俞鐘行

1924年，美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的工程師休哈特畫出全世界第1張控制圖——p控制圖，從此開啟了SPC（統(tǒng)計(jì)過程控制）在全球的百年歷程。俄羅斯學(xué)者阿特列勒和施貝勒對(duì)這段歷史有一段精彩評(píng)價(jià)：“統(tǒng)計(jì)思維是在一個(gè)飽受易變性之害的世界里做出系統(tǒng)性決策的能力（引自《上海質(zhì)量》文章《從統(tǒng)計(jì)思維到智能思維》）?！眕控制圖即“不合格品率控制圖”，因其易懂、易用、靈活，而被廣泛應(yīng)用，比如曾推行14年之久的國(guó)家質(zhì)量工程師職業(yè)資格考試中，只有p控制圖和Xbar-R控制圖被要求達(dá)到“掌握”的程度。但是應(yīng)用p控制圖也存在某些問題，本文從貼近企業(yè)實(shí)際應(yīng)用的角度，介紹p控制圖的4種畫法，通過普及程度更高的Excel工具實(shí)現(xiàn)。

p控制圖的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)是二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布只有一個(gè)參數(shù)，故p圖是單圖。計(jì)算平均不合格率的公式為：

P控制圖的3條線的計(jì)算公式為：

注意事項(xiàng)：選取樣本量n應(yīng)充分大，使得np0≥1。一般情況下：

這里，P0：給定標(biāo)準(zhǔn)值；pbar：未給定標(biāo)準(zhǔn)值。

p圖第一種畫法[1]

如果ni變化不大（指ni變化在其目標(biāo)值±25%以內(nèi)）,采用單一的基于平均子組大小(nbar)的一組控制限。

例：山東某預(yù)制板企業(yè)，在國(guó)內(nèi)外均設(shè)有工廠，統(tǒng)計(jì)部門把各廠采集的數(shù)據(jù)匯總到經(jīng)營(yíng)層。表1左起兩列是某廠某月每天的一等品（AA）和二等品（A）的具體數(shù)據(jù)。A等品相對(duì)于AA等品就是不合格品，因此可以畫p控制圖，這對(duì)于提質(zhì)降本、改善經(jīng)營(yíng)有所裨益。

左起第3列n，是1、2列的和，就是樣本量。第4列A%相當(dāng)于不合格品率p%。2至4列的倒數(shù)第2行，分別是∑di、∑ni和pbar值。n列最下面的數(shù)是nbar。于是可按pbar和本節(jié)公式得到表1的右邊3列。用Excel的折線圖就可畫出p控制圖，如圖1所示。從圖1可以看出，如果在月初的3、4天里質(zhì)量控制得好些的話，這個(gè)月的A%可以更低、更平穩(wěn)些。筆者在上海金山石化公司，也從控制圖看到生產(chǎn)剛開始時(shí)，產(chǎn)品質(zhì)量相對(duì)差一些?！百|(zhì)量看得見”是控制圖的一項(xiàng)優(yōu)勢(shì)。

圖1 山東某企預(yù)制板“A等品率”的控制圖

p圖第二種畫法[1]

當(dāng)ni變化較大時(shí)，可采用標(biāo)準(zhǔn)化變量的方法，如點(diǎn)繪標(biāo)準(zhǔn)化Zi值：

這樣，中心線和控制限與子組大小無(wú)關(guān)，即：

例：上海某避雷器廠，生產(chǎn)的批量產(chǎn)品分大罐和小罐，見表2左起第2列，相當(dāng)于樣本量ni。第3列是檢查出的不合格品數(shù)di，第4列是不合格品率pi。第2、3和4列最下面的數(shù)分別是∑di、∑ni和pbar值。于是，可按Zi公式得到表2的Zi列，用Excel的折線圖畫出p控制圖，如圖2所示。從圖2可以看出，第4批的不合格品率“鶴立雞群”，而且遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出上控制限+3。其實(shí)，該批次不合格品率并未超出該廠的有關(guān)規(guī)定，但是如果有“持續(xù)改善”的質(zhì)量之心，就應(yīng)當(dāng)查找這一批次遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出其他17批次不合格品率的原因。控制圖就是可以幫助我們找到改善突破點(diǎn)的好工具。

圖2 避雷器p控制圖（以Zi描點(diǎn)）

表2 避雷器p控制圖（以Zi描點(diǎn)）的數(shù)據(jù)界面

p圖第三種畫法

當(dāng)樣本量n i 太大時(shí)，前面兩種畫法都不好使了，原因是對(duì)照“注意事項(xiàng)”公式（3），應(yīng)有n×p0＜5或n×p b ar ＜5的要求。比如表3所示的案例，是轉(zhuǎn)引自Motgomer y（2020）的案例，是某醫(yī)院在20周內(nèi)發(fā)生錯(cuò)誤的記錄。經(jīng)計(jì)算，此例的nbar×pbar=2886.2×0.094848=273.7502976，并不符合＜5的一般要求。如果按照第二種方法畫p控制圖得到的圖3，難以反映真實(shí)情況。

圖3 醫(yī)院p控制圖（以Zi描點(diǎn)）

表3 醫(yī)院p控制圖的數(shù)據(jù)界面

Laney于2002年提出了當(dāng)樣本量很大時(shí)畫p'控制圖的方法，被普遍接受，在Minitab軟件里也有這種方法的模塊。但是2022年美國(guó)質(zhì)量協(xié)會(huì)《質(zhì)量技術(shù)》雜志第3期刊登的可公開獲取的長(zhǎng)文，基于the law of total expectation and the law of total variance（總期望定律和總方差定律）及數(shù)據(jù)模擬，證明了Laney的p'控制圖的不足，并給出了更精準(zhǔn)科學(xué)的方法。要點(diǎn)是p控制圖的變差含有兩個(gè)普通原因的成份——樣本內(nèi)和樣本間，而以前未考慮到“樣本間”這一成份。本文將新提出的p控制圖稱為“雙普p控制圖”。雖然本文無(wú)法介紹這一新方法在“破”和“立”上的諸多細(xì)節(jié)，但可以用Excel來(lái)實(shí)現(xiàn)它的最終成果，關(guān)鍵就是算出規(guī)定p控制限的σ。

根據(jù)文獻(xiàn)，這個(gè)σ的計(jì)算公式如下：

式中的m就是表3中的周數(shù)20；p0就是平均不合格品率，已從表3算得，為0.094848。表4左起第2列“分子左”只有是10項(xiàng)，當(dāng)i=1時(shí)，第1項(xiàng)=（p2-p1）2=(0.0748-0.115)2=0.00161604，其余類推。這列倒數(shù)第2個(gè)數(shù)是上述10項(xiàng)之和，最下的數(shù)是除以20所得的商?！胺肿佑摇边@一列里，先按公式[p0(1-p0)/ni]算出第1項(xiàng)，然后用拖拉的方式得到全部20項(xiàng)，倒數(shù)第2個(gè)數(shù)是平均值。“分母右”這一列的計(jì)算類似。于是，σ2=（分子左-分子右）/(1-分母右)=0.000362，σ=0.019034。

表4 計(jì)算σ2的數(shù)據(jù)界面

然后可以根據(jù)文章開始時(shí)給出的p控制圖3條線的基本公式畫出圖4，數(shù)據(jù)界面見表5。

圖4 醫(yī)院p控制圖（雙普p控制圖畫法）

表5 畫醫(yī)院p控制圖的數(shù)據(jù)界面

p圖第四種畫法[2]

根據(jù)文獻(xiàn)[2]，美國(guó)聰明方案公司總裁福萊斯（Forrest Breyfogle）在美國(guó)《質(zhì)量進(jìn)展》雜志2003年和2004年10期上，發(fā)表了關(guān)于控制圖的文章。福萊斯指出：“一個(gè)人可以把過程描繪成不受控的，但另一個(gè)人卻可以把同一過程描繪成受控的?！备ＨR斯舉了一個(gè)p圖的例子，原來(lái)是不受控的，用p圖的數(shù)據(jù)作成XmR圖，就受到良好的控制了。

在美國(guó)的SPC文獻(xiàn)里，類似作法絕非個(gè)案，可參見《上海統(tǒng)計(jì)》2000年第8期文章《應(yīng)用控制圖分析交通事故死亡人數(shù)的實(shí)例》。本文對(duì)“醫(yī)院p控制圖”也嘗試使用該法，效果頗佳。XmR圖也是休哈特控制圖的一員，計(jì)算公式如下所示：

表6是XmR控制圖的數(shù)據(jù)界面。左起第1列和第2列將相同數(shù)據(jù)叉開一格，是為了在第3列計(jì)算移動(dòng)極差mR，它=“前1個(gè)數(shù)減后1個(gè)數(shù)取絕對(duì)值”。第3列最下的數(shù)是mRbar。第4列就是mR圖的中心線。第5、6列是mR圖的上、下控制限。選取左起3～6列，用Excel的折線圖就得到mR圖（見圖5的上圖）。

圖5 醫(yī)院p控制圖（以XmR控制圖畫出）

表6 醫(yī)院p控制圖（以XmR控制圖畫出）的數(shù)據(jù)界面

表6右邊4列是畫X控制圖的。右4列最下的數(shù)是平均值，也就是右3列的值。右2、右1列是上、下控制限，根據(jù)公式（要用前面算得的mRbar）易得到。選取右4列，使用Excel折線圖可得到X圖（見圖5的下圖）。從數(shù)據(jù)和圖形看，X控制圖與“雙普p控制圖”很接近，但是前者顯然更容易。