吳志峯 高建雄 徐蓉霞 朱鵬年

新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,烏魯木齊,830017

0 引言

構(gòu)件可能受到不同負(fù)載的作用而導(dǎo)致?lián)p傷累積,其中因交變載荷持續(xù)加載而產(chǎn)生的疲勞破壞占據(jù)大多數(shù)[1],占失效概率的80%～90%,因此,如何精準(zhǔn)預(yù)測(cè)構(gòu)件的疲勞壽命是當(dāng)下亟待解決的重大問(wèn)題。機(jī)械構(gòu)件在服役歷程中承受的載荷異常復(fù)雜,而交變載荷疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)相對(duì)較少,相反地,恒幅載荷疲勞壽命試驗(yàn)?zāi)壳耙逊e累了大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。利用損傷等效法則結(jié)合恒幅載荷試驗(yàn)數(shù)據(jù)可預(yù)測(cè)交變載荷疲勞壽命[2]。

本文首先提出一種恒幅載荷下基于剩余壽命的非均勻疲勞損傷理論,然后闡述了載荷加載次序效應(yīng),并證明該非均勻損傷模型可考慮載荷加載次序效應(yīng)。再次驗(yàn)證了載荷間的相互作用,提出相鄰兩級(jí)載荷存在相互影響,定義并引入了載荷交互影響因子,提出了等效損傷新模型。最后將非均勻損傷模型與等效損傷新模型結(jié)合,構(gòu)造了多級(jí)變幅載荷下的非均勻損傷模型。

1 非均勻損傷累積模型

Miner法則認(rèn)為損傷是均勻的,例如在恒幅載荷加載下,該法則認(rèn)為每次循環(huán)產(chǎn)生的損傷是1/Nf,Nf是構(gòu)件的疲勞壽命。實(shí)際上,材料的性能劣化促進(jìn)損傷累積的進(jìn)程,在損傷演化初期,每次循環(huán)產(chǎn)生的損傷相對(duì)較少,后期損傷相對(duì)較大。基于材料的剩余疲勞壽命,可認(rèn)為載荷第一次循環(huán)造成的損傷為1/Nf,第二次循環(huán)造成的損傷為1/(Nf-1),以此類(lèi)推,載荷第n次循環(huán)造成的損傷為1/(Nf-n+1),Nf可由S-N曲線求得。此時(shí),面臨的問(wèn)題為循環(huán)次數(shù)n=N時(shí),單次循環(huán)造成的損傷Di=1,即構(gòu)件失效的所有損傷均由最后一次循環(huán)造成,這與事實(shí)不符。一般認(rèn)為損傷是一個(gè)從0到1持續(xù)增加的數(shù)值。本文定義損傷D=Dr/Dc。Dr、Dc可表示為

(1)

(2)

綜上所述,本文定義的損傷D可表示為

(3)

式(3)即恒幅載荷下的非均勻損傷模型的原理式。根據(jù)積分思想,式(3)可近似為

(4)

式(4)為恒幅載荷下的非均勻損傷模型的簡(jiǎn)易計(jì)算形式。

多級(jí)載荷下的壽命預(yù)測(cè)需要恒幅載荷下的損傷累積模型與損傷等效法則相結(jié)合,損傷等效法則如圖1所示。

圖1 等效損傷法則示意圖Fig.1 Schematic diagram of equivalent damage law

(5)

聯(lián)立式(4)與式(5),可估算兩級(jí)載荷下的疲勞剩余壽命：

n2=(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1

(6)

在兩級(jí)載荷的剩余壽命基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代,可得到三級(jí)載荷下的疲勞剩余壽命：

n3=[(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1-n2]lnNf2/lnNf1

(7)

根據(jù)式(7),在三級(jí)載荷加載下的剩余壽命基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代計(jì)算,可得到任意多級(jí)載荷下的疲勞剩余壽命表達(dá)式：

ni={[(Nf1-n1)lnNf2/lnNf1-n2]lnNf3/lnNf2-

…-ni-1}lnNfi/lnNf(i-1)

(8)

式(8)為多級(jí)載荷下的剩余壽命預(yù)測(cè)模型,此模型的未知參數(shù)相對(duì)較少,形式上非常簡(jiǎn)潔,具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

2 載荷間的交互影響

2.1 載荷加載次序效應(yīng)的闡述

疲勞失效是一個(gè)極度復(fù)雜的物理過(guò)程,Miner法則從疲勞失效機(jī)理上進(jìn)行了簡(jiǎn)化。金屬材料的失效機(jī)理中包含了多種影響因素,且損傷變量與載荷變量之間表現(xiàn)出高度的非線性相關(guān),損傷累積變量可描述為

D=F(σ,n,f,T,?,κ,τ,ζ)

(9)

式中,σ為平均應(yīng)力;f為載荷加載頻率;T為環(huán)境溫度;?為環(huán)境濕度;κ為與金屬材料屬性相關(guān)的系數(shù);τ為與結(jié)構(gòu)特征相關(guān)的函數(shù);ζ為與其他環(huán)境因素相關(guān)的系數(shù)。

在實(shí)際工況下,載荷加載頻率、金屬材料性能、結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)特征等因素已給定,空氣濕度與環(huán)境溫度相對(duì)穩(wěn)定,則式(9)可簡(jiǎn)化為

D=F(σ,n)

(10)

以?xún)杉?jí)循環(huán)載荷為例,非線性損傷演化曲線如圖2所示。

圖2 D-n非線性損傷演化曲線Fig.2 D-n nonlinear damage evolution curve

對(duì)式(10)進(jìn)行偏微分,可得到損傷演化方程：

(11)

若載荷加載次數(shù)用累積損傷表示,則式(11)可表示為

(12)

為便于表達(dá),特規(guī)定符號(hào)φ(D),可令

(13)

由式(13)可得

=φ(D)φ(σi)

(14)

式(14)等號(hào)兩邊對(duì)D偏微分并進(jìn)行數(shù)學(xué)形式變換,可得

(15)

由式(15)可知,f(D,σi)是一個(gè)關(guān)于D和σi的可分離函數(shù)。f(D,σi)的分離性決定了損傷模型不具備載荷加載次序效應(yīng)。特別地,就Miner法則而言,其損傷演化方程式可表示為

f(D,σi)=1/Nfi

(16)

結(jié)果可發(fā)現(xiàn),Miner法則的損傷演化函數(shù)為一個(gè)載荷變量,具備可分離性。文獻(xiàn)[2]指出,載荷變量與損傷變量的不可分離性是產(chǎn)生載荷加載次序效應(yīng)的前提條件,因此Miner法則不具備載荷加載次序效應(yīng)。根據(jù)式(15)和式(16),線性損傷累積法則和非線性損傷累積法則不具備載荷加載次序效應(yīng)的根本原因是損傷演化函數(shù)的可分離性。

基于剩余壽命的非均勻損傷累積模型的損傷演化函數(shù)可表示為

(17)

將Basiquin公式代入式(17)可得

(18)

由式(18)可知,基于剩余壽命的非均勻損傷模型的損傷演化函數(shù)具備載荷變量與損傷變量的不可分離性,因此,該模型具備載荷加載次序效應(yīng)。

2.2 考慮載荷間交互影響的等效損傷模型

疲勞損傷的破壞機(jī)理極為復(fù)雜,斷裂力學(xué)理論認(rèn)為,疲勞進(jìn)程由內(nèi)因和外因共同推進(jìn),應(yīng)力強(qiáng)度因子k(σ,a)是描述整個(gè)疲勞失效過(guò)程的控制參量,其中σ為外加載荷,是推進(jìn)疲勞進(jìn)程的外因;a為裂紋長(zhǎng)度,相當(dāng)于損傷變量,是推進(jìn)疲勞進(jìn)程的內(nèi)因。這種失效準(zhǔn)則被稱(chēng)為“二元失效判據(jù)”。由式(10),以載荷循環(huán)比表征損傷變量,可得到損傷變量的函數(shù)表達(dá)式：

(19)

傳統(tǒng)的損傷等效模型表達(dá)式可定義為

(20)

文獻(xiàn)[14]指出,對(duì)于高層錯(cuò)能材料,高、低載荷加載產(chǎn)生的疲勞機(jī)理有所不同;對(duì)于低層錯(cuò)能材料,高、低載荷加載產(chǎn)生的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)也有所不同。因此,傳統(tǒng)意義上的損傷等效模型的等效機(jī)理并不充分,不同應(yīng)力水平下的等效損傷點(diǎn)并不存在。根據(jù)上述觀點(diǎn),可認(rèn)為式(20)的等效機(jī)理存在一定局限性。

一般認(rèn)為,當(dāng)載荷為高-低順序加載時(shí),高載荷會(huì)破壞材料的晶粒結(jié)構(gòu),使裂紋提前形成,對(duì)損傷累積有促進(jìn)作用。低-高順序加載下,低載強(qiáng)化效應(yīng)會(huì)阻礙損傷的發(fā)展。因此,可認(rèn)為相鄰兩級(jí)載荷間存在交互影響。有研究指出[15],不同應(yīng)力水平下的損傷演化規(guī)律會(huì)相互影響,前級(jí)載荷會(huì)影響后級(jí)載荷的損傷累積進(jìn)程。

高-低載荷加載時(shí),高載荷的持續(xù)加載使裂紋提前形成,如圖3所示,高載荷的持續(xù)作用干涉低載荷的損傷演化趨勢(shì),假設(shè)未干涉前的損傷演化趨勢(shì)為AF,則干涉后的損傷演化趨勢(shì)應(yīng)為AH,即此干涉作用可促進(jìn)損傷趨勢(shì)的發(fā)展。

圖3 高-低加載D-n/N損傷演化曲線Fig.3 High-low loading D-n/N damage evolution curve

將曲線AH平移到E點(diǎn)并進(jìn)行延伸,可得到一條損傷曲線OCE,與曲線OBE不同的是,OCE這條曲線考慮了前級(jí)載荷對(duì)后級(jí)載荷的影響,假設(shè)此曲線的損傷方程與式(19)相似,可令其為

D=Φ(n/Nf,σ2)

(21)

根據(jù)損傷等效法則,構(gòu)件在應(yīng)力σ1下加載n1次產(chǎn)生的損傷等效于應(yīng)力σ2下按照曲線OCE單獨(dú)作用n2″ 次產(chǎn)生的損傷。如圖3所示,考慮載荷間交互作用的損傷演化路徑為OA→AC→CE,相應(yīng)的損傷等效方程式可表示為

(22)

損傷曲線OCE是以曲線OBE為基礎(chǔ)構(gòu)造的,且F(n/Nf,σ)和Φ(n/Nf,σ)均與n/Nf有某種冪函數(shù)關(guān)系,因此可以假定Φ(n/Nf,σ)可由F(n/Nf,σ)改變冪指數(shù)來(lái)得到,故其方程可表示為

Φ(n/Nf,σ)=[F(n/Nf,σ)]ω

(23)

式中,ω為載荷交互因子,用于表征上級(jí)載荷與后級(jí)載荷之間的交互影響效應(yīng)。

由圖3可知,高-低加載時(shí),ω>1;反之,低-高加載時(shí),ω<1;若是恒幅加載,則不存在載荷間的交互影響效應(yīng),即ω=1。文獻(xiàn)[16]認(rèn)為,相鄰兩級(jí)載荷間,載荷水平相差愈大,載荷間的交互影響愈顯著。根據(jù)以上分析,可將交互影響因子定義為

其中,σi為第i級(jí)載荷對(duì)應(yīng)的疲勞壽命。則式(23)可表示為

(24)

為方便書(shū)寫(xiě),特規(guī)定如下符號(hào)：

(25)

根據(jù)式(25),結(jié)合式(24),推廣至任意多級(jí)載荷下的等效損傷新模型,模型表達(dá)式為

(26)

式(26)為考慮載荷交互影響的等效損傷模型,相較于傳統(tǒng)損傷等效模型,新模型彌補(bǔ)了傳統(tǒng)模型忽略載荷交互影響的缺陷。

2.3 多級(jí)載荷下的損傷累積模型

式(8)形式簡(jiǎn)便,且未知參數(shù)較少,但它是基于恒幅載荷下的非均勻損傷模型與傳統(tǒng)損傷等效模型相結(jié)合建立的,其局限性在于忽略了載荷間的交互影響。基于剩余壽命的非均勻損傷模型與等效損傷新模型相結(jié)合,構(gòu)造考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型可彌補(bǔ)這一局限。

以?xún)杉?jí)載荷為例,將式(8)與式(26)結(jié)合,構(gòu)建考慮載荷間交互影響的非均勻損傷累積模型的表達(dá)式：

(27)

其中,下標(biāo)mp代表改進(jìn)模型。以?xún)杉?jí)載荷下的表達(dá)式為基礎(chǔ)進(jìn)行迭代,可得到三級(jí)載荷下的損傷累積模型表達(dá)式：

(28)

根據(jù)式(28),將其推廣至任意多級(jí)載荷下的考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型,模型表達(dá)式為

(29)

式(29)為多級(jí)載荷下的考慮載荷交互影響的非均勻損傷累積模型的一般函數(shù)式,此形式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,未知參數(shù)較少,且可通過(guò)S-N曲線進(jìn)行求解,在工程應(yīng)用中較為實(shí)用。

疲勞壽命預(yù)測(cè)模型為

(30)

3 算例驗(yàn)證與分析

以文獻(xiàn)[17]中Al-2024-T45合金和文獻(xiàn)[18]中30NiCrMoV12鋼試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)驗(yàn)證本文模型的正確性。30NiCrMoV12鋼的抗拉強(qiáng)度為1035 MPa,疲勞極限為391 MPa,試件經(jīng)過(guò)回火及硬化處理,疲勞壽命數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 30NiCrMoV12鋼疲勞試驗(yàn)壽命

Al-2024-T45合金具有高強(qiáng)度、耐高溫的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域,用來(lái)制作例如飛機(jī)螺旋槳、蒙皮、翼肋等零部件,其疲勞壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 Al-2024-T45合金疲勞試驗(yàn)壽命

載荷加載方式為應(yīng)力控制,應(yīng)力比R=-1,試驗(yàn)加載參數(shù)見(jiàn)表3、表4。由表3、表4可發(fā)現(xiàn),模型式(30)的預(yù)測(cè)精度最高,預(yù)測(cè)穩(wěn)定性最強(qiáng),模型式(8)的精度和穩(wěn)定性相對(duì)較差,但仍滿(mǎn)足使用要求。Corton-Dolan模型的預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)定性接近Miner法則,且能滿(mǎn)足使用要求,但預(yù)測(cè)精度稍顯不足。

表3 Al-2024-T45合金疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)及模型對(duì)比

由圖4、圖5可以發(fā)現(xiàn),式(8)模型和式(30)模型的預(yù)測(cè)值都分布在1.5倍的公差帶內(nèi),證明了所提模型的可行性,其中式(30)模型的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性相對(duì)較高。

圖4 Al-2024-T45合金疲勞壽命及各模型對(duì)比Fig.4 Fatigue life of Al-2024-T45 alloy and model comparison

(a)前8行數(shù)據(jù)

式(8)與式(30)之間的差距在于是否考慮載荷間的交互影響,通過(guò)試驗(yàn)分析證明載荷間的交互影響是影響預(yù)測(cè)精度的重要因素,且這種影響會(huì)隨著載荷加載次數(shù)的增多變得越來(lái)越大。實(shí)際情況下,構(gòu)件承受的載荷異常復(fù)雜,載荷間的交互影響非常大,這也是Miner法則在使用中不滿(mǎn)足精度要求的重要原因。

4 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)變幅載荷加載過(guò)程的復(fù)雜性,從剩余壽命出發(fā)建立恒幅載荷下的非均勻損傷累積模型,結(jié)合傳統(tǒng)損傷等效模型與考慮載荷間交互影響的損傷等效新模型分別建立多級(jí)載荷下疲勞壽命預(yù)測(cè)模型和多級(jí)載荷下考慮載荷交互影響的疲勞壽命預(yù)測(cè)模型,將模型應(yīng)用于兩級(jí)載荷加載中,通過(guò)與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比,驗(yàn)證了模型具有較高的壽命預(yù)測(cè)精度。