張立峰, 陳 達(dá)

(華北電力大學(xué) 自動(dòng)化系，河北 保定 071003)

1 引 言

電容層析成像技術(shù)(electrical capacitance tomography, ECT)是最早發(fā)展起來(lái)的一種過(guò)程成像技術(shù),具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)輻射危害、價(jià)格便宜、易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn),具有廣泛的應(yīng)用前景[1,2]。

ECT系統(tǒng)一般由電容傳感器陣列、電容測(cè)量系統(tǒng)以及圖像重建系統(tǒng)3部分組成。其中圖像重建系統(tǒng)是ECT中非常關(guān)鍵的部分,圖像重建問(wèn)題的不適定性是獲得場(chǎng)域內(nèi)介質(zhì)真實(shí)空間分布的難點(diǎn)[3]。目前常見(jiàn)的圖像重建算法可分為直接算法、迭代算法、智能優(yōu)化算法。直接算法包括線(xiàn)性反投影算法(linear back projection, LBP)[4]、Tikhonov正則化算法[5]等;迭代算法包括Landweber算法[6]、ART代數(shù)重建算法等[7]。其中,LBP算法原理簡(jiǎn)單、成像速度快,但成像精度低;Tikhonov算法收斂穩(wěn)定但解過(guò)于光滑;Landweber算法和ART代數(shù)重建算法的重建精度要高于LBP算法和Tikhonov算法,但伴有明顯的偽影。針對(duì)直接算法和迭代算法存在的不足,近年來(lái)廣大學(xué)者將智能優(yōu)化算法應(yīng)用于圖像重建中。張立峰等將極限學(xué)習(xí)機(jī)運(yùn)用到電容層析成像中,重建圖像精度和邊緣保真度均優(yōu)于傳統(tǒng)直接算法和迭代算法[8];趙玉磊等運(yùn)用雙粒子群協(xié)同優(yōu)化的方法,消除了ECT重建過(guò)程中因忽略“軟場(chǎng)”效應(yīng)而產(chǎn)生的影響,提高了重建圖像精度[9];杜宇寧在ECT圖像重建中將遺傳算法和蟻群算法結(jié)合在一起,有效降低了重建圖像與原始圖像的相對(duì)誤差[10]。

白骨頂雞優(yōu)化算法(coot optimization algorithm, COA)是Iraj Naruei等于2021年根據(jù)模擬白骨頂雞在水中的集體運(yùn)動(dòng)提出的一種新研究的群體智能優(yōu)化算法[11],與粒子群優(yōu)化算法、鯨魚(yú)優(yōu)化算法和灰狼優(yōu)化算法等大部分群體智能優(yōu)化算法相比,能夠更有效地求解高維非線(xiàn)性問(wèn)題。為提高ECT圖像重建精度,本文提出一種基于改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法的ECT圖像重建方法,該算法在開(kāi)始階段有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力,在后期能夠有效跳出局部最優(yōu),并考慮了“軟場(chǎng)”效應(yīng)對(duì)圖像重建造成的誤差。最后,通過(guò)對(duì)單泡、兩泡、三泡、環(huán)流和層流5種常見(jiàn)的油/氣兩相分布模型進(jìn)行仿真和靜態(tài)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文算法的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文算法對(duì)所研究分布模型的重建質(zhì)量均有提高。

2 ECT原理

電容層析成像技術(shù)根據(jù)被測(cè)物質(zhì)各相具有不同的介電常數(shù),通過(guò)檢測(cè)管道中不同物質(zhì)所對(duì)應(yīng)的介電常數(shù)分布,獲得管道橫截面的流體狀況。從理論上而言,ECT圖像重建屬于對(duì)介電常數(shù)分布向量的求解過(guò)程[12]。

圖1 電容層析成像系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of the electrical capacitance tomography system

由電磁場(chǎng)理論可得施加電壓后被測(cè)場(chǎng)內(nèi)靜電場(chǎng)滿(mǎn)足拉普拉斯方程:

[ε(x,y)φ(x,y)]=0

(1)

式中:(x,y)為被測(cè)場(chǎng)內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo);ε(x,y)為(x,y)點(diǎn)的相對(duì)介電常數(shù);φ(x,y)為(x,y)點(diǎn)的電位。式(1)的邊界條件為:

(2)

式中:U為邊界激勵(lì)電壓;Γi為電極i所在的空間位置;Γs為屏蔽罩的位置;Γg為保護(hù)電極位置。

電極間的電容值與相對(duì)介電常數(shù)的關(guān)系為:

C=f(ε)

(3)

對(duì)式(3)進(jìn)行泰勒展開(kāi),忽略高階項(xiàng)并進(jìn)行歸一化處理可得:

Sg=C

(4)

式中:S為n×m的歸一化的靈敏度矩陣;g為m×1的歸一化介電常數(shù)矩陣;C為n×1歸一化電容數(shù)據(jù)矢量矩陣;n為獨(dú)立測(cè)量的電極對(duì)數(shù);m為場(chǎng)域剖分單元數(shù)。

3 白骨頂雞優(yōu)化算法

3.1 標(biāo)準(zhǔn)白骨頂雞優(yōu)化算法

白骨頂雞優(yōu)化算法是將白骨頂雞種群分為領(lǐng)導(dǎo)者、跟隨者,主要模擬了白骨頂雞在水中的兩種不同運(yùn)動(dòng)模式,即無(wú)序運(yùn)動(dòng)和同步運(yùn)動(dòng),并將這兩種運(yùn)動(dòng)模擬為算法中的3種行為:個(gè)體隨機(jī)移動(dòng)、鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng)、最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)。

1)個(gè)體隨機(jī)移動(dòng)

初始化種群時(shí),給每個(gè)個(gè)體選定一個(gè)隨機(jī)位置作為參照:

Q=rand(1,d)*(ub-lb)+lb

(5)

式中:ub和lb分別為搜索空間的上、下限;d為求解維度。

個(gè)體的新位置更新方式為:

CootPos(i)=CootPos(i)+A×R2×

(Q-CootPos(i))

(6)

式中:i為當(dāng)前個(gè)體的序號(hào);R2為隨機(jī)數(shù)或含有m個(gè)元素的隨機(jī)序列,取值范圍為[0,1];A的更新公式為:

(7)

式中:L為當(dāng)前迭代次數(shù);Iter為最大迭代次數(shù)。

2)鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng)

跟隨者可根據(jù)兩個(gè)個(gè)體的平均位置來(lái)執(zhí)行鏈?zhǔn)竭\(yùn)動(dòng):

CootPos(i)=0.5×(CootPos(i-1)+

CootPos(i))

(8)

3)最優(yōu)個(gè)體引導(dǎo)

在有序運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,跟隨者的位置也可根據(jù)選定某一領(lǐng)導(dǎo)者的位置來(lái)進(jìn)行更新。跟隨者以領(lǐng)導(dǎo)者為圓心,在不同半徑的的范圍內(nèi)進(jìn)行搜索,以尋求更好的位置:

CootPos(i)=LeaderPos(k)+2×R1×cos(2Rπ)×

(LeaderPos(k)-CootPos(i))

(9)

式中:LeaderPos(k)為第k個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的位置;cos(2Rπ)控制跟隨者與領(lǐng)導(dǎo)者間的角度,算法考慮了角度的逆向取值和正向取值,故角度范圍為[-2π,2π];R1和R為兩個(gè)隨機(jī)數(shù)或兩個(gè)含有m個(gè)元素的隨機(jī)序列,R1的取值范圍為[0,1],R的取值范圍為[-1,1];k的計(jì)算公式為:

k=1+(iMODNL)

(10)

式中:NL為領(lǐng)導(dǎo)者的數(shù)量。

領(lǐng)導(dǎo)者的位置根據(jù)種群中最優(yōu)個(gè)體的位置進(jìn)行更新:

(11)

式中:gBest為中群內(nèi)最有個(gè)體的位置;R3和R為兩隨機(jī)數(shù)或兩個(gè)含有m個(gè)元素的隨機(jī)序列,R3取值范圍為[0,1],R的取值范圍為[-1,1];R4為[0,1]內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù);B的計(jì)算公式為:

(12)

式中:L為當(dāng)前迭代次數(shù);Iter為最大迭代次數(shù)。

標(biāo)準(zhǔn)COA具體流程圖如圖2所示。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)COA流程圖Fig.2 Standard COA flow chart

3.2 改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法

本文在標(biāo)準(zhǔn)白骨頂雞優(yōu)化算法基礎(chǔ)上做了圖2所示的4處改進(jìn),提出了一種適用于ECT圖像重建的改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法。

① 使用佳點(diǎn)集生成種群位置代替隨機(jī)生成種群位置

設(shè)計(jì)種群位置的原則是利用盡可能少的種群全面地表征整個(gè)空間所有潛在解的分布。倘若隨機(jī)生成種群位置,則很難遍歷解空間中的各種情況。為使種群位置能夠在解空間上全面并且均勻地分布,本文采用佳點(diǎn)集方法生成種群位置。

佳點(diǎn)集原理為:設(shè)Gs是s維歐氏空間中的單位立方體,如果r∈Gs,形如:

1≤k≤n

(13)

xi(j)=(ubj-lbj)·{rj(i)·k}+lbj

(14)

式中ubj和lbj表示第j維的上下界[13]。

圖3(a)為佳點(diǎn)集在[0,1]內(nèi)的種群個(gè)數(shù)為500,維度為1時(shí)生成的種群分布,圖3(b)為Rand函數(shù)生成的種群分布?？梢钥闯黾腰c(diǎn)集生成的種群在解空間上的分布更加均勻,設(shè)計(jì)出的群體具有更加豐富的多樣性。

圖3 分布圖Fig.3 Distribution diagram

② 融合ART算法

標(biāo)準(zhǔn)COA中初代最優(yōu)個(gè)體是在隨機(jī)初始化的種群中根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)選取產(chǎn)生的,但在未掌握相關(guān)問(wèn)題在解空間的先驗(yàn)情況下,很難追蹤解空間中的最優(yōu)解,導(dǎo)致收斂時(shí)間增長(zhǎng)。

在傳統(tǒng)重建算法中,ART算法的重建質(zhì)量較高。故將ART算法的成像結(jié)果作為初代最優(yōu)個(gè)體,可快速穩(wěn)定地跟蹤介電常數(shù)的分布,使得重建算法的收斂性與準(zhǔn)確性得到有效提高。

③ 目標(biāo)函數(shù)

由式(4)可得,優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的一般選取原則為:將重建電容值與被測(cè)電容值之間的誤差小,表達(dá)式為:

(15)

因?yàn)榇嬖谟捎陟`敏度矩陣S的近似性所帶來(lái)的重建誤差,所以當(dāng)以式(15)為目標(biāo)函數(shù)時(shí),使算法可以收斂至全局最優(yōu),全局最優(yōu)解與真實(shí)介電常數(shù)分布之間也會(huì)存在較大誤差,即上式不對(duì)“軟場(chǎng)”誤差進(jìn)行修正。

因此,本文提出一種考慮“軟場(chǎng)”誤差的目標(biāo)函數(shù)。首先,定義式中ΔC1為電容測(cè)量值C與真實(shí)介電常數(shù)g*對(duì)應(yīng)的電容值之差,即實(shí)際電容偏差,反映了“軟場(chǎng)”效應(yīng)造成的誤差;定義式中ΔC2為電容測(cè)量值C與重建介電常數(shù)g對(duì)應(yīng)的電容值之差,即重建電容偏差。

ΔC1=S·g*-C

(16)

ΔC2=S·g-C

(17)

將式(16)、式(17)分別取2-范數(shù)可得:

(18)

(19)

(20)

由于靈敏度矩陣S的列數(shù)遠(yuǎn)大于行數(shù),求得的解不唯一,因此還需要添加適當(dāng)?shù)恼齽t化項(xiàng)來(lái)指定解的特性[14]。

田鵬等在使用果蠅優(yōu)化算法進(jìn)行ECT圖像重建時(shí),為使重建圖像質(zhì)量更高,在目標(biāo)函數(shù)中加入了標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化懲罰項(xiàng)[15]:

(21)

Tikhonov正則化將式(4)的逆問(wèn)題轉(zhuǎn)化為式(22)的最小化問(wèn)題:

(22)

式中:α為正則化參數(shù);L為正則化矩陣;g0為在先驗(yàn)信息中獲得的估計(jì)解。

標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化將零向量作為估計(jì)解g0,會(huì)導(dǎo)致解過(guò)度光滑。本文將ART算法迭代10次的結(jié)果經(jīng)過(guò)最優(yōu)閾值處理后作為估計(jì)解g0。

經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的目標(biāo)函數(shù)為:

(23)

式中:L取為單位矩陣;α根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為0.001。

④ 正余弦優(yōu)化

在群體智能優(yōu)化算法中,種群往往會(huì)陷入局部最優(yōu)。為解決這個(gè)問(wèn)題,在每次迭代選取最優(yōu)個(gè)體的步驟中加入了正余弦優(yōu)化算法。正余弦優(yōu)化算法利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),是一種全局優(yōu)化算法[16]。

正余弦算法對(duì)個(gè)體位置的更新方式為:

(24)

式中:Pos是種群位置;t是當(dāng)前迭代次數(shù);gBest是上一代最優(yōu)解;r2是[0,2π]之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù);r3是[0,2]之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù),用于控制到最優(yōu)解的距離;r4是[0,1]之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù),作為轉(zhuǎn)換概率;r1的計(jì)算公式為:

(25)

式中:t是當(dāng)前迭代次數(shù);tmax是最大迭代次數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒捎?2電極ECT系統(tǒng),管道內(nèi)徑設(shè)置為62.5 mm,管道外半徑為75 mm,屏蔽層半徑85 mm。管內(nèi)剖分12層,共1728個(gè)單元,管內(nèi)成像區(qū)域剖分圖如圖4所示。

圖4 管道剖分圖Fig.4 Pipeline Division Drawing

設(shè)置單泡、兩泡、三泡、環(huán)流和層流5種分布模型,模型中兩相介質(zhì)的介電常數(shù)分別為1和3。設(shè)置Coot種群數(shù)為1 000,領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者各占20%和80%,迭代800次,重建結(jié)果如圖5所示。為了驗(yàn)證提出算法的有效性,選擇LBP算法、Landweber算法、ART算法的重建結(jié)果作為對(duì)照組,其中Landweber算法迭代100次,ART算法迭代10次。

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)重建圖像Fig.5 Simulation experiment reconstruction images

采用圖像相對(duì)誤差(ER)及相關(guān)系數(shù)(CC)作為重建圖像定量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),ER及CC的定義式為:

(26)

(27)

由以上兩個(gè)公式可知,ER越小,CC越大,說(shuō)明重建圖像質(zhì)量越好。仿真實(shí)驗(yàn)不同算法重建結(jié)果的圖像相對(duì)誤差和相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表1。

表1 圖像相對(duì)誤差和相關(guān)系數(shù)Tab.1 Image relative error and correlation coefficient

仿真結(jié)果表明,對(duì)單泡、兩泡、三泡、環(huán)流模型而言,經(jīng)典重建算法中ART算法的重建質(zhì)量最好,Landeweber算法次之,LBP的重建質(zhì)量最低,但都帶有明顯的偽影;但ART算法和Landweber算法對(duì)層流模型的重建結(jié)果中出現(xiàn)了較明顯的形變,在ER和CC數(shù)值上可知,LBP算法的重建質(zhì)量要優(yōu)于ART算法和Landweber算法。相較于經(jīng)典重建算法,改進(jìn)的白骨頂雞優(yōu)化算法對(duì)5種模型的重建精度最高,重建介質(zhì)的大小和位置最接近真實(shí)分布,重建圖像的平均相對(duì)誤差為0.509 2,平均相關(guān)系數(shù)為 0.813 1。

4.2 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)

采用華北電力大學(xué)測(cè)量實(shí)驗(yàn)室的數(shù)字化ECT測(cè)量系統(tǒng)進(jìn)行靜態(tài)實(shí)驗(yàn),ECT系統(tǒng)如圖6所示。

圖6 數(shù)字化ECT系統(tǒng)Fig.6 Digital ECT system

靜態(tài)實(shí)驗(yàn)采用12電極傳感器,圓形有機(jī)玻璃管道內(nèi)徑為100 mm,空?qǐng)龊蜐M(mǎn)場(chǎng)的標(biāo)定分別使用空氣和塑料顆粒。使用直徑為15 mm的塑料棒模擬泡狀模型,使用塑料顆粒模擬環(huán)流及層流模型。分別模擬了單泡、兩泡、三泡、環(huán)流及層流5種氣/油流型,并進(jìn)行了模型圖像重建,如圖7所示。

圖7 靜態(tài)實(shí)驗(yàn)重建圖像Fig.7 Static experiment reconstruction images

由圖7可見(jiàn),改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法的重建質(zhì)量高于LBP算法、Landweber算法及ART算法,泡狀模型重建圖像偽影少,且能明顯區(qū)分多泡模型中的每個(gè)泡,環(huán)流和層流模型的重建圖像也更接近于靜態(tài)實(shí)驗(yàn)真實(shí)的介質(zhì)分布。

5 結(jié) 論

本文提出一種基于改進(jìn)白骨頂雞優(yōu)化算法的ECT重建算法,使用佳點(diǎn)集方法和正余弦優(yōu)化算法對(duì)標(biāo)準(zhǔn)COA進(jìn)行優(yōu)化,融合了傳統(tǒng)ART重建算法,并根據(jù)ECT重建特點(diǎn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)。在仿真實(shí)驗(yàn)和靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中與LBP算法、Landweber算法和ART算法進(jìn)行了比較。結(jié)果表明,本文算法所得的重建圖像質(zhì)量有明顯的改善。同時(shí),本文算法也存在不足,如重建介質(zhì)中存在“空點(diǎn)”或周?chē)橛小懊獭?而且存在一定的隨機(jī)性,這都是后續(xù)工作要解決的問(wèn)題。