蔡青青，傅 彬，胡瑋芳，顧春霞

（1.紹興職業(yè)技術(shù)學(xué)院 信息工程學(xué)院，浙江 紹興 312000；2.中國(guó)電信集團(tuán)有限公司紹興分公司，浙江 紹興 312000）

0 引言

虛擬現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的構(gòu)建常用到三維重建技術(shù)。相機(jī)是獲取物體空間信息的重要部件，相機(jī)標(biāo)定是三維重建的關(guān)鍵步驟[1]，因此標(biāo)定結(jié)果是三維重建的精度值的關(guān)鍵影響因素[2-3]。張正友提出的基于OpenCV 的棋盤格標(biāo)定法[4]使用一個(gè)已知尺寸的棋盤格并將其放置在不同位置，拍攝多張棋盤格圖片，通過對(duì)這些圖片進(jìn)行處理，得到相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)。OpenCV 庫提供了相應(yīng)的應(yīng)用程序編程接口（Application Programming Interface，API），只需簡(jiǎn)單調(diào)用即可完成標(biāo)定，易于實(shí)現(xiàn)，精度較高，但是需要使用特制的棋盤格，并且拍攝角度、光照等條件需要滿足一定要求，否則標(biāo)定結(jié)果會(huì)受到影響。張正友[5]提出一種基于單幅標(biāo)定圖的相機(jī)標(biāo)定方法，利用已知標(biāo)定圖像上特征點(diǎn)距離構(gòu)造約束條件獲得相機(jī)參數(shù)，減少了標(biāo)定相機(jī)需要的圖像，但該方法適用于對(duì)相機(jī)成像區(qū)域較小、畸變程度較小的場(chǎng)景進(jìn)行標(biāo)定。鑒于此，JIAO 等人提出了一種基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相機(jī)標(biāo)定方法[6]，不需要使用特殊的標(biāo)定物體，只需要使用單幅圖像即可完成標(biāo)定過程。YU 等人提出了一種基于圖神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的相機(jī)標(biāo)定方法[7]，可以利用大量數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，并在真實(shí)場(chǎng)景中獲得更高的精度。基于深度學(xué)習(xí)模型需要從大量數(shù)據(jù)中學(xué)習(xí)相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)，因此需要收集大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，且對(duì)數(shù)據(jù)質(zhì)量很敏感。三參數(shù)模型[8]只需要3 個(gè)參數(shù)，可以大大減少計(jì)算量，降低存儲(chǔ)空間需求。張正友平面模板法[9]避免了傳統(tǒng)方法設(shè)備要求高、操作煩瑣等缺點(diǎn)，利用已知標(biāo)定圖像上特征點(diǎn)距離構(gòu)造約束條件獲得相機(jī)參數(shù)，減少了標(biāo)定相機(jī)需要的圖像，且有較高的精度。目前，張正友平面模板法和改進(jìn)的三參數(shù)模型由于標(biāo)定精度高等突出優(yōu)勢(shì)，得到了廣泛的應(yīng)用和研究，但需要精確提取直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，且在切向畸變較明顯的環(huán)境下標(biāo)定參數(shù)存在明顯誤差。

利用光柵投影進(jìn)行三維重構(gòu)時(shí)，大量利用標(biāo)準(zhǔn)量塊評(píng)估系統(tǒng)測(cè)量精度，發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量塊有較好的幾何特性。由此，本文提出一種基于量塊垂直邊線的相機(jī)標(biāo)定方法。該方法將世界坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系重合，使相機(jī)的參數(shù)矩陣只含內(nèi)參，減少標(biāo)定參數(shù)；采用量塊作為標(biāo)定物，利用量塊邊線固有的垂直約束關(guān)系對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，在修正徑向畸變的同時(shí)對(duì)切身畸變進(jìn)行修正。最后實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的有效性和可操作性。

1 相機(jī)標(biāo)定原理

1.1 相機(jī)模型

為充分理解相機(jī)標(biāo)定原理，需要確立相機(jī)的成像模型來建立標(biāo)定過程中各個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系，最終得到相機(jī)標(biāo)定所需的內(nèi)外參數(shù)。目前常用的模型有針孔模型、擬透視投影模型以及正交投影模型。針孔模型是這3 種模型中最簡(jiǎn)單也最常用的模型，是一種比較理想的模型，簡(jiǎn)單且有較好的準(zhǔn)確性。為不失一般性，本文采用針孔模型為相機(jī)的成像模型。相機(jī)的針孔模型如圖1 所示。在此模型中，空間場(chǎng)景中一點(diǎn)的光線通過相機(jī)的光學(xué)中心投射到成像平面上時(shí)，主光軸線從光學(xué)中心出發(fā)，與成像平面垂直。若將光心作為原點(diǎn)，則可以建立坐標(biāo)系O-XCYCZC，其中XC、YC、ZC為3 條互相垂直的直線，ZC與光軸重合。

圖1 相機(jī)成像模型圖

為方便理解相機(jī)成像原理，定義不同的坐標(biāo)系來描述相機(jī)成像過程，主要定義計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系、像平面坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系及世界坐標(biāo)系共4 個(gè)坐標(biāo)系。

（1）計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)系，為圖像上的平面直角坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系表示的圖像在計(jì)算機(jī)內(nèi)存儲(chǔ)的形式是以像素為單位的直角坐標(biāo)系(μ,ν)。每個(gè)像素坐標(biāo)代表該像素在數(shù)組里面的行數(shù)和列數(shù)，便于計(jì)算機(jī)處理圖像。

（2）像平面坐標(biāo)系。從圖像坐標(biāo)系無法得到像素的物理單位，故須用物理單位表示的像平面坐標(biāo)(x,y)來表示該像素在圖像里的物理位置。

（3）相機(jī)坐標(biāo)系，用于分析相機(jī)成像的幾何關(guān)系，以相機(jī)平面和光心的交點(diǎn)為中心，建立坐標(biāo)系(XC,YC,ZC)，ZC軸為相機(jī)光軸。

（4）世界坐標(biāo)系，即現(xiàn)實(shí)空間坐標(biāo)系，可以任意定義該坐標(biāo)系，用來描述相機(jī)在現(xiàn)實(shí)世界的位置和環(huán)境中物體的位置。相機(jī)坐標(biāo)系可以通過旋轉(zhuǎn)和平移轉(zhuǎn)化為世界坐標(biāo)系，整個(gè)參考系的坐標(biāo)如圖2 所示。

圖2 參考坐標(biāo)系圖

記像素點(diǎn)m在計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)為(μ,ν)，齊次坐標(biāo)為(μ,ν,1)，在像平面坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(x,y)，齊次坐標(biāo)為(x,y,1)。對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)M，其世界坐標(biāo)為(XW,YW,ZW)，齊次坐標(biāo)為(XW,YW,ZW,1)，在相機(jī)坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為MC，記坐標(biāo)為(XC,YC,ZC)，齊次坐標(biāo)為(XC,YC,ZC,1)。根據(jù)針孔模型原理可得，計(jì)算機(jī)圖像像素點(diǎn)和像平面坐標(biāo)之間的關(guān)系為

式中：(μ,ν0)為圖像主點(diǎn)的坐標(biāo)，μx和νy為每一個(gè)像素在μ軸和ν軸上的物理尺寸，s為像平面坐標(biāo)和光軸與完全垂直所差的傾斜度。

根據(jù)針孔模型，相機(jī)和像平面坐標(biāo)系之間的關(guān)系為

M點(diǎn)的世界坐標(biāo)和相機(jī)坐標(biāo)齊次轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中：R和t為外部參數(shù)，分別為空間點(diǎn)的世界坐標(biāo)到相機(jī)坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)和平移變換參數(shù)。

根據(jù)式（1）、式（2）和式（3），可得到圖像像素點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)世界坐標(biāo)的齊次變換為

式中：sc為任意比例因子，A為相機(jī)內(nèi)參矩陣。

1.2 張正友平面模板標(biāo)定法

根據(jù)相機(jī)的成像模型，可將式（4）空間點(diǎn)M和像素點(diǎn)m寫為

張正友平面模板法將標(biāo)定板上點(diǎn)的ZW設(shè)置為0，故式（4）可以改寫為

式中：ri表示旋轉(zhuǎn)矩陣R的第i列，為不失一般性，m=(μ,v)和=(μ,v,1)表示空間點(diǎn)的圖像坐標(biāo)及其齊次坐標(biāo)，M=(XW,YW)和=(XW,YW,1)表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)系和齊次坐標(biāo)系，則圖像平面上的點(diǎn)和平面模板上的點(diǎn)可以用單應(yīng)性矩陣來聯(lián)系，表示為

H可以表示成H=[h1,h2,h3]，則式（7）可以改寫為

因?yàn)閞1和r2正交，可以得到以下約束條件為

式（9）為單應(yīng)性矩陣內(nèi)參的兩個(gè)基本約束條件。單應(yīng)性矩陣的自由度為8，外參數(shù)為6 個(gè)（3 個(gè)屬于旋轉(zhuǎn)，3 個(gè)屬于平移）。對(duì)于內(nèi)參，只能獲得有且僅有兩個(gè)向量。令：

則可得到相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)[10]為

根據(jù)得到的內(nèi)參，可以求得圖像的外部參數(shù)為

1.3 畸變校正模型

由于鏡頭制造工藝的問題，鏡頭存在透視畸變?；儗?duì)于用于非精密測(cè)量的鏡頭影響很大。畸變主要有徑向畸變、切向畸變及偏心畸變等。理想圖像點(diǎn)與實(shí)際圖像點(diǎn)的位置關(guān)系如圖3 所示。圖3 中，dr為徑向畸變，dt為切向畸變。

圖3 理想圖像點(diǎn)和實(shí)際圖像點(diǎn)

張正友平面模板法主要考慮相機(jī)鏡頭的徑向畸變?；儀矯正模型為

式中：k1和k2為徑向畸變系數(shù)，結(jié)合Levenberg-Marquardt 算法來完成非線性優(yōu)化校正。

2 基于量塊垂直邊線的相機(jī)標(biāo)定方法

光柵投影測(cè)量系統(tǒng)中常常需要應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)量塊評(píng)判光柵投影測(cè)量精度。標(biāo)準(zhǔn)量塊有較好的幾何特性，故本文采用標(biāo)準(zhǔn)量塊為標(biāo)定物。ZHANG[11]提出將世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系重合，減少相機(jī)標(biāo)定參數(shù)。該方法利用一條長(zhǎng)度已知的直線，繞固定點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)，利用直線運(yùn)動(dòng)的約束關(guān)系對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。但該方法需要精確提取直線上點(diǎn)的坐標(biāo)，有一點(diǎn)難度。本文在ZHANG 的基礎(chǔ)上提出一種基于量塊垂直邊線的相機(jī)標(biāo)定方法，減少相機(jī)標(biāo)定參數(shù)，再利用量塊邊線固有的垂直關(guān)系對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定。

2.1 基本關(guān)系

本文提出一種基于量塊垂直邊線的相機(jī)標(biāo)定方法對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，利用量塊邊線間的垂直關(guān)系得到相機(jī)內(nèi)部參數(shù)的約束條件。量塊邊線的垂直關(guān)系如圖4 所示。

圖4 量塊垂直連線關(guān)系

若BP和BO為量塊的兩條垂直邊線，相交于B點(diǎn)，P和O點(diǎn)為兩條邊線的端點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的圖像點(diǎn)分別為o、b、p。將世界坐標(biāo)系與相機(jī)坐標(biāo)系重合，故式（5）可以簡(jiǎn)化為

所以空間點(diǎn)和對(duì)應(yīng)圖像像素點(diǎn)的關(guān)系可以化為

因?yàn)镺點(diǎn)、P點(diǎn)、B點(diǎn)在同一個(gè)平面上，故可認(rèn)為SO=SP=SB。

由向量性質(zhì)可得

將式（16）代入式（17），可得

式中：B=A-TA-1。由于SO=SP=SB，則式（18）可以化為

2.2 閉式解

根據(jù)式（10）可知，B是個(gè)對(duì)稱矩陣，故可以將B表示為B=[B11,B12,B22,B13,B23,B33]T，則

記v=[h1H1,h2H1+h1H2,h2H2B22,h3H1+h1H3,h3H3,h3H2+h2H3]，x=SP2b=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T，V=[v1,v2,v3,…,vN]T，則Vx=0。

若拍攝N幅量塊標(biāo)定圖，就可以得到N個(gè)類似于Vx=0 的方程，就可解出x。最終可以得到

式中：γ=-x2α2β/s。

2.3 畸變矯正模型

張正友平面模板法中雖然對(duì)畸變進(jìn)行了校正，但是只校正了徑向畸變而忽略了切向畸變。由于有些場(chǎng)合切向畸變是不能被忽略的，本文提出的相機(jī)標(biāo)定方法采用同時(shí)糾正切向畸變和徑向畸變的畸變校正模型。若(x,y)是理想無失真歸一化的像平面坐標(biāo)，是真實(shí)的歸一化的像平面坐標(biāo)，則徑向畸變矯正模型為

切向畸變模型為

式中：k1和k2為徑向畸變系數(shù)，p1和p2是切向畸變系數(shù)。最后采用最大似然準(zhǔn)則的非線性優(yōu)化方法對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。非線性優(yōu)化時(shí)，最小化的方程式為

2.4 基于垂直線段的相機(jī)標(biāo)定實(shí)現(xiàn)步驟

本文方法將相機(jī)坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系重合，采用同時(shí)校正徑向畸變和切向畸變的畸變校正模型，利用最大似然準(zhǔn)則的非線性優(yōu)化方法對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，具體的實(shí)現(xiàn)步驟如下：

（1）將量塊放置在標(biāo)定平面上，固定相機(jī)，翻轉(zhuǎn)量塊不同面，拍攝6 幅圖像；

（2）利用Sobel 算子檢測(cè)量塊邊線邊緣，再利用最小二乘擬合得到直線，檢測(cè)標(biāo)定圖像中垂直邊線的交點(diǎn)，獲取這些交點(diǎn)的世界坐標(biāo)和圖像坐標(biāo)；

（3）用2.2 節(jié)中的閉式解計(jì)算出相機(jī)的5 個(gè)內(nèi)部參數(shù){α,β,s,μ0,v0}；

（4）采用2.3 節(jié)中的畸變校正模型，求得畸變系數(shù)k1、k2、p1和p2，k1和k2為徑向畸變系數(shù)，p1和p2是切向畸變系數(shù)；

（5）根據(jù)最大似然準(zhǔn)則，用算法通過最小化式（25）優(yōu)化所有的相機(jī)參數(shù)。

3 相機(jī)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)方法

本節(jié)以Matlab 為軟件平臺(tái)進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)，采用本文提出的相機(jī)標(biāo)定法畸變校正模型，將本文提出的相機(jī)標(biāo)定方法分別與張正友的平面模板標(biāo)定法及改進(jìn)的三參數(shù)模型法進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文方法的有效性。三參數(shù)模型中，令s=0，α=β=f，則相機(jī)內(nèi)參矩陣可以轉(zhuǎn)化為

張正友法和三參數(shù)模型法都采用標(biāo)準(zhǔn)的棋盤格標(biāo)定圖像。將棋盤格標(biāo)定圖放置在標(biāo)定平面上，用MVC5001-S00 相機(jī)拍攝6 幅不同圖片，如圖5所示。相機(jī)拍攝的圖片分辨率為800 px×400 px。對(duì)6 幅圖片分別采用張正友平面模板法和三參數(shù)法進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。

圖5 不同角度的平面模板圖片

對(duì)相機(jī)采用本文提出的標(biāo)定方法時(shí)，將量塊放在標(biāo)定平面上，用相機(jī)拍攝不同面的量塊位姿，如圖6 所示。相機(jī)拍攝的圖片分辨率為800 px×400 px。對(duì)6 幅圖片采用本文提出的相機(jī)標(biāo)定方法計(jì)算相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)以及畸變系數(shù)。

圖6 不同位置的量塊標(biāo)定圖

對(duì)圖6 進(jìn)行邊緣提取及邊緣線之間的交點(diǎn)得到結(jié)果如圖7 所示。

圖7 不同位置量塊邊緣檢測(cè)示意圖

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本文方法與張正友以及改進(jìn)的三參數(shù)模型方法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1 所示。

表1 3 種方法的結(jié)果比較

為了評(píng)估相機(jī)標(biāo)定的精度，本文采用目前常用的圖像坐標(biāo)相對(duì)誤差精度評(píng)估準(zhǔn)則來計(jì)算標(biāo)定誤差。設(shè)世界坐標(biāo)系里的某空間點(diǎn)的圖像坐標(biāo)為(μ,ν)，根據(jù)獲得的相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)計(jì)算出的圖像坐標(biāo)為(μ c,νc)，則圖像坐標(biāo)的相對(duì)誤差[12]為

每次選取5 張，根據(jù)式（27）計(jì)算出張正友法、三參數(shù)法和本文方法的圖像坐標(biāo)相對(duì)誤差，結(jié)果如表2 所示。

表2 圖像坐標(biāo)相對(duì)誤差

從表1 和表2 的數(shù)據(jù)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的改進(jìn)的標(biāo)定方法有效地標(biāo)定出了相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)和外部參數(shù)，且糾正了相機(jī)的切向畸變，適用于切向畸變較明顯的環(huán)境。

4 結(jié)語

本文針對(duì)光柵投影測(cè)量系統(tǒng)特點(diǎn)提出一種基于量塊垂直邊線的相機(jī)標(biāo)定方法，首先利用世界坐標(biāo)系的特點(diǎn)，將相機(jī)坐標(biāo)系和世界坐標(biāo)系重合在一起，減少相機(jī)標(biāo)定參數(shù)，其次利用量塊邊線垂直線段的約束關(guān)系對(duì)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，最后利用最大似然準(zhǔn)則的非線性優(yōu)化方法對(duì)相機(jī)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。該方法減少相機(jī)標(biāo)定參數(shù)，原理簡(jiǎn)單。實(shí)驗(yàn)證明本文提出的方法有效標(biāo)定了相機(jī)，且有較好的精度，適合光柵投影測(cè)量系統(tǒng)使用。