婁志峰， 張漢平， 周競杰， 張記云， 錢 鈞， 范光照

（1. 大連理工大學 機械工程學院，遼寧 大連 116024；2. 大連理工高郵研究院有限公司，江蘇 高郵 225600）

1 引 言

二維直線運動平臺廣泛應用于電子元件封裝、3D 打印機和坐標測量等領(lǐng)域［1-3］。組成二維平臺的單根導軌存在6 項幾何誤差：3 個位置誤差（軸向定位誤差、水平直線度誤差和豎直直線度誤差）和3 個姿態(tài)角誤差（偏擺角誤差、俯仰角誤差和滾動角誤差）［4］，幾何誤差是影響平臺空間位置精度的重要因素［5］。對導軌的多自由度誤差進行測量，并建立二維線性模組的空間誤差模型對提升模組的應用范圍尤為重要。

激光測量廣泛應用于導軌運動誤差測量領(lǐng)域。Huang 等［6］基于全反射原理、郭俊康等［7］運用光學與傾角傳感器組合的方式分別設(shè)計了五自由度運動誤差測量系統(tǒng)，美國 API 公司［8］基于單光束準直測量法研制了六自由度測量系統(tǒng)，Chang 等［9］基于多測頭組合式激光光柵干涉提出了六自由度位姿測量方法。上述方法均可實現(xiàn)導軌多自由度運動誤差的測量，缺點則是光路比較復雜、成本高［10］。

在導軌的6 項幾何誤差中，滾動角誤差較難測量［11-12］。目前，水平儀是滾動角誤差測量的主要設(shè)備，但水平儀無法測量豎直軸運動的滾動角誤差［13-15］。Jin 等［16］利用測量信號與參考信號之間的相位差設(shè)計了外差式干涉儀測量滾動角誤差?？锎浞降龋?7］基于光束的偏振狀態(tài)對角度的敏感特性，利用沃拉斯頓棱鏡產(chǎn)生兩束偏振光，通過測量沃拉斯頓棱鏡轉(zhuǎn)動前后光強的變化實現(xiàn)滾動角的測量。Shi 等［18］研制了基于差動平面鏡干涉法的精密滾轉(zhuǎn)角測量系統(tǒng)，通過檢測光程差或相位差變化實現(xiàn)滾動角的測量。但上述方法結(jié)構(gòu)復雜，易受環(huán)境光與測量環(huán)境的影響。采用平行雙光束［19-20］，通過測量導軌滑塊不同位置處的直線度運動誤差，可以間接得到滾動角誤差，但此方法中雙光束調(diào)平行較為困難且光束間的平行度會隨時間變化。

上述針對導軌運動誤差的測量均采用離線測量方法，無法準確得知導軌運動過程中的實時運動誤差。本文研制了導軌六自由度運動誤差實時測量系統(tǒng)，基于自準直原理測量滾動角誤差。該測量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單，可實時測量導軌運動位姿。此外，建立了二維線性模組的空間誤差模型，通過代入實時測量數(shù)據(jù)得到了二維線性模組功能點的空間運動誤差。

2 原 理

二維線性模組由兩根導軌在XZ平面裝配而成，因六自由度測量系統(tǒng)體積小、模塊化程度高，所以可裝在二維模組的兩軸中實現(xiàn)導軌運動誤差的實時測量。該測量系統(tǒng)由光柵尺、四自由度運動誤差測量模塊和滾動角測量模塊組成。其中，光柵尺測得定位誤差，四自由度運動誤差測量模塊測得直線度誤差、偏擺角及俯仰角誤差，滾動角誤差測量模塊測得滾動角誤差。圖1 為單軸測量系統(tǒng)的安裝圖，光柵尺安裝在導軌一側(cè)，四自由度運動誤差測量模塊的激光端安裝在基臺上，感測端安裝在滑塊上，滾動角測量模塊的自準直模塊安裝在滑塊側(cè)端，平面反射鏡安裝在導軌另一側(cè)。

2.1 四自由度運動誤差測量

四自由度運動誤差測量模塊完成直線度誤差、偏擺角以及俯仰角誤差測量。其中，直線度誤差基于激光準直原理測得，所用傳感器為位置敏感探測器（Position Sensitive Detector，PSD）（濱松公司，S5990-01，日本），如圖2（a）所示；偏擺角和俯仰角誤差基于激光自準直原理測得，所用傳感器為四象限光電探測器（Four-quadrant Photo Detector，QPD）（First Sensor，QP10-6，德國），如圖2（b）所示。

四自由度運動誤差測量模塊感測端跟隨滑塊沿導軌運動時，若導軌存在直線度誤差，原本打在PSD1 中心的光斑會在Y方向和Z方向產(chǎn)生偏移，從而實現(xiàn)直線度誤差的測量。直線度誤差分別為：

式中Δy1，Δz1為光斑在PSD1 上的位置變化值。

QPD1 的位置預先放在聚焦透鏡FL1 的焦平面上，激光端發(fā)出的光束經(jīng)分光鏡BS1 后通過聚焦透鏡FL1 匯聚到QPD1 上。若導軌運動時有角度誤差，激光會以傾斜的方式射入聚焦透鏡，此時光斑在QPD1 上的位置相對于QPD1 中心會發(fā)生偏移。偏擺角εz1和俯仰角εy1為：

式中：Δx1，Δz1為光斑在QPD1 上的位置變化值；f1為聚焦透鏡FL1 焦距。

2.2 滾動角誤差測量

滾動角誤差測量模塊基于激光自準直原理測得滾動角誤差，所用傳感器為QPD（First Sensor，QP10-6，德國）。

如圖3 所示，激光器發(fā)出光束經(jīng)分光棱鏡BS2 后一分為二，透射光射入固定在導軌上的平面反射鏡，反射光束再次經(jīng)過分光棱鏡BS2，經(jīng)聚焦透鏡FL2 后入射光電探測器QPD2。若導軌運動時存在滾動角誤差εx，則經(jīng)平面反射鏡反射回的光束角度會有變化，光斑在QPD2 上的位置在相對于QPD2 的中心在Z方向上發(fā)生偏移。此時通過計算光斑在QPD2 的位置變化可得到滾動角誤差。滾動角誤差為：

式中：Δz2為光斑在QPD2 上的位置變化值；f2為聚焦透鏡FL2 的焦距。

二維線性模組總成見圖4。其中，六自由度測量系統(tǒng)先安裝在單軸中，之后再將兩軸裝配在XZ平面內(nèi)。

圖4 二維線性模組總成Fig.4 Two-dimensional linear module assembly

3 二維模組誤差模型

以往對于二維線性模組的空間運動誤差，直接利用光柵尺測出每軸位置，進而求解功能點的空間位置，但這種方法未考慮測量時各位置其他誤差對測量的影響。本文將搭建的六自由度運動誤差測量系統(tǒng)裝在二維線性模組中，可對二維線性模組的位姿誤差進行實時測量，并根據(jù)提出的空間誤差模型確定二維線性模組功能點的空間位置。相較于傳統(tǒng)方法，測量結(jié)果更加準確。

在實際測量中，導軌存在制造誤差，導致二維線性模組運動過程中的實際運動位姿與理想運動位姿存在偏差。而二維線性模組整體上可看作兩根導軌的組合，其幾何誤差可看成兩個單根導軌的誤差加上兩根導軌之間的垂直度誤差。故二維線性模組的幾何誤差共有13 項，如表1所示。

表1 二維線性模組的誤差表達式Tab.1 Error expression of two-dimensional linear module

本文基于齊次坐標轉(zhuǎn)換矩陣（Homogeneous Transformation Matrix，HTM）原理對二維線性模組進行空間誤差建模。HTM 原理是基于剛體運動學中的多體理論，使用低序體陣列來描述空間位置關(guān)系的一種建模理論。其核心思路是對每個運動軸建立局部坐標系，根據(jù)齊次坐標變換，將各個坐標系下的運動誤差轉(zhuǎn)換到同一個基坐標系中進行分析。首先，依照多體理論和低序體陣列法［21］，假設(shè)二維線性模組中的X，Z運動軸和Z軸滑塊為存在相對運動的低序體，并進行編號。其中，X軸為體0，Z軸為體1，Z軸上滑塊為體2，并在各低序體內(nèi)預設(shè)一個固連坐標系。如圖5 所示，體0 坐標系O-XYZ（即二維線性模組的絕對坐標系）設(shè)置在X軸電機處的絲杠上，體1坐標系O-X1Y1Z1設(shè)置在X軸滑塊中心下方的絲杠上，體2 坐標系O-X2Y2Z2設(shè)置在Z軸滑塊中心下方的絲杠上，P點為Z軸滑塊上的一個點。然后，通過相鄰低序體進行坐標轉(zhuǎn)換，將P點在體2坐標系內(nèi)的相對坐標轉(zhuǎn)換到體0 坐標系中，最后通過齊次坐標矩陣運算可得到P點的空間誤差。

圖5 二維線性模組及低序體坐標系設(shè)置Fig.5 Setting of two-dimensional linear module and loworder volume coordinate system

本文基于HTM 原理推導了二維線性模組的空間誤差模型，因此，其幾何誤差測量點必須處于同一位置。將測量數(shù)據(jù)代入誤差模型前，應先使用阿貝原則和布萊恩原則對所測數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換，即將測量點（光柵尺讀數(shù)頭和PSD）處的誤差值轉(zhuǎn)換到X，Z軸上的功能點FP1 和FP2 上［22］。如圖6 所示，在每個軸上，將光柵尺讀數(shù)頭點定義為阿貝點，直線度誤差測量點（PSD 上的點）定義為布萊恩點。在二維線性模組空間誤差測量中，基于阿貝-布萊恩原則進行的誤差轉(zhuǎn)換。X軸上各傳感器測得的定位誤差和直線度誤差經(jīng)阿貝-布萊恩原則處理后有：

圖6 基于阿貝-布萊恩原則的誤差轉(zhuǎn)換圖Fig.6 Error conversion diagram based on abbe-bryan principle

同理對Z軸處理后的誤差如下：

其中：δx(x)，δz(z)分別為X，Z軸光柵尺讀數(shù)頭處測量的定位誤差，δy(x)，δz(x)和δy(z)，δx(z)分別為X，Z軸PSD 處測量的直線度誤差；δx(x)，δz(z)標記的為阿貝-布萊恩原則處理后的誤差值；Laz(x)，Lay(x)和Lbx(x)，Lby(x)，Lbz( )x分別為X軸上的阿貝偏位和布萊恩偏位，Lax( )z，Lay(z)和Lbx(z)，Lby(z)，Lbz(z) 分別為Z軸上的阿貝偏位和布萊恩偏位，這里Lbx(x)和Lbz(z)的值為0。

在計算二維線性模組空間誤差時，用理想運動矩陣表示導軌的理論運動值，誤差特征矩陣表示導軌運動時的幾何誤差，如下：

其中：T01，T02分別為體0 到體1，體1 到體2 的理想運動矩陣，ΔT01，ΔT02為對應的誤差特征，xm和zm分別為滑塊在X，Z方向的運動距離，z0為Z方向上的初始偏移距離。

假設(shè)P點在體2 坐標系O-X2Y2Z2中的齊次坐標為P2(0，-y2，0，1)，則通過齊次坐標矩陣運算后P點在體0 坐標系中的齊次坐標為：

不考慮運動誤差時P點在體0 坐標系中的齊次坐標為P0(xm，-y2，z0+zm，1)，故由二維線性模組13 項幾何誤差引起的P點的空間誤差為：

4 實 驗

4.1 標定實驗

4.1.1 直線度測量傳感器靈敏度標定

使用電感測微儀（型號為Mahr1240，分辨率為0.01 μm）對直線度測量傳感器（PSD）進行靈敏度標定［23］。實驗結(jié)果表明，在傳感器±100 μm的量程內(nèi)，直線度誤差靈敏度的標定殘差均小于±1μm。

4.1.2 角度測量傳感器靈敏度標定

使用光電自準直儀（AutoMAT5000U 型，分辨率為0.01′）對角度測量傳感器（QPD）的靈敏度進行標定［23］。實驗結(jié)果表明：在傳感器±100′′的量程內(nèi)，偏擺角和俯仰角的標定殘差均小于±1′。

由圖2 可知，滾動角測量模塊中的傳感器也為QPD，其靈敏度標定方法與上述一致。

4.1.3 平面反射鏡誤差標定

由于平面反射鏡存在制造誤差，反射鏡表面質(zhì)量不均勻，進而會對滾動角測量造成影響，因此，測量前需要先標定平面反射鏡的系統(tǒng)誤差。標定設(shè)備架設(shè)如圖7（a）所示，滑塊沿X向移動時，在位置i處，滾動角測量模塊與水平儀同時對滾動角進行測量。以水平儀測量的滾動角εlevel(i)為基準，模塊測量值ε′x(i)與水平儀測量的殘差即為位置i處平面反射鏡的系統(tǒng)誤差εerror(i)，如下：

圖7 平面反射鏡誤差標定Fig.7 Error calibration of plane mirror system

測量數(shù)據(jù)εerror(i)為散點值，因此對它進行擬合處理，得到平面反射鏡在測量范圍內(nèi)各位置的誤差。標定結(jié)果如圖7（b）所示。

在測量出平面鏡系統(tǒng)誤差后，使用本測量模塊進行其他導軌滾動角測量時，直接測量得到數(shù)值ε′x(i)后，可通過式（12）進行補償，求解出任意位置i處導軌的實際滾動角誤差εx(i)。

4.2 精度比對實驗

4.2.1 定位誤差比對

本文使用激光干涉儀（美國光動MCV-500型，分辨率為1 nm）和光柵尺完成定位誤差的比對實驗。然而，MCV-500 的測量光線與光柵尺讀數(shù)頭的運動軸線存在偏位，因此，需要通過阿貝原理將激光干涉儀的測量值轉(zhuǎn)換到光柵尺后再與光柵尺所測數(shù)據(jù)進行比對。數(shù)據(jù)處理參照式（4）和式（5）中的定位誤差公式。

按圖8（a）架設(shè)實驗設(shè)備。實驗時，角耦棱鏡與光柵尺讀數(shù)頭跟隨滑塊在X軸0～190 mm 內(nèi)運動，記錄各位置激光干涉儀與光柵尺的值。比對結(jié)果如圖8（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)，X軸定位誤差的比對殘差為±1 μm。

圖8 X 軸定位誤差比對Fig.8 Comparison of X axial positioning error

同理，按圖9（a）架設(shè)實驗設(shè)備，可對Z軸定位誤差進行比對，結(jié)果如圖9（b）所示，在0～190 mm內(nèi)Z軸定位誤差的比對殘差為±1.2 μm。

圖9 Z 軸定位誤差比對Fig.9 Comparison of Z axial positioning error

4.2.2 直線度誤差比對

本文使用電感測微儀搭配大理石平尺（精度等級為00，平面度誤差為3 μm）和PSD 完成直線度誤差的比對實驗。但電感測頭的運動軌跡與PSD 測量光線存在偏位，因此，需要通過布萊恩原理將電感測頭的測量值轉(zhuǎn)換到PSD 處后再與PSD 所測數(shù)據(jù)進行比對。數(shù)據(jù)處理參照式（4）和式（5）中的直線度誤差公式。

按圖10 架設(shè)實驗設(shè)備，將電感測頭打在固定在光學平臺上的大理石平尺上。實驗時，電感測頭隨水平軸滑塊在測量范圍內(nèi)移動，記錄各位置電感測頭與PSD1 傳感器在Y，Z方向的值。比對結(jié)果如圖11 所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸Y方向直線度比對殘差為±1.3 μm，Z方向直線度比對殘差為±1.3 μm。

圖10 X 軸直線度比對設(shè)備Fig.10 Devices for comparison of X axial straightness error

圖11 X 軸直線度比對結(jié)果Fig.11 Comparison results of X axial straightness error

同理，按圖12 固定測頭，利用大理石方尺（精度等級為0，平面度誤差為3 μm）完成Z軸直線度誤差動態(tài)比對。比對結(jié)果如圖13 所示，在0～190 mm內(nèi)Z軸X方向直線度的比對殘差為±1 μm，Y方向直線度的比對殘差為±0.8 μm。

圖12 Z 軸直線度比對設(shè)備Fig.12 Devices for comparison of Z axial straightness error

圖13 Z 軸直線度比對結(jié)果Fig.13 Comparison results of Z axial straightness error

4.2.3 軸系姿態(tài)角度測量比對

4.2.3.1 偏擺角、俯仰角誤差比對

按圖14 所示架設(shè)實驗設(shè)備。實驗時，四自由度運動誤差測量模塊激光端固定，感測端與靶鏡跟隨滑塊在測量范圍內(nèi)運動，記錄光電自準直儀與四自由度運動誤差測量模塊的偏擺角與俯仰角的值。比對結(jié)果如圖15 所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸偏擺角與俯仰角的比對殘差均為±1′。

圖14 X 軸偏擺角、俯仰角比對設(shè)備Fig.14 Device for comparison of X axial angular errors

圖15 X 軸角度誤差比對結(jié)果Fig.15 Comparison results of X axial angular errors

同理，按圖16 架設(shè)實驗設(shè)備，將靶鏡換裝在Z軸滑塊上，借助Z軸四自由度運動誤差測量系統(tǒng)完成偏擺角、俯仰角的誤差比對。比對結(jié)果如圖17 所示，在0～190 mm 內(nèi)Z軸偏擺角與俯仰角的比對殘差均為±1.5′。

圖16 Z 軸角度比對設(shè)備架設(shè)Fig.16 Device for comparison of Z axial angular errors

圖17 Z 軸角度誤差比對結(jié)果Fig.17 Comparison results of Z axial angular errors

4.2.3.2 滾動角誤差比對

按圖18（a）架設(shè)實驗設(shè)備。實驗時，平面反射鏡固定在導軌側(cè)面，滾動角測量模塊與水平儀（青島前哨WLL11 型，分辨率為0.2′′）跟隨滑塊在測量范圍內(nèi)運動，記錄各位置水平儀示數(shù)與滾動角測量模塊所測示數(shù)。比對結(jié)果如圖18（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)X軸滾動角的比對殘差在±1′以內(nèi)。

圖18 X 軸滾動角比對Fig.18 Comparison of X axial roll error

按圖19（a）架設(shè)實驗設(shè)備，電感測頭A，B 打在大理石方尺同一表面，記錄各位置電感測頭示數(shù)的差值與滾動角測量模塊的示數(shù)進行比對。比對結(jié)果如圖19（b）所示，在0～190 mm 內(nèi)Z軸滾動角的比對殘差在±1′′以內(nèi)。

5 空間誤差測量比對實驗

由式（6）可知，二維線性模組空間誤差模型求解中需要垂直度誤差，因此需要進行垂直度測量［24］。經(jīng)5 次測量，二維線性模組的垂直度誤差為-42.4′′，標準差為0.45′；大理石方尺的垂直度誤差為8.18′′，標準差為0.18′′。

為實現(xiàn)二維線性模組的誤差實時測量，本文對圖20 所示的工作平面（XZ平面，190 mm×190 mm 正方形）的對角線位置進行測量，并與激光干涉儀（MCV-500）所測位置值進行比對。在該對角線上選取19 個等間距點（P1～P19）進行比對。

按圖21 架設(shè)實驗設(shè)備，實驗時，X軸與Z軸均從起始位置間隔10 mm 沿正方向運動，記錄激光干涉儀的數(shù)值。記公式（10）求出的空間誤差E的坐標為(xe，ye，ze)，根據(jù)式（13）將測量系統(tǒng)測出數(shù)據(jù)代入誤差模型后求解的對角線值與MCV-500 測出的對角線值進行比較，即：

式中：EBD和EAD分別為使用誤差模型前后計算出的XZ平面對角線位置的測量誤差，PMCV為MCV500 測出的XZ平面對角線位置的測量誤差。測量結(jié)果如圖22 所示，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對角線位置的測量誤差值由68 μm 降至13 μm，說明該系統(tǒng)能夠有效地測量線性模組誤差。

圖22 XZ 平面對角線位置測量誤差比對Fig.22 Comparison of diagonal position measurement error of XZ plane

上述實驗均在空載狀態(tài)下進行。由于在加載狀態(tài)下二維線性模組各位置的運動誤差會發(fā)生變化，為驗證測量系統(tǒng)能夠?qū)崟r測量線性模組的空間誤差變化，在Z軸滑塊上加裝質(zhì)量為2 kg 的標準砝碼作為對照組實驗。加載實驗測量結(jié)果如圖22 所示，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對角線位置的測量誤差由56 μm 降至14 μm，該誤差測量系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)實時測量。

6 結(jié) 論

為測量二維線性模組的運動誤差，本文搭建了由光柵尺、四自由度運動誤差測量模塊和滾動角誤差測量模塊組成的誤差實時測量系統(tǒng)，基于HTM 原理構(gòu)建二維模組空間誤差模型，完成測量系統(tǒng)標定和比對實驗。最終，誤差實時測量系統(tǒng)的定位誤差、直線度誤差和角度誤差分別達到±1.2 μm，±1.3 μm 和±1″。根據(jù)所提出的空間誤差模型分析二維線性模組XZ平面對角線位置的測量誤差。結(jié)果表明，使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對角線位置的測量誤差由68 μm 降至13 μm。此外，在加載狀態(tài)下進行線性模組的空間誤差測量，在Z軸滑塊上加裝質(zhì)量為2 kg 的標準砝碼進行對照實驗。結(jié)果顯示，在使用二維線性模組空間誤差模型求解前后，XZ平面對角線位置的測量誤差由56 μm 降至14 μm。由此表明，該系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)線性模組誤差的實時測量。