陽智麾 李 勇 劉 浩 江 磊

（西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

螺旋槽作為立銑刀的重要結(jié)構(gòu)特征，對(duì)刀具的切削、卷屑、斷屑以及整體剛性起至關(guān)重要的作用，因此其磨削工藝成為刀具加工的重點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。在螺旋槽實(shí)際加工過程中，一片全新或修整的砂輪首先會(huì)進(jìn)入快速磨損期間，然后進(jìn)入穩(wěn)定磨損期[2]，因此砂輪磨損問題在螺旋槽磨削工藝中無法避免。對(duì)砂輪的磨損情況進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)其磨削位姿進(jìn)行調(diào)整以提高螺旋槽加工精度具有很強(qiáng)的實(shí)際工程意義。

立銑刀螺旋槽的結(jié)構(gòu)參數(shù)大多都是在徑向截面下定義的，因此其徑向截面輪廓的成形計(jì)算方法是螺旋槽磨削工藝的理論基礎(chǔ)。目前主要采用解析法[2-3]、離散法[4-5]和布爾法[6]3 種方法。基于此，許多學(xué)者針對(duì)螺旋槽磨削工藝展開了大量研究，主要分為以下兩類。

為了滿足刀具特定的卷屑、斷屑等需求而設(shè)計(jì)特定結(jié)構(gòu)形狀的螺旋槽，需要設(shè)計(jì)砂輪形狀以滿足螺旋槽加工要求，即成形砂輪磨削工藝（已知螺旋槽輪廓+砂輪位姿→計(jì)算成形砂輪輪廓）。Karpuschewski B等[7]利用螺旋槽曲面法矢量必定與砂輪軸矢量接觸原理，計(jì)算旋槽曲面與砂輪回轉(zhuǎn)面之間的接觸線。李國(guó)超等[8]在此基礎(chǔ)上分析砂輪母線奇異點(diǎn)和端點(diǎn)位置與螺旋槽曲面的接觸情況，完善成形砂輪輪廓計(jì)算方法。成形砂輪磨削工藝由于對(duì)砂輪輪廓精度要求較高，需要不斷修整砂輪以滿足輪廓設(shè)計(jì)要求，大大增加了加工成本。

將刀具螺旋槽進(jìn)行參數(shù)化建模，選用標(biāo)準(zhǔn)砂輪，計(jì)算砂輪磨削位姿獲得滿足設(shè)計(jì)的槽型，即標(biāo)準(zhǔn)砂輪磨削工藝（已知螺旋槽參數(shù)化模型+砂輪輪廓→計(jì)算砂輪位姿）。Karpuschewski B 等[7]以砂輪位姿為優(yōu)化變量、螺旋槽輪廓誤差為優(yōu)化目標(biāo)。李國(guó)超等[8]在此基礎(chǔ)上提出基于雙斜面型砂輪尺寸和位姿組合優(yōu)化的磨削工藝，根據(jù)螺旋槽輪廓曲線選用特定砂輪，并建立螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)以及輪廓誤差的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，采用粒子群等優(yōu)化算法進(jìn)行求解。李海賓等[9]針對(duì)粗銑刀分屑槽形狀的磨削工藝，對(duì)粗銑刀周齒分屑槽結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了定義，建立了加工坐標(biāo)系及切深引導(dǎo)曲線方程。曾滔等[10]針對(duì)于解析法求解接觸線難以在三維軟件中實(shí)現(xiàn)參數(shù)化等問題，提出一種基于極限思想求解螺旋槽磨削接觸線的幾何方法。Chen Z 等[11]針對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的螺旋槽，提出一種通過兩次磨削的方法控制螺旋槽的幾何參數(shù)，包括前角、芯厚半徑和槽寬。唐軍等[12]提出了適用于參數(shù)化結(jié)構(gòu)和位置定義的分屑槽數(shù)控磨削工藝，推導(dǎo)了相應(yīng)的砂輪磨削軌跡算法，并基于得到的磨削軌跡和五軸數(shù)控工具磨床運(yùn)動(dòng)原理。熊建軍等[13]通過定義容屑槽的結(jié)構(gòu)參數(shù)、坐標(biāo)系、坐標(biāo)系變換矩陣以及砂輪初始姿態(tài)，并計(jì)算了砂輪的磨削軌跡。在此基礎(chǔ)上，借助運(yùn)動(dòng)學(xué)原理基于工件坐標(biāo)系的砂輪磨削位置和姿態(tài)的計(jì)算方法，采用坐標(biāo)變換矩陣描述砂輪運(yùn)動(dòng)方式。標(biāo)準(zhǔn)砂輪磨削工藝重點(diǎn)在于計(jì)算砂輪位姿以獲得指定槽型，以其高效、成本低、換型快的特性廣泛應(yīng)用于刀具螺旋槽的加工，也一直是研究的熱點(diǎn)問題。

綜上所述，雖然螺旋槽磨削工藝的研究較為成熟，但是現(xiàn)有的算法都未考慮砂輪實(shí)際磨損問題，僅將砂輪端面做棱邊倒圓處理，忽略了對(duì)磨削過程中砂輪磨損情況分析，需要根據(jù)工人經(jīng)驗(yàn)不斷調(diào)整圓角大小重新計(jì)算砂輪磨削位姿，導(dǎo)致算法在實(shí)際應(yīng)用中誤差越來越大。本文針對(duì)砂輪在螺旋槽磨削過程中出現(xiàn)的不規(guī)則磨損情況，通過已加工螺旋槽輪廓反算磨損砂輪輪廓，提出一種基于砂輪實(shí)際磨損情況的螺旋槽磨削位姿調(diào)整算法（已知加工的螺旋槽+砂輪位姿→計(jì)算砂輪磨損情況+已知螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)→計(jì)算砂輪調(diào)整位姿），并通過實(shí)際加工試驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性。

1 計(jì)算不規(guī)則磨損砂輪輪廓

在螺旋槽實(shí)際加工中，由于前刀面磨削量最大，且砂輪越靠近邊緣越脆弱，砂輪呈現(xiàn)不規(guī)則磨損狀態(tài)，計(jì)算砂輪實(shí)際輪廓對(duì)后續(xù)砂輪位姿調(diào)整至關(guān)重要。

1.1 磨削運(yùn)動(dòng)建模

為了方便描述砂輪與刀具的磨削關(guān)系，定義以下坐標(biāo)系及參數(shù)，如圖1 所示。

（1）工件坐標(biāo)系OW-XWYWZW，其坐標(biāo)原點(diǎn)OW位于刀具端面圓心，坐標(biāo)軸ZW與刀具軸線重合，坐標(biāo)平面XWYW與刀具端面重合。

（2）砂輪坐標(biāo)系OG-XGYGZG，其坐標(biāo)原點(diǎn)OG位于大端圓的圓心位置，坐標(biāo)軸ZG與砂輪軸線重合，坐標(biāo)平面XGYG與砂輪大端圓平面重合。

（3）砂輪位姿參數(shù)VecX(ax,ay,α)，其中ax、ay為原點(diǎn)OG在坐標(biāo)平面XWYW的初始坐標(biāo)（定義ax為中心距、ay為偏移距）、α為砂輪繞坐標(biāo)軸XW旋轉(zhuǎn)的角度（定義α為安裝角）。本文定義砂輪的位姿都是初始狀態(tài)下砂輪位置和姿態(tài)，然后在螺旋刃線引導(dǎo)下運(yùn)動(dòng)為砂輪磨削軌跡。砂輪坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系關(guān)于砂輪位姿參數(shù)VecX的變換矩陣MG-W可表達(dá)為

設(shè)立銑刀的螺旋刃線與刀具半徑為RW、螺旋角為β，其磨削過程可以看作刀具固定不動(dòng)、砂輪沿螺旋刃線引導(dǎo)下運(yùn)動(dòng)，即砂輪繞坐標(biāo)軸ZW旋轉(zhuǎn)的同時(shí)沿著其移動(dòng)。因此，砂輪旋轉(zhuǎn)角度ξ后，其相對(duì)于初始位姿（即砂輪圓心位于工件坐標(biāo)系坐標(biāo)平面XWYW）的運(yùn)動(dòng)變換矩陣Me(ξ)可表達(dá)為

式中：κ=RW/tanβ。

1.2 磨損砂輪輪廓求解

砂輪由于回轉(zhuǎn)體的特點(diǎn)，將砂輪輪廓繞軸線旋轉(zhuǎn)一周即可以得到砂輪回轉(zhuǎn)面方程，因此計(jì)算磨損砂輪輪廓對(duì)于位姿調(diào)整至關(guān)重要。本文根據(jù)磨損砂輪加工的螺旋槽徑向截面輪廓，采用成形砂輪計(jì)算方法[12]反算磨損砂輪的母線方程，螺旋槽磨削過程中螺旋槽曲面與砂輪回轉(zhuǎn)面呈線相切接觸，其接觸線上點(diǎn)的法矢量必定與砂輪軸線接觸（即矢量nQ、ZG、nQG共面），如圖2b 所示。計(jì)算流程如下。

圖2 磨損砂輪輪廓的反算流程

（1）在工件坐標(biāo)系平面XwYw內(nèi)，通過刀具輪廓檢測(cè)儀測(cè)量得到加工的螺旋槽徑向截形輪廓n個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)Si(xi,yi,0)，通過插值方法獲得已加工螺旋槽的徑向截形輪廓程S(xS(t),yS(t),0)，t1≤t≤tn，并在螺旋刃線引導(dǎo)下建立坐標(biāo)系下的螺旋槽曲面方程Q(t,ξ)。

式中：t為螺旋槽輪廓方程的變量。

因此，螺旋槽曲面上任意點(diǎn)Q指向砂輪坐標(biāo)原點(diǎn)OG的矢量nQG可表達(dá)為

（2）對(duì)螺旋槽曲面方程Q(t,ξ)變量分別求偏導(dǎo)，并叉乘得到螺旋槽曲面的法矢量nQ。

根據(jù)砂輪安裝角α可知砂輪軸矢量ZG(0,－sinα，cosα)，由矢量nQ、ZG、nQG共面建立接觸線求解方程。

由式（6）建立的接觸線求解方程在無限區(qū)間內(nèi)有無窮個(gè)解，求解區(qū)間的預(yù)估對(duì)于求解穩(wěn)定性至關(guān)重要。當(dāng)求解區(qū)間預(yù)估錯(cuò)誤時(shí)，一是會(huì)出現(xiàn)無解的情況；二是計(jì)算出來的砂輪輪廓可能會(huì)將螺旋槽輪廓內(nèi)部實(shí)體當(dāng)作磨削部分，如圖3 所示。

圖3 砂輪輪廓求解錯(cuò)誤情況

觸線求解區(qū)間與砂輪安裝位姿直接相關(guān)，砂輪位姿偏移距ay越往左側(cè)偏移，求解區(qū)間整體向上偏移越大，同理，砂輪向右側(cè)偏移則相反；砂輪位姿安裝角α越大，接觸線求解區(qū)間也會(huì)被拉長(zhǎng)，如圖4a所示。將砂輪與工件投影至平面XWYW上，砂輪由于繞XW軸旋轉(zhuǎn)被壓縮成橢圓面，刀具棒料為圓面，如圖4b 所示。

圖4 螺旋槽曲面上接觸線求解區(qū)間

定義刀具螺旋槽曲面上接觸線的點(diǎn)為pwn，接觸線最低點(diǎn)pw2為砂輪端面橢圓于芯厚圓相切點(diǎn)，接觸線最高點(diǎn)pw1或pw3，其中pw1為砂輪端面圓與刀具棒料圓的交點(diǎn)，pw3為砂輪某個(gè)截面刀具棒料外圓柱面切點(diǎn)。因此在圖4a 中，rc為芯厚半徑，經(jīng)過點(diǎn)(-rc,0)并平行于ZW軸的直線與砂輪端面的交點(diǎn)pk2一定略低于pw2，與砂輪的另一側(cè)砂輪端面的交點(diǎn)pk3一定高于pw3，砂輪端面與刀具棒料右側(cè)母線的交點(diǎn)pk1一定高于pw1。接觸線求解區(qū)間預(yù)估如下：

式中：Hg為砂輪厚度。

將旋槽徑向截形輪廓坐標(biāo)點(diǎn)S(x(t),y(t))代入式（6），計(jì)算螺旋槽接觸線旋轉(zhuǎn)角度ξ(t)，則螺旋槽曲面與磨損砂輪回轉(zhuǎn)面的接觸線pw(t)在砂輪坐標(biāo)系下表示為

將接觸線pw(t)繞砂輪軸線回轉(zhuǎn)得到磨損砂輪回轉(zhuǎn)面方程C(t,ψ)，其在砂輪坐標(biāo)系下可表達(dá)為：

2 磨損砂輪的磨削位姿約束函數(shù)關(guān)系

根據(jù)上一節(jié)計(jì)算得到的磨損砂輪輪廓，需要通過調(diào)整砂輪磨削位置和姿態(tài)，對(duì)所加工螺旋槽輪廓進(jìn)行補(bǔ)償從而持續(xù)保證螺旋槽的加工精度。基于此，首先基于磨損砂輪重新構(gòu)建螺旋槽輪廓計(jì)算模型，然后根據(jù)螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)幾何定義建立磨損砂輪的位姿約束函數(shù)關(guān)系式。

2.1 基于磨損砂輪重構(gòu)螺旋槽輪廓計(jì)算模型

為了與上一節(jié)中螺旋槽曲面上的接觸線pw區(qū)別，本節(jié)計(jì)算的接觸線為砂輪回轉(zhuǎn)面上的接觸線pg。在螺旋槽磨削過程中，砂輪接觸線上點(diǎn)的法矢量N(t,ψ)與速度矢量V(t,ψ)相互垂直[3-4]，如圖5 所示。由于磨削過程中砂輪與刀具的位姿關(guān)系相對(duì)恒定，為了計(jì)算方便且不失通用性，本文僅計(jì)算砂輪在初始位姿時(shí)接觸線上點(diǎn)的法矢量與速度矢量。

圖5 螺旋槽徑向截形輪廓形成原理圖

（1）將砂輪回轉(zhuǎn)面方程變換到刀具坐標(biāo)系下進(jìn)行描述。

對(duì)刀具坐標(biāo)系下的砂輪回轉(zhuǎn)面方程變量分別求偏導(dǎo)，并叉乘得到回轉(zhuǎn)面點(diǎn)的法矢量N(t,ψ)：

砂輪回轉(zhuǎn)面上任意點(diǎn)的速度矢量V(t,ψ)為其運(yùn)動(dòng)變換矩陣Me(ξ)的導(dǎo)數(shù)：

（2）聯(lián)立式（10）、式（12）和式（13），建立砂輪接觸線的求解方程。

式中：B1=axcosα+κsinα，B2=(R(t)R′(t)-zL(t))sinα+ay，B3=(κcosα-axsinα)R′(t)。

將式（14）中sinψ與cosψ看成兩個(gè)未知量，同時(shí)sin2ψ+cos2ψ=1，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)即為式（14）的解。由于螺旋槽磨削過程中砂輪只有靠近刀具的部分能參與磨削，接觸線上所有點(diǎn)在坐標(biāo)軸XG方向的坐標(biāo)必定小于0（即cosψ＞ 0），因此接觸線上點(diǎn)的回轉(zhuǎn)角度ψ(t)可表達(dá)為

（3）將式（15）代入砂輪回轉(zhuǎn)面方程式（11）計(jì)算出砂輪與工件的接觸線C(t,ψ(t))，并將接觸線通過運(yùn)動(dòng)變換矩陣變換到徑向截面下，得到磨損砂輪磨削的螺旋槽輪廓方程。

2.2 螺旋槽輪廓與磨損砂輪的位姿約束

圖6 螺旋槽徑向截面下參數(shù)定義

（1）設(shè)螺旋槽輪廓線起點(diǎn)p1位于螺旋刃線上，則矢量P1與T1的夾角為前角。當(dāng)T1×P1的ZW坐標(biāo)為正時(shí)，前角為正，反之前角為負(fù)，螺旋槽前角關(guān)于砂輪位姿的函數(shù)fγ如下：

式中：tr(0,0,1)。

（2）設(shè)螺旋槽芯厚點(diǎn)為p2，螺旋槽輪廓與芯厚圓在點(diǎn)p2處相切，即矢量P2×T2=0。芯厚存在負(fù)芯厚情況，發(fā)生該類情況需要舍棄，如圖7 所示，芯厚關(guān)于砂輪位姿的函數(shù)frc如下：

圖7 負(fù)芯厚示意圖

（3）設(shè)螺旋槽輪廓曲線終點(diǎn)為p3，則矢量P3與P1的夾角為槽寬。當(dāng)P1·P3的ZW的坐標(biāo)為正時(shí)，槽寬小于180°，反之槽寬大于180°，如圖8 所示。槽寬關(guān)于砂輪位姿的函數(shù)f?如下：

圖8 槽寬?＞180°示意圖

3 磨損砂輪的磨削位姿調(diào)整迭代計(jì)算

為了設(shè)計(jì)磨損砂輪位姿求解算法，首先根據(jù)式（17）～式（19）分別分析砂輪位姿中心距ax、偏移距ay、安裝角α對(duì)螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，如圖9所示?？梢钥闯?，砂輪位姿VecX(ax,ay,α)每項(xiàng)參數(shù)都會(huì)影響到螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，因而采取分而治之的迭代規(guī)則無法得到全局最優(yōu)解。

圖9 砂輪位姿對(duì)螺旋槽結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

因此，需要將砂輪位姿看成一個(gè)整體將非線性方程組求解問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)優(yōu)化問題是一種高效處理方法。

式中：權(quán)重系數(shù)1≥ε1≥ε2≥ε3。

本文采用粒子群算法作為示例進(jìn)行求解，其迭代規(guī)則見式（21），算法流程如圖10 所示。

圖10 磨削算法流程圖

式中：ω為慣性權(quán)重，c1和c2為學(xué)習(xí)因子，r1和r2為[0,1]的隨機(jī)數(shù)，pbesti為個(gè)體最優(yōu)，gbest為全局最優(yōu)。

值得注意的是，算法的初始砂輪位姿搜索空間估計(jì)對(duì)于求解穩(wěn)定性至關(guān)重要。砂輪磨損會(huì)導(dǎo)致實(shí)際磨削的螺旋槽與設(shè)計(jì)相比，前角和槽寬參數(shù)變小，芯厚參數(shù)變大。由圖9 的分析可知，砂輪位姿搜索空間應(yīng)當(dāng)減小中心距ax、增大偏移距ay。為了避免砂輪磨削式刃線發(fā)生干涉，砂輪安裝角α的范圍為[90-β,0)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 螺旋槽設(shè)計(jì)及磨削工藝初始參數(shù)設(shè)置

為了驗(yàn)證本文提出算法的有效性，試驗(yàn)在某刀具企業(yè)的整體式立銑刀加工過程中進(jìn)行。螺旋槽設(shè)計(jì)參數(shù)和加工所使用的砂輪幾何參數(shù)見表1。螺旋槽磨削NC 代碼由數(shù)控磨床配套軟件生成，換算成砂輪安裝位姿見表1。試驗(yàn)所使用的五軸數(shù)控工具磨床（JL-20155X）及砂輪（SDC120C100-C）如圖11所示。

表1 螺旋槽設(shè)計(jì)和磨削工藝初始參數(shù)

圖11 螺旋槽磨削所使用的機(jī)床與砂輪

4.2 不規(guī)則磨損砂輪輪廓的反求計(jì)算及誤差分析

砂輪在完成若干次螺旋槽磨削之后，選用最近加工的一支刀具棒料，使用光學(xué)檢測(cè)儀PG1000 對(duì)其螺旋槽端面輪廓進(jìn)行測(cè)量，得到螺旋槽輪廓點(diǎn)坐標(biāo)見表2。將輪廓點(diǎn)采用三次樣條曲線插值擬合方法得到調(diào)整前加工的螺旋槽輪廓方程，與設(shè)計(jì)的螺旋槽輪廓對(duì)比如圖12 所示。分析對(duì)比結(jié)果可知，砂輪由于磨損導(dǎo)致磨削加工的螺旋槽與設(shè)計(jì)要求相比有較大誤差，前角誤差為34.133%，芯厚誤差為26.312 3%，槽寬誤差為8.714 4%。其中螺旋槽前刀面的磨削量最大，磨削該處的砂輪磨損也最為嚴(yán)重，前角γ和芯厚rc誤差均超過25%，已經(jīng)完全不滿足加工要求。

表2 磨損砂輪位姿調(diào)整前磨削的螺旋槽輪廓點(diǎn)坐標(biāo)測(cè)量值

圖12 調(diào)整前的螺旋輪廓磨削結(jié)果實(shí)測(cè)圖

根據(jù)調(diào)整前加工的螺旋槽輪廓曲線，采用本文第1 章所提出的方法計(jì)算磨損砂輪輪廓（圖13），得到砂輪輪廓點(diǎn)坐標(biāo)見表3，磨損砂輪形狀如圖9所示。對(duì)比螺旋槽加工誤差，砂輪越靠近端面部分磨損越嚴(yán)重，且磨損看輪廓弧線曲率也越來越大，呈現(xiàn)不規(guī)則磨損狀態(tài)。

表3 反算得到的磨損砂輪輪廓點(diǎn)坐標(biāo)值

圖13 反算的磨損砂輪輪廓圖

4.3 磨損砂輪的磨削位姿調(diào)整及結(jié)果分析

根據(jù)本文第3 章提出的磨損砂輪位姿優(yōu)化算法，采用Visual Studio 2019 編寫圖7 所示的C++算法程序，算法參數(shù)設(shè)置、計(jì)算得到的砂輪磨削位姿見表4。將砂輪位姿生成砂輪磨削軌跡進(jìn)行仿真加工，將砂輪磨削軌跡經(jīng)后置處理生成機(jī)床加工NC 代碼，對(duì)銑刀螺旋槽進(jìn)行磨削加工，仿真加工與實(shí)際加工結(jié)果如圖14 所示。分析加工結(jié)果可知，仿真加工的螺旋槽各參數(shù)誤差均在0.01%以下，由于實(shí)際加中機(jī)床誤差無法避免，實(shí)際加工的各項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差均在1%以下，滿足加工需求。對(duì)比4.2 的加工結(jié)果可知，本文提出的磨損砂輪優(yōu)化調(diào)整算法能有效解決砂輪加工過程中砂輪不斷磨損導(dǎo)致加工精度不足的問題。

表4 算法參數(shù)設(shè)置

圖14 調(diào)整后的螺旋槽截形仿真及實(shí)測(cè)圖

5 結(jié)語

（1）針對(duì)螺旋槽磨削過程中砂輪不規(guī)則磨損導(dǎo)致螺旋槽加工精度降低的問題，提出了一種計(jì)算磨損砂輪輪廓以及位姿優(yōu)化的算法。

（2）對(duì)砂輪和螺旋槽之間的接觸線求解的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行了闡述，并通過砂輪的位姿對(duì)接觸線的求解區(qū)間做出預(yù)估，確保磨損砂輪輪廓求解的正確性，結(jié)果表明所求解的砂輪輪廓與實(shí)際磨損砂輪輪廓基本一致。

（3）采用粒子群算法針對(duì)磨損砂輪重新進(jìn)行位姿優(yōu)化，通過三刃平頭立銑刀進(jìn)行磨削實(shí)際加工，最后對(duì)比了螺旋槽設(shè)計(jì)參數(shù)與實(shí)際加工的螺旋槽的參數(shù)的誤差大小，實(shí)際加工誤差均在2%以下，證明了該算法能夠滿足工程的需要。