■江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 陳選明

2023年高考數(shù)學(xué)全國乙卷對解析幾何部分主要考查了直線、圓和三類圓錐曲線內(nèi)容,實現(xiàn)了對基礎(chǔ)知識的全方位覆蓋。試題雖然看似平和,卻極具思維含量,真正體現(xiàn)了求解入口寬,思路多樣,突出通性通法等特點,真實反映考生的基礎(chǔ)理解水平,在“反刷題”“反套路”上下功夫,抑制“秒殺”,不提倡一知半解所謂的“高觀點”。突出強調(diào)對基本概念和基本方法的深入理解和靈活掌握,注重考查學(xué)科知識的綜合應(yīng)用能力。問題設(shè)置了合理的思維強度,在解決問題時設(shè)置合適的運算過程和運算量,下面從試題的考查形式進行評析。

一、直線與圓：回歸圓心,注重考查圓的幾何性質(zhì)

高考試題一般不會單獨考查圓,往往都是結(jié)合直線、橢圓等,這類試題的難度為中低檔。對于涉及圓的問題,只要從圓心出發(fā)思考問題,回歸圓心基本上都是可行的,也是最好的視角,正所謂“圓不離心”。

例1(2023 年全國乙卷理科第12題)已知☉O的半徑為1,直線PA與☉O相切于點A,直線PB與☉O交于B,C兩點,D為BC的中點,若的最大值為( )。

解析：由題意知,|OA|=1,,所以∠APO=45°。

故選A。

點評:本題將直線與圓的位置關(guān)系和平面向量有機地進行結(jié)合,同學(xué)們可以從向量數(shù)量積的概念、幾何意義、坐標(biāo)表示等多種角度進行思考,命題人對這三種角度的難度做了比較有梯度的設(shè)置,用基本概念法需要同學(xué)們對三角函數(shù)的知識運用熟練;用幾何意義法需要同學(xué)們有一定的平面幾何推理能力;用坐標(biāo)表示法需要同學(xué)們有較高的數(shù)學(xué)運算與邏輯推理能力。該題全面考查了向量的基本概念、向量的數(shù)量積運算、三角的恒等變形及最值、圓的幾何性質(zhì)等,深入考查了化歸與轉(zhuǎn)化思想,以及同學(xué)們思維的靈活性與創(chuàng)新性。

二、圓錐曲線客觀題：回歸概念與性質(zhì),注重考查平面圖形的幾何特征

概念反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征,如橢圓、雙曲線和拋物線的概念刻畫了相應(yīng)幾何對象必須滿足最典型的數(shù)量關(guān)系。首先,理解概念就是理解一個數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ),如果不理解概念,解題就無從談起。其次,解析幾何的對象是形,雖然解析幾何是用代數(shù)方法研究“形”的性質(zhì),但是其本身“形”的特征還是要充分尊重的,特別是客觀題“重概念考性質(zhì)”的特點更加決定了該類題的求解還是要從概念和性質(zhì)出發(fā),盡量減少運算。

例2(2023 年全國乙卷理科第11題)設(shè)A,B為雙曲線上兩點,則下列四個點中,可以作為線段AB的中點的是( )。

A.(1,1) B.(-1,2)

C.(1,3) D.(-1,-4)

對于選項A:可得kOM=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯(lián)立消去y整理得72x2-2×72x+73=0,此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288＜0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,所以A 錯誤;

對于選項C:可得kOM=3,kAB=3,則直線AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則直線AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤;

故選D。

點評:本題涉及中點弦問題,解答思路為先求出以選項中的點為中點的直線AB的方程,再檢驗所求直線的方程與雙曲線是否相交,若相交,則符合條件。解答本題需要逆向思維,對同學(xué)們有一定的挑戰(zhàn)性,需熟練掌握“點差法”、數(shù)形結(jié)合法,以及常用結(jié)論kAB·kOM=e2-1,在小題中利用一些常用結(jié)論,結(jié)合選擇支驗證可避免小題大做。

三、解析幾何解答題：優(yōu)化解題路徑,減少解析幾何題的運算量

解決解析幾何大題最頭疼的無疑就是運算。解析幾何就是用代數(shù)的方法研究幾何問題,在這個過程中要經(jīng)歷文字信息、圖形特征和符號語言之間的多重轉(zhuǎn)換,大多數(shù)同學(xué)會遇到“不知如何下手”“運算煩瑣,算不下去”等問題,他們往往對圖形的整體認識不夠全面,對圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系把握不到位,找不到解題方法。

解析幾何的研究方法主要是代數(shù)方法,“算”是必須的,解答題的目標(biāo)定位之一就是考查運算能力。優(yōu)化運算需要從問題轉(zhuǎn)化與運算途徑兩個方面進行,將幾何問題翻譯為代數(shù)問題,充分利用幾何性質(zhì),從而減少運算。代數(shù)方法具體體現(xiàn)為運用方程的觀點與方法處理問題,運算對象大多是建立在方程的基礎(chǔ)上,因此“方程”是求解解析幾何問題的一個“數(shù)學(xué)原點”,深入理解方程及其相關(guān)算理,是破除解析幾何中運算障礙的一條可行且有效的途徑。同學(xué)們在解題過程中大多習(xí)慣于聯(lián)立方程,然后利用判別式、韋達定理,最后整體代入,但是一旦關(guān)系式過于復(fù)雜就可能半途而廢。因此,同學(xué)們不僅要能熟練運用韋達定理,更要在細節(jié)上下功夫,從而優(yōu)化運算,收到“化平庸為神奇”的效果。

例3(2023 年全國乙卷理科第20題)已知橢圓的離心率是,點A-2,0（ ）在橢圓C上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點。

所以線段MN的中點為定點(0,3)。

點評:本題考查的是調(diào)和線束的一個性質(zhì),即平行線被調(diào)和線束平分。當(dāng)然同學(xué)們在考場中也可以用極限的觀點先猜測出定點,再證明即可! 這道解析幾何很常規(guī),雖然說是極點極線背景下的問題,卻沒有落入套路,需要老老實實運算,考查了解析幾何的基本思想和基本方法,對同學(xué)們的運算能力要求很高。定點問題作為高考的熱點,有很多好的方法和性質(zhì)值得探究。

通過對以上考題的分析我們可以看到,對于解析幾何部分的復(fù)習(xí),我們必須回歸教材,充分認識解析幾何學(xué)習(xí)的本質(zhì),重視對基本概念和幾何性質(zhì)的學(xué)習(xí),深化對基本知識與思想方法的理解?；貧w試題的原點,充分尊重問題的“個性特征”,進一步展示具體問題具體分析,體現(xiàn)靈活性?；貧w同學(xué)們學(xué)習(xí)的原點,掌握問題的通性通法是根本出發(fā)點,可以更好地促進同學(xué)們的思維提升,全面提升同學(xué)們的核心素養(yǎng)。