唐 冶，李 穎

（1.安徽工程大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學(xué)藝術(shù)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000）

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，數(shù)字工具在大學(xué)教學(xué)中變得越來(lái)越重要，對(duì)數(shù)學(xué)建模[1]來(lái)說(shuō)更是如此?，F(xiàn)有文獻(xiàn)普遍假設(shè)，建?；顒?dòng)中所使用的模型不但受學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)與能力的影響，而且會(huì)被建模工具所影響[2]。因此，該方向的研究具有較大的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。

目前已有一些研究成果，如章小童[3]提出了應(yīng)該如何針對(duì)不同教育程度的學(xué)生使用信息化技術(shù)，以有效發(fā)展學(xué)生的建模能力的問(wèn)題。但該問(wèn)題迄今尚未得到令人滿意的答案，解答該問(wèn)題需要進(jìn)行廣泛的研究和理論分析。吳開(kāi)琪[4]在基于現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的背景下，認(rèn)為計(jì)算機(jī)和其他工具，有助于提升學(xué)生建模能力或構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模基礎(chǔ)概念，其還指出，動(dòng)態(tài)可視化在數(shù)字化教學(xué)背景下尤為重要。Blum 等人[5]分析了在建模周期中執(zhí)行建模步驟所需的不同能力，并與例如簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)計(jì)算、解釋和驗(yàn)證等子能力相對(duì)應(yīng)。相關(guān)研究表明[6,7]，數(shù)字工具提供的可視化功能，會(huì)影響甚至可能會(huì)增強(qiáng)一般數(shù)學(xué)能力的開(kāi)發(fā)。例如GeoGebra 等DGS 被認(rèn)為有助于提高學(xué)生對(duì)建模背景的理解和建模能力的提高[8]。GeoGebra可以為建模時(shí)的各個(gè)過(guò)程提供支持，特別是其中的圖形表示[9,10]。

迄今為止，很多問(wèn)題尚無(wú)定論，例如在使用數(shù)字工具時(shí)，學(xué)生受教育程度的不同，會(huì)對(duì)其建模能力包括簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)化、解釋或驗(yàn)證等子能力的有效獲得產(chǎn)生怎樣影響？為此，本文討論了動(dòng)態(tài)幾何軟件（Dynamic Geometry Software, DGS）的使用在開(kāi)發(fā)學(xué)生建模能力中的促進(jìn)作用。首先考慮數(shù)學(xué)工具在整個(gè)數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的應(yīng)用，討論利用數(shù)字工具來(lái)描述建模過(guò)程的各種方式。然后，重點(diǎn)研究建模時(shí)的DGS 使用，并分析在利用DGS 執(zhí)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，學(xué)生可獲得特定方面的能力提升。

1 研究的問(wèn)題

為深度分析，本文將研究范圍限制在數(shù)學(xué)化子能力的范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)建模的子能力之一，因此DGS的使用可能會(huì)影響到相應(yīng)過(guò)程的效果。

因此，本文的第一個(gè)研究問(wèn)題為：當(dāng)學(xué)生在利用DGS，或不使用DGS 進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)時(shí)，其數(shù)學(xué)化子能力的發(fā)展會(huì)不會(huì)存在差異？

另一個(gè)影響因素是學(xué)生對(duì)利用軟件進(jìn)行學(xué)習(xí)所持的態(tài)度。若學(xué)生不認(rèn)可軟件，其可能會(huì)拒絕進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)。這引發(fā)了本文的第二個(gè)研究問(wèn)題：程序相關(guān)的自我效能感（Self-Efficacy, SEF），與學(xué)生在使用GeoGebra進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)的態(tài)度，以及利用DGS 進(jìn)行建模學(xué)習(xí)時(shí)的數(shù)學(xué)化子能力的開(kāi)發(fā)是否存在關(guān)系？

2 提出的方法與實(shí)施過(guò)程

2.1 方案設(shè)計(jì)

SEF 的概念對(duì)應(yīng)于自身完成某項(xiàng)任務(wù)的信心[11]。SEF被認(rèn)為會(huì)對(duì)人們的行為產(chǎn)生很大影響。

為了回答上述問(wèn)題，選取150 名大二學(xué)生進(jìn)行對(duì)照研究。提供容量足夠的計(jì)算機(jī)教學(xué)場(chǎng)地，在連續(xù)四節(jié)課中分析了利用數(shù)字工具進(jìn)行教學(xué)，以及教師在教學(xué)單元中使用DGS 的不同情況。將30 個(gè)參與班級(jí)隨機(jī)分配到一個(gè)DGS 組或一個(gè)紙筆組中。鑒于現(xiàn)實(shí)約束，本文研究中使用了便利樣本（而非隨機(jī)對(duì)照實(shí)驗(yàn)）。在每堂45 分鐘的4 堂數(shù)學(xué)課過(guò)程中，學(xué)生成對(duì)地完成不同的開(kāi)放式建模任務(wù)，任務(wù)難度不斷增加且以空間幾何內(nèi)容為基礎(chǔ)。向兩個(gè)組提供相同的練習(xí)，區(qū)別在于：DGS 組被要求在進(jìn)行4 項(xiàng)建模任務(wù)時(shí)使用DGS-GeoGebra，數(shù)字工具在建模過(guò)程中的使用如圖1所示。DGS組和紙筆組接收幾乎相同的學(xué)習(xí)任務(wù)。

圖1 數(shù)字工具在建模過(guò)程中的使用

實(shí)驗(yàn)中的開(kāi)放式建模任務(wù)被設(shè)計(jì)為包含各種各樣的解，重點(diǎn)在于檢驗(yàn)學(xué)生在簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)化、解釋和驗(yàn)證步驟中的能力。利用傳統(tǒng)工具和DGS均可解決該任務(wù)。相對(duì)于分類方案，本文實(shí)驗(yàn)中采用所有任務(wù)均側(cè)重于建模過(guò)程的所有步驟，且存在數(shù)據(jù)冗余和缺失情況，以接近現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。DGS-GeoGebra 的典型用途包括構(gòu)建、繪制、測(cè)量，圖2 給出了DGSGeoGebra 所有可能的使用方式。為確保學(xué)生能夠掌握操作GeoGebra 的基本技能，DGS 組在教學(xué)單元開(kāi)始時(shí)首先進(jìn)行簡(jiǎn)短練習(xí)，其中還給出了軟件的不同按鈕功能的解釋。學(xué)生可以通過(guò)該練習(xí)記住軟件的重要功能。

圖2 定性分析結(jié)果的方式

2.2 測(cè)試工具和調(diào)查問(wèn)卷

下面簡(jiǎn)要描述測(cè)試工具的開(kāi)發(fā)步驟。圖3給出了對(duì)數(shù)學(xué)化子能力進(jìn)行評(píng)估的測(cè)試項(xiàng)目樣例。該任務(wù)基于“草捆任務(wù)”，向?qū)W生展示田間的草捆堆的真實(shí)情況。假設(shè)所有草捆均具有相同大小，并且是均勻和精確的圓形。此外，草捆的直徑為1.50m，草捆向下一層陷入的深度為20cm?！皵?shù)學(xué)化”指的是從簡(jiǎn)化的實(shí)際情況中建立數(shù)學(xué)模型的能力，因此學(xué)生的任務(wù)是將該情境轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表示。

圖3 草捆任務(wù)圖例

為分析不同變量所造成的學(xué)生能力水平的變化，本文選擇了加權(quán)似然估計(jì)法[12]（Weighted Likelihood Estimation, WLE），其通常被視為最精確的點(diǎn)估計(jì)法。如擬合指數(shù)（0.92≤WMNSQ≤1.07，t≤1.6）和圖形模型測(cè)試所示，Rasch模型在數(shù)據(jù)上有著較好擬合。在對(duì)實(shí)驗(yàn)組之間的差異進(jìn)行測(cè)試時(shí)，未發(fā)現(xiàn)項(xiàng)目功能上的顯著差異。這表明本文實(shí)驗(yàn)中使用的測(cè)試工具能夠較好地檢測(cè)各組學(xué)生在能力上可能存在的差異。如研究問(wèn)題2 所示，本文希望分析影響到DGS組中數(shù)學(xué)化能力發(fā)展的變量，例如學(xué)生運(yùn)用程序相關(guān)的SEF。為測(cè)量程序相關(guān)SEF，要求DGS 組在第二個(gè)測(cè)量點(diǎn)完成一份調(diào)查問(wèn)卷。對(duì)于數(shù)學(xué)化能力發(fā)展，程序相關(guān)的SEF 預(yù)計(jì)會(huì)比通用計(jì)算機(jī)SEF 產(chǎn)生更大影響，因此本文僅分析程序相關(guān)SEF的影響。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

一般可以對(duì)DGS 處理的影響進(jìn)行獨(dú)立分析，而不受在預(yù)測(cè)試中已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)化能力的影響。所有測(cè)量點(diǎn)處的描述性數(shù)據(jù)如表1 所示，其中N表示參與者人數(shù)，M表示均值，SD表示標(biāo)準(zhǔn)偏差。

表1 數(shù)學(xué)化子能力的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

回歸模型中變量的相關(guān)性如表2 所示，其中，***p＜0.001；**p＜0.01；*p＜0.05。實(shí)驗(yàn)組結(jié)果中，DGS 的使用與不同測(cè)量點(diǎn)處的數(shù)學(xué)化能力之間沒(méi)有顯著相關(guān)性。3 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的數(shù)據(jù)與媒介效應(yīng)量相關(guān)。從第2 個(gè)點(diǎn)和第3 個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值可知，協(xié)變量“實(shí)驗(yàn)組”均不是數(shù)學(xué)化能力的重要預(yù)測(cè)因子，也可以從表3 回歸模型系數(shù)中看出這一點(diǎn)。在第3 個(gè)測(cè)量點(diǎn)處，實(shí)驗(yàn)組之間的差異不具顯著性。這種情況下，DGS 組的預(yù)試估計(jì)值稍高。但需要謹(jǐn)慎對(duì)待這些結(jié)果，因?yàn)閺牡? 個(gè)測(cè)量點(diǎn)到第3 個(gè)測(cè)量點(diǎn)的數(shù)學(xué)課程是不受控的。

表2 回歸模型中變量的相關(guān)性

4 結(jié) 論

本文旨在利用相關(guān)技術(shù)促進(jìn)學(xué)生的建模能力，比較了在數(shù)學(xué)建模課程中使用DGS 和傳統(tǒng)紙筆的兩組學(xué)生的數(shù)學(xué)能力展現(xiàn)。結(jié)果表明，在實(shí)驗(yàn)后立即進(jìn)行的測(cè)試和延后3 個(gè)月的測(cè)試中，兩組學(xué)生均表現(xiàn)出顯著差異。與不使用數(shù)字工具相比，學(xué)生利用DGS建模可能會(huì)改變建模過(guò)程，但不一定會(huì)影響到建模能力的發(fā)展。