■張書文

（湖州交通規(guī)劃設(shè)計(jì)院，湖州 313000）

混凝土塑性損傷模型（Concrete Damaged Plasticity，后簡(jiǎn)稱“CDP 模型”）因能夠同時(shí)考慮混凝土在受力過(guò)程中的塑性行為和損傷累積，在分析素混凝土或鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的非線性力學(xué)響應(yīng)、評(píng)估結(jié)構(gòu)的極限承載能力和預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)破壞響應(yīng)等方面得到廣泛應(yīng)用[1-3]。 準(zhǔn)確選取和計(jì)算CDP 模型的參數(shù)對(duì)于描述混凝土在受力過(guò)程中的塑性變形、 強(qiáng)度退化、 損傷積累和裂縫擴(kuò)展等非線性行為至關(guān)重要。目前針對(duì)CDP 模型從理論方面和應(yīng)用角度的研究較多。 張?bào)K[4]構(gòu)造了一類適用于CDP 模型的新齊次屈服函數(shù)，顯著提高了其分析精度。 李杰等[5]、吳建營(yíng)等[6]采用拉伸和剪切損傷變量描述混凝土劣化表現(xiàn)，建立了基于斷裂能的彈塑性損傷本構(gòu)模型并解耦了損傷演化與塑性變形。 聶建國(guó)等[7]通過(guò)對(duì)比混凝土彌散開裂模型和CDP 模型，將2 種模型應(yīng)用于鋼筋混凝土構(gòu)件的分析中以研究不同混凝土本構(gòu)模型的適用情況。 張戰(zhàn)廷等[8]、曾宇等[9]、楊飛等[10]按照規(guī)范[11-12]的建議確定CDP 模型中的相關(guān)分析參數(shù)，并通過(guò)算例對(duì)所計(jì)算的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。 齊虎等[13]通過(guò)在ABAQUS 中二次開發(fā)進(jìn)行了參數(shù)取值的系統(tǒng)研究，并利用數(shù)值模擬和振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證了其參數(shù)確定方法和本構(gòu)模型的合理性。姜磊等[14]、Jin 等[15]利用將砂漿和ITZ（界面過(guò)渡區(qū)）確定為CDP模型，骨料確定為線彈性本構(gòu)，對(duì)混凝土從細(xì)觀力學(xué)角度進(jìn)行受力分析。 綜上所述，從理論方面修正CDP 模型使其更符合實(shí)際荷載作用條件下混凝土結(jié)構(gòu)受力屬于內(nèi)部改進(jìn)，目前已有相對(duì)成熟的研究結(jié)論。 應(yīng)用ABAQUS 中內(nèi)嵌的CDP 模型并通過(guò)相關(guān)規(guī)范（多為《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》(GB 50010-2010)）確定其計(jì)算參數(shù)屬于外部?jī)?yōu)化，然而與大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)[16-17]對(duì)比，GB 50010 所給出的混凝土單軸抗拉、壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值與試驗(yàn)結(jié)果相比較小，用于設(shè)計(jì)相對(duì)安全，用于損傷開裂研究相對(duì)保守。 而《FIB Model Code for Concrete Structures 2010》（后簡(jiǎn)稱“FIB MC 2010”）中同標(biāo)號(hào)混凝土給出的各項(xiàng)力學(xué)參數(shù)取值則相對(duì)較大。 基于此，本文根據(jù)FIB MC2010 所提供的混凝土塑性損傷本構(gòu)模型及材料參數(shù)，計(jì)算確定ABAQUS 中CDP 模型參數(shù)，利用數(shù)值模擬方法分析無(wú)腹筋混凝土梁非線性力學(xué)特性，并通過(guò)文獻(xiàn)[17]的試驗(yàn)結(jié)果對(duì)CDP 模型參數(shù)確定方法進(jìn)行正確性驗(yàn)證。

1 ABAQUS 中CDP 模型

1.1 混凝土單軸拉伸行為和壓縮行為

CDP 模型是一種基于塑性的、連續(xù)的混凝土損傷模型，其考慮混凝土破壞主要分為拉裂和壓潰，屈服面（破壞面）演化由拉伸和壓縮等效塑性應(yīng)變（～εtpl和～εcpl）控制。 單軸拉伸和壓縮損傷塑性特性描述如圖1 所示。

圖1 單軸拉伸和壓縮損傷塑性特性描述

圖1 對(duì)混凝土力學(xué)行為的描述雖然簡(jiǎn)單，但能抓住混凝土的主要變形特征。 單軸拉伸時(shí)，峰值拉應(yīng)力σ0前應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為線彈性，材料不存在損傷；達(dá)到峰值拉應(yīng)力σ0時(shí)，混凝土開始產(chǎn)生微裂紋；超過(guò)峰值拉應(yīng)力σ0后，微裂紋成群出現(xiàn)，材料宏觀表現(xiàn)出軟化特性。單軸壓縮時(shí)，屈服應(yīng)力σc0前應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為線彈性，材料不存在損傷；屈服應(yīng)力σc0至峰值壓應(yīng)力σcu為強(qiáng)化段， 這種現(xiàn)象是由于混凝土內(nèi)部孔隙和微裂紋受到壓縮時(shí)逐漸閉合所致；超過(guò)峰值壓應(yīng)力σcu后進(jìn)入應(yīng)變軟化階段。 若假定混凝土初始彈性模量為E0，則混凝土單軸拉伸和壓縮工況下應(yīng)力應(yīng)變曲線可用下式描述：

式中：dt、dc分別為拉伸損傷變量和壓縮損傷變量，其取值為0～1。 需要指出，損傷變量應(yīng)避免超過(guò)0.99（即混凝土剛度值降低不超過(guò)99%）。

1.2 拉伸硬化與壓縮行為定義

在ABAQUS 中，通過(guò)在混凝土受拉行為軟化階段引入“拉伸硬化（TENSION STIFFING）”以模擬混凝土開裂后鋼筋的荷載傳遞作用（如：鋼筋與混凝土的粘結(jié)滑移效應(yīng)）。 定義拉伸硬化的方式有3 種，分別為后繼破壞應(yīng)力與開裂應(yīng)變關(guān)系、后繼破壞應(yīng)力與開裂位移關(guān)系、直接輸入斷裂能Gf。 對(duì)于后繼破壞應(yīng)力與開裂應(yīng)變關(guān)系，ABAQUS 按照式（3）將開裂應(yīng)變（～etck=et-st/E0）轉(zhuǎn)換為拉伸等效塑性應(yīng)變，輸入時(shí)要求計(jì)算所得拉伸等效塑性應(yīng)變隨開裂應(yīng)變?cè)黾佣黾印?需要指出，素混凝土或者少筋混凝土按后繼破壞應(yīng)力與開裂應(yīng)變關(guān)系定義材料軟化特性會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果存在網(wǎng)格敏感性，而后繼破壞應(yīng)力與開裂位移關(guān)系和直接輸入斷裂能的方法能夠很好地解決網(wǎng)格敏感性問(wèn)題。 在使用這兩種方法時(shí)需要定義積分點(diǎn)的特征長(zhǎng)度。 定義單元特征長(zhǎng)度l0后，ABAQUS 按照式（4）將開裂位移轉(zhuǎn)化為塑性位移。

ABAQUS 按照式（5）將非彈性應(yīng)變（～ecin=ec-sc/E0）轉(zhuǎn)換為壓縮等效塑性應(yīng)變，輸入時(shí)要求計(jì)算所得壓縮等效塑性應(yīng)變隨非彈性應(yīng)變?cè)黾佣黾印?/p>

1.3 單軸周期荷載下混凝土剛度恢復(fù)

ABAQUS 通過(guò)定義拉伸剛度恢復(fù)因子wt和壓縮剛度恢復(fù)因子wc描述混凝土材料在單軸周期荷載作用下的剛度恢復(fù)行為，單軸周期荷載作用下混凝土的本構(gòu)關(guān)系如圖2 所示。 當(dāng)荷載由拉伸→壓縮，壓縮剛度完全恢復(fù)，即wc=1；當(dāng)壓縮→拉伸，拉伸剛度無(wú)法恢復(fù)，即wt=0。

圖2 單軸周期荷載作用下混凝土的本構(gòu)關(guān)系

1.4 混凝土塑性

ABAQUS 通過(guò)流動(dòng)勢(shì)、屈服面（破壞面）及粘性參數(shù)（僅適用于Standard）等定義混凝土塑性。 流動(dòng)勢(shì)通過(guò)膨脹角j、偏心率e 定義；屈服面（破壞面）通過(guò)雙軸受壓極限強(qiáng)度與單軸受壓極限強(qiáng)度之比sc0/sb0、不變應(yīng)力比Kc等來(lái)定義；在保證計(jì)算精度的前提下，粘性參數(shù)取值越小，模型在軟化階段越容易收斂。

2 基于FIB MC 2010 的CDP 模型參數(shù)確定

2.1 FIB MC 2010 中混凝土參數(shù)

2.1.1 彈性模量與泊松比

根據(jù)FIB MC 2010，在無(wú)準(zhǔn)確試驗(yàn)數(shù)據(jù)情況下，普通混凝土彈性模量可采用式（6）、（7）估算：

式中：E0為初始彈性模量（考慮初始塑性應(yīng)變引起不可逆變形），MPa；Eci為初始割線模量，MPa；fck為混凝土抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值，MPa；Df=8 MPa；Ec0=21500 MPa；aE與骨料巖性相關(guān)，玄武巖取1.2，石英巖取1.0，石灰?guī)r取0.9，砂巖取0.8。

對(duì)于混凝土泊松比n，F(xiàn)IB MC 2010 建議其取值在0.14～0.26，一般而言取0.2 即可滿足分析精度要求。

2.1.2 拉伸與壓縮彈性極限點(diǎn)、斷裂能

混凝土拉伸與壓縮彈性極限點(diǎn)是混凝土彈性階段和塑性階段的分割點(diǎn)。 在CDP 模型中，以峰值拉應(yīng)力σ0（即混凝土單軸抗拉強(qiáng)度平均值fctm）作為拉伸彈性極限點(diǎn)；以0.4 倍峰值壓應(yīng)力σcu（即混凝土單軸抗壓強(qiáng)度平均值fcm）作為壓縮彈性極限點(diǎn)（即屈服應(yīng)力σc0=0.4σcu）；混凝土斷裂能根據(jù)式（8）、（9）計(jì)算：

式中：GF為混凝土斷裂能，N/mm； fcm為混凝土單軸抗壓強(qiáng)度平均值，MPa。

2.1.3 單軸受壓、受拉本構(gòu)關(guān)系

（1）單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。在FIB MC 2010 中，混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如圖3 所示，按式（10）～（12）計(jì)算：

圖3 混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（FIB MC 2010）

式中：εc1為峰值壓應(yīng)變；εc,lim為極限壓應(yīng)變；Ec1為割線模量，其值為峰值壓應(yīng)力與峰值壓應(yīng)變之比，MPa；k 為塑性參數(shù)。 εc1、εc,lim、Ec1、k 均可根據(jù)規(guī)范查表。

（2）單軸受拉本構(gòu)關(guān)系。 在FIB MC 2010 中，混凝土單軸拉伸本構(gòu)如圖4 所示，開裂前的本構(gòu)關(guān)系采用雙折線應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系描述，如式（13）～（15）所示，開裂后本構(gòu)關(guān)系采用雙折線應(yīng)力—開裂位移關(guān)系描述，見式（16）、（17）。

圖4 混凝土單軸受拉本構(gòu)關(guān)系（FIB MC 2010）

式中：w 為混凝土開裂位移，mm；w1=Gf/fctm，當(dāng)σct=0.20fctm，wc=5Gf/fctm；當(dāng)σct=0，拉應(yīng)變?yōu)?.00015。

2.2 CDP 模型參數(shù)確定

2.2.1 彈性參數(shù)

由CDP 模型中混凝土單軸拉伸行為和壓縮行為（圖1）可知，混凝土在彈性工作階段，僅存在1 個(gè)彈性模量值。 根據(jù)FIB MC 2010 可按式（6）計(jì)算彈性模量，聶建國(guó)[7]建議取壓縮彈性極限點(diǎn)位置割線模量，需要指出，本文在分析時(shí)發(fā)現(xiàn)2 種方法計(jì)算所得彈性模量數(shù)值接近， 而后者概念更為明確，故彈性模量按壓縮彈性極限點(diǎn)位置割線模量取值。 泊松比取0.2。

2.2.2 塑性參數(shù)

偏心率e 取0.1； 雙軸受壓極限強(qiáng)度與單軸受壓極限強(qiáng)度之比sc0/sb0取1.16； 不變應(yīng)力比Kc取0.667；膨脹角j 控制混凝土在較大非彈性壓應(yīng)變情況下的體積變化，取值范圍為13°～56°；粘性參數(shù)取1×10-4。

2.2.3 壓縮參數(shù)與拉伸參數(shù)

（1）壓縮參數(shù)。 結(jié)合CDP 模型中混凝土單軸壓縮行為、FIB MC 2010 單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系以及“2.2.1 彈性參數(shù)”中試算的彈性模量，即可得到混凝土壓縮硬化關(guān)系（sc-ein）。 在計(jì)算混凝土壓縮、拉伸損傷時(shí)，需要先計(jì)算混凝土損傷因子，而ABAQUS未提供混凝土損傷因子計(jì)算方式，本文依據(jù)Sidoroff能量等效原理計(jì)算混凝土壓縮、拉伸損傷因子，具體如下：

FIB MC 2010 中混凝土拉伸軟化階段以應(yīng)力—開裂位移關(guān)系給出，要通過(guò)式（19）計(jì)算拉伸損傷因子，需要將應(yīng)力—開裂位移關(guān)系轉(zhuǎn)化為應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系。 本文根據(jù)Ba?ant 提出的裂縫帶理論，通過(guò)聯(lián)立式（16）、式（17）、式（20）進(jìn)行轉(zhuǎn)變，進(jìn)而求得混凝土拉伸損傷因子。 混凝土壓縮損傷在求得壓縮損傷因子后，聯(lián)合非彈性應(yīng)變即可求得。

（2）拉伸參數(shù)。 為避免模型分析時(shí)的網(wǎng)格敏感性，采用后繼破壞應(yīng)力與開裂位移關(guān)系或直接輸入斷裂能的方式描述混凝土拉伸硬化。 需要注意，對(duì)于CDP 模型在確定彈性模量和峰值拉應(yīng)力后，即確定混凝土彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 混凝土拉伸損傷在求得拉伸損傷因子后，聯(lián)合開裂位移即可求得。

2.2.4 壓縮參數(shù)與拉伸參數(shù)

對(duì)于單調(diào)荷載作用下的混凝土損傷開裂數(shù)值模擬， 通常認(rèn)為不發(fā)生裂縫張開后再閉合的現(xiàn)象。因此，CDP 模型中拉伸剛度恢復(fù)因子wt和壓縮剛度恢復(fù)因子wc取默認(rèn)值，即wt=0，wc=1。

3 實(shí)證分析：無(wú)腹筋混凝土梁試驗(yàn)

3.1 實(shí)例概況

本文以丁雅博[18]的“B-2.2-1.6”試件為例，基于CDP 模型建立有限元模型分析其損傷力學(xué)特性，并與試驗(yàn)所得荷載撓度曲線進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證本文CDP模型參數(shù)確定的合理性。

“B-2.2-1.6”試件指剪跨比為2.2，配筋率為1.58%的混凝土無(wú)腹筋矩形梁，梁寬為200 mm，試件幾何尺寸及配筋如圖5 所示（圖中a 為800 mm）。 試件所用混凝土的立方塊抗壓強(qiáng)度為42.15 MPa、 劈裂抗拉強(qiáng)度為3.16 MPa。 縱筋采用HRB400，直徑為22 mm，其屈服強(qiáng)度為475.3 MPa， 極限強(qiáng)度為612.4 MPa，伸長(zhǎng)率為26.83%，彈性模量按2.0×105MPa。

圖5 “B-2.2-1.6”試件幾何尺寸及配筋

3.2 有限元模型

利用大型通用有限元分析程序ABAQUS 建立“B-2.2-1.6”試件有限元模型，如圖6 所示。 其中混凝土梁采用三維實(shí)體單元（C3D8R），墊塊及加載塊采用彈性剛體（C3D8R 單元）模擬，共計(jì)20 428 個(gè)。受拉鋼筋以及構(gòu)造鋼筋均采用一維桁架單元（T2D2），共計(jì)719 個(gè)。 左側(cè)墊塊釋放沿X 方向的扭轉(zhuǎn)約束，其余5 個(gè)方向全部約束；右側(cè)墊塊除釋放沿X 方向的扭轉(zhuǎn)約束，還釋放沿Z 方向的移動(dòng)約束，其余4 個(gè)方向全部約束。 墊塊與梁體、加載塊與梁體之間采用綁定連接（Tie），鋼筋與混凝土之間采用內(nèi)置區(qū)域連接（Embed），暫不考慮的鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)—滑移作用。 模型按照位移方式進(jìn)行模型加載，加載塊處向下施加8 mm?！癇-2.2-1.6”試件有限元模型中的需輸入彈性及塑性參數(shù)如下：彈性模量E0為31 363.76 MPa、泊松比v 為0.2、膨脹角j 為35°、偏心率e 為0.1、sc0/sb0為1.16、不變應(yīng)力比Kc為0.667、粘性參數(shù)為1×10-4，壓縮行為及拉伸行為輸入?yún)?shù)如表1 所示。

表1 “B-2.2-1.6”試件有限元模型壓縮行為、拉伸行為

圖6 “B-2.2-1.6”試件有限元模型

3.3 數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)對(duì)比

利用ABAQUS 對(duì)“B-2.2-1.6”試件進(jìn)行損傷破壞分析，其損傷云圖如圖7（a）所示，圖中損傷值較大的深灰色區(qū)域反映混凝土可能的開裂位置，黑色區(qū)域的混凝土不存在損傷。 由圖可知，無(wú)腹筋鋼筋混凝土梁破壞以斜裂縫和跨中位置的豎向裂縫為主。試驗(yàn)破壞照片見圖7（b）。對(duì)比圖7（a）和圖7（b）可知，“B-2.2-1.6”試件的有限元分析結(jié)果（損傷位置）與破壞試驗(yàn)結(jié)果（裂縫分布）基本一致。

圖7 “B-2.2-1.6”試件損傷云圖與試驗(yàn)破壞圖對(duì)比

同時(shí)，將有限元模型中支座反力（2 個(gè)支座合力）與加載塊處豎向位移進(jìn)行整合，得到“B-2.2-1.6”試件加載的力—位移關(guān)系，并將數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)荷載—撓度曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖8 所示。 由圖8 可知，“B-2.2-1.6” 試件有限元分析的極限承載力與試驗(yàn)所得的極限荷載基本一致，而加載過(guò)程中同位移（撓度）情況下，有限元分析結(jié)果比試驗(yàn)結(jié)果稍大，這是由于有限元模型中沒(méi)有考慮混凝土初始缺陷，導(dǎo)致模型中的混凝土彈性模量高于試驗(yàn)所導(dǎo)致；而隨著位移不斷加載，模型損傷逐漸積累，直到與試驗(yàn)中“B-2.2-1.6”試件內(nèi)部損傷相當(dāng)時(shí)，有限元分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本接近。 從圖中還可以看出，試驗(yàn)中未監(jiān)測(cè)到試件破壞后荷載—撓度曲線下降段，而數(shù)值模擬過(guò)程可以得到下降段結(jié)果，這說(shuō)明數(shù)值方法能合理預(yù)測(cè)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)破壞后承載能力。綜上，根據(jù)FIB MC 2010 確定的CDP 模型參數(shù)可應(yīng)用于無(wú)腹筋鋼筋混凝土梁損傷破壞的預(yù)測(cè)分析。

圖8 “B-2.2-1.6”試件力（荷載）—位移（撓度）曲線對(duì)比

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)ABAQUS 中CDP 模型特點(diǎn)以及FIB MC 2010 中混凝土單軸力學(xué)特性進(jìn)行分析討論以確定CDP 模型參數(shù)，并利用既有文獻(xiàn)試驗(yàn)作為算例驗(yàn)證CDP 模型參數(shù)確定的合理性，得到以下結(jié)論：（1）根據(jù)FIB MC 2010 中混凝土單軸力學(xué)特性確定ABAQUS中CDP 模型參數(shù)可用于無(wú)腹筋鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)損傷破壞的數(shù)值分析；（2）應(yīng)用FIB MC 2010 確定的CDP模型參數(shù)，數(shù)值模型分析得到的極限承載能力與試驗(yàn)結(jié)果基本一致， 在不考慮模型初始損傷情況下，相同加載位移（撓度）數(shù)值結(jié)果比試驗(yàn)結(jié)果稍大。