量點進行平面擬合與球擬合，得到軸線方程，精度在毫米級[10]。

目前相交度測量方法分為接觸式測量和非接觸式測量兩種。接觸式測量主要有打表法、細絲法等依靠輔助工件測量的方法，需要考慮工件安裝精度且操作繁瑣，不適用于實時測量[11-12]。非接觸式測量按照測站數(shù)量分為單站和多站，常規(guī)的單站測量通過長度和角度結合測量被測物的空間位置，測量盲區(qū)較大；多站法可以減小測量盲區(qū)，以激光跟蹤干涉儀為例，僅通過長度量實現(xiàn)目標的位置測量，不需要引入角度，避免了引入角度測量帶來的誤差，是當前測量精度較高的方法[13-14]。

本文利用多臺激光跟蹤干涉儀，構建了一個可實時跟蹤測量多軸轉臺轉動軌跡的多站測量系統(tǒng)。

1 基于激光測距的轉臺相交度測量原理

1.1 測量系統(tǒng)參數(shù)標定

為獲取多軸轉臺的空間位置，首先采用四路激光跟蹤干涉儀（基站）S1、S2、S3、S4組成測量網(wǎng)，構建坐標系，四路是實現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)標定的最小單元，標定布局如圖1 所示。

圖1 坐標系及參數(shù)標定布局

通過標定確定儀器參數(shù)（xsn,ysn,zsn），n=1,2,3,4。其中設S1為坐標系原點（0,0,0），S2在x軸上設為（xs2,0,0），S3在xOy平面內(nèi)設為（xs3,ys3,0），S4為靠近xOy平面的基站，設為（xs4,ys4,zs4）。采用若干動點以及z方向的距離d作為約束進行系統(tǒng)參數(shù)和初始點P1位置的標定[15]。在x方向分布的三個平面上均勻選取27 個標定點，4 臺激光跟蹤干涉儀同時跟蹤靶球，通過移動靶球依次獲取所有標定點對應的干涉測長值。利用最小二乘原理求解系統(tǒng)參數(shù)，為避免迭代出現(xiàn)奇異值，使用Levenberg-Marquardt[16]進行求解。

1.2 雙軸轉臺轉動軌跡點測量

雙軸轉臺軸測量示意圖如圖2 所示。雙軸轉臺具有水平軸與豎直軸（對應臥式轉臺與立式轉臺），兩者相互的空間關系如圖2a）所示，水平軸被測面面向坐標系xOy平面，豎直軸的被測平面與xOy平面近似垂直。系統(tǒng)參數(shù)標定后，任意三路或四路基站可實現(xiàn)目標點坐標測量，由于雙軸轉臺的高度與地面基站S4相近，靶球水平放置于豎直軸被測面轉動時容易導致S4斷光，故采用基站位置較高的S1、S2、S3進行測量?；竞统跏键cP1的空間坐標均已知，初始點對應的初始長度ln1已知，保持靶球不斷光，通過將靶球轉移至轉臺被測面的靶座上跟隨轉臺轉動，得到靶球轉動軌跡任一動點對應的干涉測長lni，即可得基站測得的目標點相對于初始點的距離變化量Δl。根據(jù)距離變化量與初始點坐標，得到每臺基站到任一目標點的實際測量距離公式為：

圖2 雙軸轉臺軸測量示意圖

根據(jù)三球交會原理，任意3 臺基站測量的目標點在空間中存在正解與負解，均取正解作為目標點的坐標。將基站測量的距離值代入式（2）即可解算目標動點Ti(xi,yi,zi)，i=1,2,…,n的坐標值。

靶球接收光范圍為-60°～60°，對于水平軸，基站組成的測量網(wǎng)位于臥式轉臺被測面一側，轉臺轉動過程中不存在遮擋現(xiàn)象，可獲取完整的轉動軌跡點；對于豎直軸，為避免立式轉臺轉動時臥式轉臺遮擋光路，分段獲取轉動軌跡點。軌跡點為空間中分布在圓軌跡附近的散點，將散點擬合于平面，得到平面對應的法向量與擬合軌跡的圓心，以此獲得回轉軸的平均軸線方程。

1.3 回轉軸軸線相交度求解

根據(jù)1.2 節(jié)中動態(tài)測量原理，獲取軸線的關鍵在于確定被測平面。為使求解的離散點盡可能在一個平面上，構建不過原點的平面方程：

將離散點代入式（3）表示為矩陣形式：

式中：X為待求平面參數(shù)，X=[A,B,C]T；I=[1,1,…,1]，構成超定方程。根據(jù)離散數(shù)據(jù)最小二乘擬合方式，由式（6）求出平面參數(shù)。

另外，圓上任意兩點連線的中垂線經(jīng)過圓心M（xc,yc,zc），則兩垂直向量關系可用下式表示：

根據(jù)平面參數(shù)得到豎直軸、水平軸法向量為N1=(a1,b1,c1)、N2= (a2,b2,c2)，兩個向量叉乘得到兩異面軸線公垂線的向量：

兩個擬合圓心M1、M2為水平軸與豎直軸上兩點，異面兩軸線間最短距離為兩圓心向量在公垂線向量方向上的投影，即回轉軸線相交度，公式如下：

2 基于激光跟蹤干涉儀的多站測量系統(tǒng)的不確定度分析

對于激光跟蹤干涉儀測量的目標點坐標以及多軸轉臺軸線相交度解算結果，影響結果不確定度的因素主要有激光干涉測距誤差、坐標系統(tǒng)參數(shù)標定引起的測長誤差、多光路交會于光學中心不一致造成的測長誤差和轉臺端跳誤差。除此之外，存在空氣溫濕度等環(huán)境因素造成的測長誤差，因?qū)嶋H實驗時在恒溫恒濕隔振實驗室進行，環(huán)境影響較小，故僅研究對測量結果影響較為明顯的誤差因子。實際應用中使用多臺儀器（數(shù)量≥3）進行動態(tài)測量，本文按照3 臺基站（最小測量單元）對測量方法展開分析。

2.1 多站激光干涉測長誤差引入的不確定度

由于每個基站位置不同，與被測目標點的距離不同，目標點在空間中移動時每個基站對應的測距并不是同時增大或減小，對于測距誤差引入的空間點坐標不確定度無法統(tǒng)一衡量，所以需要通過仿真進行分析。

按照1.2 節(jié)中原理在仿真中建立坐標系，選擇S1、S2、S3作為測量基站，設置基站坐標真值分別為（0，0，0）、（1 965，0，0）、（1 452，4 132，0）、（-897，4 154，460），初始點P0（-1 300，1 000，3 000），設定測量區(qū)域x∈[-1 500，500]，y∈[0，4 000]，z∈[3 000，8 000]，單位為mm，在該區(qū)域布置三個方向上的若干散點，如圖3 所示。

圖3 仿真點分布

將每個基站與每個目標點間的距離lni、基站距離初始點的長度ln0作為理論真值的代入量。

基于激光跟蹤干涉儀的多邊法，依靠長度變化量解算坐標，初始點固定，長度變化量Δl的誤差與目標點到測量網(wǎng)的距離有關，且隨著距離增加，激光干涉測距帶來的誤差也在增大，其單站的測距不確定度U=0.2 μm+0.3 μm/m。

為了分析多站激光跟蹤干涉測長誤差對空間內(nèi)不同方向上分布的點坐標測量不確定度的影響，將圖3 中x、y、z方向上均勻分布的所有三維點作為被測點，對基站與各點之間的距離真值加入[-U,U]之內(nèi)的隨機噪聲模擬測量值，進行10 000 次仿真，測量求解所有空間點三維坐標，并對三個方向的每個點進行坐標分量的不確定度計算。被測點在z方向上分布時，即被測點在垂直于測量網(wǎng)的方向上移動，點坐標分量不確定度如圖4 所示。隨著空間點z值增加，點坐標分量z的不確定度增大趨勢較為明顯；z值變化對點坐標分量y的不確定度幾乎沒有影響，對點坐標分量x影響較小，在測量空間內(nèi)其不確定度不超過0.2 μm。

圖4 z 方向上不確定度變化規(guī)律

被測點在y方向上分布時，即被測點相較于測量網(wǎng)橫向移動，點坐標分量不確定度如圖5 所示。

圖5 y 方向上不確定度變化規(guī)律

由圖5 可知：空間點坐標分量x的不確定度變化較為穩(wěn)定，約為0.85 μm；分量y不確定度在被測點處于中間位置（y=2 m）時最小，對坐標標準不確定度的影響可以忽略不計，向兩段移動時逐漸增大。

被測點在x方向上分布時，即被測點相較于測量網(wǎng)縱向移動，點坐標分量不確定度如圖6 所示。在測量空間內(nèi)被測點的高度越接近坐標原點S1，其坐標分量x的不確定度越小，坐標分量z與之相反，坐標分量y的不確定度幾乎不受被測點的縱向移動影響，較為穩(wěn)定。

圖6 x 方向上不確定度變化規(guī)律

經(jīng)分析，測距誤差對空間點坐標分量不確定度的影響在x、y、z方向上分別呈現(xiàn)不同的規(guī)律，點坐標分量y的不確定度只有在點坐標y值變化時有明顯改變，當被測點為點P8（x=-1 300 mm,y=3 000 mm,z=4 000 mm）時，其坐標分量x、y、z的不確定度為0.85 μm、0.29 μm、0.68 μm，則實際的激光干涉測長誤差導致的三維空間點坐標的標準不確定度為：

2.2 系統(tǒng)參數(shù)標定誤差引入的不確定度

測量目標點坐標之前需先對系統(tǒng)參數(shù)進行標定，再對目標進行跟蹤測量。系統(tǒng)參數(shù)標定是誤差的主要來源，根據(jù)測量原理式（2）可知，系統(tǒng)參數(shù)誤差會直接引起目標點的坐標測量誤差，導致解算結果出現(xiàn)誤差，從而影響目標點測量不確定度。引入標定誤差后基站坐標變 為(xe,ye,ze) =[xn+ Δx,yn+ Δy,zn+ Δz]，由 基 站 坐 標偏差引起的測距誤差Δd為：

被測點以P8為例，標定的系統(tǒng)參數(shù)誤差為30 μm時，代入式（14）計算得到基站與空間點間距離的最大誤差為23.7 μm，通過仿真判斷，參數(shù)標定結果的分布服從正態(tài)分布，k=3，則以最小測量單元測量時，參數(shù)標定引入的三維空間點坐標標準不確定度為：

2.3 多光路交會誤差引入的不確定度

理想情況下，激光跟蹤干涉儀在跟蹤靶球時射入光線從靶球反射鏡光學中心返回，多路光交于一點；而實際測量中靶球發(fā)生轉動，激光跟蹤干涉儀的激光隨靶球而動并不斷調(diào)整光路以跟蹤靶球球心，因此存在實際測量球心位置誤差，進而造成光路光程差[17]，示意圖如圖7所示，其中虛線光路為理論光路，實線光路為實際光路。

圖7 光程差示意圖

理論上認為多光路跟蹤靶球時對準靶球中心一極小區(qū)域內(nèi)，使得三路光交會于光學中心P，但由于光程差的存在，多路光各自對準靶鏡上不同的位置，導致解算的實際交會點P′位于灰色誤差區(qū)域，如圖8 所示。

圖8 多光路交會誤差

多光路實際交會中心與理論光學中心存在誤差，靶球光學中心測量誤差[18]約為±3 μm，截面圓度誤差[19]為±0.2 μm，按照靶球區(qū)域內(nèi)均勻分布考慮，則多光路交會中心引入的三維空間點坐標的標準不確定度為：

2.4 轉臺端面跳動誤差引入的不確定度

轉臺轉動過程中會發(fā)生端面跳動，轉臺自身轉動軌跡并非是平滑的，實際測量軌跡點受到端跳影響，擬合圓心位置也隨著軌跡點的變動而發(fā)生偏移，需要通過擬合計算對軌跡進行一定的修正，對轉臺存在端跳誤差的軌跡進行擬合，分析端跳誤差對軌跡圓心的影響。

仿真設定測量空間內(nèi)生成一段完整的參考圓軌跡，對所有軌跡點加入0～1 μm 的端跳噪聲，截取0°～ 90°的弧段，對比不同端跳噪聲在擬合后對擬合結果的影響，其中擬合圓半徑不確定度在10-9量級，可忽略不計，擬合圓心的坐標不確定度如圖9 所示，轉臺端跳噪聲引入的三維空間點坐標的不確定度u4均在10-4μm 級。

圖9 端跳誤差引入的不確定度

2.5 空間點測量合成不確定度

由前文分析可知，轉臺端跳噪聲對測量結果的干擾較小，另外3 個主要的系統(tǒng)誤差對空間點坐標不確定度影響較為明顯，空間點坐標的合成不確定度由3 個主要系統(tǒng)誤差引入的不確定度進行合成，因?qū)嶋H測量位置位于圖3 中點P8（x=-1 300 mm,y=3 000 mm,z=4 000 mm）附近，故以該點坐標為例，該方法測量的空間點坐標合成不確定度為：

3 雙軸轉臺動態(tài)測量實驗

為進一步驗證測量方法的可行性，設計激光跟蹤干涉儀測量軸相交度實驗，激光跟蹤干涉儀布局如圖10所示。

圖10 激光跟蹤干涉儀布局

3.1 標定結果及干涉測距誤差驗證實驗

測量前按照1.1 節(jié)中的方法對測量系統(tǒng)進行參數(shù)標定，參考距離d為1 158.514 0 mm，參數(shù)標定結果依次為S2（1 964.787 4,0,0）、S3（1 452.330 2,4 132.171 9, 0）、S4（-896.358 9,4 503.933 4, 487.189 5），d=1 158.515 0 mm，參考距離d的標定誤差為1 μm。

采用長導軌與一臺激光干涉儀對測量系統(tǒng)進行精度驗證，長導軌與測量網(wǎng)的徑向距離約為6 800 mm，測量裝置如圖11 所示。

圖11 標準距離測量裝置

將靶球安裝于導軌移動平臺的靶座上并使三路激光跟蹤干涉儀跟蹤靶球，控制導軌使移動平臺移動多段標準距離，記錄起點和終點時的激光干涉儀示值與三路激光跟蹤干涉儀的示值，根據(jù)式（2）原理測量每段位移起點和終點的空間坐標，以干涉儀的測量示值作為真值進行對比，比較不同距離下激光跟蹤干涉儀的測量誤差，3 次實驗的測量結果如表1 所示。

表1 標準距離測量誤差

在距離測量網(wǎng)徑向距離為6 800 mm 時，三路激光跟蹤干涉儀測量橫向分布的標準距離最大誤差為14.1 μm。常規(guī)采用的激光跟蹤儀因引入了角度誤差，其點位測量不確定度為15 μm+6 μm/m，在此徑向距離下跟蹤儀的測量誤差約為56 μm，本文方法的測量誤差顯然低于激光跟蹤儀測量誤差，可滿足測量需求。

3.2 雙軸轉臺軸線相交度測量

雙軸轉臺由立式轉臺（豎直軸）、臥式轉臺（水平軸）組成，如圖12 所示。

圖12 雙軸轉臺

靶球安裝于豎直軸負載平面時，轉臺轉動導致靶球?qū)嶋H接收光范圍小于120°，使靶球邊緣盡可能與負載平臺呈大約40°，能夠保證不斷光情況下增大靶球接收光范圍，測量步驟如下：

1） 將已接光的靶球放置在初始點固定靶座上，采集3 臺激光跟蹤干涉儀的初始信息ln0；然后保持光路無阻斷情況下，將靶球轉移至豎直軸負載平臺的固定靶座上。

2） 3 臺激光跟蹤干涉儀通過同步觸發(fā)開始測量，水平軸處于鎖緊狀態(tài)，豎直軸從0°起逆時針轉動80°，采集靶球軌跡對應的激光跟蹤干涉儀長度信息。

3） 豎直軸回到零位，重復測量3 次，完成后保持靶球不斷光將其放置于水平軸所在平面。

4） 將轉臺水平軸所在平面面向基站一側，豎直軸鎖緊，水平軸從0°起轉動360°，轉速相同，獲取靶球軌跡對應的激光跟蹤干涉儀長度信息。

5） 將采集的測長信息通過1.2 節(jié)中算法進行轉動軌跡散點坐標解算，采用前述擬合方法對圓軌跡進行擬合，豎直軸測量結果如表2 所示，水平軸測量結果如表3 所示。

表2 豎直軸轉動軌跡擬合結果

表3 水平軸轉動軌跡擬合結果

豎直軸的3 組軸線方向向量分別為[1.000,0.001 8,-0.004 7]、[1.000, 0.001 9, -0.004 8]、[1.000, 0.001 7,-0.004 7]，取均值得[1.000,0.001 8,-0.004 7]，單位為mm。

水平軸的3 組軸線方向向量均為[0.007 2,0.291 9,0.956 4]，單位為mm。獲得軸線所過圓心與軸線方向向量的均值后，根據(jù)測量原理式（12），可計算本文所采用的方法測量該雙軸轉臺軸相交度為0.904 0 mm。

4 結 語

本文提出一種基于多邊法的多軸轉臺回轉軸線相交度測量方法，重點分析了測量方法的主要誤差源，并對測量不確定度進行評價。采用長導軌結合激光干涉儀形成不同大小的標準距離以驗證該方法的測量精度，并與常規(guī)單站法使用的激光跟蹤儀進行對比，因其僅依靠長度實現(xiàn)目標的坐標測量，避免了角度誤差帶來的影響，所以測點誤差相比單站法的誤差小。該方法比接觸式方法操作容易，能夠?qū)崟r測量并獲得雙軸轉臺的軸線參數(shù)，計算得到雙軸轉臺的軸相交度為0.904 0 mm，減小了傳統(tǒng)方法測量的盲區(qū)且不受軸數(shù)限制，同樣適用于其他回轉軸的測量，能夠達到非接觸、快速、高精度的動態(tài)測量要求。