辛楠

安徽公安職業(yè)學(xué)院，安徽合肥，230031

0 引言

渦流檢測(cè)技術(shù)是常用的無(wú)損檢測(cè)技術(shù)的一種，能在不破壞被測(cè)試體的情況下檢測(cè)其可能存在的缺陷，因此得到廣泛應(yīng)用。1873年，麥克斯韋首次用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述了電磁場(chǎng)理論，建立了完整又嚴(yán)密的電磁場(chǎng)基礎(chǔ)，麥克斯韋方程組也是渦流檢測(cè)的理論基礎(chǔ)[1]。文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]在渦流檢測(cè)解析計(jì)算方面做了很多研究，對(duì)于線(xiàn)圈正對(duì)導(dǎo)體平面的模型、線(xiàn)圈正對(duì)直角導(dǎo)體邊緣的模型等均進(jìn)行了解析計(jì)算方法的研究。文獻(xiàn)[4]通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法計(jì)算了檢測(cè)線(xiàn)圈正對(duì)導(dǎo)電平板時(shí)的瞬態(tài)渦流響應(yīng)。

雷銀照在時(shí)諧電磁場(chǎng)解析計(jì)算領(lǐng)域做了大量研究[5]。陳興樂(lè)研究了放置在金屬管道外的多匝鞍形激勵(lì)線(xiàn)圈的渦流解析解以及探頭線(xiàn)圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式[6]，然后建立了圓柱形線(xiàn)圈位于圓盤(pán)狀導(dǎo)體上方的模型，采用拉普拉斯逆變換的方法推導(dǎo)出渦流場(chǎng)的時(shí)域解析解，并根據(jù)結(jié)果提取了測(cè)量導(dǎo)體厚度的特征量[7]，后來(lái)，陳興樂(lè)針對(duì)任意放置在金屬管道外的激勵(lì)線(xiàn)圈模型在脈沖渦流場(chǎng)下的時(shí)域解析解進(jìn)行了計(jì)算[8-9]。文獻(xiàn)[10]通過(guò)解析計(jì)算方法得到了渦流傳感器的阻抗表達(dá)式，與仿真結(jié)果一致。

1 渦流檢測(cè)模型的建立

如圖1所示，本文中使用的線(xiàn)圈模型是一個(gè)激勵(lì)線(xiàn)圈和一個(gè)檢測(cè)線(xiàn)圈，激勵(lì)線(xiàn)圈位于檢測(cè)線(xiàn)圈正上方。將檢測(cè)線(xiàn)圈與激勵(lì)線(xiàn)圈分離，且激勵(lì)線(xiàn)圈位于檢測(cè)線(xiàn)圈的正上方，檢測(cè)線(xiàn)圈靠近被測(cè)試體，檢測(cè)線(xiàn)圈受到激勵(lì)場(chǎng)的影響就會(huì)變小，而感生渦流變化對(duì)檢測(cè)線(xiàn)圈的影響就會(huì)更明顯地體現(xiàn)出來(lái)，平板導(dǎo)體相對(duì)于檢測(cè)探頭可以看作無(wú)限大。采用有限元仿真軟件Maxwell進(jìn)行渦流檢測(cè)仿真分析，整個(gè)模型的參數(shù)如下：激勵(lì)線(xiàn)圈內(nèi)徑為9mm、外徑為15mm，檢測(cè)線(xiàn)圈內(nèi)徑為2mm、外徑為5mm，平板導(dǎo)體的尺寸為100mm×100mm×25mm，相對(duì)磁導(dǎo)率為1，金屬導(dǎo)體電導(dǎo)率為1300000S/m，線(xiàn)圈均為銅制材料，提離距離0.2mm。

圖1 渦流檢測(cè)模型圖

2 激勵(lì)線(xiàn)圈矢量磁位的解析計(jì)算

要求解激勵(lì)線(xiàn)圈放置在空中時(shí)的矢量磁位表達(dá)式，首先求解單匝線(xiàn)圈放置在空氣中的矢量磁位表達(dá)式。如圖2所示，線(xiàn)圈位于平板導(dǎo)體的幾何中心，且平板導(dǎo)體與線(xiàn)圈都是軸對(duì)稱(chēng)的，所以整個(gè)系統(tǒng)是軸對(duì)稱(chēng)的。在分析計(jì)算時(shí)，選用柱坐標(biāo)系，線(xiàn)圈的軸與柱坐標(biāo)系的Z軸重合。單匝線(xiàn)圈會(huì)將導(dǎo)體上方空間區(qū)域分成上下兩部分，將線(xiàn)圈上方的區(qū)域記為Ι，線(xiàn)圈下方、導(dǎo)體上方的區(qū)域記為Ⅱ，導(dǎo)體下方的區(qū)域記為Ⅲ。

圖2 單匝激勵(lì)線(xiàn)圈和平板導(dǎo)體

由麥克斯韋方程組可以推導(dǎo)出區(qū)域的矢量磁位表達(dá)式為：

上面考慮的是單匝線(xiàn)圈置于空氣中時(shí)矢量磁位的表達(dá)式，假設(shè)多匝線(xiàn)圈的內(nèi)外半徑分別為和，設(shè)和分別為激勵(lì)線(xiàn)圈的上下邊界。多匝線(xiàn)圈可以近似地看作是單匝線(xiàn)圈在不同高度和半徑處的線(xiàn)性組合，因此對(duì)于多匝線(xiàn)圈的矢量磁位表達(dá)式可以寫(xiě)作：

將式（1）代入式（3）中可得：

連立方程求解得到：

3 檢測(cè)線(xiàn)圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算

根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算公式，激勵(lì)線(xiàn)圈在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

將式（7）代入式（13）中可得：

此時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)是均勻、線(xiàn)性且各向同性的，因此整個(gè)系統(tǒng)必定是滿(mǎn)足疊加定理的。我們可以將導(dǎo)體想象成由無(wú)數(shù)個(gè)具有矩形截面的體電流元組成，而每一個(gè)體電流元都可以看作一個(gè)單匝線(xiàn)圈。取任意位置處的體電流元為研究對(duì)象，將其看作是單匝線(xiàn)圈，截面是一個(gè)矩形，設(shè)該截面面積為。體電流元的上方記作區(qū)域，體電流元的下方記作區(qū)域，根據(jù)上一節(jié)的式（1）和（2）可以得到該體電流元在區(qū)域和區(qū)域中產(chǎn)生的矢量磁位：

我們已經(jīng)知道了體電流元在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的矢量磁位分布，設(shè)該體積為的體電流元在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算公式可得體電流元在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

則整個(gè)導(dǎo)體在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：

檢測(cè)線(xiàn)圈中總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)則為：

直接手工計(jì)算上式十分困難，本文采用的是python的Scipy模塊和Numpy。由貝塞爾函數(shù)的遞推性，將式（21）進(jìn)一步展開(kāi)為：

要計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)的渦流在檢測(cè)線(xiàn)圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，需要對(duì)平板導(dǎo)體進(jìn)行劃分，由于渦流主要集中在導(dǎo)體近表面和中心的區(qū)域，因此可以選取半徑30mm、深度20mm的區(qū)域?yàn)橛?jì)算區(qū)域來(lái)劃分體電流元，以徑向?yàn)?.2mm、深度為0.2mm的間隔劃分計(jì)算區(qū)域，則可以劃分為150*100個(gè)體電流元，由于是以導(dǎo)體表面的中心點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以 和 的取值范圍分別為(0,30)、(-20,0)。理論上劃分得越精細(xì)，算出來(lái)的結(jié)果也就越精確。將式（17）的渦流密度表達(dá)式代入式（24）可得：

于是，檢測(cè)線(xiàn)圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算得到的結(jié)果為：

檢測(cè)線(xiàn)圈感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的幅值為4.72mV，通過(guò)仿真計(jì)算得到的結(jié)果為4.9mV。而之所以存在誤差，是因?yàn)槲覀冊(cè)诒磉_(dá)激勵(lì)線(xiàn)圈的電渦流密度時(shí)，使用了近似的表達(dá)式，另外，在選擇計(jì)算區(qū)域來(lái)劃分體電流元時(shí)與實(shí)際情況也存在出入，造成了計(jì)算與仿真結(jié)果之間的誤差。

4 結(jié)論

本文主要介紹了單匝激勵(lì)線(xiàn)圈置于空氣中時(shí)，線(xiàn)圈上下區(qū)域的矢量磁位表達(dá)式，再結(jié)合第一類(lèi)與第二類(lèi)邊界條件得出導(dǎo)體部分的矢量磁位。將導(dǎo)體假設(shè)為由無(wú)數(shù)個(gè)可視為單匝線(xiàn)圈的體電流元組成，便可推導(dǎo)出體電流元在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的矢量磁位表達(dá)式，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)計(jì)算公式可得單個(gè)體電流元在檢測(cè)線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再對(duì)整個(gè)導(dǎo)體體積進(jìn)行積分得到檢測(cè)線(xiàn)圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的解析計(jì)算公式，并利用仿真驗(yàn)證了該積分解析模型的準(zhǔn)確率達(dá)到了95%以上。