甘 偉, 曾 濤, 白 洋, 李正坤, 王 越

(1.中國計量大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018；2.中國計量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

2019年5月20日起,質(zhì)量單位千克實現(xiàn)了基于普朗克常數(shù)的量子化定義[1,2]。目前,國際上將質(zhì)量單位千克溯源至普朗克常數(shù)的主要方案有硅球法、功率天平法與能量天平法,其中能量天平法是我國自主提出的千克復(fù)現(xiàn)方案[3～6]。該方案基于通電線圈電磁力做功與線圈電磁能變化之間的能量平衡的原理,建立了普朗克常數(shù)h和砝碼質(zhì)量m的關(guān)系[7～9]。該能量平衡的建立是基于理想準(zhǔn)直狀態(tài),即懸掛線圈受到的電磁力方向與砝碼重力方向平行且電磁力作用線通過砝碼質(zhì)心。但在實際情況下,懸掛線圈總會與水平面之間存在夾角,使得電磁力在水平方向上存在力分量并在線位移上額外做功;此外,通電線圈所產(chǎn)生的電磁力作用點如果與砝碼重力的作用點存在偏心距,使得電磁力在懸掛線圈上存在轉(zhuǎn)矩并在角位移上額外做功,由此而引入的一系列誤差被稱為準(zhǔn)直誤差[10～12]。準(zhǔn)直誤差是制約能量天平相對測量不確定度優(yōu)于2×10-8的主要因素之一,線圈的中心位置可以通過高精度位移平臺調(diào)整,但姿態(tài)控制因存在強(qiáng)耦合作用而難以實現(xiàn)精密控制;并且當(dāng)電機(jī)運(yùn)動方向向下時,電機(jī)與電機(jī)提升機(jī)構(gòu)之間接觸不緊密,使得線圈上電前后姿態(tài)變化較大,影響姿態(tài)調(diào)整的準(zhǔn)確性。抑制準(zhǔn)直誤差的關(guān)鍵是精密調(diào)整懸掛線圈姿態(tài)逼近至絕對水平,即在保證線圈中心位置不變的情況下,線圈與水平面間的夾角小于1 μrad。

對于懸掛線圈的姿態(tài)調(diào)整方法,各個開展功率天平項目的計量機(jī)構(gòu)也進(jìn)行過相關(guān)的研究。加拿大國家研究委員會(NRC)在其功率天平利用手動調(diào)整線圈上端3根支架的長度進(jìn)而改變懸掛線圈姿態(tài),雖然該結(jié)構(gòu)簡單可靠,但一次調(diào)整周期時間過長,控制精度過度依賴操作人員動作精細(xì)度,且無法在真空中對線圈姿態(tài)進(jìn)行實時調(diào)整,存在真空-空氣環(huán)境下的線圈姿態(tài)的不一致問題[13]。美國標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究院(NIST)在其NIST-4通過增加三腳架配重從而改變懸掛系統(tǒng)重心來達(dá)到改變懸掛線圈姿態(tài)的目的,該方法雖然操作簡單,但同樣無法于真空環(huán)境中對線圈姿態(tài)進(jìn)行實時調(diào)整,存在線圈準(zhǔn)直狀態(tài)漂移的問題[14]。能量天平是通過調(diào)節(jié)懸掛系統(tǒng)中3路壓電陶瓷電機(jī)來改變3路連桿長度,進(jìn)而帶動懸掛線圈姿態(tài)發(fā)生變化[15],雖然實現(xiàn)了在真空中對線圈姿態(tài)的初步可調(diào),但3路連桿的調(diào)整之間存在相互耦合,即在實際調(diào)整過程中,當(dāng)調(diào)整單路連桿長度時,另外兩路連桿長度同樣會發(fā)生變化;同時為了保證線圈姿態(tài)調(diào)整的有效性,對于電機(jī)運(yùn)動有著較強(qiáng)的約束,這種耦合及約束情況極大地影響了線圈水平姿態(tài)的調(diào)整效率。

本文基于能量天平電磁特性及力學(xué)特性,通過采集線圈在絕對水平附近的姿態(tài)控制實驗數(shù)據(jù),利用遞推最小二乘法(RLS)得到線圈姿態(tài)離散狀態(tài)空間模型[16]。在此基礎(chǔ)上,基于能量天平懸掛系統(tǒng)初始位姿與寄生位移之間的數(shù)學(xué)模型[10],通過基于狀態(tài)空間的模型預(yù)測控制(MPC)[17]將線圈姿態(tài)補(bǔ)償逼近至絕對水平。該研究將提高懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整效果,抑制準(zhǔn)直狀態(tài)不理想引入的測量不確定度,進(jìn)而對降低能量天平裝置的整體測量不確定度起到重要技術(shù)支撐。

2 懸掛線圈姿態(tài)系統(tǒng)

在能量天平中,懸掛線圈通過3根120°對稱的碳素纖維連桿與上端的三角架連接,三角架與連桿之間通過壓電陶瓷電機(jī)提升機(jī)構(gòu)連接,整個懸掛線圈下端裝有3路120°對稱的角錐反射鏡。3個角錐反射鏡的軸線與相應(yīng)的連桿軸線重合,3路激光干涉儀通過測量這3個角錐反射鏡的位置來判斷懸掛線圈姿態(tài)。通過調(diào)節(jié)上端3路壓電陶瓷電機(jī)伸長量來改變連桿末端位置,進(jìn)而改變懸掛線圈水平姿態(tài),懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整系統(tǒng)裝置如圖1所示。

圖1 懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整裝置Fig.1 Suspension coil attitude adjustment device

能量天平的懸掛結(jié)構(gòu)雖然能在真空環(huán)境下實現(xiàn)線圈姿態(tài)的初步實時調(diào)整,但對于懸掛線圈姿態(tài)精密調(diào)整,目前仍存在以下兩方面問題。一方面,水平姿態(tài)以及3路連桿之間存在相互耦合,即當(dāng)調(diào)整繞x軸的角度θx時,繞y軸的角度θy同樣發(fā)生變化。這是因為當(dāng)調(diào)整單路連桿位移時,另外兩路連桿由于耦合同樣產(chǎn)生位移,如圖2所示,在控制1路連桿位移z1運(yùn)動30 μm時,第2、3路連桿豎向位移z2、z3變化量可達(dá)15 μm,影響了線圈姿態(tài)調(diào)整準(zhǔn)確性。另一方面,為了保證線圈姿態(tài)調(diào)整的有效性,即線圈姿態(tài)上電前后的一致性,對電機(jī)運(yùn)動方向及線圈在豎直方向上的中心位置有著較強(qiáng)的約束。首先,3路電機(jī)最后一次運(yùn)動方向須保持向上;其次,為了避免引入電機(jī)回程差,在調(diào)整過程中3路電機(jī)運(yùn)動方向須保持不變;最后,在線圈中心位置不變的情況下,姿態(tài)調(diào)整至水平,即線圈絕對水平姿態(tài)唯一。

為了實現(xiàn)線圈姿態(tài)的精密控制,首先通過系統(tǒng)辨識在線圈姿態(tài)絕對水平附近建立離散狀態(tài)空間模型;然后初步調(diào)整線圈至絕對水平位置下方,此時3路連桿位置在目標(biāo)位置下方;最后,通過狀態(tài)空間模型預(yù)測控制調(diào)整線圈姿態(tài)逼近至絕對水平,狀態(tài)空間模型預(yù)測控制能夠處理輸入輸出約束的同時實現(xiàn)對線圈姿態(tài)的解耦控制,從而達(dá)到準(zhǔn)直誤差補(bǔ)償?shù)哪康摹?/p>

3 懸掛線圈姿態(tài)控制模型

根據(jù)懸掛系統(tǒng)姿態(tài)調(diào)整裝置可得懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整坐標(biāo)系如圖3所示。圖3中L1、L2、L3分別為3路激光干涉儀的測量位置。

圖3 線圈姿態(tài)調(diào)整坐標(biāo)示意圖Fig.3 The coordinate diagram of coil attitude adjustment

令3路執(zhí)行機(jī)構(gòu)引入的桿長變化量分別為Δz1、Δz2、Δz3,根據(jù)坐標(biāo)軸與懸掛線圈之間的幾何關(guān)系,當(dāng)懸掛線圈水平姿態(tài)的調(diào)整量為(Δθx, Δθy)時可得[12]:

(1)

(2)

式中r為懸掛線圈半徑。

將式(1)、式(2)進(jìn)一步寫成絕對式矩陣形式:

(3)

式中:θx、θy為線圈繞x、y軸的角度,z1、z2、z3為3路連桿位置,由式(3)可知線圈姿態(tài)與3路連桿位置之間關(guān)系。

3.1 離散狀態(tài)空間模型

懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整系統(tǒng)輸入為3路壓電陶瓷電機(jī)伸長量,輸出為線圈水平姿態(tài),狀態(tài)變量為3路連桿位置,可以通過3路激光干涉儀測得。將離散狀態(tài)空間模型作為能量天平懸掛線圈姿態(tài)控制系統(tǒng)模型:

X(k+1)=AX(k)+BU(k)

(4)

Y(k)=CX(k)+DU(k)

(5)

式中:A,B∈R3×3,C∈R2×3,R3×3和R2×3分別表示3×3和2×3實數(shù)矩陣;Y(k)=[θxθy]T為懸掛線圈當(dāng)前時刻水平姿態(tài)輸出,懸掛線圈在豎直方向旋轉(zhuǎn)角度相比于水平方向上旋轉(zhuǎn)角度幾乎可以忽略不計;X(k)=[z1(k)z2(k)z3(k)]T為當(dāng)前3路連桿位置,U(k)為當(dāng)前3路壓電電機(jī)輸入,U(k)=[u1(k)u2(k)u3(k)]T;X(k+1)為下一時刻3路連桿位置;式(5)中C、D由式(3)可知,此時系統(tǒng)未知參數(shù)為系數(shù)矩陣A、B。

3.2 模型參數(shù)辨識

系統(tǒng)辨識是獲得復(fù)雜數(shù)學(xué)模型的主要方法,能量天平整體的復(fù)雜性使得對懸掛線圈姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)理建模十分困難,且實際姿態(tài)調(diào)整過程中,系統(tǒng)具有強(qiáng)耦合、不確定性等特點,使用系統(tǒng)辨識法建模更為方便。設(shè)待辨識參數(shù):

由遞階辨識[18]原理可知多輸入多輸出系統(tǒng)(MIMO)可以分解成多個子系統(tǒng)來進(jìn)行單獨(dú)辨識,將式展開后第j個子系統(tǒng)輸出可表示為:

zj(k)=aj1z1(k-1)+aj2z2(k-1)

+aj3z3+bj1u1(k-1)

+bj2u2(k-1)+bj3u3(k-1)

(6)

式中:zj(k)為第j個連桿的當(dāng)前時刻的絕對位置。

定義觀測數(shù)據(jù)向量φ(k)和待辨識參數(shù)θj:

φ(k)=[z1(k-1)z2(k-1)z3(k-1)

u1(k)u2(k)u3(k)]

(7)

θj=[aj1aj2aj3bj1bj2bj3]T

(8)

得到式(6)的最小二乘辨識模型:

zj(k)=φ(k)θj

(9)

定義子系統(tǒng)的極小化誤差準(zhǔn)則函數(shù):

(10)

式中:t為連桿位置的觀測次數(shù)。令其導(dǎo)數(shù)為零,得其最小二乘估計為:

(11)

定義:

(12)

此時RLS可表示為:

(13)

利用RLS得到子系統(tǒng)的模型參數(shù),然后通過新數(shù)據(jù)驗證模型參數(shù)辨識的準(zhǔn)確性。其中某個子系統(tǒng)的模型輸出與實際輸出如圖4所示。

圖4 子系統(tǒng)模型擬合圖Fig.4 Subsystem model fitting diagram

由圖4可知,子系統(tǒng)模型輸出曲線與實際輸出曲線基本重合,誤差在±0.5 μm內(nèi),說明利用RLS得到的子系統(tǒng)模型準(zhǔn)確。利用RLS將子系統(tǒng)逐個辨識完成后,原系統(tǒng)的未知參數(shù)也全部辨識完畢。當(dāng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型已知時,式(4)進(jìn)一步化簡后有

U(k)=B-1X(k+1)-B-1AX(k)

(14)

當(dāng)已知當(dāng)前連桿位置及目標(biāo)連桿位置,控制量由式可知,就可以初步調(diào)整線圈至目標(biāo)位置整體下方,再通過MPC調(diào)整姿態(tài)逼近至絕對水平。

3.3 狀態(tài)空間模型預(yù)測控制

MPC是基于系統(tǒng)模型預(yù)測系統(tǒng)未來一段時間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài),并通過二次規(guī)劃確定在系統(tǒng)約束下的輸入最優(yōu)解,同時通過預(yù)測控制能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)的解耦控制。懸掛線圈在姿態(tài)調(diào)整時先根據(jù)目標(biāo)姿態(tài)求解目標(biāo)3路連桿位置,再以3路連桿位置為實際輸出,此時系統(tǒng)離散狀態(tài)空間方程為:

Z(k+1)=AZ(k)+BU(k)

(15)

式中:Z(k)=C-1Y(k)為3路連桿當(dāng)前時刻位置。定義Z(k|k)為k時刻預(yù)測的狀態(tài)值;Z(k+N|k)為k時刻預(yù)測的未來第N個時刻的狀態(tài)值;U(k|k)為k時刻預(yù)測的系統(tǒng)輸入,U(k+N|k)為k時刻預(yù)測的未來第N個時刻的系統(tǒng)的輸入值。則在未來N個時刻內(nèi)有:

(16)

令:

則式(16)可表示為:

Zk=MZ(k)+DUk

(17)

式中:Zk∈R3(N+1)×1為3路連桿未來N個時刻下的輸出序列;Uk∈R3N×1為未來N個時刻下的輸入序列;M∈R3(N+1)×3,C∈R3(N+1)×3N為系數(shù)矩陣。

設(shè)最終目標(biāo)輸出參考值:

Zref=[zref1zref2zref3]T

(18)

定義極小化函數(shù):

·Q(Z(k+i|k)-Zref)

+U(k+i|k)TRU(k+i|k)}

+(Z(k+N|k)-Zref)T

·F(Z(k+N|k)-Zref)

(19)

式中:Q=diag[q1q2q3]為誤差權(quán)重矩陣,Q∈R3×3;R=diag[r1r2r3]為輸入權(quán)重矩陣,R∈R3×3;F=diag[f1f2f3]為最終誤差權(quán)重矩陣,F∈R3×3。

進(jìn)一步化簡,可得:

(20)

將式(17)代入式(20),化簡可得:

(21)

進(jìn)一步簡化得到MPC的代價函數(shù)二次型標(biāo)準(zhǔn)形式為:

(22)

輸入約束可表示為:

Umin≤U≤Umax

(23)

結(jié)合式與式可求出未來N個時刻下輸入的最優(yōu)值,然后將未來第1個時刻輸入的最優(yōu)值作用于系統(tǒng),再根據(jù)當(dāng)前時刻位置重新求解輸入未來N個時刻的最優(yōu)值,重復(fù)上述過程直至調(diào)整至目標(biāo)姿態(tài)。綜上可以將懸掛線圈姿態(tài)控制問題轉(zhuǎn)化為帶約束的優(yōu)化求解問題。

4 仿真與測試結(jié)果分析

4.1 線圈姿態(tài)控制仿真實驗

設(shè)辨識得到的系統(tǒng)模型參數(shù)為:

線圈姿態(tài)調(diào)整過程中,為了使得線圈姿態(tài)引入的準(zhǔn)直誤差最小化,線圈目標(biāo)姿態(tài)為絕對水平即3路連桿的目標(biāo)位置全為0 μm處。同時為了滿足電機(jī)最終運(yùn)動方向向上且控制過程中不存在反向的輸入約束條件,在目標(biāo)位置下方任意設(shè)定3路連桿初始位置分別為-4、-8、-15 μm。使用狀態(tài)空間模型預(yù)測控制對系統(tǒng)進(jìn)行控制,3路連桿位置和水平姿態(tài)變化仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 桿位置變化和線圈水平姿態(tài)變化Fig.5 Changes in rod position and coil horizontal attitude

由圖5可以看出,3路連桿位置z1、z2、z3及線圈水平姿態(tài)θx、θy快速變化至穩(wěn)定,系統(tǒng)的穩(wěn)定性強(qiáng),3路連桿位置控制誤差小于0.2 μm,水平姿態(tài)控制誤差小于0.4 μrad。通過MPC可以快速調(diào)整線圈姿態(tài)逼近至理想狀態(tài),從而能夠很好地抑制由于線圈姿態(tài)產(chǎn)生的準(zhǔn)直誤差。

4.2 實驗結(jié)果分析

為了證實狀態(tài)空間模型預(yù)測控制的有效性,將該方法運(yùn)用到實際線圈姿態(tài)控制過程中。在目標(biāo)位置下方任意選定初始3路連桿位置分別為-3.36、-7.46、-11.57 μm,調(diào)整線圈姿態(tài)至絕對水平即3路連桿目標(biāo)位置全為0 μm處。3路連桿位置及線圈水平姿態(tài)變化實驗數(shù)據(jù)如圖6所示。

圖6 桿位置變化和線圈水平姿態(tài)變化Fig.6 Changes in rod position and coil horizontal attitude

由圖6可知, MPC能夠快速有效調(diào)整3路連桿及線圈姿態(tài)逼近至目標(biāo)狀態(tài),系統(tǒng)輸出中心位置基本穩(wěn)定,3路連桿位置控制誤差小于0.2 μm,水平姿態(tài)控制誤差小于0.8 μrad,證明了MPC運(yùn)用在能量天平懸掛線圈姿態(tài)調(diào)整上的有效性。選定10個不同的線圈初始姿態(tài),重復(fù)調(diào)整線圈至絕對水平姿態(tài),最終3路連桿位置控制誤差e1、e2、e3及水平姿態(tài)控制誤差ex、ey如表1所示。

表1 連桿位置與線圈姿態(tài)控制誤差Tab.1 Link positon and coil attitude control errors

由表1的數(shù)據(jù)可知:3路連桿位置控制誤差均小于0.22 μm,線圈水平姿態(tài)控制誤差均小于0.98 μrad,3路連桿位置在0.25 μm、線圈姿態(tài)在1 μrad的誤差內(nèi)能夠逼近至絕對水平,滿足線圈姿態(tài)控制要求。實驗表明,MPC能夠很好地調(diào)整能量天平懸掛線圈姿態(tài)逼近至絕對水平,抑制由于線圈姿態(tài)引入的準(zhǔn)直誤差。

5 結(jié) 論

能量天平中懸掛線圈姿態(tài)的初始姿態(tài)不理想是準(zhǔn)直誤差的主要來源,對線圈姿態(tài)進(jìn)行精密的控制是抑制準(zhǔn)直誤差的關(guān)鍵。針對線圈姿態(tài)控制存在強(qiáng)耦合無法精確調(diào)整的問題,本文基于能量天平力學(xué)特性,通過系統(tǒng)辨識在線圈姿態(tài)絕對水平位置附近建立相關(guān)的離散狀態(tài)空間模型,并利用狀態(tài)空間模型預(yù)測控制調(diào)整線圈姿態(tài)逼近至絕對水平。最終3路連桿控制準(zhǔn)確度優(yōu)于0.25 μm,姿態(tài)控制準(zhǔn)確度優(yōu)于1 μrad,能夠滿足線圈姿態(tài)控制要求,為準(zhǔn)直誤差地抑制提供了重要的技術(shù)支持。