張艷肖，李守智，張江江，曹小鴿，徐 微

（1.西安交通大學(xué)城市學(xué)院，陜西西安 710018；2.西安理工大學(xué)自動化學(xué)院，陜西西安 710048）

在印刷、化工、建筑等領(lǐng)域，廣泛需要厚度檢測，國內(nèi)外相繼出現(xiàn)多種厚度檢測技術(shù)，常見的有基于各種射線、超聲波、渦流、太赫茲時域光譜等[1-4]。電容傳感器具有價格低、動態(tài)響應(yīng)快、分辨率高等優(yōu)點，將電容式傳感器用于厚度測量，相比于其他方法成本低、功耗小，而且對人體不會造成傷害。電容傳感器因受到邊緣效應(yīng)、寄生電容及操作誤差等因素的影響，存在較大誤差，制約了其測量精度。為了減小誤差，需要對傳感器輸出特性進行補償，常用的方法有最小二乘法[5-6]，支持向量回歸算法[5-6]及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-10]算法，最小二乘法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是基于誤差平方和下降的計算來求最優(yōu)解，對擬合數(shù)據(jù)準確性要求較高，不具備抗擊壞數(shù)據(jù)的能力。然而擬合數(shù)據(jù)來源于現(xiàn)場測試，隨機誤差和過失誤差可能同時存在，將導(dǎo)致補償效果變差。針對以上問題，該文引入抗差理論中的Fair 函數(shù)，提出一種基于Fair 估計函數(shù)BP 神經(jīng)算法，使得電容式測厚傳感器測量精度得到有效提高。

1 電容傳感器測量原理

電容傳感器原理如圖1 所示，電容傳感器的初始電容值表達式如式（1）所示：

圖1 電容傳感器結(jié)構(gòu)

式中，ε0為真空的介電常數(shù)，ε1為待測介質(zhì)的介電常數(shù)，A為電容傳感器極板的有效面積，d0兩極板之間的距離，可知電容傳感器的電容值變化由以上幾個參數(shù)共同決定[11-13]。將平行極板固定在待測材料兩端，被測材料厚度變化時引起傳感器電容的變化。根據(jù)高斯定理，傳感器電容Cx與材料厚度θ之間的關(guān)系如式（2）所示：

在實際工程應(yīng)用中，傳感器受周圍環(huán)境、目標個體差異和邊緣效應(yīng)等多方面影響，不可避免的存在測量誤差，其輸出電容與材料厚度之間難以滿足上述函數(shù)關(guān)系，為了提高測試精度，系統(tǒng)需要對測量數(shù)據(jù)進行回歸分析，得到材料厚度與傳感器電容之間的關(guān)系，并對未知目標進行估算。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析

2.1 基于最小二乘法BP算法的不足

BP 算法是按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是目前應(yīng)用最為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為輸入層、隱含層和輸出層，如圖2 所示。從輸入層接收外界數(shù)據(jù)開始，將數(shù)據(jù)信息正向傳播給隱含層，經(jīng)過處理后在輸出層輸出結(jié)果。網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的實質(zhì)是誤差e再向后傳遞的同時調(diào)整權(quán)值，以使實際輸出接近預(yù)期輸出值，傳統(tǒng)的權(quán)值由最小二乘法求得，取誤差函數(shù)為：

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

誤差函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，最小二乘法適用于測試數(shù)據(jù)僅有隨機誤差，且誤差服從正態(tài)分布[14]的情況，而在實際工業(yè)操作過程中測量誤差中還可能存在過失誤差，過失誤差往往沒有規(guī)律可循，這將導(dǎo)致神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測不準確。

2.2 基于Fair估計函數(shù)

為了減小測量誤差對測厚電容傳感器測量結(jié)果的影響，將魯棒的估計理論應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。魯棒的估計方法通過構(gòu)成一種無偏學(xué)習(xí)函數(shù)，在一定偏離理想條件下對這種過偏不敏感或者呈現(xiàn)比較低的敏感度[15-16]。根據(jù)魯棒估計理論影響函數(shù)的定義，影響函數(shù)I(ζ) 正比于數(shù)據(jù)校正中誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，魯棒估計的影響函數(shù)必須有界。當(dāng)ρ(e)為魯棒的誤差函數(shù)時，需要滿足：

Fair 估計的影響函數(shù)可表示為：

其中，cF是一個調(diào)節(jié)常數(shù)，在標準高斯分布下，取1.399 8[17]。圖3 為誤差與影響函數(shù)之間的關(guān)系，可知隨著e增大，最小二乘法(LS)函數(shù)無界，不具備魯棒性。而Fair 估計的影響函數(shù)隨著誤差的增大逼近某一常數(shù)，滿足魯棒估計理論的條件。并且Fair 估計函數(shù)是凸函數(shù)，有利于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化計算，過失誤差判別能力較強，可以利用它求得最優(yōu)解，提高傳感器的測量精度。

圖3 不同的影響函數(shù)與誤差的關(guān)系

3 基于Fair估計函數(shù)的BP學(xué)習(xí)算法

基于Fair 估計函數(shù)是魯棒的學(xué)習(xí)算法，該文采用該算法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行訓(xùn)練。假設(shè)輸入層訓(xùn)練樣本X=[x1,x2,…,xn]，隱含層輸出H=[h1,h2,…,hm]，實際輸出O=[o1,o2,…,ol]，期望輸出Y=[y1,y2,…,yl]。輸入層到隱含層的權(quán)重3wij，隱含層到輸出層的權(quán)重為aj，隱含層到輸出層的偏置為bk，學(xué)習(xí)率為η，激勵函數(shù)選擇sigmoid 函數(shù)：

隱含層的輸出為：

輸出層的輸出為：

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出不等時，存在誤差：

由前文分析可知，基于Fair 估計函數(shù)可以減小測量誤差對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出的影響，基于Fair 估計誤差函數(shù)為：

采用梯度下降法對隱含輸入層到輸入隱含層權(quán)值進行更新：

隱含層到輸出層權(quán)值更新為：

偏置更新為：

4 結(jié)果對比分析

該文采用FDC2214 電容式傳感器，測量單張及多張重疊的標準雙銅紙張的厚度進行實驗驗證。測量前對紙張進行干燥，減小紙張中水分對測量精度的影響。表1 給出了兩組傳感器響應(yīng)的特征值，其中，第2 組數(shù)據(jù)中含有10%的過失誤差。

表1 FDC2214傳感器在不同厚度紙張下的特征值

將傳感器的輸入厚度作為網(wǎng)絡(luò)的輸入，厚度經(jīng)傳感器后的對應(yīng)輸出電容值作為網(wǎng)絡(luò)期望輸出。利用Matlab 建立BP 網(wǎng)絡(luò)的模型及參數(shù)設(shè)置，輸入訓(xùn)練樣本，學(xué)習(xí)誤差函數(shù)分別為基于最小二乘法(LS)和Fair 估計函數(shù)，將參數(shù)設(shè)置為一樣η=0.3，對網(wǎng)絡(luò)進行若干次學(xué)習(xí)訓(xùn)練，連續(xù)調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值。測量數(shù)據(jù)中，不含過失誤差擬合結(jié)果如圖4 所示，擬合誤差如圖5 所示，當(dāng)正常測量不含過失誤差時，基于最小二乘法(LS)和Fair 估計函數(shù)的BP 學(xué)習(xí)算法擬合結(jié)果基本接近。圖6 為擬合數(shù)據(jù)中含有過失誤差擬合結(jié)果，利用最小二乘法(LS) BP 學(xué)習(xí)算法造成過失誤差誤判，基于Fair 估計函數(shù)BP 學(xué)習(xí)算法擬合結(jié)果更接近于真實值，擬合誤差如圖7 所示。采用均方根誤差（MSE）評價擬合效果，表2 給出擬合后均方根誤差比較結(jié)果，當(dāng)擬合數(shù)據(jù)中含有過失誤差時，基于Fair 估計函數(shù)BP 學(xué)習(xí)算法擬合效果更優(yōu)，具有較強的魯棒性。

表2 均方根誤差比較結(jié)果

圖4 不含過失誤差擬合結(jié)果

圖5 擬合誤差

圖6 含過失誤差擬合結(jié)果

圖7 擬合誤差

5 實驗驗證

將上文分析得到的基于Fair 估計函數(shù)BP 學(xué)習(xí)算法寫入STM32 單片機程序中，測量雙膠紙紙張厚度，測試結(jié)果如表3 所示。結(jié)果表明，厚度傳感器能準確測量紙張厚度，測量相對誤差小于1.5%。

表3 實測結(jié)果

6 結(jié)論

該文提出基于Fair 估計函數(shù)的BP 學(xué)習(xí)算法并應(yīng)用于電容傳感器厚度測量，當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有過失誤差和隨機誤差時，擬合精度明顯高于傳統(tǒng)基于最小二乘法BP 學(xué)習(xí)算法。實驗結(jié)果表明，該算法應(yīng)用于厚度傳感器能準確測量紙張厚度，測量相對誤差小于1.5%。