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        巧作三角形的中位線妙解題

        2023-11-28 10:44:49王卓勛
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)解題

        王卓勛

        三角形中位線是三角形中至關(guān)重要的線段.它平行于三角形的第三條邊,且等于第三條邊的一半.通過中位線可以得到一些相等的角和成比例的線段,因此,中位線定理在幾何證明,以及線段、角度求值等問題中有著廣泛的應(yīng)用.但某些幾何問題中并不會(huì)直接表明對應(yīng)三角形的中位線,此時(shí)同學(xué)們就要深入挖掘問題中的隱含條件,添加輔助線構(gòu)造中位線,進(jìn)而借助中位線的性質(zhì)來解題.

        一、連中點(diǎn),構(gòu)造三角形的中位線

        在求解某些數(shù)學(xué)問題時(shí),若題中出現(xiàn)兩個(gè)或多個(gè)中點(diǎn),我們不妨先將中點(diǎn)連接起來構(gòu)造中位線.若已知共端點(diǎn)的兩條邊的中點(diǎn),連結(jié)這兩邊的另一端點(diǎn),即可構(gòu)造出含有中位線的三角形;若已知兩條無公共端點(diǎn)線段的中點(diǎn),那么可取第三邊的中點(diǎn),構(gòu)造兩條中位線,進(jìn)而利用中位線定理解題.

        例1? 如圖1,平行四邊形ABCD的對角線相交于O,E、F、G、H分別是AB、OB、CD、OD的中點(diǎn).求證:EH = FG.

        分析:觀察圖形,結(jié)合已知條件,連接 EF、HG,則線段EH與FG是四邊形EFGH 的一組對邊,只需證明四邊形EFGH是平行四邊形即可得證.利用三角形的中位線定理很容易證得四邊形EFGH是平行四邊形.

        解:連接EF、HG,

        ∵E、F、G、H 分別是 AB、OB、CD、0D

        的中點(diǎn),

        ∴EF、GH分別是△A0B和△COD的中位線,

        ∴EF//OA,GH//OC,

        ∴EF//GH,

        ∵在平行四邊形ABCD中,OA= OC,∴EF=GH,

        ∴四邊形EFGH是平行四邊形,

        ∴EH = FG.

        評注:本題已有四條線段的中點(diǎn),因此首先考慮應(yīng)用三角形中位線定理.通過連接中點(diǎn)可以明確各中位線的關(guān)系,再以各中位線,構(gòu)成的圖形為中間橋梁,求證結(jié)論.

        二、證中點(diǎn),構(gòu)造三角形的中位線

        在解答某些幾何問題時(shí),常常會(huì)遇到一些中點(diǎn)位置較為隱蔽的問題.當(dāng)題目給出的圖中不存在中點(diǎn),但求證的結(jié)論與三角形中位線定理很類似時(shí),同學(xué)們要注意巧作輔助線,先證明線段的兩端點(diǎn)為三角形兩邊的中點(diǎn),明確三角形的中位線,再利用三角形中位線的性質(zhì)解題.

        例 2? 如圖2,在△ABC 中,∠BAC、∠ACB 的平分線AD、CE相交于點(diǎn)M,BF⊥AD于點(diǎn) F,BG ⊥ CE 于點(diǎn) G,若 AB = 11,5C = 16,AC = 21,求FG的長.

        分析:欲求FG的長,需要先證FG與 △BPN的關(guān)系.觀察圖形,若延長BF交AC 于N,由已知條件,易證△ABF≌△ANF,進(jìn)而得到BF=FN,即F是BN的中點(diǎn).同理,延長BG交AC于點(diǎn)P,易知G是BP的中點(diǎn),這樣可知FG是△BPN的中位線.最后再根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可求出FG的長.

        證明:延長BF交AC于N,延長BG交 AC于點(diǎn)P.

        ∵在△ABC中,AD為∠BAC的平分線

        ∴∠BAF=∠NAF.又∵BF⊥AD 于點(diǎn) F,

        ∴∠AFB= ∠AFN.

        在△ABF和△ANF 中,∠BAF=∠NAF,

        AF=AF,∠AFB=∠AFN,

        ∴△ABF≌△ANF

        ∴AB=AN,BF=NF,即F是BN的中點(diǎn).

        同理可證得△BCG≌△PCG,

        ∴BC=PC,BG=PG,即G是BP的中點(diǎn).

        ∴FG是△BPN的中位線.

        ∵NP=AN+PC-AC=11+16-21=6

        ∴FG=1/2NP=3.

        評注:本題看似與中點(diǎn)無關(guān),但若巧作輔助線,再寐系已知條件,易證F、G分別為 BN、BP的中點(diǎn),即FG是△BPN的中位線,這樣再利用三角形中位線的性質(zhì)便可以輕松解題.

        三、添中點(diǎn),構(gòu)造三角形的中位線

        如果題目已知三角形一邊的中點(diǎn),而另一個(gè)中點(diǎn)不明確,不能構(gòu)成三角形的中位線時(shí),同學(xué)們要注意觀察圖形特征,通過取三角形一邊的中點(diǎn)或倍長中線等方法添加一個(gè)中點(diǎn),然后將兩個(gè)中點(diǎn)連接起來,構(gòu)成三角形的中位線,再利用三角形中位線的性質(zhì)解題.

        例3? 如圖3,AD是△ABC的中線,點(diǎn)E 在AD上,延長BE交AC與點(diǎn)F.若AE = 3ED,求的值.

        分析:本題一個(gè)中點(diǎn)已知,而另一個(gè)中點(diǎn)未知.若過點(diǎn)D作DG//CF交BF于點(diǎn)G,可得DG是△BFC的中位線,這樣根據(jù)三角形中位線性質(zhì),就可以得到DG = CF,CF= 2DG; 再證明△DEG∽△AEF不難求出的值.

        解:如圖3所示,∵AD是△ABC的中線,∴BD = CD.

        過點(diǎn)D作DG//CF交BF于點(diǎn)G,∴BG=FG,

        ∴DG是△BFC的中位線,

        ∴DG = ^CF,即 CF = 2DG.

        .

        評注:利用三角形中位線性質(zhì)構(gòu)造相似三角形,是證明線段“倍分”關(guān)系的常用策略. 本題過現(xiàn)有中點(diǎn)D作平行線,得出DG是 △BFC的中位線,再通過證三角形相似,得出相應(yīng)的比例關(guān)系,進(jìn)而求出線段的比值.

        總之,三角形的中位線與三角形的中點(diǎn)密切相關(guān).當(dāng)題目已知條件中有明確的中位線時(shí),直接利用中位線的性質(zhì)即可探求出線段之間的數(shù)量關(guān)系和平行關(guān)系;若題目已知條件中只有一個(gè)中點(diǎn)或中點(diǎn)位置較為隱蔽時(shí),同學(xué)們要注意結(jié)合題目特點(diǎn),巧添輔助線,構(gòu)造中位線,再靈活利用三角形中位線的性質(zhì)解題.

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