噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗非匹配干擾自適應(yīng)反步滑?？刂?/h1>
2023-12-01 03:44:14張文杰高國琴
軟件導(dǎo)刊 2023年11期
張文杰，高國琴
（江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
近年來，路橋基建事業(yè)的高速發(fā)展，使得鋼箱梁在我國橋梁建設(shè)行業(yè)的應(yīng)用越來越廣泛［1］。噴砂除銹是鋼箱梁表面處理中最常用的前處理工藝，鋼箱梁表面噴砂除銹的效果決定了后期橋梁主體表面涂料附著力及橋梁路面鋪裝的耐久性［2］。然而，由于鋼箱梁為超大型構(gòu)件，目前國外采用的噴砂機(jī)器人結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且需要構(gòu)建大型廠房進(jìn)行固定安裝，無法滿足鋼箱梁隨橋梁建設(shè)進(jìn)行流動施工的要求。而國內(nèi)噴砂除銹仍采用人工操作，存在生產(chǎn)方式落后，以及需要操作人員在危險(xiǎn)工況下進(jìn)行高強(qiáng)度工作，導(dǎo)致危害身體健康等問題［3］。為此，本文設(shè)計(jì)研制一種基于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的噴砂除銹機(jī)器人，可以提高鋼箱梁噴砂除銹作業(yè)效率，并保證其表面具有符合工程驗(yàn)收要求的微米級粗糙度［4］。
噴砂時通過壓縮空氣將噴料高速噴射到需處理的工件表面，因此在噴砂機(jī)構(gòu)工作時噴槍噴嘴處會產(chǎn)生較大的射流反作用力［5］。這種反作用力直接作用在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺端，表現(xiàn)在機(jī)構(gòu)的運(yùn)行上就是帶來額外的加速度，使得機(jī)構(gòu)在極短時間內(nèi)發(fā)生位姿偏轉(zhuǎn)，造成機(jī)構(gòu)位姿速度的突然變化，從而對并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)造成了強(qiáng)烈干擾。該干擾會造成噴砂機(jī)構(gòu)末端負(fù)載的增加，且隨著末端位姿變化，影響噴砂機(jī)構(gòu)運(yùn)動時的動態(tài)性能，降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端控制的穩(wěn)定性和軌跡跟蹤精度。為此，本文擬研究如何抵抗射流反作用力對系統(tǒng)運(yùn)行的影響，以增強(qiáng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)其軌跡跟蹤控制的高精度。
1 相關(guān)研究
噴砂射流反作用力作用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)位姿速度通道，從控制角度看是一種非匹配干擾。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，噴槍末端由于高速噴射砂石所產(chǎn)生的強(qiáng)大射流反作用力將直接作用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且會隨噴槍角度的變化而變化，從而影響系統(tǒng)運(yùn)行時的安全性及控制精度。由于射流反作用力直接影響噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿速度，且與控制輸入不在同一通道，因此針對射流反作用力非匹配干擾問題的研究仍具有挑戰(zhàn)性，特別是針對移動式噴砂機(jī)器人存在的射流反作用力非匹配干擾，目前還未有相關(guān)研究。
滑?？刂剖加?0 世紀(jì)50 年代，是一種特殊的非線性控制，其滑模面的設(shè)計(jì)需滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性要求，即要求參數(shù)攝動和干擾是可以通過控制量消除的。因此，傳統(tǒng)的滑?？刂浦荒芴幚矸蔷€性系統(tǒng)匹配干擾問題，而對于不在控制輸入通道中的非匹配干擾，傳統(tǒng)的滑?？刂苿t不能起到良好的控制效果。針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)噴槍末端射流反作用力的強(qiáng)烈干擾，難以保證Stewart 型六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定性的問題，文獻(xiàn)［6］提出一種結(jié)合射流反作用力前饋補(bǔ)償?shù)姆床阶赃m應(yīng)滑模控制方法，定量分析噴砂射流反作用力并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，以降低滑?？刂圃O(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)，提高滑?？刂频倪m應(yīng)性，但需要首先對射流反作用作復(fù)雜的幅值計(jì)算。國內(nèi)外很多學(xué)者不斷嘗試將滑?？刂茟?yīng)用于工業(yè)機(jī)器人控制中，以解決其中的非匹配干擾問題，取得了很多成果。文獻(xiàn)［7］采用線性矩陣不等式的積分滑?？刂品椒ń鉀Q離散線性系統(tǒng)的非匹配干擾問題，采用積分滑模的方法由于需要設(shè)計(jì)較大的切換增益，會加劇滑?？刂贫墩瘢腼柡秃瘮?shù)在削弱抖振的同時也增加了控制器設(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)；文獻(xiàn)［8］針對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的非匹配干擾控制問題，采用變權(quán)高斯徑向基函數(shù)對非匹配不確定性進(jìn)行補(bǔ)償，提出一種基于反步控制的自適應(yīng)滑模控制方法，但利用高斯核函數(shù)作函數(shù)逼近需要大量輸入樣本，且會增大權(quán)值矩陣；文獻(xiàn)［9］提出一種求解非匹配干擾系統(tǒng)的滑?？刂品椒?，采用多滑模面（MSS）方法結(jié)合慣性延遲控制（IDC）估計(jì)非匹配干擾。該方法將滑?？刂破髟O(shè)計(jì)成系統(tǒng)的相對降階，且需要設(shè)計(jì)多層滑模面，增加了控制器的設(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)。
基于擾動觀測器（DOB）的魯棒控制策略能有效解決不確定系統(tǒng)控制問題，是一種處理系統(tǒng)非匹配干擾問題的常用方法。文獻(xiàn)［10］針對存在非匹配不確定性的系統(tǒng)，提出一種基于非線性擾動觀測器的滑?？刂品椒?，通過設(shè)計(jì)一種基于擾動估計(jì)值的新型滑模面來消除非匹配干擾；文獻(xiàn)［11］針對存在匹配和非匹配干擾的非線性系統(tǒng)，提出一種基于擾動觀測器的連續(xù)有限時間滑?？刂品椒?，保證了滑模面的有限時間可達(dá)性以及控制輸出的有限時間收斂性；文獻(xiàn)［12］提出一種基于干擾觀測器的反步軌跡跟蹤控制方法，估計(jì)系統(tǒng)中的未知復(fù)合干擾，降低了反步遞推過程的復(fù)雜程度。以上文獻(xiàn)利用擾動觀測器來解決非匹配干擾問題，要求非匹配干擾有界且一階導(dǎo)數(shù)在穩(wěn)態(tài)時趨于零，同時干擾估計(jì)誤差上界已知。對于本文所研究的噴砂并聯(lián)機(jī)器人，其系統(tǒng)的不確定性受實(shí)際工作環(huán)境影響，所受射流反作用力無法直接測量得到，因此只能采用觀測器進(jìn)行估計(jì)。傳統(tǒng)干擾觀測器要求擾動一階導(dǎo)數(shù)近似為零，但在實(shí)際操作中，射流反作用力不能滿足此要求。而采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer，ESO）可將上述條件放寬，只需非匹配干擾有界，且能夠在已知系統(tǒng)少量模型信息情況下對非匹配干擾進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，不需要滿足射流反作用力干擾一階導(dǎo)數(shù)近似為零的條件。因此，本課題擬引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器處理噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)的射流反作用力非匹配干擾問題。
文獻(xiàn)［13］在20 世紀(jì)80 年代末首次提出自抗擾控制（ADRC）的概念，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是自抗擾控制的重要組成部分，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的提出受到了傳統(tǒng)狀態(tài)觀測器的啟發(fā)，不同的是該方法將系統(tǒng)的總擾動擴(kuò)張為系統(tǒng)狀態(tài)，從而使擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可同時估計(jì)系統(tǒng)的不確定性和所擴(kuò)張的未知狀態(tài)；文獻(xiàn)［14］提出一種適用于非匹配不確定性非積分鏈系統(tǒng)的廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）方法，擾動補(bǔ)償增益后，非匹配不確定性可以從系統(tǒng)輸出中衰減；文獻(xiàn)［15］針對一類存在不確定性的系統(tǒng)，提出一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行估計(jì)；文獻(xiàn)［16］提出的基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒?，能夠保證估計(jì)誤差收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)，從而有效抑制非匹配擾動對系統(tǒng)跟蹤的影響；文獻(xiàn)［17］設(shè)計(jì)了一種ESO來觀測和補(bǔ)償機(jī)器人系統(tǒng)中存在的外部干擾和參數(shù)不確定性，并結(jié)合自適應(yīng)滑?？刂疲⊿MC）策略實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的軌跡跟蹤控制；文獻(xiàn)［18］針對針對電壓源逆變器系統(tǒng)中的負(fù)載擾動和參數(shù)攝動，提出一種基于時變增益擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)超螺旋魯棒電壓控制新方法。但目前將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)構(gòu)非匹配不確定性問題的研究較少，特別是對于噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在的特殊的射流反作用力問題尚無相關(guān)研究。
反步設(shè)計(jì)法是將系統(tǒng)狀態(tài)作為中間控制變量進(jìn)行逐步設(shè)計(jì)，在逐步遞推過程中設(shè)計(jì)中間虛擬控制量，以對并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的非匹配干擾進(jìn)行補(bǔ)償。從前面分析可知，滑模控制對匹配擾動具有魯棒性，但是對非匹配干擾不能起到良好的控制效果，而反步控制可以處理非匹配干擾，但無法保證魯棒性。因此，可將滑?？刂婆c反步設(shè)計(jì)方法相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器，以解決具有非匹配干擾的控制問題?；趯σ陨涎芯康姆治觯瑪U(kuò)張狀態(tài)觀測器可以對系統(tǒng)狀態(tài)和不確定擾動進(jìn)行在線估計(jì)，可將反步設(shè)計(jì)法和滑模控制器相結(jié)合以抑制系統(tǒng)擾動，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。因此，本文考慮采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力非匹配干擾進(jìn)行實(shí)時估計(jì)，通過反步法設(shè)計(jì)含自適應(yīng)切換增益的滑?？刂破?，解決傳統(tǒng)滑?？刂埔蛳到y(tǒng)不確定性上界未知而引起的增益過估計(jì)問題，并提高系統(tǒng)的收斂速度。最后進(jìn)行樣機(jī)實(shí)驗(yàn)并設(shè)計(jì)基于Simulink 的系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證所提出的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗非匹配干擾自適應(yīng)反步滑?？刂品椒ǖ挠行?，并總結(jié)研究結(jié)論。
2 系統(tǒng)描述
2.1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)介紹
圖1 是本文自主研制的一種用于噴砂除銹的并聯(lián)機(jī)器人，其由1-末端噴槍、2-并聯(lián)機(jī)構(gòu)、3-噴砂軟管、4-移動平臺、5-升降機(jī)構(gòu)、6-電氣控制柜、7-上位機(jī)組成，包括移動平臺、升降機(jī)構(gòu)和并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)3 個功能部分。由移動平臺承載升降機(jī)構(gòu)和并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)在地面移動及轉(zhuǎn)向定位功能；升降機(jī)構(gòu)位于移動平臺上，通過并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)定平臺與并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)垂直聯(lián)接，攜并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)升降運(yùn)動；并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)的動平臺中心固定聯(lián)接噴槍夾持機(jī)構(gòu)，該噴槍夾持機(jī)構(gòu)可隨并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)六自由度運(yùn)動，可實(shí)現(xiàn)上下升降、前后左右自由移動以及六自由度位姿的精準(zhǔn)運(yùn)動操作，且具有高承載力、高精度和能實(shí)現(xiàn)微米級噴砂的優(yōu)點(diǎn)。
Fig.1 Prototype of sandblasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)
六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動靜平臺、6 個電動缸以及12 個虎克鉸組成。在靜平臺中心Og建立慣性坐標(biāo)系OgXgYgZg，在動平臺中心Od建立運(yùn)動坐標(biāo)系OdXdYdZd，分別設(shè)動靜平臺上的虎克鉸坐標(biāo)為Ai、Bi(i=1，…，6)。動靜平臺之間由虎克鉸與電動缸連接［19］，通過電動缸的伸縮運(yùn)動，動平臺可以進(jìn)行六自由度的空間運(yùn)動：沿運(yùn)動坐標(biāo)系X、Y、Z軸移動，分別用變量x、y、z表示；繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動，分別用歐拉角α、β、γ表示。位于動平臺上的動平臺夾持電機(jī)轉(zhuǎn)動角度為θ，如圖2所示。
Fig.2 Sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism diagram圖2 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖
2.2 研究問題闡述
從噴砂除銹作業(yè)機(jī)理分析，噴砂時通過壓縮空氣將噴料高速噴射到需處理的工件表面，由于磨料顆粒噴出時速度很快，會對鋼箱梁表面產(chǎn)生沖擊和切削力，將其表面鐵銹清除來達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的粗糙度要求，以改善工件表面的機(jī)械性能，提高工件的抗疲勞性［20］。根據(jù)動量守恒定律，噴砂時必然會產(chǎn)生較大的射流反作用力，這種反作用力直接作用在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺端，會給系統(tǒng)的運(yùn)行帶來不良影響，具體為在機(jī)構(gòu)的運(yùn)行上帶來額外的加速度，使機(jī)構(gòu)在極短的時間內(nèi)發(fā)生位姿偏轉(zhuǎn)。因此，可將其視為一種作用于位姿速度通道上的非匹配干擾。
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行時存在射流反作用力非匹配干擾，想要通過滑?？刂票ＷC系統(tǒng)的魯棒性，必須解決滑?？刂七^程中存在的抖振問題。本文結(jié)合了噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際工作情況建立考慮了射流反作用力非匹配干擾的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型，研究設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂扑惴ǎ砸种聘蓴_中超出觀測器帶寬的快速時變項(xiàng)和其他誤差項(xiàng)［21］，進(jìn)一步提升系統(tǒng)的魯棒性，同時提高其跟蹤性能，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)自適應(yīng)律動態(tài)調(diào)整滑?？刂魄袚Q增益，從而達(dá)到抑制滑?？刂贫墩竦男Ч?/p>
2.3 具有射流反作用力的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型
拉格朗日法是從能量角度出發(fā)，將系統(tǒng)內(nèi)部所有約束力視為理想約束力，可省略機(jī)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)部約束力的推導(dǎo)過程。因此，通過拉格朗日法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)分析。拉格朗日函數(shù)T定義為系統(tǒng)動能T與勢能P之差，即L=T-P。根據(jù)拉格朗日方程：
式中，q為末端位姿向量，Q為并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿q在笛卡爾空間下的廣義力/力矩。
根據(jù)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間與笛卡爾空間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立在關(guān)節(jié)空間下包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)不確定因素的動力學(xué)方程。轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：
式中，J為并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)雅可比矩陣，τ為各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，即6 個電動缸的輸出力矩。進(jìn)一步得到六自由度并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)的工作空間動力學(xué)方程：
式中，M(q)為慣性矩陣，為哥氏力和離心力項(xiàng)，G(q)為重力項(xiàng)，為末端加速度項(xiàng)的矩陣方程。
考慮到機(jī)構(gòu)在工作過程中存在的其他隨機(jī)干擾和建模誤差等，推廣可得六自由度并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間下的動力學(xué)模型為：
然后在此基礎(chǔ)上引入射流反作用力在位姿速度通道上所引起的干擾項(xiàng)，并整理成狀態(tài)空間方程的形式如下：
式中，d2=M-1(-D(t)-ΔM-ΔC-ΔG)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)集總干擾，可以看出d2與廣義力控制量Q處于同一通道，是匹配干擾，而d1與廣義力處于不同通道，屬于非匹配干擾。將上述狀態(tài)空間方程寫成如下形式：
式中，f(x1，x2)=M-1(G-Cx2)，b=M-1。
3 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
本文研究具有射流反作用力的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗干擾控制問題，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D3 所示。圖中，代表噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人末端位姿與速度，代表擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對在干擾狀況下的末端位姿與速度的觀測值代表射流反作用力的擴(kuò)張狀態(tài)變量。以控制系統(tǒng)的跟蹤誤差e和作為自適應(yīng)反步滑?？刂破鞯妮斎?，采用反步法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，在該過程中引入擾動觀測值進(jìn)行補(bǔ)償，在反步控制最后引入滑模面s，構(gòu)成反步滑?？刂破?。同時，對全局魯棒滑?？刂魄袚Q增益η設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)律，從而構(gòu)建自適應(yīng)反步滑?？刂破鳌Ｗ詈蟀褜?shí)際獲得的主動關(guān)節(jié)位姿x和速度通過運(yùn)動學(xué)正解轉(zhuǎn)換為末端的運(yùn)動位姿q與速度，并反饋給擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，從而實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制［22］。
Fig.3 Controller principle block diagram圖3 控制器原理框圖
3.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)
設(shè)立含射流反作用力非匹配干擾的非測量輔助變量，將含非匹配不確定性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程重構(gòu)為僅含匹配不確定性的狀態(tài)方程。
根據(jù)式（7），可將式（6）所示的狀態(tài)方程重構(gòu)為：
其中，h(t)為有界的不確定函數(shù)。
式中，li(i=1，2，3)為正數(shù)。
則由式（11）可得：
當(dāng)li＞0(i=1，2，3) 時，可以使det|λI-A|滿足Hurwitz 多項(xiàng)式，即A為Hurwitz 矩陣。因此，存在一個實(shí)對稱正定矩陣P和正定矩陣Q，使得ATP+PA=-Q，存在ε＞0，使得成立。
3.2 反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力的觀測結(jié)果進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并證明位移跟蹤誤差、滑模函數(shù)和觀測器誤差一致最終有界。在以下推導(dǎo)過程中，k1＞0，c1＞0 為控制器參數(shù)。
步驟1：定義e1=z1-z1d為位移跟蹤誤差，其中z1d為位移指令信號。對e1求導(dǎo)得：
定義Lyapunov 函數(shù)：
對式（14）求導(dǎo)得：
定義e2=z2+z3-z2d，其中z2d為虛擬控制變量。為保證負(fù)定，令得：
由式（15）、式（16）得：
定義切換函數(shù)：
結(jié)合式（13）可得：
由于k1＞0，c1＞0，顯然，如果S=0，則e1=0，e2=0且。因此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。
步驟2：定義第二層的Lyapunov 函數(shù)。
對式（19）求導(dǎo)，根據(jù)式（16）和式（18）可得：
設(shè)計(jì)基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂坡蔀椋?/p>
式中，δ為滑模增益，且δ，h均為正常數(shù)，將式（22）代入式（21）中可得：
控制器穩(wěn)定性證明如下：
針對所設(shè)計(jì)的李雅普諾夫函數(shù)，?。?/p>
結(jié)合位移跟蹤誤差，進(jìn)一步可得：
通過調(diào)整參數(shù)h，c1和k1的值，可使得|U|＞0，從而保證U為正定矩陣［23］。
在保證U為正定矩陣的情況下，則有：
因此，閉環(huán)系統(tǒng)滿足Lyapunov 穩(wěn)定條件，滑模變量可在有限時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。
3.3 Lyapunov自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
在控制律（22）的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)技術(shù)動態(tài)調(diào)整滑模控制切換增益，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律［24-25］為：
式中，λ為自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)，且λ＞0。
結(jié)合反步滑模函數(shù)，定義Lyapunov 函數(shù)如下：
結(jié)合式（29）設(shè)計(jì)反步自適應(yīng)滑?？刂破鳛椋?/p>
將式（25）和式（29）代入式（28），可得：
在保證U為正定矩陣的情況下，有。因此，在控制律（30）和自適應(yīng)律（27）下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，軌跡跟蹤誤差能收斂于零。
4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析
為了驗(yàn)證本文所提出的反步滑?？刂品椒▽鉀Q射流反作用力非匹配干擾的有效性，采用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真分析。仿真時考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模誤差以及外部隨機(jī)擾動等不確定因素的影響，并聯(lián)機(jī)構(gòu)建模誤差為標(biāo)稱模型的10%。
根據(jù)表1 中的仿真參數(shù)進(jìn)行仿真，得到分別采用3 種滑模控制器時的末端軌跡跟蹤曲線，如圖4所示。
Fig.4 End trajectory tracking curves of different sliding mode controllers圖4 不同滑?？刂破髂┒塑壽E跟蹤曲線
另外，仿真時分兩步進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)：首先用具有擴(kuò)張狀態(tài)觀測器但無自適應(yīng)的反步滑?？刂品椒ǎ‥SOBSMC）與自適應(yīng)反步滑?？刂破鳎˙A-SMC）作對比?；？刂浦挥刑岣咔袚Q增益值才能克服建模誤差以及不確定性問題，但是切換增益選取過高勢必引起大的滑?？刂贫墩?。從仿真圖5 和圖6 的對比可看出，反步自適應(yīng)滑?？刂浦懈髦鲃雨P(guān)節(jié)輸出力矩抖振明顯較大，而考慮了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力的實(shí)時估計(jì)并加以補(bǔ)償后，各主動關(guān)節(jié)輸出力矩的抖振明顯減小。
Fig.5 BASMC output torque of active joint圖5 BASMC主動關(guān)節(jié)輸出力矩
Fig.6 ESO-BSMC output torque of active joint圖6 ESO-BSMC 主動關(guān)節(jié)輸出力矩
然后在上步考慮了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器但無自適應(yīng)的反步滑?？刂破髦幸氡疚脑O(shè)計(jì)的Lyapunov 自適應(yīng)律，得到最終的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑模控制關(guān)節(jié)輸出力矩。通過仿真圖6 和圖7 可以看出，本文設(shè)計(jì)的Lyapunov 自適應(yīng)律可進(jìn)一步抑制各主動關(guān)節(jié)輸出力矩抖振。
Fig.7 ESO-BASMC output torque of active joint圖7 ESO-BASMC主動關(guān)節(jié)輸出力矩
5 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)
根據(jù)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)，搭建抗非匹配干擾的自適應(yīng)反步滑?？刂茖?shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)，設(shè)置一種噴砂射流反作用力實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置。該裝置由手搖絞盤、數(shù)字式推拉力計(jì)及彈力帶構(gòu)成，如圖8 所示。數(shù)字式推拉力計(jì)一端連接手搖絞盤，另一端通過彈力帶連接到噴槍尾部，從而實(shí)時顯示射流反作用力模擬裝置在機(jī)構(gòu)運(yùn)行中反作用力的數(shù)值變化，通過人為地收放絞盤纜繩模擬射流反作用力的劇烈變化（見圖9）。
Fig.8 Jet reaction force simulation device圖8 射流反作用力模擬裝置
Fig.9 Instructions of jet reaction force simulation device圖9 射流反作用力模擬裝置使用方式
通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)得到六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個時刻的運(yùn)動狀態(tài)，讀取其各支腿驅(qū)動電機(jī)的期望位置與實(shí)際位置，然后基于正運(yùn)動學(xué)分析迭代公式，換算出末端動平臺的期望位姿與實(shí)際位姿。給出間隔0.5 s 采樣點(diǎn)時刻對應(yīng)的末端動平臺期望位姿與實(shí)際位姿，如表2所示。
Table 2 Components of the expected pose and actual pose of the end moving platform表2 末端動平臺期望位姿與實(shí)際位姿各分量
表2 中列出了在實(shí)驗(yàn)過程中不同時刻拉力計(jì)的數(shù)值以及動平臺在各個分量上的位姿。由數(shù)據(jù)可以得出，在X軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.23 mm，均方根誤差為0.104 mm；在Y軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.956 mm，均方根誤差為0.185 mm；在Z軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.21 mm，均方根誤差為0.155 mm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性，在沒有采用抗射流反作用力非匹配干擾控制器的情況下，當(dāng)射流反作用力模擬裝置輸出的干擾力達(dá)到一定程度，會引起機(jī)構(gòu)末端噴槍夾持電機(jī)的跟蹤精度降低，以致超出伺服電機(jī)的安全運(yùn)行閾值，伺服驅(qū)動器自動鎖死電機(jī)以進(jìn)行保護(hù)。而加載了本文所設(shè)計(jì)的抗非匹配干擾反步自適應(yīng)滑?？刂扑惴ê?，噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行較為穩(wěn)定，驗(yàn)證了抗射流反作用力非匹配干擾的必要性。
通過CK3M 配套的Power PMAC IDE 集成開發(fā)軟件讀取電機(jī)位置誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到支腿主動關(guān)節(jié)跟蹤誤差，如圖10所示。
Fig.10 Active joint displacement tracking error of leg圖10 支腿動關(guān)節(jié)位移跟蹤誤差
上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗非匹配干擾反步自適應(yīng)滑?？刂品椒ň哂辛己玫能壽E跟蹤精度，驗(yàn)證了該方法對射流反作用力非匹配干擾的有效性。
6 結(jié)語
針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)中射流反作用力的非匹配干擾問題，提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒?，對其穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，得到滑模函數(shù)和觀測器誤差一致最終有界。對聯(lián)合仿真結(jié)果及誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力引起的干擾估計(jì)結(jié)果可得，在受到強(qiáng)擾動時，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒梢詫ι淞鞣醋饔昧Ψ瞧ヅ涓蓴_進(jìn)行有效估計(jì)。
針對控制系統(tǒng)中存在的建模誤差及系統(tǒng)外部的隨機(jī)干擾問題，設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)滑?？刂破骺捎行г鰪?qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，并抑制滑模控制抖振。
在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到射流反作用力強(qiáng)烈干擾時，與傳統(tǒng)反步滑?？刂破骱蜔o擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑模控制方法相比，本文提出的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒ㄎ灰聘櫨雀撸⒛苡行б种茝?fù)合擾動，魯棒性強(qiáng)。
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張文杰，高國琴
（江蘇大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
近年來，路橋基建事業(yè)的高速發(fā)展，使得鋼箱梁在我國橋梁建設(shè)行業(yè)的應(yīng)用越來越廣泛［1］。噴砂除銹是鋼箱梁表面處理中最常用的前處理工藝，鋼箱梁表面噴砂除銹的效果決定了后期橋梁主體表面涂料附著力及橋梁路面鋪裝的耐久性［2］。然而，由于鋼箱梁為超大型構(gòu)件，目前國外采用的噴砂機(jī)器人結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，且需要構(gòu)建大型廠房進(jìn)行固定安裝，無法滿足鋼箱梁隨橋梁建設(shè)進(jìn)行流動施工的要求。而國內(nèi)噴砂除銹仍采用人工操作，存在生產(chǎn)方式落后，以及需要操作人員在危險(xiǎn)工況下進(jìn)行高強(qiáng)度工作，導(dǎo)致危害身體健康等問題［3］。為此，本文設(shè)計(jì)研制一種基于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的噴砂除銹機(jī)器人，可以提高鋼箱梁噴砂除銹作業(yè)效率，并保證其表面具有符合工程驗(yàn)收要求的微米級粗糙度［4］。
噴砂時通過壓縮空氣將噴料高速噴射到需處理的工件表面，因此在噴砂機(jī)構(gòu)工作時噴槍噴嘴處會產(chǎn)生較大的射流反作用力［5］。這種反作用力直接作用在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)動平臺端，表現(xiàn)在機(jī)構(gòu)的運(yùn)行上就是帶來額外的加速度，使得機(jī)構(gòu)在極短時間內(nèi)發(fā)生位姿偏轉(zhuǎn)，造成機(jī)構(gòu)位姿速度的突然變化，從而對并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)造成了強(qiáng)烈干擾。該干擾會造成噴砂機(jī)構(gòu)末端負(fù)載的增加，且隨著末端位姿變化，影響噴砂機(jī)構(gòu)運(yùn)動時的動態(tài)性能，降低并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端控制的穩(wěn)定性和軌跡跟蹤精度。為此，本文擬研究如何抵抗射流反作用力對系統(tǒng)運(yùn)行的影響，以增強(qiáng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的魯棒性，實(shí)現(xiàn)其軌跡跟蹤控制的高精度。
1 相關(guān)研究
噴砂射流反作用力作用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)位姿速度通道，從控制角度看是一種非匹配干擾。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中，噴槍末端由于高速噴射砂石所產(chǎn)生的強(qiáng)大射流反作用力將直接作用于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，且會隨噴槍角度的變化而變化，從而影響系統(tǒng)運(yùn)行時的安全性及控制精度。由于射流反作用力直接影響噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿速度，且與控制輸入不在同一通道，因此針對射流反作用力非匹配干擾問題的研究仍具有挑戰(zhàn)性，特別是針對移動式噴砂機(jī)器人存在的射流反作用力非匹配干擾，目前還未有相關(guān)研究。
滑?？刂剖加?0 世紀(jì)50 年代，是一種特殊的非線性控制，其滑模面的設(shè)計(jì)需滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性要求，即要求參數(shù)攝動和干擾是可以通過控制量消除的。因此，傳統(tǒng)的滑?？刂浦荒芴幚矸蔷€性系統(tǒng)匹配干擾問題，而對于不在控制輸入通道中的非匹配干擾，傳統(tǒng)的滑?？刂苿t不能起到良好的控制效果。針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)噴槍末端射流反作用力的強(qiáng)烈干擾，難以保證Stewart 型六自由度并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)行穩(wěn)定性的問題，文獻(xiàn)［6］提出一種結(jié)合射流反作用力前饋補(bǔ)償?shù)姆床阶赃m應(yīng)滑模控制方法，定量分析噴砂射流反作用力并進(jìn)行前饋補(bǔ)償，以降低滑?？刂圃O(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)，提高滑?？刂频倪m應(yīng)性，但需要首先對射流反作用作復(fù)雜的幅值計(jì)算。國內(nèi)外很多學(xué)者不斷嘗試將滑?？刂茟?yīng)用于工業(yè)機(jī)器人控制中，以解決其中的非匹配干擾問題，取得了很多成果。文獻(xiàn)［7］采用線性矩陣不等式的積分滑?？刂品椒ń鉀Q離散線性系統(tǒng)的非匹配干擾問題，采用積分滑模的方法由于需要設(shè)計(jì)較大的切換增益，會加劇滑?？刂贫墩瘢腼柡秃瘮?shù)在削弱抖振的同時也增加了控制器設(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)；文獻(xiàn)［8］針對柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的非匹配干擾控制問題，采用變權(quán)高斯徑向基函數(shù)對非匹配不確定性進(jìn)行補(bǔ)償，提出一種基于反步控制的自適應(yīng)滑模控制方法，但利用高斯核函數(shù)作函數(shù)逼近需要大量輸入樣本，且會增大權(quán)值矩陣；文獻(xiàn)［9］提出一種求解非匹配干擾系統(tǒng)的滑?？刂品椒?，采用多滑模面（MSS）方法結(jié)合慣性延遲控制（IDC）估計(jì)非匹配干擾。該方法將滑?？刂破髟O(shè)計(jì)成系統(tǒng)的相對降階，且需要設(shè)計(jì)多層滑模面，增加了控制器的設(shè)計(jì)負(fù)擔(dān)。
基于擾動觀測器（DOB）的魯棒控制策略能有效解決不確定系統(tǒng)控制問題，是一種處理系統(tǒng)非匹配干擾問題的常用方法。文獻(xiàn)［10］針對存在非匹配不確定性的系統(tǒng)，提出一種基于非線性擾動觀測器的滑?？刂品椒?，通過設(shè)計(jì)一種基于擾動估計(jì)值的新型滑模面來消除非匹配干擾；文獻(xiàn)［11］針對存在匹配和非匹配干擾的非線性系統(tǒng)，提出一種基于擾動觀測器的連續(xù)有限時間滑?？刂品椒?，保證了滑模面的有限時間可達(dá)性以及控制輸出的有限時間收斂性；文獻(xiàn)［12］提出一種基于干擾觀測器的反步軌跡跟蹤控制方法，估計(jì)系統(tǒng)中的未知復(fù)合干擾，降低了反步遞推過程的復(fù)雜程度。以上文獻(xiàn)利用擾動觀測器來解決非匹配干擾問題，要求非匹配干擾有界且一階導(dǎo)數(shù)在穩(wěn)態(tài)時趨于零，同時干擾估計(jì)誤差上界已知。對于本文所研究的噴砂并聯(lián)機(jī)器人，其系統(tǒng)的不確定性受實(shí)際工作環(huán)境影響，所受射流反作用力無法直接測量得到，因此只能采用觀測器進(jìn)行估計(jì)。傳統(tǒng)干擾觀測器要求擾動一階導(dǎo)數(shù)近似為零，但在實(shí)際操作中，射流反作用力不能滿足此要求。而采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（Extended State Observer，ESO）可將上述條件放寬，只需非匹配干擾有界，且能夠在已知系統(tǒng)少量模型信息情況下對非匹配干擾進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，不需要滿足射流反作用力干擾一階導(dǎo)數(shù)近似為零的條件。因此，本課題擬引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器處理噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)的射流反作用力非匹配干擾問題。
文獻(xiàn)［13］在20 世紀(jì)80 年代末首次提出自抗擾控制（ADRC）的概念，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器是自抗擾控制的重要組成部分，擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的提出受到了傳統(tǒng)狀態(tài)觀測器的啟發(fā)，不同的是該方法將系統(tǒng)的總擾動擴(kuò)張為系統(tǒng)狀態(tài)，從而使擴(kuò)張狀態(tài)觀測器可同時估計(jì)系統(tǒng)的不確定性和所擴(kuò)張的未知狀態(tài)；文獻(xiàn)［14］提出一種適用于非匹配不確定性非積分鏈系統(tǒng)的廣義擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（ESO）方法，擾動補(bǔ)償增益后，非匹配不確定性可以從系統(tǒng)輸出中衰減；文獻(xiàn)［15］針對一類存在不確定性的系統(tǒng)，提出一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行估計(jì)；文獻(xiàn)［16］提出的基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑?？刂品椒?，能夠保證估計(jì)誤差收斂到原點(diǎn)附近的小鄰域內(nèi)，從而有效抑制非匹配擾動對系統(tǒng)跟蹤的影響；文獻(xiàn)［17］設(shè)計(jì)了一種ESO來觀測和補(bǔ)償機(jī)器人系統(tǒng)中存在的外部干擾和參數(shù)不確定性，并結(jié)合自適應(yīng)滑?？刂疲⊿MC）策略實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人的軌跡跟蹤控制；文獻(xiàn)［18］針對針對電壓源逆變器系統(tǒng)中的負(fù)載擾動和參數(shù)攝動，提出一種基于時變增益擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)超螺旋魯棒電壓控制新方法。但目前將擴(kuò)張狀態(tài)觀測器應(yīng)用到并聯(lián)機(jī)構(gòu)非匹配不確定性問題的研究較少，特別是對于噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)存在的特殊的射流反作用力問題尚無相關(guān)研究。
反步設(shè)計(jì)法是將系統(tǒng)狀態(tài)作為中間控制變量進(jìn)行逐步設(shè)計(jì)，在逐步遞推過程中設(shè)計(jì)中間虛擬控制量，以對并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的非匹配干擾進(jìn)行補(bǔ)償。從前面分析可知，滑模控制對匹配擾動具有魯棒性，但是對非匹配干擾不能起到良好的控制效果，而反步控制可以處理非匹配干擾，但無法保證魯棒性。因此，可將滑?？刂婆c反步設(shè)計(jì)方法相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器，以解決具有非匹配干擾的控制問題?；趯σ陨涎芯康姆治觯瑪U(kuò)張狀態(tài)觀測器可以對系統(tǒng)狀態(tài)和不確定擾動進(jìn)行在線估計(jì)，可將反步設(shè)計(jì)法和滑模控制器相結(jié)合以抑制系統(tǒng)擾動，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。因此，本文考慮采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力非匹配干擾進(jìn)行實(shí)時估計(jì)，通過反步法設(shè)計(jì)含自適應(yīng)切換增益的滑?？刂破?，解決傳統(tǒng)滑?？刂埔蛳到y(tǒng)不確定性上界未知而引起的增益過估計(jì)問題，并提高系統(tǒng)的收斂速度。最后進(jìn)行樣機(jī)實(shí)驗(yàn)并設(shè)計(jì)基于Simulink 的系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)，以驗(yàn)證所提出的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗非匹配干擾自適應(yīng)反步滑?？刂品椒ǖ挠行?，并總結(jié)研究結(jié)論。
2 系統(tǒng)描述
2.1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)介紹
圖1 是本文自主研制的一種用于噴砂除銹的并聯(lián)機(jī)器人，其由1-末端噴槍、2-并聯(lián)機(jī)構(gòu)、3-噴砂軟管、4-移動平臺、5-升降機(jī)構(gòu)、6-電氣控制柜、7-上位機(jī)組成，包括移動平臺、升降機(jī)構(gòu)和并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)3 個功能部分。由移動平臺承載升降機(jī)構(gòu)和并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)在地面移動及轉(zhuǎn)向定位功能；升降機(jī)構(gòu)位于移動平臺上，通過并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)定平臺與并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)垂直聯(lián)接，攜并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)升降運(yùn)動；并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)的動平臺中心固定聯(lián)接噴槍夾持機(jī)構(gòu)，該噴槍夾持機(jī)構(gòu)可隨并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)六自由度運(yùn)動，可實(shí)現(xiàn)上下升降、前后左右自由移動以及六自由度位姿的精準(zhǔn)運(yùn)動操作，且具有高承載力、高精度和能實(shí)現(xiàn)微米級噴砂的優(yōu)點(diǎn)。
Fig.1 Prototype of sandblasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)
六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動靜平臺、6 個電動缸以及12 個虎克鉸組成。在靜平臺中心Og建立慣性坐標(biāo)系OgXgYgZg，在動平臺中心Od建立運(yùn)動坐標(biāo)系OdXdYdZd，分別設(shè)動靜平臺上的虎克鉸坐標(biāo)為Ai、Bi(i=1，…，6)。動靜平臺之間由虎克鉸與電動缸連接［19］，通過電動缸的伸縮運(yùn)動，動平臺可以進(jìn)行六自由度的空間運(yùn)動：沿運(yùn)動坐標(biāo)系X、Y、Z軸移動，分別用變量x、y、z表示；繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動，分別用歐拉角α、β、γ表示。位于動平臺上的動平臺夾持電機(jī)轉(zhuǎn)動角度為θ，如圖2所示。
Fig.2 Sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism diagram圖2 噴砂除銹Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖
2.2 研究問題闡述
從噴砂除銹作業(yè)機(jī)理分析，噴砂時通過壓縮空氣將噴料高速噴射到需處理的工件表面，由于磨料顆粒噴出時速度很快，會對鋼箱梁表面產(chǎn)生沖擊和切削力，將其表面鐵銹清除來達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的粗糙度要求，以改善工件表面的機(jī)械性能，提高工件的抗疲勞性［20］。根據(jù)動量守恒定律，噴砂時必然會產(chǎn)生較大的射流反作用力，這種反作用力直接作用在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動平臺端，會給系統(tǒng)的運(yùn)行帶來不良影響，具體為在機(jī)構(gòu)的運(yùn)行上帶來額外的加速度，使機(jī)構(gòu)在極短的時間內(nèi)發(fā)生位姿偏轉(zhuǎn)。因此，可將其視為一種作用于位姿速度通道上的非匹配干擾。
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行時存在射流反作用力非匹配干擾，想要通過滑?？刂票ＷC系統(tǒng)的魯棒性，必須解決滑?？刂七^程中存在的抖振問題。本文結(jié)合了噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)際工作情況建立考慮了射流反作用力非匹配干擾的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型，研究設(shè)計(jì)一種反步滑?？刂扑惴ǎ砸种聘蓴_中超出觀測器帶寬的快速時變項(xiàng)和其他誤差項(xiàng)［21］，進(jìn)一步提升系統(tǒng)的魯棒性，同時提高其跟蹤性能，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)自適應(yīng)律動態(tài)調(diào)整滑?？刂魄袚Q增益，從而達(dá)到抑制滑?？刂贫墩竦男Ч?/p>
2.3 具有射流反作用力的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)模型
拉格朗日法是從能量角度出發(fā)，將系統(tǒng)內(nèi)部所有約束力視為理想約束力，可省略機(jī)構(gòu)系統(tǒng)內(nèi)部約束力的推導(dǎo)過程。因此，通過拉格朗日法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)分析。拉格朗日函數(shù)T定義為系統(tǒng)動能T與勢能P之差，即L=T-P。根據(jù)拉格朗日方程：
式中，q為末端位姿向量，Q為并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端位姿q在笛卡爾空間下的廣義力/力矩。
根據(jù)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間與笛卡爾空間之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立在關(guān)節(jié)空間下包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)不確定因素的動力學(xué)方程。轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：
式中，J為并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)雅可比矩陣，τ為各主動關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩，即6 個電動缸的輸出力矩。進(jìn)一步得到六自由度并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)的工作空間動力學(xué)方程：
式中，M(q)為慣性矩陣，為哥氏力和離心力項(xiàng)，G(q)為重力項(xiàng)，為末端加速度項(xiàng)的矩陣方程。
考慮到機(jī)構(gòu)在工作過程中存在的其他隨機(jī)干擾和建模誤差等，推廣可得六自由度并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間下的動力學(xué)模型為：
然后在此基礎(chǔ)上引入射流反作用力在位姿速度通道上所引起的干擾項(xiàng)，并整理成狀態(tài)空間方程的形式如下：
式中，d2=M-1(-D(t)-ΔM-ΔC-ΔG)為并聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)集總干擾，可以看出d2與廣義力控制量Q處于同一通道，是匹配干擾，而d1與廣義力處于不同通道，屬于非匹配干擾。將上述狀態(tài)空間方程寫成如下形式：
式中，f(x1，x2)=M-1(G-Cx2)，b=M-1。
3 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
本文研究具有射流反作用力的六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗干擾控制問題，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D3 所示。圖中，代表噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人末端位姿與速度，代表擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對在干擾狀況下的末端位姿與速度的觀測值代表射流反作用力的擴(kuò)張狀態(tài)變量。以控制系統(tǒng)的跟蹤誤差e和作為自適應(yīng)反步滑?？刂破鞯妮斎?，采用反步法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，在該過程中引入擾動觀測值進(jìn)行補(bǔ)償，在反步控制最后引入滑模面s，構(gòu)成反步滑?？刂破?。同時，對全局魯棒滑?？刂魄袚Q增益η設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)律，從而構(gòu)建自適應(yīng)反步滑?？刂破鳌Ｗ詈蟀褜?shí)際獲得的主動關(guān)節(jié)位姿x和速度通過運(yùn)動學(xué)正解轉(zhuǎn)換為末端的運(yùn)動位姿q與速度，并反饋給擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，從而實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制［22］。
Fig.3 Controller principle block diagram圖3 控制器原理框圖
3.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)
設(shè)立含射流反作用力非匹配干擾的非測量輔助變量，將含非匹配不確定性的混聯(lián)機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程重構(gòu)為僅含匹配不確定性的狀態(tài)方程。
根據(jù)式（7），可將式（6）所示的狀態(tài)方程重構(gòu)為：
其中，h(t)為有界的不確定函數(shù)。
式中，li(i=1，2，3)為正數(shù)。
則由式（11）可得：
當(dāng)li＞0(i=1，2，3) 時，可以使det|λI-A|滿足Hurwitz 多項(xiàng)式，即A為Hurwitz 矩陣。因此，存在一個實(shí)對稱正定矩陣P和正定矩陣Q，使得ATP+PA=-Q，存在ε＞0，使得成立。
3.2 反步滑?？刂破髟O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析
基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力的觀測結(jié)果進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并證明位移跟蹤誤差、滑模函數(shù)和觀測器誤差一致最終有界。在以下推導(dǎo)過程中，k1＞0，c1＞0 為控制器參數(shù)。
步驟1：定義e1=z1-z1d為位移跟蹤誤差，其中z1d為位移指令信號。對e1求導(dǎo)得：
定義Lyapunov 函數(shù)：
對式（14）求導(dǎo)得：
定義e2=z2+z3-z2d，其中z2d為虛擬控制變量。為保證負(fù)定，令得：
由式（15）、式（16）得：
定義切換函數(shù)：
結(jié)合式（13）可得：
由于k1＞0，c1＞0，顯然，如果S=0，則e1=0，e2=0且。因此，需要進(jìn)行下一步設(shè)計(jì)。
步驟2：定義第二層的Lyapunov 函數(shù)。
對式（19）求導(dǎo)，根據(jù)式（16）和式（18）可得：
設(shè)計(jì)基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂坡蔀椋?/p>
式中，δ為滑模增益，且δ，h均為正常數(shù)，將式（22）代入式（21）中可得：
控制器穩(wěn)定性證明如下：
針對所設(shè)計(jì)的李雅普諾夫函數(shù)，?。?/p>
結(jié)合位移跟蹤誤差，進(jìn)一步可得：
通過調(diào)整參數(shù)h，c1和k1的值，可使得|U|＞0，從而保證U為正定矩陣［23］。
在保證U為正定矩陣的情況下，則有：
因此，閉環(huán)系統(tǒng)滿足Lyapunov 穩(wěn)定條件，滑模變量可在有限時間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)。
3.3 Lyapunov自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
在控制律（22）的基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)技術(shù)動態(tài)調(diào)整滑模控制切換增益，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律［24-25］為：
式中，λ為自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)，且λ＞0。
結(jié)合反步滑模函數(shù)，定義Lyapunov 函數(shù)如下：
結(jié)合式（29）設(shè)計(jì)反步自適應(yīng)滑?？刂破鳛椋?/p>
將式（25）和式（29）代入式（28），可得：
在保證U為正定矩陣的情況下，有。因此，在控制律（30）和自適應(yīng)律（27）下，閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，軌跡跟蹤誤差能收斂于零。
4 仿真實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析
為了驗(yàn)證本文所提出的反步滑?？刂品椒▽鉀Q射流反作用力非匹配干擾的有效性，采用MATLAB/Simulink進(jìn)行仿真分析。仿真時考慮并聯(lián)機(jī)構(gòu)的建模誤差以及外部隨機(jī)擾動等不確定因素的影響，并聯(lián)機(jī)構(gòu)建模誤差為標(biāo)稱模型的10%。
根據(jù)表1 中的仿真參數(shù)進(jìn)行仿真，得到分別采用3 種滑模控制器時的末端軌跡跟蹤曲線，如圖4所示。
Fig.4 End trajectory tracking curves of different sliding mode controllers圖4 不同滑?？刂破髂┒塑壽E跟蹤曲線
另外，仿真時分兩步進(jìn)行對比實(shí)驗(yàn)：首先用具有擴(kuò)張狀態(tài)觀測器但無自適應(yīng)的反步滑?？刂品椒ǎ‥SOBSMC）與自適應(yīng)反步滑?？刂破鳎˙A-SMC）作對比?；？刂浦挥刑岣咔袚Q增益值才能克服建模誤差以及不確定性問題，但是切換增益選取過高勢必引起大的滑?？刂贫墩?。從仿真圖5 和圖6 的對比可看出，反步自適應(yīng)滑?？刂浦懈髦鲃雨P(guān)節(jié)輸出力矩抖振明顯較大，而考慮了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力的實(shí)時估計(jì)并加以補(bǔ)償后，各主動關(guān)節(jié)輸出力矩的抖振明顯減小。
Fig.5 BASMC output torque of active joint圖5 BASMC主動關(guān)節(jié)輸出力矩
Fig.6 ESO-BSMC output torque of active joint圖6 ESO-BSMC 主動關(guān)節(jié)輸出力矩
然后在上步考慮了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器但無自適應(yīng)的反步滑?？刂破髦幸氡疚脑O(shè)計(jì)的Lyapunov 自適應(yīng)律，得到最終的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑模控制關(guān)節(jié)輸出力矩。通過仿真圖6 和圖7 可以看出，本文設(shè)計(jì)的Lyapunov 自適應(yīng)律可進(jìn)一步抑制各主動關(guān)節(jié)輸出力矩抖振。
Fig.7 ESO-BASMC output torque of active joint圖7 ESO-BASMC主動關(guān)節(jié)輸出力矩
5 樣機(jī)實(shí)驗(yàn)
根據(jù)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)樣機(jī)，搭建抗非匹配干擾的自適應(yīng)反步滑?？刂茖?shí)驗(yàn)平臺進(jìn)行并聯(lián)操作機(jī)構(gòu)運(yùn)動控制實(shí)驗(yàn)，設(shè)置一種噴砂射流反作用力實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置。該裝置由手搖絞盤、數(shù)字式推拉力計(jì)及彈力帶構(gòu)成，如圖8 所示。數(shù)字式推拉力計(jì)一端連接手搖絞盤，另一端通過彈力帶連接到噴槍尾部，從而實(shí)時顯示射流反作用力模擬裝置在機(jī)構(gòu)運(yùn)行中反作用力的數(shù)值變化，通過人為地收放絞盤纜繩模擬射流反作用力的劇烈變化（見圖9）。
Fig.8 Jet reaction force simulation device圖8 射流反作用力模擬裝置
Fig.9 Instructions of jet reaction force simulation device圖9 射流反作用力模擬裝置使用方式
通過樣機(jī)實(shí)驗(yàn)得到六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)各個時刻的運(yùn)動狀態(tài)，讀取其各支腿驅(qū)動電機(jī)的期望位置與實(shí)際位置，然后基于正運(yùn)動學(xué)分析迭代公式，換算出末端動平臺的期望位姿與實(shí)際位姿。給出間隔0.5 s 采樣點(diǎn)時刻對應(yīng)的末端動平臺期望位姿與實(shí)際位姿，如表2所示。
Table 2 Components of the expected pose and actual pose of the end moving platform表2 末端動平臺期望位姿與實(shí)際位姿各分量
表2 中列出了在實(shí)驗(yàn)過程中不同時刻拉力計(jì)的數(shù)值以及動平臺在各個分量上的位姿。由數(shù)據(jù)可以得出，在X軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.23 mm，均方根誤差為0.104 mm；在Y軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.956 mm，均方根誤差為0.185 mm；在Z軸方向的最大位移跟蹤誤差絕對值為0.21 mm，均方根誤差為0.155 mm。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性，在沒有采用抗射流反作用力非匹配干擾控制器的情況下，當(dāng)射流反作用力模擬裝置輸出的干擾力達(dá)到一定程度，會引起機(jī)構(gòu)末端噴槍夾持電機(jī)的跟蹤精度降低，以致超出伺服電機(jī)的安全運(yùn)行閾值，伺服驅(qū)動器自動鎖死電機(jī)以進(jìn)行保護(hù)。而加載了本文所設(shè)計(jì)的抗非匹配干擾反步自適應(yīng)滑?？刂扑惴ê?，噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)行較為穩(wěn)定，驗(yàn)證了抗射流反作用力非匹配干擾的必要性。
通過CK3M 配套的Power PMAC IDE 集成開發(fā)軟件讀取電機(jī)位置誤差實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到支腿主動關(guān)節(jié)跟蹤誤差，如圖10所示。
Fig.10 Active joint displacement tracking error of leg圖10 支腿動關(guān)節(jié)位移跟蹤誤差
上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的結(jié)合擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)抗非匹配干擾反步自適應(yīng)滑?？刂品椒ň哂辛己玫能壽E跟蹤精度，驗(yàn)證了該方法對射流反作用力非匹配干擾的有效性。
6 結(jié)語
針對噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)中射流反作用力的非匹配干擾問題，提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒?，對其穩(wěn)定性進(jìn)行了理論分析，得到滑模函數(shù)和觀測器誤差一致最終有界。對聯(lián)合仿真結(jié)果及誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對射流反作用力引起的干擾估計(jì)結(jié)果可得，在受到強(qiáng)擾動時，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒梢詫ι淞鞣醋饔昧Ψ瞧ヅ涓蓴_進(jìn)行有效估計(jì)。
針對控制系統(tǒng)中存在的建模誤差及系統(tǒng)外部的隨機(jī)干擾問題，設(shè)計(jì)的反步自適應(yīng)滑?？刂破骺捎行г鰪?qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，并抑制滑模控制抖振。
在噴砂除銹并聯(lián)機(jī)構(gòu)受到射流反作用力強(qiáng)烈干擾時，與傳統(tǒng)反步滑?？刂破骱蜔o擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的自適應(yīng)反步滑模控制方法相比，本文提出的基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的反步滑?？刂品椒ㄎ灰聘櫨雀撸⒛苡行б种茝?fù)合擾動，魯棒性強(qiáng)。
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