廖 潔,李沅津,盧甫龍,周端美,?

(1.贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院;2.贛州市南康區(qū)第十中學(xué),江西 贛州 341000)

0 引言

設(shè)A是一個n×n的復(fù)數(shù)矩陣,滿足Ak=A. 本文主要考慮非線性二次矩陣方程

AXA=XAX

(1)

的所有解,其中X是一個未知矩陣. 方程(1)也被稱為Yang-Baxter矩陣方程, 因?yàn)樗谛问缴虾徒?jīng)典的Yang-Baxter矩陣方程[1-2]相似. Yang-Baxter方程先后由諾貝爾獎得主楊振寧教授在理論物理學(xué)[1]中和R. J. Baxter在統(tǒng)計(jì)力學(xué)[2]中提出. 后來該方程成為數(shù)學(xué)物理學(xué)中的一個基本方程, 更確切的說是量子群理論的入門的基本方程[3],同時在扭結(jié)理論、量子場論、C*-代數(shù)、環(huán)鏈不變量、量子群、保形場論和非交換幾何中起著至關(guān)重要的作用[3-5].

對于方程(1)所有解的研究有文獻(xiàn)[6-15],這些研究都是先假定系數(shù)矩陣A具有特殊結(jié)構(gòu).當(dāng)系數(shù)矩陣A是二次冪等矩陣(A2=A)[6-7],三次冪等矩陣(A3=A)[8],四次冪等矩陣(A4=A)[9],對和矩陣(A2=I)[10-12],給出了方程(1)所有解的顯式表達(dá)式.但是有一些表達(dá)式還不是顯式表達(dá)式,還需進(jìn)一步挖掘.由于受到丁玖教授對對和矩陣[10-11]和冪等矩陣[6-7]的研究,陳冬梅教授[13]給出了系數(shù)矩陣為特征值為{1,α,0}的可對角化矩陣時,方程(1)所有解的表達(dá)式;沈冬梅教授和魏木生教授[14]則給出了系數(shù)矩陣為兩個不同特征值時方程(1)解的顯式表達(dá)式,但實(shí)際上還未完全解決.陳冬梅教授還得出系數(shù)矩陣為可對角化矩陣的方程(1)的所有解一定可對角化,且非零特征值只能是系數(shù)矩陣A的特征值,其代數(shù)重數(shù)也不超過A的對應(yīng)特征值[15].本文的主要目的是應(yīng)用文獻(xiàn)[15]的結(jié)論,尋找系數(shù)矩陣A是滿足Ak=A時,Yang-Baxter矩陣方程(1)的所有解.

1 k次冪等矩陣的解

為了闡述主要結(jié)果,首先給出下面引理.

引理1[15]設(shè)J=diag(λ1In1,λ2In2,…,λtInt),其中λ1λ2…λt≠0,λ1,λ2,…,λt的代數(shù)重數(shù)分別為n1,n2,…,nt.矩陣方程ZJZ=JZJ有如下性質(zhì).

(2)

由于Z4未在(2)中出現(xiàn),因此Z4可以取任意矩陣.

證畢.

若k=2,即A2=A,那么存在可逆矩陣T使得A=Tdiag(Im,0)T-1,可得到如下推論.

若k=3,即A3=A,那么存在可逆矩陣T使得A=Tdiag(It,-Is,0)T-1,可得到如下推論.

例1設(shè)A=diag(1,1,-1,0),則A2≠A,但A3=A.根據(jù)推論2可知,存在一個非奇異矩陣P,使得P-1Z1P=Λ,不考慮對角線元素編排順序的條件下,Λ可能情況如下:

2 結(jié)論

當(dāng)系數(shù)矩陣A滿足Ak=A時,本文給出了矩陣方程AXA=XAX所有解的結(jié)構(gòu).定理1中的非奇異矩陣P還未完全確定,如何確定這個矩陣,這將是以后的一個研究課題.