趙舵舵，朱子怡，趙媛媛

（池州學院大數(shù)據(jù)與人工智能學院，安徽 池州 247000）

0 引 言

計算電網(wǎng)絡圖中任意兩點之間的電阻距離問題一直備受關注[1-5]。Gervacio 教授研究了n部圖中任意兩點電阻距離，并得到了電阻距離的表達式[2]。晏衛(wèi)根教授的團隊在Gervacio教授研究基礎上對環(huán)狀電網(wǎng)絡中的電阻距離進行了研究[3]。黃蘇閩、李書超等得到了線性六邊形（圓柱形）鏈的電阻距離和基爾霍夫指標公式，確定了線性六邊形鏈中最大和最小的電阻距離[4]。Estradaf 教授基于相應拉普拉斯算子的光譜特性證明了新電阻距離和基爾霍夫指數(shù)的幾個結果[5]。

在最近的二十年來，一些化學圖的電阻距離成為了研究熱點。Barrett教授等人研究了線性三邊形鏈的電阻距離[6]。陳海燕教授得到了線性四邊形鏈中任意兩點電阻距離的表達式，并進一步地確定了其中最大和最小的電阻距離，分析電阻距離的單調(diào)性和漸近性質(zhì)[7]。

苯是一類重要的化合物，其圖結構往往用六邊形表示，研究由苯環(huán)組成的六邊形系統(tǒng)中任意兩點的電阻距離有著重要意義。電阻距離可以描畫分子之間的類液，也是波狀的強力的通訊橋梁。一個苯鏈就是具有以下性質(zhì)的一個苯系統(tǒng)[5]：1.它沒有同時屬于三個六角形的頂點；2.它沒有多于兩個的六角形相鄰。如果一個苯鏈中不含有彎曲的地方，就稱該苯鏈是直苯鏈，也就是我們本文研究的苯環(huán)線性六角鏈。運用電路縮減原理計算苯環(huán)線性六角鏈初始點間的任意兩點電阻距離，通過等效電阻原則及電路縮減原理得出新增點與其他點間任意兩點的電阻距離。

1 準備工作

首先介紹苯環(huán)線性六角鏈的空間結構，將其變形為普通的線性六角鏈，如圖1所示。

圖1 苯環(huán)線性六角鏈變形

變換后的線性六角鏈可以通過線性四角鏈將按照一定的規(guī)則進行加點實現(xiàn)，如圖2所示。

圖2 線性四角鏈與線性六角鏈

由圖2 可知，苯環(huán)線性六角鏈中的點可以分為兩類，一類是原點，即{u1,u2,…,un} 與{v1,v2,…,vn} ；一類是新增點，即{s1,s2,…,s1} 與{t1,t2,…,tn} 。規(guī)定圖G上的任意兩點s,t間的電阻距離記為rG(s,t)。

給出電網(wǎng)絡中的等效電阻和規(guī)則。

引理[8]：設N=(G,C)是一個電網(wǎng)絡，對其任意的點i和j(i≠j)，有

其中，C是一個電導函數(shù)，cik是邊ik的電導。

定義以下3個函數(shù)：

2 主要結論

2.1 初始點間任意兩點的電阻距離

圖3 線性四角鏈

圖4

根據(jù)上式，可以得到zn的解

圖5

由圖5，可以得到

綜合上述公式，有

將公式進行運算，可以得到

并且，

圖6 關于頂點un，ui + 1及vi + 1做電路縮減

由公式（10）有

根據(jù)公式（11），我們可以得到

將公式（6）與（11）代入（12），能得到

可以驗證，對于n≥i≥1，公式（13）也成立。

在上述結果的基礎上，可以求解rWn(ui,uj)，rWn(ui,vj)。對圖關于頂點ui，vi及uj做電路縮減得到一個Y型圖，如圖7所示。

圖7 關于頂點ui，vi及uj做電路縮減

根據(jù)圖7，有

進而可得

和

聯(lián)合公式（6）、（13）、（15）及（16）有

同理，可以驗證對于n≥i≥j≥1，上述兩個公式也成立。更進一步，有

2.2 新增點與其他點間任意兩點的電阻距離

前文給定了原點之間任意兩點的電阻距離，接下來將會求出新增點與其他點間任意兩點的電阻距離。

圖8 線性六角鏈

將公式（19）乘以3減去（20），有

將公式（20）乘以3減去（19），有

聯(lián)立公式，可以得到如下結果

對于任意i，j∈Z+，若i＞j，則i≥j+ 1，對于，有

上式解得結果如下

聯(lián)立公式有

由上式，可以得到

因而有

由于苯環(huán)線性六角鏈的結構及其對稱性，可以驗證，對于任意的n≥i≥j≥1，有

綜上所述，可以得到下述定理：

定理1：對于苯環(huán)線性六角鏈，n≥i≥j≥1，其任意兩點間的電阻距離如下：

1.初始點間任意兩點電阻

2.新增點與其他點間任意兩點電阻距離

由公式（17）和（18），可以發(fā)現(xiàn)，苯環(huán)線性六角鏈中新增點與其他點任意兩點間的電阻距離可以由初始點的任意兩點電阻距離來表示。

定理2：對于苯環(huán)線性六角鏈，n≥i≥j≥1，其任意兩點間的電阻距離如下：

1.初始點間任意兩點電阻

2.增點與其他點間任意兩點電阻距離