王新華

探究二次函數(shù)背景下的特殊四邊形存在性問(wèn)題是中考?jí)狠S題的熱點(diǎn)題型，其常見(jiàn)題型有“三定一動(dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩種類(lèi)型. 下面舉例介紹其解題策略.

例 如圖1，拋物線(xiàn)[y=-12x2+92]交x軸于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與直線(xiàn)[y=x+3]交于點(diǎn)C. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

“三定一動(dòng)”平行四邊形解題策略.

“一畫(huà)”：以三條定線(xiàn)段中的兩條線(xiàn)段作為平行四邊形的鄰邊，分別過(guò)除兩鄰邊的公共點(diǎn)外的兩定點(diǎn)作這兩鄰邊的平行線(xiàn)，交點(diǎn)即為第四個(gè)頂點(diǎn).

“二算”：分別求出拋物線(xiàn)[y=-12x2+92]與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A（ - 3，0），B（3，0），與直線(xiàn)y = x + 3聯(lián)立求出點(diǎn)C坐標(biāo)（1，4）. 設(shè)P（m，n），求平行四邊形的動(dòng)頂點(diǎn)坐標(biāo)分三種情況：①如圖2，以AC，BC為鄰邊時(shí)，利用AC與BP平行且相等可得[m-（-3）=3-1，-n=4，]得P（ - 1，- 4）；②如圖3，以AB，AC為鄰邊時(shí)，可得[m-3=1-（-3），n=4，]得P（7，4）；③如圖4，以AB，BC為鄰邊時(shí)，可得[-3-m=3-1，n=4，]得P（- 5，4）. 綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有P（-1， -4），（7，4），（-5，4）.

追問(wèn)：在圖1中，拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，在直線(xiàn)BC上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)O，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：采用“兩定兩動(dòng)”平行四邊形探究策略.

“一畫(huà)”：如圖5，連接兩定點(diǎn)得到定線(xiàn)段OC. ①以定線(xiàn)段OC作為平行四邊形的邊，通過(guò)“平移線(xiàn)段法”將定線(xiàn)段OC平移到所給拋物線(xiàn)與直線(xiàn)BC所夾的兩個(gè)區(qū)域中，定線(xiàn)段兩端點(diǎn)O，C恰好落在這兩條圖象上的點(diǎn)即為兩個(gè)動(dòng)頂點(diǎn)，如圖6、圖7；②以定線(xiàn)段OC作為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，取線(xiàn)段OC的中點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，直線(xiàn)與所給定的拋物線(xiàn)及直線(xiàn)BC相交，并且這兩個(gè)交點(diǎn)所連線(xiàn)段恰被定線(xiàn)段的中點(diǎn)平分，這兩個(gè)交點(diǎn)即為所確定的動(dòng)頂點(diǎn)，這樣可確定平行四邊形，如圖8、圖9.

“二算”：假設(shè)存在點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為[（m，-12m2+92）]，可得直線(xiàn)BC解析式為[y=-2x+6]，設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為[（n，-2n+6）]. 當(dāng)OC為邊時(shí)，如圖6、圖7，依據(jù)平行四邊形對(duì)邊PQ與OC平行且相等，可得[n-m=1 ，（-2n+6）--12m2+92=4，]解得[m=2+13，n=3+13]或[m=2-13，n=3-13，]所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）. 當(dāng)OC為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖8、圖9，依據(jù)平行四邊形對(duì)邊OP與CQ平行且相等，可得[-m=n-1，4-（-2n+6）=-12m2+92，]解得[m=2+13，n=-1-13]或[m=2-13，n=-1+13，]所以點(diǎn)P坐標(biāo)為（[2+13，-213-4]）或（[2-13，213-4]）.

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（[2-13，213-4]）或（[2+13，-213-4]）.