王雪穎，馬博琴

（1 中國傳媒大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京 100024）

（2 中國傳媒大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與智能媒體學(xué)院，北京 100024）

0 引言

激光器產(chǎn)生的波長受到增益介質(zhì)中原子、分子或者離子的能級結(jié)構(gòu)限制，很多波長不能直接產(chǎn)生，因此非線性頻率轉(zhuǎn)換有著十分重要的使用價值。要實現(xiàn)高效率的非線性頻率轉(zhuǎn)換，需要解決光波在介質(zhì)傳播中的相位失配問題。解決相位失配問題主要有兩種技術(shù)：雙折射相位匹配技術(shù)和準(zhǔn)相位匹配技術(shù)。傳統(tǒng)的雙折射相位匹配技術(shù)［1］在實現(xiàn)相位匹配的過程中，對溫度和角度有著嚴(yán)格的要求，因此在非線性光子晶體的應(yīng)用上存在局限。準(zhǔn)相位匹配技術(shù)［2］可通過在介質(zhì)區(qū)域內(nèi)進(jìn)行疇反轉(zhuǎn)，借助其倒空間中的倒易矢量來彌補(bǔ)相位失配，進(jìn)而來提高頻率轉(zhuǎn)換效率、拓展激光波長范圍。在準(zhǔn)相位匹配技術(shù)產(chǎn)生諧頻的過程中，若基頻波矢與倒易矢量共線，則該過程稱為共線準(zhǔn)相位匹配，否則，稱之為非共線準(zhǔn)相位匹配。光學(xué)超晶格［3-4］作為二階非線性光學(xué)效應(yīng)的載體，是非線性光學(xué)領(lǐng)域的重要研究領(lǐng)域之一。YAMADA M 等［5］在室溫的條件下通過外加電場極化技術(shù)制備了厚度為0.2 mm、周期為2.8 μm 的超晶格鈮酸鋰晶體，實現(xiàn)了功率為20.7 mW 的藍(lán)色光束，其轉(zhuǎn)換效率高達(dá)600%/W·cm2，因此準(zhǔn)相位匹配技術(shù)迎來了真正意義上的發(fā)展和應(yīng)用。隨著對準(zhǔn)相位匹配技術(shù)和光學(xué)超晶格結(jié)構(gòu)的深入研究，在一個超晶格器件中實現(xiàn)單一波長的準(zhǔn)相位匹配過程已經(jīng)無法滿足人們的需求。CHOU M H 等［6］突破了周期光學(xué)超晶格結(jié)構(gòu)，提出了一種雙周期相位反轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了雙通道、三通道、四通道的二次諧波輸出。隨著研究的拓展，準(zhǔn)周期結(jié)構(gòu)得到了廣泛的關(guān)注。南京大學(xué)團(tuán)隊［7］提出了一種基于斐波那契數(shù)列的準(zhǔn)周期光學(xué)超晶格結(jié)構(gòu)，能夠同時實現(xiàn)了多波長的二次諧波。我們研究小組已對H 型分形、謝爾賓斯基分形等超晶格結(jié)構(gòu)［8］進(jìn)行了研究，并制備了相應(yīng)的非線性光子晶體，不同的超晶格結(jié)構(gòu)晶體在非線性光學(xué)效應(yīng)中有著各自的現(xiàn)象。

為了探究不同的超晶格結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢，越來越多的超晶格結(jié)構(gòu)應(yīng)用到光學(xué)材料中，以產(chǎn)生不同波長的諧波［9-11］。光學(xué)超晶格結(jié)構(gòu)的設(shè)計也從最初的周期結(jié)構(gòu)發(fā)展到準(zhǔn)周期、啁啾、分形等多種結(jié)構(gòu)，例如同心環(huán)形超晶格［12］、橢圓超晶格［13］、向日葵螺旋超晶格［14］、徑向超晶格［15］等結(jié)構(gòu)。超晶格結(jié)構(gòu)的設(shè)計對于激光的發(fā)展具有重要的意義，能夠補(bǔ)充激光器輸出頻譜的空窗波段，滿足實際應(yīng)用中的需要。Gosper 分形和Z 分形都是由一條線構(gòu)成的二維平面圖，在空間索引［16］、數(shù)學(xué)規(guī)劃［17］、新型天線結(jié)構(gòu)設(shè)計［18-19］等方面具有較高的研究價值?；谝陨涎芯?，本文提出了將Gosper 分形與Z 分形結(jié)構(gòu)分別引用到非線性光學(xué)超晶格的構(gòu)想，分析了兩種分形超晶格結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)的諧波波長及其特性。

1 二維分形超晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計

Gosper 分形與Z 分形結(jié)構(gòu)具有自相似的特性，都是由一條連續(xù)不間斷的空間填充曲線構(gòu)成。在分形結(jié)構(gòu)中，分形維度是描述該分形結(jié)構(gòu)不規(guī)則的量度，通常用豪斯多夫維數(shù)D=lnN/ln(1/r)計算，其中N表示每迭代一次自相似圖形復(fù)制的個數(shù)，1/r表示曲線長度縮放的比例。在區(qū)域一定的情況下，分形迭代次數(shù)越高，占空比就越高，超晶格結(jié)構(gòu)就會越緊密，其倒空間中的倒格矢就會越豐富，因此分形維度、占空比兩個參數(shù)對分形超晶格結(jié)構(gòu)的選擇具有正向引導(dǎo)的作用。

1.1 Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計

Gosper 分形曲線可由L-系統(tǒng)［20］表示，L-系統(tǒng)的規(guī)則是對n階分形編碼進(jìn)行替換，產(chǎn)生n+1 階的分形編碼。假設(shè)Gosper 分形曲線的初始編碼“A”為一條任意位置和方向的線段，其決定了Gosper 分形曲線的初始位置和初始角度，編碼的替換規(guī)則［21］為：“A”替換為“A-B--B+A++AA+B-”，“B”替換為“+A-BB--BA++A+B”。其中“A”和“B”表示向前移動相同的距離，“+”代表順時針旋轉(zhuǎn)60°，“-”代表逆時針旋轉(zhuǎn)60°。圖1（a）為二階Gosper 分形曲線，是由7 個一階Gosper 分形曲線組成的。分形每迭代一次，其迭代后的面積是迭代前的7 倍。在迭代過程中，n階Gosper 分形曲線各個方向的維度是n-1 階的倍，例如：二階曲線的首尾線段長度是一階曲線的倍，因此Gosper 分形的豪斯多夫維數(shù)為。

圖1 Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig.1 Structure design of Gosper fractal superlattice

與其他分形不同的是，Gosper 曲線還具有邊界分形的特性，這也意味著Gosper 分形曲線比其他分形曲線更具有復(fù)雜度。為了更好描述Gosper 曲線的邊界分形，將其引入到正六邊形中進(jìn)行描述，形成規(guī)則為：將邊長為x的正六邊形每條邊都用3 條起伏的折線來代替，可得到18 條長度為的線段；將此時的18 條線段再次用長度為x/7 的3 條折線代替，依此類推，重復(fù)迭代的次數(shù)越多，形成的Gosper 分形的邊界就越精細(xì)。如圖1（a）中的右下角所示，一條藍(lán)色直線是由三條紅色折線組成，且藍(lán)色直線長度是紅色直線的倍。因此，其邊界分形的豪斯多夫維數(shù)為。Gosper 分形曲線的兩種分形維度（整體分形維度、邊界分形維度）體現(xiàn)了其具有復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)。

為了對Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)有更好的研究，另外設(shè)計了六角點(diǎn)陣、六邊形兩種周期結(jié)構(gòu)，這兩種周期結(jié)構(gòu)和Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)三者的正空間結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1（a）所示，其中，六邊形周期結(jié)構(gòu)為底，六角點(diǎn)陣位于六邊形周期結(jié)構(gòu)的中心部分，Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)則是把六角點(diǎn)陣按照L-系統(tǒng)規(guī)則進(jìn)行連線。在設(shè)計超晶格結(jié)構(gòu)掩模版時，為了保證波長的轉(zhuǎn)換效率以及避免極化過程中的疇擴(kuò)展產(chǎn)生的影響，將Gosper 超晶格結(jié)構(gòu)的空間間距p設(shè)置為13.64 μm，線寬設(shè)置為3 μm；六角點(diǎn)陣的周期q設(shè)置為15.75 μm，直徑設(shè)置為3 μm；六邊形的邊長d設(shè)置為9.094 μm，線寬設(shè)置為3 μm。在掩模版制作完成之后，為了確定超晶格結(jié)構(gòu)的完整性和正確性，在光學(xué)顯微鏡下對掩模版超晶格結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測，如圖1（b）所示，左上方為7 個不同顏色的二階分形構(gòu)成的三階Gosper 分形。

1.2 Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計

Z 分形曲線也稱Lebesgue 曲線，是一條連續(xù)、自身沒有交叉的空間連續(xù)曲線。圖2（a）為Z 分形曲線的結(jié)構(gòu)示意圖，假設(shè)二維空間的長度為L，寬度為W，把空間劃分為23×23個長方形，3 階Z 分形曲線可以穿過大小相等、互不重疊的64 個網(wǎng)格，在空間區(qū)域一定的情況下，曲線的階數(shù)越高，空間網(wǎng)格分割的越細(xì)。圖中紅色框內(nèi)為一階Z 分形曲線，是由編碼0～3 順序連線構(gòu)成，曲線的拐點(diǎn)為長方形的中心。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代一次，面積復(fù)制為原來四倍，四部分進(jìn)行首尾相接，得到藍(lán)色虛線框內(nèi)編碼為0～15 的二階Z 分形曲線，按照這樣的方法循環(huán)下去，就可以得到n階Z 分形曲線。綜上，Z 分形曲線的豪斯多夫維數(shù)D=ln 4/ln 3=1.262。

圖2 Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)設(shè)計Fig.2 Structure design of Z fractal superlattice

在光學(xué)顯微鏡下的掩模版超晶格結(jié)構(gòu)如圖2（b）所示，在Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)掩模版的設(shè)計中，將其空間間距設(shè)置為13.64 μm、27.28 μm，為了防止在極化過程中疇反轉(zhuǎn)面積擴(kuò)延，失去超晶格結(jié)構(gòu)原本的規(guī)則形態(tài)，線寬設(shè)置為3 μm。

2 實驗結(jié)果分析

2.1 Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)

光的衍射在數(shù)學(xué)上是二維傅里葉變換的一種直接體現(xiàn)。本文用Matlab 設(shè)計了一個模擬超晶格衍射圖的仿真程序，在制作掩模版并進(jìn)行衍射實驗之前，對其倒空間分布情況進(jìn)行分析。圖3（a）左部分為Gosper分形超晶格結(jié)構(gòu)的模擬衍射圖，右部分是波長為532 nm 的半導(dǎo)體激光束垂直入射至超晶格結(jié)構(gòu)掩模版所獲得的實驗衍射圖，兩者完全吻合。圖3（b）為六角點(diǎn)陣（左）、六邊形（右）周期結(jié)構(gòu)的衍射圖，右上方插圖為掩模版部分結(jié)構(gòu)圖，其中黑色區(qū)域為透光部分。

圖3 Gosper 分形與周期結(jié)構(gòu)超晶格衍射圖Fig.3 Diffraction patterns of Gosper fractal and periodic structures

為了更好觀察六角點(diǎn)陣周期結(jié)構(gòu)、六邊形周期結(jié)構(gòu)和Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)三者在倒空間中的關(guān)系，在衍射實驗中，掩模版到衍射屏的距離均為25 cm。從三者的衍射圖中可以看出，六邊形的衍射圖案比六角點(diǎn)陣更亮，這主要是因為六邊形光柵占空比更大。由于兩種周期結(jié)構(gòu)衍射圖的中心部分相同，衍射亮斑整體都是呈六邊形結(jié)構(gòu)，且相鄰衍射亮斑之間的距離均為1.00 cm，這意味六邊形周期結(jié)構(gòu)能夠提供與六角點(diǎn)陣相同的倒格矢大小，實現(xiàn)相同基波波長的倍頻輸出。不同的是，在六邊形周期結(jié)構(gòu)的衍射圖中，存在六個相同的錐形結(jié)構(gòu)延伸部分，兩個相鄰錐形結(jié)構(gòu)之間的角度為60°，體現(xiàn)了六邊形周期結(jié)構(gòu)在高階準(zhǔn)相位匹配時比六角點(diǎn)陣具有一定的優(yōu)勢。Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)的衍射圖不再像六角點(diǎn)陣與六邊形結(jié)構(gòu)存在有序周期分布，其結(jié)合了六邊形、六角點(diǎn)陣兩個周期結(jié)構(gòu)衍射圖的相同之處，即中心部分是包絡(luò)結(jié)構(gòu)，且同階級衍射點(diǎn)可以構(gòu)成一個等邊六邊形，同時也將兩個周期結(jié)構(gòu)的不同之處體現(xiàn)了出來，即整體分布著六條衍射亮線，相鄰兩條衍射亮線之間的角度為60°，這意味著能夠在六個不同方向同時實現(xiàn)同一波長的諧波轉(zhuǎn)換。此外，衍射亮線上的相鄰衍射亮斑之間的距離幾乎是一致的，每一個衍射亮斑周圍都圍著相對應(yīng)的六個次亮斑，體現(xiàn)了分形的局部與整體的相似性。值得注意的是，遠(yuǎn)離中心的衍射斑點(diǎn)依然很亮，說明Gosper 超晶格結(jié)構(gòu)在實現(xiàn)高階衍射時具有很大的優(yōu)勢。Gosper 分形衍射圖順時針旋轉(zhuǎn)90°的中心部分與南安普頓大學(xué)研究的高階Gosper 分形結(jié)構(gòu)的電子衍射圖［22］完全吻合。

為了更好的計算Gosper 分形中的倒空間分布，將其中心部分的衍射強(qiáng)點(diǎn)劃分為六個六邊形結(jié)構(gòu)，為使倒空間結(jié)構(gòu)更加清晰，圖3（c）中僅展示了三個，如圖所示，定義了a、c兩種大小的倒易基矢，b可以由a和c進(jìn)行線性組合得到，這三個矢量可以表示Gosper 分形倒空間中的大部分的衍射亮斑。在掩模版到衍射屏的距離為25 cm 的情況下，|a|、|b|、|c|的大小分別為0.64 cm、1.05 cm、0.41 cm，誤差在5%以內(nèi)。Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)的倒空間存在著多個不同大小的空間距離，每個空間距離都有與之相等、六個不同方向的衍射強(qiáng)點(diǎn)相對應(yīng)，考慮到鈮酸鋰晶體的通光范圍以及轉(zhuǎn)換效率，選取的衍射斑點(diǎn)與中心點(diǎn)的距離分別為|a|、|2a|、|b|、|2b|、|3b|、|2c|、|3c|。

本文以鈮酸鋰非線性光子晶體為例進(jìn)行理論計算，其通光范圍在0.4～4.5 μm 之間，覆蓋了近中紅外區(qū)域。六角點(diǎn)陣超晶格結(jié)構(gòu)的倒格矢大小可表示為，C0是六角點(diǎn)陣正空間周期，大小為15.75 μm，m、n分別為倒易矢量在水平、豎直方向的階數(shù)。當(dāng)（m，n）為（1，0）時，|G1，0|為0.399 μm-1，將倒格矢大小|G1，0|代入鈮酸鋰晶體的Sellmeier 公式，在共線的條件下可實現(xiàn)波長為1.430 μm的倍頻輸出。

已知六角點(diǎn)陣超晶格結(jié)構(gòu)的倒易矢量分布，分形超晶格結(jié)構(gòu)的倒易矢量分布可基于超晶格結(jié)構(gòu)衍射圖計算法［8］得出。根據(jù)六角點(diǎn)陣的周期為15.75 μm，倒易矢量為0.399 μm-1，可得到Gosper 超晶格中衍射亮斑對應(yīng)的倒格矢大小。如圖3（c）所示，衍射亮斑到中心點(diǎn)的距離為|a|=0.64 cm，倒格矢大小為|Ga，1|=0.255 μm-1，其表示為a方向上一階倒格矢的大小；衍射亮斑到中心點(diǎn)的距離為|2a|=1.28 cm，其倒格矢大小為|Ga，2|=0.511 μm-1。將得到的倒格矢理論值代入動量守恒公式，可理論計算出入射基波波長。在共線準(zhǔn)相位匹配的條件下，基頻光沿a的方向入射能夠通過倒格矢|Ga，1|=0.255 μm-1、|Ga，2|=0.511 μm-1的相位補(bǔ)償，產(chǎn)生882.5 nm、650.5 nm 的二次諧波；沿b的方向入射能夠通過倒格矢|Gb，1|=0.419 μm-1、|Gb，2|=0.838 μm-1、|Gb，3|=1.257 μm-1的相位補(bǔ)償，產(chǎn)生701.5 nm、549 nm、483.5 nm 的二次諧波；沿c的方向入射能夠通過倒格矢|Gc，2|=0.327 μm-1、|Gc，3|=0.491 μm-1的相位補(bǔ)償，產(chǎn)生778.5 nm、660 nm 的二次諧波。綜上可知，Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)中有更多更靈活的倒格矢，可以實現(xiàn)多個范圍內(nèi)的頻率轉(zhuǎn)換。

圖4 為Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)的非共線準(zhǔn)相位匹配過程。共線準(zhǔn)相位匹配通過不同的倒格矢僅能夠?qū)崿F(xiàn)離散波長的倍頻，不能展現(xiàn)出二維非線性光子晶體中全部可實現(xiàn)的波長轉(zhuǎn)換。例如，在共線準(zhǔn)相位匹配中，倒格矢Gb，1、Gb，2、Gb，3可實現(xiàn)離散基波波長1.403 μm、1.098 μm、0.967 μm 的倍頻，由表1 可知，非共線準(zhǔn)相位匹配可通過倒格矢0.838 μm-1、1.257 μm-1實現(xiàn)基波波長為1.143 μm、1.011 μm 的倍頻，該過程能夠補(bǔ)充共線過程中1.403 μm～1.098 μm、1.098 μm～0.967 μm 波段的空缺，增強(qiáng)波長的可協(xié)調(diào)性。此外，在非共線準(zhǔn)相位匹配中，可以充分利用入射基頻光方向與倒格矢方向之間不平行的特點(diǎn)，使產(chǎn)生的倍頻光避開基頻光的干擾，得到純正的倍頻光。

表1 Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)晶體中的非共線準(zhǔn)相位匹配倍頻Table 1 Noncollinear quasi-phase matched frequency doubling in Gosper fractal superlattice crystal

圖4 Gosper 分形結(jié)構(gòu)的非共線準(zhǔn)相位匹配示意圖Fig.4 Schematic diagram of noncollinear quasi-phase matched processes in the reciprocal space of Gosper fractal structure

三次諧波的轉(zhuǎn)換效率和二次諧波的強(qiáng)度有關(guān)，根據(jù)準(zhǔn)相位匹配諧頻過程中能量守恒和動量守恒，在非共線準(zhǔn)相位匹配過程中，可得

式中，λ為入射基波波長，|Gm，n|為倒格矢的大小，θ為入射波矢與倒格矢之間的夾角?；l光的入射方向與非共線準(zhǔn)相位匹配倍頻一致，經(jīng)過0.419 μm-1、0.838 μm-1、1.257 μm-1倒格矢相位補(bǔ)償，可得到基頻波波長為2.134 μm、1.664 μm、1.473 μm 的三次諧波輸出，三次諧波的波長分別為711.3 nm、554.7 nm、491 nm，其偏離角（三次諧波與基頻波之間的夾角）分別為0.53o、0.91o、1.28o。

2.2 Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)

圖5（a）為Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的模擬衍射圖，從圖中可以看出，衍射點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，分布在XOY平面的二、四象限。這主要是因為分形經(jīng)過二維傅里葉變換之后，倒空間的點(diǎn)陣分布與正空間的結(jié)構(gòu)是垂直關(guān)系。在Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的正空間中，存在很多傾斜角度不唯一的左傾斜線段（“/”）空間結(jié)構(gòu)，經(jīng)過傅里葉變換后，在倒空間中形成了與之垂直的衍射斑點(diǎn)。圖5（b）為倒空間中不同波長的準(zhǔn)相位匹配倍頻示意圖，從圖中可以看出，Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的倒格矢分布比較豐富密集，例如：兩個相鄰紅色圓圈內(nèi)的衍射亮點(diǎn)之間分布著二等分點(diǎn)；倒格矢G0，2與G-1，2之間、G-1，2與G-2，2之間存在次亮衍射斑點(diǎn)，這為實現(xiàn)頻率連續(xù)轉(zhuǎn)換提供了前提條件。

圖5 Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)衍射圖Fig.5 Diffraction pattern of Z fractal superlattice structure

如圖5（b）所示，紅色圓圈內(nèi)衍射亮點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離分別為1.11 cm，2.25 cm，3.34 cm，誤差在5%以內(nèi)，計算可得倒格矢的大小分別為0.443 μm-1、0.898 μm-1、1.333 μm-1。在共線準(zhǔn)相位匹配的條件下，可實現(xiàn)基頻波長為1.372 μm、1.074 μm、950.5 nm 的倍頻光輸出。

在Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)中，基頻光沿Y方向入射，在共線準(zhǔn)相位匹配的條件下，通過倒格矢|G0，2|=0.399 μm-1可實現(xiàn)入射波長為1.430 μm 的倍頻輸出，在非共線準(zhǔn)相位匹配的條件下，充分利用了橫向高階倒格矢|G±1，2|=0.438 9 μm-1、|G±2，2|=0.558 6 μm-1、|G±3，2|=0.758 1 μm-1、|G±4，2|=0.978 0 μm-1，實現(xiàn)了入射基波波長分別為1.429 μm、1.425 μm、1.415 μm、1.402 μm 的倍頻輸出。值得注意的是，在倒格矢G0，2和G±1，2的相位補(bǔ)償下，可實現(xiàn)的入射波長相差僅有1nm，對連續(xù)可諧調(diào)波長的頻率轉(zhuǎn)換的發(fā)展具有重要的意義。

本文在二維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，對三維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計。以二階三維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)為例進(jìn)行描述，如圖6（a）所示，其空間結(jié)構(gòu)的尺寸大小與二維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)相同，為了使三維結(jié)構(gòu)在YOZ、XOY平面上投影結(jié)構(gòu)更加清楚，去除了前后“Z”首尾相連的空間結(jié)構(gòu)，如圖6（b）所示，圖中編號與三維相對應(yīng)，需要注意的是，黑色圓圈處的拐角是圖（a）中的虛線圓圈部分投影所形成的。在XOY平面上的投影上還存在著10.32 μm 空間尺寸大小，以及傾斜角度不唯一的右傾斜空間結(jié)構(gòu)（“”），根據(jù)二維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的衍射實驗可知，其經(jīng)過傅里葉變換之后，在倒空間中會形成與之垂直的衍射斑點(diǎn)，該衍射斑點(diǎn)主要存在于一、三象限，這意味著其具有和二維空間相似的倒空間結(jié)構(gòu)。

圖6 三維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)Fig.6 Three-dimensional Z fractal superlattice structure

此外，本文還為制備三維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)晶體提供了數(shù)據(jù)支持。使用飛秒激光直寫技術(shù)在制備三維Z 分形非線性光子晶體的實驗過程中，激光光束經(jīng)過物鏡聚焦后的焦點(diǎn)位置是確定不變的。將樣品放置在三維移動臺上，通過電腦程序設(shè)置移動臺XYZ三軸的移動行程來控制三維移動平臺的運(yùn)動，進(jìn)而實現(xiàn)樣品的三維加工。對于一階三維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)（在圖中編號為0～7）來說，其移動行程初始位置為圖中編號為0 的位置，坐標(biāo)（X，Y，Z）為（0，0，0），以μm 為單位沿Y軸移動至編號1 的位置，坐標(biāo)為（0，15.75，0），在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)根據(jù)圖中的編號進(jìn)行位置移動，坐標(biāo)依次對應(yīng)為（0，0，-27.28）、（0，15.75，-27.28）、（-13.64，0，0）、（-13.64，15.75，0）、（-13.64，0，-27.28）、（-13.64，15.75，-27.28），依此類推，可完成整個三維Z 分形非線性光子晶體的制備。

與單向一維晶體和平面二維晶體相比，三維晶體具備更為豐富的倒格矢，在這些倒格矢的參與下可以預(yù)料到，三維Z 分形光學(xué)超晶格中的非線性光學(xué)現(xiàn)象會更豐富，可以在可見光波段獲得多種顏色倍頻光輸出。此外，南京大學(xué)在三維叉形結(jié)構(gòu)鈮酸鋰非線性光子晶體中實驗證明了，在相同制備方法的情況下，三維二階極化率的調(diào)制可以同時滿足非線性波前整形和準(zhǔn)相位匹配的要求，在數(shù)十微米長的三維非線性光子結(jié)構(gòu)中，其轉(zhuǎn)換效率比二維非線性光子晶體提升了兩個數(shù)量級［23］，因此，在同樣的條件下，與二維Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)相比，三維Z 分形超晶格中的準(zhǔn)相位匹配倍頻轉(zhuǎn)換效率預(yù)計顯著提高。

從理論上來說，超晶格結(jié)構(gòu)越緊密，倒格矢分布就會越豐富，更加有利于準(zhǔn)相位匹配。但是，在晶體極化過程中，由于外加電場極化技術(shù)具有疇壁自發(fā)側(cè)向擴(kuò)展的局限性，使得超晶格結(jié)構(gòu)間距減小，可能會造成反轉(zhuǎn)疇結(jié)構(gòu)連接在一起。分形超晶格結(jié)構(gòu)在正空間上排列相對稀疏，倒空間分布密集，因此，分形超晶格結(jié)構(gòu)可以在外加電場極化技術(shù)中，獲得更高效的非線性效應(yīng)，其優(yōu)勢更多體現(xiàn)在高階的頻率轉(zhuǎn)換上。在探索不同超晶格結(jié)構(gòu)優(yōu)勢的過程中，我們研究小組已成功極化了不同類型的鈮酸鋰非線性光子晶體，例如H 型分形、謝爾賓斯基分形等，因此，極化Gosper 分形與Z 分形的非線性光子晶體具備可行性。

3 結(jié)論

本文設(shè)計了Gosper 分形與Z 分形兩種超晶格結(jié)構(gòu)非線性光子晶體并進(jìn)行了衍射實驗，以鈮酸鋰晶體為例理論計算了兩種分形超晶格結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)的諧波波長。Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)在共線準(zhǔn)相位匹配的條件下，能夠產(chǎn)生多個波段的二次諧波；在級聯(lián)三倍頻的過程中，基頻光沿六個方向中任意一個衍射亮線入射，經(jīng)過0.419 μm-1、0.838 μm-1、1.257 μm-1倒格矢相位補(bǔ)償，能夠得到基頻波波長為2.134 μm、1.664 μm、1.473 μm 的三次諧波輸出；Z 分形超晶格結(jié)構(gòu)的衍射斑點(diǎn)分布集中，倒易矢量分布密集，通過橫向高階倒格矢G0，2G±1，2、G±2，2、G±3，2、G±4，2，可實現(xiàn)入射基波波長為1.430 μm、1.429 μm、1.425 μm、1.415 μm、1.402 μm 的二次諧波轉(zhuǎn)換，最小波長間距為1nm。綜上所述，Gosper 分形超晶格結(jié)構(gòu)晶體的優(yōu)勢在于，能夠在六個不同方向同時實現(xiàn)相同的多個波段的諧波輸出，對多路多向的光集成器件有重要意義；Z 分形光學(xué)超晶格結(jié)構(gòu)晶體通過橫向高階準(zhǔn)相位匹配更有助于實現(xiàn)準(zhǔn)連續(xù)波長的輸出，提高了準(zhǔn)相位匹配的實用性。