林佳祥

（國(guó)網(wǎng)漳州供電公司）

0 引言

電力系統(tǒng)的高壓配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題是電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流（OPF）的一項(xiàng)重要內(nèi)容，隨著新型電力系統(tǒng)的電源節(jié)點(diǎn)復(fù)雜及市場(chǎng)化，安全穩(wěn)定運(yùn)行計(jì)算越來(lái)越受到關(guān)注［1-3］。

傳統(tǒng)的優(yōu)化算法處理特定問(wèn)題需要特定的公式，但PSO（粒子群算法［4］）可通過(guò)優(yōu)化來(lái)適應(yīng)不同種類的問(wèn)題。PSO本質(zhì)上是在整個(gè)解空間同時(shí)尋優(yōu)，通過(guò)個(gè)體適應(yīng)度之間比較來(lái)獲取優(yōu)良的信息，這有效地提高了結(jié)果的精確度和計(jì)算時(shí)間，并且還能簡(jiǎn)單地處理非連續(xù)變量，更快地收斂于最優(yōu)解。因此PSO在電力系統(tǒng)的運(yùn)用具有光明的前景。

1 粒子群優(yōu)化算法

1.1 粒子群優(yōu)化算法流程

基本粒子群優(yōu)化算法的流程如圖1所示，其主要計(jì)算步驟如下：

圖1 基本粒子群優(yōu)化算法流程圖

（1）對(duì)種群初始化。包括設(shè)置一些參數(shù)，在定義的空間中動(dòng)態(tài)隨機(jī)生成m個(gè)粒子組成種群初始值，并隨機(jī)產(chǎn)生各粒子初始位置xi和初始移動(dòng)速度vi。

（2）評(píng)價(jià)種群xi，計(jì)算每個(gè)粒子搜索空間區(qū)域的目標(biāo)函數(shù)適應(yīng)值。

（3）更新局部最優(yōu)pbest和全局最優(yōu)gbest。通過(guò)適應(yīng)值大小更新pbest和gbest。

（4）按照式（1）和（2）更新粒子的速度和位置，生成新種群粒子的位置和速度。

在一個(gè)D維的可行目標(biāo)搜索區(qū)域中，群體由m個(gè)粒子構(gòu)成，其中xi＝（xi1，xi2，…，xiD），i＝1，2，…，m，為第i個(gè)粒子的位置矢量。而vi＝（vi1，vi2，…，viD），為粒子i的飛行速度，即粒子移動(dòng)的步長(zhǎng)，它也是一個(gè)D維的速度矢量。根據(jù)開(kāi)始設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)來(lái)計(jì)算xi當(dāng)前的適應(yīng)值，并依此來(lái)衡量粒子位置的優(yōu)劣。并用向量pi＝（pi1，pi2，…，piD）來(lái)代表第i個(gè)粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置，即局部最優(yōu)解；而pg＝（pg1，pg2，…，pgD），為整個(gè)粒子群中到目前搜索到的最優(yōu)位置，即目標(biāo)的全局最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子依據(jù)式（1）和（2）更新速度和位置。（5）判斷結(jié)束條件，若符合，則尋優(yōu)終止（通常是最大迭代次數(shù)或評(píng)價(jià)精度）；否則，返回步驟（2）。

1.2 帶慣性權(quán)重的粒子群優(yōu)化算法

為了改善基本粒子群優(yōu)化算法的收斂特性，即更好的控制算法的開(kāi)發(fā)和探索能力，Shi與Eberhart在1998年的國(guó)際會(huì)議上發(fā)表了題為“Amodifiedparticle swarmoptimizer”的論文［5］，論文在算法的速度項(xiàng)引入慣性權(quán)重因子ω，如式（3）所示。

當(dāng)ω＝1時(shí)，上式就是基本的PSO。ω值越大，全局搜索能力加強(qiáng)，局部尋優(yōu)變?nèi)酰沪刂递^小，局部搜索能力變強(qiáng)，全局尋優(yōu)減弱。這種帶有慣性權(quán)重的PSO稱為標(biāo)準(zhǔn)的粒子群優(yōu)化算法（WPSO）。

慣性權(quán)重ω對(duì)局部尋優(yōu)能力和全局尋優(yōu)能力起著權(quán)衡的作用，它體現(xiàn)了上一次迭代的速度對(duì)本次迭代速度的影響。因而，通過(guò)一定的數(shù)學(xué)公式適當(dāng)?shù)乜刂茟T性權(quán)重的取值范圍可調(diào)節(jié)其在局部和全局的尋優(yōu)能力。把慣性權(quán)重設(shè)為一個(gè)隨迭代次數(shù)線性減少的一次函數(shù)，慣性權(quán)重線性遞減公式為：

其中，ωmax為初始最大權(quán)重；ωmin為末尾最小權(quán)重；t為當(dāng)前迭代次數(shù)；Tmax為最大迭代次數(shù)。剛開(kāi)始慣性權(quán)重較強(qiáng)，前一速度的影響較大，全局搜索能力較強(qiáng)；逐漸地，慣性權(quán)重變小，前一速度的影響較小，局部搜索能力較強(qiáng)?？赏ㄟ^(guò)權(quán)重函數(shù)的大小調(diào)整跳出局部極小值。

1.3 帶收縮因子的粒子群優(yōu)化算法

根據(jù)收縮因子χ來(lái)選擇慣性權(quán)重和加速因子，其中收縮因子是加速因子的函數(shù)：

在使用時(shí)通常讓兩個(gè)加速因子為2.05，沒(méi)有設(shè)置最大速度來(lái)限制。但許多實(shí)驗(yàn)表明，利用收縮因子的算法具有更好的收斂性，但是在一些測(cè)試函數(shù)中卻無(wú)法在給定的迭代次數(shù)內(nèi)達(dá)到全局極值點(diǎn)。因此，采取了速度限制vmax＝xmax，或者預(yù)先設(shè)置搜索空間。

1.4 粒子群優(yōu)化算法函數(shù)測(cè)試

為了提高PSO算法的全局尋優(yōu)能力，本文對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)并對(duì)改進(jìn)前后的算法做了驗(yàn)證比較，基于MATLAB軟件編程對(duì)PSO進(jìn)行調(diào)試，并對(duì)一典型無(wú)約束的數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行仿真。所選取的測(cè)試函數(shù)為Sphere函數(shù)，其表達(dá)式為：

式中，n表示Sphere函數(shù)的維度。下面是Sphere的維度為2時(shí)的函數(shù)圖形；通過(guò)改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法得到的幾種Sphere函數(shù)的收斂曲線，如圖2所示。

圖2 Sphere函數(shù)圖

圖3是利用MATAB進(jìn)行優(yōu)化的算法維度為30時(shí)迭代次數(shù)和適應(yīng)值的收斂曲線。

圖3 不同算法的優(yōu)化結(jié)果

從圖3收斂曲線看出，四種算法中，PSO的收斂最慢，且虛線出現(xiàn)了不同程度的臺(tái)階，說(shuō)明該算法可能陷入局部極小值，盡管早期的收斂較快，但到后期收斂性明顯變差。而CPSO、WCPSO對(duì)PSO進(jìn)行了改進(jìn)，特別是在進(jìn)化的后期，通過(guò)調(diào)節(jié)慣性權(quán)重和加速因子，使得粒子在局部進(jìn)行精確的搜索收斂速度變快。四種算法中WCPSO的性能最優(yōu)，通過(guò)自適應(yīng)加速度調(diào)節(jié)粒子向自身學(xué)習(xí)與周圍粒子的信息共享，并通過(guò)慣性權(quán)重調(diào)節(jié)粒子當(dāng)前速度對(duì)下一代的速度的影響，使得它在收斂性和精度上都得到了很好的效果。

2 基于粒子群優(yōu)化算法的無(wú)功優(yōu)化

2.1 無(wú)功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型一般由目標(biāo)函數(shù)、功率約束方程和變量約束條件三部分構(gòu)成。目前，常用的目標(biāo)函數(shù)有：有功功率網(wǎng)損最小、電壓質(zhì)量最優(yōu)、綜合網(wǎng)損和設(shè)備的投資最低四種。本文采用第一種情況：網(wǎng)損目標(biāo)最小。

式中，x，u分別是控制變量和狀態(tài)變量，控制變量是機(jī)端電壓、無(wú)功補(bǔ)償裝置和變壓器分接頭檔位；狀態(tài)變量是發(fā)電機(jī)發(fā)出的無(wú)功功率和節(jié)點(diǎn)電壓。

2.1.1 功率約束方程

（1）節(jié)點(diǎn)有功功率方程

（2）節(jié)點(diǎn)無(wú)功功率方程

式中，Qi、Pi、Vi分別是節(jié)點(diǎn)無(wú)功、有功和電壓；N表示和節(jié)點(diǎn)i相連的節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；θij表示節(jié)點(diǎn)i和j之間的相角差。

2.1.2 變量約束

對(duì)于變量約束有控制變量和狀態(tài)變量。因此，發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓，輸出無(wú)功和各節(jié)點(diǎn)的電壓范圍都有一定得限制，還有對(duì)于變壓器分接頭、無(wú)功補(bǔ)償裝置設(shè)備也有范圍要求。

（1）控制變量約束

1）發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓約束

2）無(wú)功補(bǔ)償裝置容量約束

3）變壓器變比約束

（2）狀態(tài)變量約束

1）各節(jié)點(diǎn)電壓約束

2）發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)無(wú)功約束

式中，NG、NC、NT、NL分別是發(fā)電機(jī)數(shù)目、無(wú)功補(bǔ)償裝置數(shù)目、調(diào)壓變壓器數(shù)目和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

2.2 基于粒子群優(yōu)化算法的無(wú)功優(yōu)化

2.2.1 算法中關(guān)鍵問(wèn)題的求解

無(wú)功優(yōu)化中粒子的構(gòu)造。由于無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)非單純線性的問(wèn)題，涉及到連續(xù)與離散的變量，因此如何選取控制變量成為問(wèn)題的首要目標(biāo)。選擇機(jī)端電壓、投切補(bǔ)償裝置容量、可調(diào)變壓器變比作為粒子的解。其中維度為D，如下：

由于上面的機(jī)端電壓是一個(gè)連續(xù)的變量，無(wú)需映射轉(zhuǎn)換。而對(duì)于離散變量需要進(jìn)一步的處理，這就涉及到粒子的編碼問(wèn)題。因此對(duì)機(jī)端電壓采用實(shí)數(shù)編碼，而變壓器變比和補(bǔ)償容量則用整數(shù)編碼來(lái)實(shí)現(xiàn)。

在無(wú)功補(bǔ)償裝置的容量為QC，每檔的容量步長(zhǎng)為M時(shí)，A為補(bǔ)償性質(zhì)，其中，A＝-1代表補(bǔ)償?shù)氖侨菪裕@時(shí)引進(jìn)一個(gè)范圍整數(shù)變量C，則有以下關(guān)系：

這時(shí)可以用D的范圍來(lái)代表上面粒子控制變量中的無(wú)功補(bǔ)償量，這樣就將離散變量轉(zhuǎn)成了連續(xù)的整數(shù)。同樣，在可調(diào)變壓中也可采用類似映射，設(shè)可調(diào)變比的每檔大小為N，變比為KT，引進(jìn)一個(gè)范圍整數(shù)B，則有下面關(guān)系：

例如，當(dāng)可調(diào)在0.9～1.1，N為0.0125時(shí)，B的范圍是［-8，8］。當(dāng)計(jì)算適應(yīng)值時(shí)，再把整數(shù)變量轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的實(shí)際值代入目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。因此式（16）可以用下式代替：

2.2.2 粒子群的初始化

對(duì)于在無(wú)功優(yōu)化中粒子的初始化，即控制變量的初始值，一般采用以下公式產(chǎn)生：

其中，xi、ximax、ximin分別是第i個(gè)粒子控制變量、最大和最小值。rand是一個(gè)在0～1的隨機(jī)函數(shù)。

2.2.3 變量約束條件的限制

在三個(gè)控制變量中即為粒子的解變量，由于這三個(gè)可以在設(shè)定粒子的解空間來(lái)限制，而節(jié)點(diǎn)電壓和發(fā)電機(jī)的輸出無(wú)功是狀態(tài)變量的越限，本文采用罰函數(shù)來(lái)處理，這樣就可以用式（21）來(lái)代替式（8）：

其中，ΔVi用式（22）來(lái)定義：

而ΔQi則用式（23）定義：

式中，λ1、λ2是罰系數(shù)；NL為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)數(shù)；NG為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)數(shù)。罰因子的變化可采用動(dòng)態(tài)的罰因子函數(shù)讓其隨著迭代次數(shù)的增加而增加，避免一開(kāi)始過(guò)于嚴(yán)厲而失掉有效信息。

2.2.4 適應(yīng)值的計(jì)算

無(wú)功優(yōu)化的粒子適應(yīng)值的計(jì)算采用和潮流結(jié)合，通過(guò)公式（22）作為計(jì)算的目標(biāo)值，并以這個(gè)作為粒子的適應(yīng)值來(lái)判斷粒子的優(yōu)良。

2.2.5 無(wú)功優(yōu)化粒子位置矢量和速度矢量的更新

在前文列出了速度和位置更新公式，而在無(wú)功優(yōu)化中粒子的更新也是依據(jù)式（1）和式（2）。只是在一些參數(shù)做了動(dòng)態(tài)的改變。

2.2.6 迭代終止條件

在無(wú)功優(yōu)化中，本文采用了迭代次數(shù)作為迭代終止條件。

2.2.7 潮流計(jì)算

適應(yīng)值的目標(biāo)函數(shù)包括網(wǎng)損和罰函數(shù)，第一部分采用牛頓·拉夫遜法進(jìn)行潮流計(jì)算，通過(guò)潮流計(jì)算得到發(fā)電機(jī)的無(wú)功輸出和節(jié)點(diǎn)電壓，可通過(guò)這兩個(gè)狀態(tài)變量得到處理罰函數(shù)的數(shù)據(jù)。

2.3 運(yùn)用PSO求解無(wú)功優(yōu)化的過(guò)程

求解無(wú)功優(yōu)化的粒子群優(yōu)化算法的流程如圖4所示。

圖4 基于WCPSO的無(wú)功優(yōu)化流程圖

其主要過(guò)程描述如下：

（1）讀入系統(tǒng)矩陣數(shù)據(jù)，包括系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)、結(jié)構(gòu)和控制變量參數(shù)等。設(shè)定粒子群一些參數(shù)值，并初始化粒子群，這就構(gòu)建了粒子的初解；并定義速度的取值范圍，這里還對(duì)適應(yīng)值進(jìn)行了初始化。

（2）進(jìn)入迭代循環(huán)，開(kāi)始迭代次數(shù)為零。此時(shí)進(jìn)行潮流計(jì)算，得到了網(wǎng)損和罰函數(shù)計(jì)算的兩個(gè)參數(shù)，并利用目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行適應(yīng)值計(jì)算。

（3）比較目標(biāo)函數(shù)和初始適應(yīng)值的大小，以此確定局部最優(yōu)pbest值及位置；并比較所有粒子的適應(yīng)值大小確定全局最優(yōu)gbest值和位置。

（4）對(duì)上面得到的局部最優(yōu)pbest和全局最優(yōu)gbest進(jìn)行信息提取，然后根據(jù)粒子的兩個(gè)更新公式對(duì)粒子進(jìn)行速度和位置的改變，并對(duì)其特殊情況進(jìn)行處理，這樣就產(chǎn)生了新的粒子速度和位置。

（5）自適應(yīng)地調(diào)整粒子的一些參數(shù)，如慣性權(quán)重和加速因子等。判斷迭代終止條件，如果迭代次數(shù)大于最大迭代次數(shù)則終止，否則，繼續(xù)進(jìn)行過(guò)程（2）。

（6）將得到的最終全局最優(yōu)個(gè)體，即最優(yōu)解，包括發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓、無(wú)功補(bǔ)償裝置容量和變壓器變比代入潮流矩陣中保存，并顯示目標(biāo)函數(shù)值。

3 算例應(yīng)用分析

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的IEEE-14節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)有兩個(gè)發(fā)電機(jī)，三臺(tái)調(diào)相機(jī)，還有三個(gè)可調(diào)變壓器，并設(shè)置了一組五個(gè)補(bǔ)償裝置。具體見(jiàn)表1。

表1 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)無(wú)功調(diào)節(jié)設(shè)備

從表2和圖5可知優(yōu)化后的效果明顯，網(wǎng)損明顯降低。而從圖6看出，優(yōu)化后的電壓質(zhì)量水平明顯提高。因此，系統(tǒng)在經(jīng)過(guò)無(wú)功優(yōu)化后，電網(wǎng)的安全性和經(jīng)濟(jì)性得到了提高。證明該算法具有可行性。

表2 IEEE-14節(jié)點(diǎn)各指標(biāo)平均優(yōu)化結(jié)果

圖5 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的優(yōu)化圖

圖6 IEEE-14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)電壓對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

電力系統(tǒng)高壓配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化是保證電力系統(tǒng)安全性、提高供電質(zhì)量和經(jīng)濟(jì)效益的重要舉措。本文綜述有關(guān)無(wú)功優(yōu)化理論和應(yīng)用研究對(duì)現(xiàn)實(shí)電力優(yōu)化具有指導(dǎo)意義。在綜述有關(guān)無(wú)功優(yōu)化經(jīng)典模型和智能算法的前提下，論文重點(diǎn)分析了粒子群優(yōu)化算法和深入研究探討無(wú)功優(yōu)化模型，豐富了高壓配電網(wǎng)無(wú)功優(yōu)化的理論和方法，表明了粒子群優(yōu)化算法在新型電力系統(tǒng)中廣闊的運(yùn)用前景。