王 倩,周奕含,徐宇飛,劉美含,周 彤

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 遼寧 大連 116029)

0 引言

在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫與慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域中,人們十分關(guān)注平滑插值給定關(guān)鍵位置和方向序列的剛體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[1].三維歐氏空間3中的剛體運(yùn)動(dòng)一般由平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)構(gòu)成.剛體的平移運(yùn)動(dòng)可以用3中位置曲線表示,剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可由旋轉(zhuǎn)矩陣群SO(3)中的朝向曲線表示[2-3].利用單位四元數(shù)研究旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,可以避免萬(wàn)向節(jié)鎖定.而且相比于3×3旋轉(zhuǎn)矩陣,四元數(shù)只有4個(gè)參數(shù),在計(jì)算過(guò)程中效率更高.因此,利用單位四元數(shù)曲線研究剛體旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[4-5].

歐氏空間中光滑樣條曲線的理論已經(jīng)十分完備,如B-spline,Hermite樣條和Bézier樣條.但是上述樣條曲線向非歐氏空間的推廣具有一定難度.Shoemake[6]利用單位四元數(shù)對(duì)旋轉(zhuǎn)的表示,將DeCasteljau算法應(yīng)用到球面線性插值,得到了C1連續(xù)的單位四元數(shù)Bézier樣條曲線.該樣條由遞歸法定義,因此高階導(dǎo)矢的計(jì)算十分復(fù)雜,這給處理平滑插值問(wèn)題帶來(lái)了一定困難.Kim等[7]將歐氏空間中的基函數(shù)進(jìn)行累加處理,再利用單位四元數(shù)的指數(shù)映射與對(duì)數(shù)映射,提出了構(gòu)造單位四元數(shù)樣條曲線的一般方法.這類曲線保留了與歐氏空間中對(duì)應(yīng)曲線相似的微分性質(zhì),易于計(jì)算高階導(dǎo)矢.Kim等[8]對(duì)這類樣條曲線的一階參數(shù)連續(xù)性進(jìn)行研究.此后,邢燕等[9]基于四次多項(xiàng)式,構(gòu)造了C2連續(xù)的單位四元數(shù)樣條曲線,該樣條曲線可以直接插值關(guān)鍵幀方向序列,但不能進(jìn)行形狀調(diào)控.進(jìn)一步,邢燕等[10]選取五次多項(xiàng)式調(diào)配函數(shù),將單位四元數(shù)樣條曲線的連續(xù)性提高到三階.為使樣條可以局部修改,檀結(jié)慶等[11]選取帶形狀參數(shù)的五次多項(xiàng)式作為調(diào)配函數(shù),構(gòu)造了一類G2連續(xù)的單位四元數(shù)樣條曲線.孫楠等[12]在此基礎(chǔ)上,研究了Bézier四元數(shù)曲線的性質(zhì),構(gòu)造了C2連續(xù)的四元數(shù)插值樣條曲線.何耀、陳佳惠等[13-14]分別將歐氏空間中Beta樣條曲線和Gamma樣條曲線推廣到S3空間,給出Beta四元數(shù)樣條曲線和Gamma四元數(shù)樣條曲線的定義.他們還對(duì)曲線的端點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行研究,并給出了曲線二階連續(xù)需要滿足的條件.

隨著對(duì)光滑拼接要求的提高,本文提出一種自動(dòng)插值于任意給定關(guān)鍵幀方向序列的含參單位四元數(shù)樣條曲線.該樣條曲線有與歐氏空間相應(yīng)曲線類似的性質(zhì),不僅滿足C3連續(xù)性,而且形狀可局部調(diào)控.進(jìn)一步地,通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn),還研究了參數(shù)對(duì)樣條曲線形狀的影響.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 四元數(shù)

四元數(shù)的加減法定義為

四元數(shù)的乘法定義為

單位四元數(shù)曲線可以定義為q(t)=qf(t),則

q′(t)=qf(t)f′(t)log(q),

(1)

1.2 四元數(shù)曲線

對(duì)于給定控制頂點(diǎn)q0,q1,…,qn∈S3,利用四元數(shù)的指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算,得到相應(yīng)的單位四元數(shù)曲線為

上式可以改寫成簡(jiǎn)單的四元數(shù)曲線乘積形式如:

2 C3連續(xù)的含參單位四元數(shù)樣條曲線

根據(jù)Kim等提出的單位四元數(shù)樣條曲線的一般構(gòu)造方法,本節(jié)首先在3空間中構(gòu)造出滿足C3連續(xù)的含參七次多項(xiàng)式插值樣條曲線,再將其推廣到S3空間,從而得到具有類似性質(zhì)的含參單位四元數(shù)樣條曲線.

2.1 含參七次多項(xiàng)式樣條曲線的構(gòu)造

根據(jù)Bernstein基函數(shù)在端點(diǎn)處的性質(zhì),在歐氏空間中構(gòu)造了滿足C3連續(xù)性的插值樣條曲線,參數(shù)的引入使得樣條的形狀可以調(diào)控.

定義1給定參數(shù)向量α=[α1,α2,…,αn],β=[β1,β2,…,βn],點(diǎn)列P1,P2,…,Pn∈d(d=2,3),令P0=P1,Pn=Pn+1.定義區(qū)間[1,n]上的含參七次樣條曲線為

r(t)=ri(t-i),i=1,2,…,n-1,i≤t≤i+1,

(2)

將曲線ri(t)改寫成如下形式

(3)

其中

定理1樣條曲線r(t)是C3連續(xù)的.

證明對(duì)式(3)求導(dǎo)并利用Bernstein基函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得到

因此,該樣條曲線r(t)插值于給定的點(diǎn)列P1,P2,…,Pn∈d(d=2,3),并且即任意兩條相鄰曲線段直到3階的導(dǎo)矢在連接點(diǎn)處都是相等的.從而,樣條曲線r(t)是C3連續(xù)的.

2.2 含參單位四元數(shù)樣條曲線的構(gòu)造

接下來(lái),利用歐氏空間中已構(gòu)造的含參樣條曲線來(lái)構(gòu)造S3空間中保持類似性質(zhì)的含參單位四元數(shù)樣條曲線.

定義2給定參數(shù)向量α=[α1,α2,…,αn],β=[β1,β2,…,βn],n個(gè)關(guān)鍵幀方向Q1,Q2,…,Qn∈S3,令Q0=Q1,Qn+1=Qn.定義區(qū)間[1,n]上的含參單位四元數(shù)樣條曲線為

q(t)=qi(t-i),i≤t≤i+1,i=1,2,…n-1,

(4)

(5)

顯然S3空間中的樣條曲線q(t)是由n-1段含參單位四元數(shù)曲線qi(t)拼接成的.

為方便后續(xù)研究給出如下引理.

引理1對(duì)于i=1,…,n-1,計(jì)算可得

2.3 含參單位四元數(shù)樣條曲線的連續(xù)性

下面,研究單位四元數(shù)樣條曲線的插值性和參數(shù)連續(xù)性.由于樣條曲線q(t)是由n-1段qi(t)拼接組成的,因此只需研究在連接點(diǎn)處樣條的連續(xù)性即可.

定理2含參單位四元數(shù)樣條曲線q(t)是C3連續(xù)的.

證明由引理1計(jì)算可得

所以第i段含參單位四元數(shù)曲線qi(t)插值于關(guān)鍵幀方向Qi,Qi+1.從而樣條曲線q(t)插值于給定的方向序列Q1,Q2,…,Qn.

求qi(t)關(guān)于t的一階導(dǎo)矢

(6)

其中,由式(1)可知,當(dāng)j=1,2,3時(shí)

(7)

求qi(t)關(guān)于t的二階導(dǎo)矢

(8)

其中,由式(1)與式(7)可知,當(dāng)j=1,2,3時(shí)

(9)

求qi(t)關(guān)于t的三階導(dǎo)矢

(10)

其中,由式(1)與式(9)可知,當(dāng)j=1,2,3時(shí)

(11)

將t=0分別代入式(6)(8)(10)并利用引理1計(jì)算可得

(12)

同理t=1時(shí),計(jì)算結(jié)果如

(13)

因此,對(duì)于i=1,2,…n-1,

綜上,含參單位四元數(shù)樣條曲線q(t)是C3連續(xù)的.證畢.

3 實(shí)驗(yàn)

(a)αi=0.75,αi+1=0.35;βi=βi+1=0.35 (b)αi=0.35,αi+1=0.75;βi=βi+1=0.35

(c)αi=αi+1=0.35;βi=10,βi+1=0.35 (d)αi=αi+1=0.35;βi=0.35,βi+1=10圖1七次多項(xiàng)式函數(shù)的圖像(左)與其累和形式的圖像(右)

α=-0.5*[1,1,1,1,1] α=[0,0,0,0,0] α=0.35*[1,1,1,1,1] α=1.5*[1,1,1,1,1]圖2a調(diào)節(jié)參數(shù)向量α對(duì)樣條形狀的影響,其中β=[0,0,0,0,0]

β=-10*[1,1,2,1,1] β=[0,0,-10,0,0] β=10*[1,1,3,1,1] β=25*[1,1,0,1,1]

β=-10*[1,1,1,1,1] β=[0,0,0,0,0] β=10*[1,1,1,1,1] β=25*[1,1,1,1,1]圖2b調(diào)節(jié)參數(shù)向量β對(duì)樣條形狀的影響,其中α=0.35*[1,1,1,1,1]圖2 參數(shù)變化對(duì)樣條曲線r(t)形狀的影響

下面研究參數(shù)的變化對(duì)樣條曲線r(t)形狀以及相應(yīng)的剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的影響.

圖2a為參數(shù)向量β=[0,0,0,0,0]時(shí),只調(diào)節(jié)參數(shù)向量α的取值對(duì)樣條曲線r(t)形狀的影響.實(shí)驗(yàn)表明,參數(shù)取值為負(fù)時(shí),樣條曲線在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的形狀扭曲,有時(shí)甚至呈現(xiàn)纏繞狀態(tài).參數(shù)取值為0時(shí),樣條曲線在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的形狀十分尖銳.參數(shù)絕對(duì)值越大,樣條曲線在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的形狀越光滑.此時(shí),產(chǎn)生了旋轉(zhuǎn)更快的剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)(詳見(jiàn)式(12)和(13)),運(yùn)動(dòng)姿態(tài)見(jiàn)圖3(a)-(d).其中,剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的位置曲線為直線,朝向曲線為單位四元數(shù)樣條曲線q(t).同時(shí)為方便觀察,圖3中的插值關(guān)鍵幀方向已用黃色長(zhǎng)方體表示出,而其他時(shí)刻曲線生成的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)用彩色長(zhǎng)方體表示.因此為達(dá)到較好的形狀效果,參數(shù)取值于(0,1).縱向觀察圖2a發(fā)現(xiàn)改變一個(gè)參數(shù)的取值將會(huì)影響節(jié)點(diǎn)處相鄰兩段樣條曲線的形狀.通過(guò)圖3(b)與(c)的對(duì)比,或圖3(b)與(e)的對(duì)比,同樣可以發(fā)現(xiàn)改變一個(gè)參數(shù)的取值將會(huì)影響相鄰兩段的剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài).

圖2b為參數(shù)向量α=0.35*[1,1,1,1,1]時(shí),只調(diào)節(jié)參數(shù)向量β的取值對(duì)樣條曲線形狀的影響.若將β=[0,0,0,0,0]的樣條曲線視為觀察位置,參數(shù)值為正時(shí),值越大,曲線越向里收縮(正向穿過(guò)密切平面);參數(shù)值為負(fù)時(shí),絕對(duì)值越大,曲線越向外擴(kuò)展(反向穿過(guò)密切平面).同樣見(jiàn)式(12)和(13),參數(shù)的絕對(duì)值越大時(shí),在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)旋轉(zhuǎn)更快,見(jiàn)圖3(e)-(g).縱向觀察圖2b發(fā)現(xiàn)改變一個(gè)參數(shù)的取值也會(huì)影響節(jié)點(diǎn)處相鄰兩段樣條曲線的形狀.對(duì)比圖3(e)與(f)不難發(fā)現(xiàn)參數(shù)向量β也具備對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的局部調(diào)節(jié)作用.

通過(guò)實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)改變參數(shù)向量α的取值對(duì)樣條曲線形狀的控制效果更明顯,這是由于參數(shù)向量α的取值與曲線的一階導(dǎo)矢(切向量),二階導(dǎo)矢(曲率)和三階導(dǎo)矢(撓率)都相關(guān).而參數(shù)向量β的取值只與三階導(dǎo)矢(撓率)相關(guān),因此調(diào)節(jié)參數(shù)向量β可以進(jìn)一步微調(diào)曲線的形狀.由式(12)和(13)可知,當(dāng)參數(shù)向量α的取值接近零時(shí),調(diào)節(jié)參數(shù)向量β改變節(jié)點(diǎn)處剛體的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)效果更加明顯,見(jiàn)圖3(f)和(g).

4 結(jié)論

本文先在歐氏空間中構(gòu)造了一種多項(xiàng)式插值樣條曲線r(t),不僅證明了其三階參數(shù)連續(xù)性,而且參數(shù)的引入使樣條形狀可調(diào)控.利用指數(shù)函數(shù)的連乘形式將該樣條推廣到S3空間,得到了具有類似性質(zhì)(C3連續(xù)、插值性、可調(diào)控性)的含參單位四元數(shù)樣條曲線q(t).通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了參數(shù)變化對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài)的影響,即改變?chǔ)羒,αi+1,βi,βi+1中一個(gè)參數(shù)只會(huì)影響相鄰兩段剛體運(yùn)動(dòng)姿態(tài),并且參數(shù)絕對(duì)值的取值越大,剛體在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的朝向轉(zhuǎn)動(dòng)越快.目前本文僅對(duì)參數(shù)的影響進(jìn)行了定性分析,在接下來(lái)的研究中將會(huì)關(guān)注參數(shù)影響的定量分析問(wèn)題,從而提出有效確定參數(shù)取值的方案.