王 鵬 辛 罡

從上世紀(jì)70 年代開始,智能優(yōu)化算法經(jīng)歷了持續(xù)近30 年的黃金時期,其標(biāo)志就是大量經(jīng)典的優(yōu)化算法被提出,并得到廣泛的應(yīng)用.1975 年Holland[1]提出了遺傳算法(Genetic algorithm,GA),這一算法演變?yōu)橐活愔匾乃惴ù亍M(jìn)化算法.1983 年Kirkpatrick 利用Metropolis 準(zhǔn)則[2]提出了模擬退火算法(Simulated annealing,SA)[3];Dorigo 于1992 年在他的博士論文中提出了蟻群算法(Ant colony optimization,ACO)[4-5],這一算法對解決組合優(yōu)化問題具有較好的效果;1995 年Eberhart 等[6]基于鳥類的飛行和社會行為提出了粒子群算法(Particle swarm optimization,PSO),這些算法的提出為優(yōu)化算法的研究打下了基礎(chǔ).進(jìn)入21世紀(jì),智能優(yōu)化算法發(fā)展的黃金時代已逐漸過去,但各種新的算法仍然不斷出現(xiàn),特別是自然啟發(fā)式算法,這些優(yōu)化算法在不同的模型掩蓋下存在著“核心”操作同質(zhì)化的問題.新提出的優(yōu)化算法模型大都與現(xiàn)有的算法存在或多或少的相似之處,這使優(yōu)化領(lǐng)域的研究者們逐漸意識到,當(dāng)前優(yōu)化算法所面臨的挑戰(zhàn)不是提出新的算法,而是為優(yōu)化問題和優(yōu)化算法尋找一種合適的統(tǒng)一模型,智能優(yōu)化算法的研究進(jìn)入了一個新的時代.

對于優(yōu)化算法核心規(guī)則和策略的研究早已被一些研究者所關(guān)注,粒子群算法的提出者Kennedy 也意識到優(yōu)化算法存在統(tǒng)一的簡單模型和通用的基本迭代操作,他針對粒子群算法提出了相應(yīng)的“骨架”(Bare bone)算法,Kennedy 認(rèn)為: “希望利用這種骨架算法揭示隨機(jī)群體算法之間相似性的奧秘,并發(fā)現(xiàn)新的方法”[7].隨后差分進(jìn)化算法[8]和煙火算法[9]的骨架算法也相繼提出.2016 年蟻群算法的提出者Dorigo 在一份聲明中也表達(dá)出對于當(dāng)前不斷提出的新的自然算法的謹(jǐn)慎態(tài)度.其他一些研究者,如S?rensen 也認(rèn)為,“現(xiàn)在優(yōu)化計算領(lǐng)域的研究,重要的不是提出新的算法而是為優(yōu)化算法建立普遍適用的規(guī)則和策略,研究優(yōu)化問題和優(yōu)化算法中的共性問題”[10].螢火蟲算法、布谷鳥算法、蝙蝠算法及鮮花授粉算法等多種優(yōu)化算法的提出者Yang 在自己的專著中提醒讀者: “不鼓勵大家再提出新的優(yōu)化算法,這些新算法可能只會分散解決優(yōu)化中真正具有挑戰(zhàn)性和真正重要的問題的注意力”[11].相似的看法在其他一些學(xué)者的論述中也有表述,如文獻(xiàn)[12]認(rèn)為和聲優(yōu)化算法本質(zhì)上就是一種進(jìn)化策略.廣義上講遺傳算法、粒子群算法、蟻群算法等算法的基本模型都是基于人對世界的主觀認(rèn)識對優(yōu)化問題進(jìn)行的建模,這些模型往往缺乏完備的數(shù)學(xué)、物理體系的支持,一定程度上也阻礙了優(yōu)化算法這一學(xué)科的發(fā)展.

優(yōu)化算法的統(tǒng)一模型需要同時具備通用性、深刻性和數(shù)學(xué)完備性.20 世紀(jì)初量子理論在一大批杰出科學(xué)家的努力下獲得了快速的發(fā)展,建立起了完備的理論體系,并在實(shí)踐中得到了反復(fù)的檢驗(yàn).與其他理論相比,量子理論深刻地反映了大自然的基本運(yùn)行規(guī)律,特別是量子理論中對波函數(shù)的概率解釋與基于概率采樣的優(yōu)化算法具有很大的相似性[13].

事實(shí)上,量子理論的思想在優(yōu)化算法中早已得到了應(yīng)用,早在1996 年Narayanan 等[14]利用量子理論中的“多宇宙”(Multi-universe)的觀點(diǎn)提出多宇宙衍生遺傳算法 (Quantum-inspired genetic algorithm,QIGA),該算法嘗試把量子特性融入到進(jìn)化算法中去,后來量子遺傳算法的思想也應(yīng)用于解決組合優(yōu)化問題[15].隨后量子蟻群算法(Quantum ant colony optimization,QACO)[16],量子粒子群(Quantum-behaved particle swarm optimization,QPSO)[17]等受量子理論啟發(fā)的算法相繼提出.本文作者也于2013 年提出了一種基于量子諧振子波函數(shù)構(gòu)造的多尺度量子諧振子算法(Multiscale quantum harmonic oscillator algorithm,MQHOA)[18],通過對MQHOA 算法的研究,我們發(fā)現(xiàn)了薛定諤方程和波函數(shù)在優(yōu)化算法的描述中具有重要作用[19].這些結(jié)果可以認(rèn)為是量子理論與優(yōu)化問題在概率特性上存在內(nèi)在一致性的證據(jù).

基于隨機(jī)行為的智能優(yōu)化算法通常都放棄了對最優(yōu)解準(zhǔn)確性的要求,這與量子理論中采用波函數(shù)對粒子進(jìn)行概率化描述的思想是一致的.粒子群算法的提出者Kennedy 在著作Swarm Intelligence中指出“隨機(jī)性的程度決定了智能的高低”,這一論斷指出了智能的本質(zhì)是隨機(jī)性[20].2018 年11 月李國杰院士在《中國計算機(jī)學(xué)會通訊》上發(fā)表了題為“計算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ)理論需要重塑”的卷首語,他指出“量子力學(xué)改變了傳統(tǒng)的邏輯定義,把概率看成了邏輯的內(nèi)在組成.在計算機(jī)領(lǐng)域,構(gòu)造一臺完全公理化驅(qū)動的自動機(jī)也不現(xiàn)實(shí),而對復(fù)雜環(huán)境,我們需要放棄嚴(yán)格邏輯而改用概率邏輯”.

由于量子理論已經(jīng)過長期的充分發(fā)展,其理論體系及數(shù)學(xué)表達(dá)已非常完備和豐富,建立了如擴(kuò)散蒙特卡羅法、路徑積分法、微擾理論等基態(tài)波函數(shù)的求解方法.本文基于對優(yōu)化問題概率特性的認(rèn)識,采用量子物理理論對優(yōu)化問題進(jìn)行研究,從量子理論的角度嘗試解答優(yōu)化問題的波函數(shù)表達(dá)、概率采樣函數(shù)的選擇、算法演化過程和多尺度過程的必要性等問題,希望能為優(yōu)化算法的分析與研究提供新的視角.

1 優(yōu)化問題解的概率化定義

智能優(yōu)化算法,其主要指基于人類對自然規(guī)律的認(rèn)知與借鑒而形成的智能優(yōu)化系統(tǒng),這些系統(tǒng)大部分都是概率性算法,其包含了大量概率化的迭代操作,通過放棄對解的確定性的要求,從而獲得在可接受時間內(nèi)巨大解空間上的搜索能力.智能優(yōu)化算法的角度看,優(yōu)化問題解的獲得是一個不確定性的問題,甚至算法無法對得到的解給出任何確定性保證.優(yōu)化問題的解采用概率形式來表達(dá)更能有效地反映解的特性.

首先來看數(shù)學(xué)上對優(yōu)化問題的定義,為方便討論,在本文中以一維目標(biāo)函數(shù)f(x)優(yōu)化問題為例進(jìn)行討論.從數(shù)學(xué)的角度一維函數(shù)優(yōu)化問題可以定義如下:

針對目標(biāo)函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)定義域 [a,b] 上的優(yōu)化問題,就是要找到一個實(shí)數(shù)x0∈[a,b],對于任意x ∈[a,b],滿足f(x0)≤f(x),則稱x0為目標(biāo)函數(shù)在實(shí)數(shù)定義域 [a,b] 全局最優(yōu)解.

從以上定義可知,全局最優(yōu)解是一個確定性的定義,優(yōu)化過程理論上需要找到x0這一個確定的全局最優(yōu)解.而對于智能優(yōu)化算法,為確保算法的通用性,優(yōu)化問題通常視為黑盒問題,黑盒問題認(rèn)為:優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式f(x)是未知的,優(yōu)化算法只能通過采樣確定從目標(biāo)函數(shù)定義域集合到值域集合中的每一個映射.優(yōu)化算法的每一次采樣就是對黑盒進(jìn)行的一次測量,測量的次數(shù)越多所獲得的目標(biāo)函數(shù)信息越多.

智能優(yōu)化算法對目標(biāo)函數(shù)f(x)全局最優(yōu)解的位置同樣是不確定的.事實(shí)上算法在運(yùn)行過程中并不知道它是否找到了全局最優(yōu)解.所以采用當(dāng)前采樣點(diǎn)的概率密度函數(shù)g(x)來描述優(yōu)化問題的結(jié)果更能準(zhǔn)確地反映優(yōu)化問題的概率特性,P(a≤x≤b)表示全局最優(yōu)解出現(xiàn)在區(qū)間 [a,b] 的概率.

對于智能優(yōu)化算法,優(yōu)化問題的解由數(shù)學(xué)上確定的全局最優(yōu)解的位置x0轉(zhuǎn)變?yōu)槊枋鏊惴ó?dāng)前采樣點(diǎn)的概率密度函數(shù)g(x).

在算法運(yùn)行前全局最優(yōu)解x0從算法的角度是可行域中的任意位置,而在優(yōu)化算法運(yùn)行后,最優(yōu)解附近的g(x)會逐步增加,最終收斂為一個很小的區(qū)域.這一區(qū)域被認(rèn)為是算法最優(yōu)解可能存在的區(qū)域.針對最優(yōu)化問題,我們通常只關(guān)心在最優(yōu)化解附近的概率分布,所以通常g(x)為緊支撐函數(shù).這樣概率分布會更集中在中心位置,例如高斯分布、柯西分布、拉普拉斯分布等.后面本文將采用量子模型說明g(x)的概率形式與對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行勢阱逼近的勢阱選擇有關(guān).

優(yōu)化問題解的概率定義從理論上建立起了優(yōu)化問題的解與波函數(shù)概率解釋之間的聯(lián)系,為采用量子波函數(shù)對優(yōu)化問題進(jìn)行描述提供了可能.

2 優(yōu)化問題的量子模型

智能優(yōu)化系統(tǒng)中采樣點(diǎn)的運(yùn)行方式是復(fù)雜的,鑒于不同的算法模型,很難有一套理論可以完整地給出對于不同智能優(yōu)化算法動力學(xué)行為的描述.在量子理論中,粒子的運(yùn)動狀態(tài)是由其對應(yīng)的波函數(shù)ψ(x)所決定的.決定波函數(shù)的動力學(xué)方程是由粒子的質(zhì)能方程和波動方程聯(lián)立得到的,本文希望利用量子力學(xué)中的確定的動力學(xué)方程代替智能優(yōu)化算法中復(fù)雜且無法確定的運(yùn)動學(xué)方程,從而為討論其核心迭代過程和搜索行為提供研究基礎(chǔ).

早在1926 年Born[21]給出了波函數(shù)ψ(x)的概率解釋.Born 認(rèn)為波函數(shù)模的平方 |ψ(x)|2描述了粒子在空間出現(xiàn)的概率分布.如果我們構(gòu)造一個描述優(yōu)化問題的量子化系統(tǒng),將全局最優(yōu)解的概率密度函數(shù)g(x)用波函數(shù)模的平方 |ψ(x)|2來進(jìn)行表示,則優(yōu)化問題就可以轉(zhuǎn)化為求量子系統(tǒng)波函數(shù)ψ(x)的量子化問題.

2.1 優(yōu)化問題的薛定諤方程

在量子系統(tǒng)中,描述勢阱中粒子運(yùn)動狀態(tài)的薛定諤方程可以用作描述粒子在勢阱函數(shù)約束下的運(yùn)動狀態(tài),通過求解薛定諤方程的基態(tài)波函數(shù),可以獲得最低能量下的粒子概率分布函數(shù),含時薛定諤方程為

其中,i 是虛數(shù)單位,V(x)為約束粒子的勢阱,m為粒子的質(zhì)量,h為普朗克常數(shù),?=h/(2π).利用薛定諤方程就可以求出粒子在被勢阱V(x)約束下的波函數(shù).

從量子物理的觀點(diǎn)看,為了建立優(yōu)化問題解的概率密度函數(shù)g(x)和量子波函數(shù)ψ(x)關(guān)系,優(yōu)化問題可以看作是一個能量最低的問題,是以目標(biāo)函數(shù)f(x)為勢阱約束下的量子系統(tǒng),即V(x)=f(x).通過勢阱等效,并令S=?2/(2m),則優(yōu)化問題的薛定諤方程定義為

其中,S在優(yōu)化問題中決定著波函數(shù)的尺度,它的值越大波函數(shù)的尺度越大,對應(yīng)的量子效應(yīng)越明顯,反之則量子效應(yīng)越弱,所以稱S為尺度系數(shù).

通過薛定諤方程的轉(zhuǎn)換,優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解在勢阱f(x)約束下粒子的波函數(shù)ψ(x,t)的問題,許多優(yōu)化問題關(guān)注的是f(x)的全局最小值,在物理系統(tǒng)中最小值對應(yīng)于能量的最小值,在量子力學(xué)中被稱為基態(tài).對于優(yōu)化問題而言,其薛定諤方程的基態(tài)波函數(shù)ψ0(x,t)就描述了全局最優(yōu)解的概率分布.優(yōu)化問題的解不再是一個確定的值,而是一個由基態(tài)波函數(shù)所描述的概率分布,這更符合隨機(jī)優(yōu)化算法的特點(diǎn).

優(yōu)化問題的薛定諤方程就是對優(yōu)化問題的量子化描述,也是優(yōu)化問題量子模型的理論基礎(chǔ),它從理論上建立起了基態(tài)波函數(shù)與優(yōu)化問題解的概率密度函數(shù)之間的關(guān)系.

2.2 優(yōu)化問題的波函數(shù)及相關(guān)物理量定義

波函數(shù)是量子理論中的一個重要的概念,優(yōu)化問題的薛定諤方程和優(yōu)化問題解的量子化定義使波函數(shù)成為了描述和研究優(yōu)化問題的核心理論工具.波函數(shù)與算法的迭代過程緊密相連,決定著當(dāng)前算法的采樣函數(shù).通過對波函數(shù)的定義,可以進(jìn)一步對優(yōu)化算法的能量、量子隧道效應(yīng)和熵進(jìn)行定義和研究.

2.2.1 優(yōu)化算法波函數(shù)的定義

從理論上講,優(yōu)化算法的波函數(shù)就是優(yōu)化算法薛定諤方程的解ψ(x,t),它的模方 |ψ(x,t)|2就代表了當(dāng)前解的概率分布.考慮到薛定諤方程下,波函數(shù)的疊加性,在實(shí)際應(yīng)用中對于群體算法我們可以將個體采樣概率的疊加作為算法當(dāng)前的波函數(shù),這樣定義的波函數(shù)的數(shù)學(xué)含義為當(dāng)前全局最優(yōu)解的分布和當(dāng)前算法采樣分布,即

其中,?i(x,t)為t時刻第i個可能薛定諤方程的解,ci為該解出現(xiàn)的幾率,k為解的個數(shù).這種表示方法在QPSO 算法中得到應(yīng)用,其對應(yīng)的波函數(shù)就是k個拉普拉斯分布的疊加.算法波函數(shù)在迭代過程中會不斷變化,從而可以直觀地觀察到算法的收斂過程,波函數(shù)收斂過程的示例參見文獻(xiàn)[18-19].

2.2.2 優(yōu)化算法的能量

優(yōu)化問題在量子模型下轉(zhuǎn)變?yōu)榍罅孔酉到y(tǒng)最低能量的問題,優(yōu)化算法在迭代過程中能量會逐步減小.在經(jīng)典模型下能量就是目標(biāo)函數(shù)的值,如模擬退火算法當(dāng)前的最優(yōu)解就是當(dāng)前算法的能量,而在量子模型下優(yōu)化算法當(dāng)前的能量是由波函數(shù)的概率分布所決定的,其計算方法為

其中,ψ(x,t)為算法當(dāng)前的波函數(shù),E0為目標(biāo)函數(shù)值的理論最小值.由于在量子模型下優(yōu)化算法的解被波函數(shù)以概率分布的形式所描述,所以優(yōu)化算法的能量E就是算法當(dāng)前解的數(shù)學(xué)期望.E0在黑盒模型下對于優(yōu)化算法來說是未知的,因此在算法實(shí)際應(yīng)用時往往只跟蹤前面部分的值來研究算法的收斂過程,這一能量稱為相對能量.

當(dāng)算法迭代到某一尺度的基態(tài)時,算法能量達(dá)到這一尺度的最小值,這時的能量稱為零點(diǎn)能,尺度S下的零點(diǎn)能為

2.2.3 優(yōu)化算法的量子隧道效應(yīng)

在量子系統(tǒng)中粒子能通過勢壘貫穿出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū),我們稱之為隧道效應(yīng),這是量子系統(tǒng)所特有的現(xiàn)象.如圖1 所示,在一個雙阱勢能函數(shù)中,不同量子特性的系統(tǒng),對應(yīng)了不同尺度的波函數(shù).而粒子從X移動到X′出現(xiàn)在禁區(qū)的幾率為圖中陰影部分的面積.

圖1 量子隧道效應(yīng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of quantum tunneling effect

在優(yōu)化問題的量子模型下隧道效應(yīng)是算法跳出局部最優(yōu)的一個基本機(jī)制[22],也是優(yōu)化問題概率性和波動性的表現(xiàn),優(yōu)化算法針對任意區(qū)域 [a,b] 發(fā)生隧道效應(yīng)的概率Pab可以利用波函數(shù)進(jìn)行計算,即

在一些經(jīng)典的優(yōu)化算法中通常會包含一些差解接受機(jī)制,如模擬退火算法的Metropolis 準(zhǔn)則、遺傳算法的變異操作等,其目的都是為了使算法能有機(jī)會跳出局部最優(yōu)區(qū)域.優(yōu)化問題在量子模型下由波函數(shù)的概率解釋所引起的隧道效應(yīng)為優(yōu)化算法跳出局部最優(yōu)化區(qū)域提供了一個“自然”機(jī)制,優(yōu)化算法并不需要刻意地采用某種跳出局部最優(yōu)的機(jī)制,而只需要按照波函數(shù)的概率分布進(jìn)行迭代演化.

2.2.4 優(yōu)化算法的熵

優(yōu)化問題的波函數(shù)可以對優(yōu)化算法的迭代過程進(jìn)行跟蹤,但對于高維目標(biāo)函數(shù)其波函數(shù)無法直觀地表達(dá);同時對于迭代過程通常希望能給出一個具有明確物理意義的量來研究算法的收斂過程.所以根據(jù)波函數(shù)的概率解釋,類比熵的定義可以定義優(yōu)化算法的熵H,即

優(yōu)化算法熵的物理意義為當(dāng)前全局最優(yōu)解的確定度,優(yōu)化算法熵在每一次迭代時都有一個確定的值,它的值是由當(dāng)前波函數(shù)所決定的,通常隨著算法的收斂,算法熵的值會逐步減小,熵的值越小說明算法針對全局最優(yōu)解的確定度越大,因此算法熵代表了優(yōu)化算法對當(dāng)前最優(yōu)解確定性的認(rèn)識,也可以認(rèn)為是對高維波函數(shù)的降維參數(shù).

優(yōu)化算法的熵隨迭代次數(shù)變化的曲線稱為熵收斂曲線,熵收斂曲線能反映算法對解確定度的收斂情況,與傳統(tǒng)收斂曲線相比具有更深刻的物理意義.熵收斂曲線可以作為優(yōu)化問題量子模型下研究算法收斂過程的數(shù)學(xué)工具.

3 優(yōu)化問題在量子理論下的探索

3.1 薛定諤方程下的隨機(jī)搜索過程

在將優(yōu)化問題引入量子系統(tǒng)之后,就可以使用量子物理的手段對優(yōu)化問題的求解過程進(jìn)行研究.我們將通過量子理論中求解系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)的一種重要方法,擴(kuò)散蒙特卡羅法(Diffusion Monte Carlo,DMC)[23],分析在量子模型下群體優(yōu)化算法的隨機(jī)行為.

3.1.1 優(yōu)化問題薛定諤方程與擴(kuò)散方程的同構(gòu)

擴(kuò)散蒙特卡羅的基礎(chǔ)是基于薛定諤方程與擴(kuò)散方程的同構(gòu).為了構(gòu)造方程的同構(gòu),將式(3)中的時間t替換為τ,τ=it/?,此時含時薛定諤方程轉(zhuǎn)化為實(shí)域的擴(kuò)散方程,即

同時,一維無熱源的熱傳導(dǎo)方程可以寫為

其中,v為擴(kuò)散系數(shù),u(x)為溫度的分布.對照含時的薛定諤方程和一維熱傳導(dǎo)方程可以發(fā)現(xiàn),這兩個方程具有相同的結(jié)構(gòu).特別地,當(dāng)系統(tǒng)未被約束時f(x)=0,此時優(yōu)化問題的約束態(tài)量子模型退化為自由粒子模型,即

此時優(yōu)化問題的薛定諤方程從形式上與擴(kuò)散方程完全相同,這說明波函數(shù)ψ(x,τ)隨時間的演化過程和溫度的分布u隨時間的演化具有相似的行為.而擴(kuò)散蒙特卡羅方法則是通過構(gòu)造隨機(jī)粒子的擴(kuò)散行為,模擬薛定諤方程下粒子的行為,實(shí)現(xiàn)波函數(shù)的演化過程.

3.1.2 優(yōu)化問題薛定諤方程的求解

在擴(kuò)散蒙特卡羅方法中,因?yàn)閮?yōu)化算法的時間演化過程可以采用粒子的擴(kuò)散過程來進(jìn)行描述,我們可以通過向薛定諤方程引入一定的能量位移來影響量子模型下優(yōu)化算法的收斂迭代過程.通常用含時薛定諤方程來表示,即

這里ψ(x,τ)為隨時間演化的波函數(shù),ER為參考能量,參考能量可以認(rèn)為是優(yōu)化算法當(dāng)前獲得的最低能量,隨著算法迭代的進(jìn)行參考能量會逐步下降.

假設(shè)f(x)在x→∞是有限的,粒子被限制在一個有限的空間內(nèi),通過分離變量法求解,方程的解為

其中,En為量子化的能級.當(dāng)ER=E0時,E0為系統(tǒng)的基態(tài)能量,其他非基態(tài)波函數(shù)所對應(yīng)的指數(shù)部分都會隨時間演化變?yōu)闊o窮小,只保留基態(tài)所對應(yīng)的指數(shù)項,所以方程變?yōu)?/p>

式(14)說明當(dāng)ER=E0時對應(yīng)量子系統(tǒng)的初始波函數(shù)ψ(x,0)一定會演化收斂為基態(tài)波函數(shù)?0,這意味著當(dāng)參考能量等于基態(tài)能量時無論選擇什么波函數(shù)作為初始波函數(shù),最終都能收斂到基態(tài)波函數(shù).而當(dāng)ER＞E0時,波函數(shù)會隨著時間的演化不斷發(fā)散,當(dāng)ER＜E0時,波函數(shù)會隨著時間的演化不斷耗散.擴(kuò)散蒙特卡羅據(jù)此設(shè)計了基于參考能量的“生滅過程”,讓不符合條件(會使得波函數(shù)發(fā)散或耗散)的采樣點(diǎn)不繼續(xù)繁殖,通過參考能量調(diào)節(jié)隨機(jī)行走的粒子的擴(kuò)散行為,最終影響波函數(shù)的演化結(jié)果,從而獲得低能量約束條件對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)(粒子分布狀態(tài)).

量子模型下波函數(shù)的時間演化從理論上說明了薛定諤方程下優(yōu)化算法的收斂行為,優(yōu)化算法的迭代過程就是參考能量不斷向基態(tài)能量的逼近過程,當(dāng)參考能量等于基態(tài)能量時就能確保收斂到基態(tài)波函數(shù).

3.1.3 優(yōu)化問題波函數(shù)的構(gòu)造

從熱力學(xué)的觀點(diǎn)來看,擴(kuò)散過程是大量粒子的一種群體行為,優(yōu)化問題在量子模型下與擴(kuò)散方程的相似性從量子理論的角度解釋了大量優(yōu)化算法都采用群體策略的原因.薛定諤方程的時間演化說明,通過隨機(jī)生成初始的波函數(shù),可以通過模擬群體的擴(kuò)散行,隨時間向系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù)演化.因此參考式(4)和式(13)優(yōu)化問題的初始波函數(shù)可以采用如下的構(gòu)造方法:

這一構(gòu)造方法采用在k個不同的位置以xi為中心生成k個預(yù)測的可能基態(tài)波函數(shù)ψ0(x-xi),其出現(xiàn)幾率為ci,并以 |ψ0(x-xi)|2為鄰域采樣函數(shù)分別生成k個新的可能位置在演化迭代過程中,通過比較采樣值與ER的關(guān)系,逐步調(diào)整波函數(shù)演化的過程,使參考能量向E0逼近,在擴(kuò)散蒙特卡羅中,參考能量是種群數(shù)量相關(guān)的一個參考量.

相似地,在許多優(yōu)化算法中,可以將當(dāng)前最好的解作為對參考能量的估算.例如PSO 算法在迭代過程中參考群體歷史上的最優(yōu)解和個體歷史上最優(yōu)解,事實(shí)上就是以群體歷史上的最優(yōu)解和個體歷史上最優(yōu)解為參考能量,對種群個體進(jìn)行調(diào)節(jié)的過程.

擴(kuò)散蒙特卡羅方法是可以借鑒研究優(yōu)化算法的隨機(jī)過程的一種物理方法,除此之外許多量子力學(xué)中求解基態(tài)波函數(shù)的方法,都可以用于分析隨機(jī)優(yōu)化過程.

3.2 簡單勢阱對目標(biāo)函數(shù)的逼近

雖然可以利用擴(kuò)散蒙特卡羅之類的方法對優(yōu)化問題的薛定諤方程進(jìn)行求解,但基于以下原因我們無法直接獲得一個復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)f(x)所對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù),需要通過對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行近似來獲得基態(tài)波函數(shù)的解.

1)對于復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)f(x)其對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)也是一個復(fù)雜的概率密度函數(shù).

2)薛定諤方程非常難解,只有對一些簡單的勢阱才能準(zhǔn)確地獲得波函數(shù)的解析解.

3)對于優(yōu)化問題來說,只需要知道在全局最優(yōu)解附近的概率分布,因此可以采用較為簡單的勢阱模型對復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近.

Taylor 展開是關(guān)于某一個點(diǎn)x0展開的,它可以在點(diǎn)x0附近對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近.假設(shè)目標(biāo)函數(shù)f(x)滿足Taylor 展開的條件,在全局最優(yōu)極值點(diǎn)x0的Taylor 展開為

對于滿足Taylor 展開的任意目標(biāo)函數(shù)f(x)其零階、一階和二階Taylor 展開分別為(函數(shù)在極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)的值f′(x0)=0)

目標(biāo)函數(shù)f(x)的零階和一階Taylor 展開均為常數(shù),對應(yīng)的量子模型為自由粒子.目標(biāo)函數(shù)的二階Taylor 展開為諧振子勢能,這種勢阱經(jīng)常作為平衡位置附近復(fù)雜振動的一種近似,其對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為高斯分布.如MQHOA 算法就是在這種勢阱逼近模型下所構(gòu)造的算法,采用目標(biāo)函數(shù)的二階近似已能獲得較好的優(yōu)化性能[24-29].更高階的Taylor 展開所對應(yīng)勢能的薛定諤方程很難解出一個簡單的概率分布作為基態(tài)波函數(shù),所以通常不采用更高階的Taylor 展開作為目標(biāo)函數(shù)的逼近.

在采用簡單勢阱對優(yōu)化問題近似逼近后,相應(yīng)地,可以通過式(15),利用不同勢阱下的基態(tài)波函數(shù)構(gòu)造算法的鄰域采樣函數(shù),以獲得不同的算法性能.同時Taylor 展開也不是唯一的近似方法,一些算法也會采用其他的逼近方法,例如QPSO 算法采用δ勢阱對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近[30].也可以采用方勢阱對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近,則優(yōu)化算法的鄰域采樣分布為余弦分布.

不同優(yōu)化算法鄰域采樣函數(shù)的選擇,可以在量子理論下解釋為對目標(biāo)函數(shù)的某種勢阱逼近的基態(tài)波函數(shù).不同的鄰域函數(shù)的構(gòu)造連同不同的參考能量的選擇策略共同影響了優(yōu)化算法的性能.

3.3 多尺度過程的量子化解釋

多尺度過程在優(yōu)化算法中往往是一個必不可少的過程,大多數(shù)優(yōu)化算法都會引入采樣步長收縮策略實(shí)現(xiàn)從全局搜索向局部搜索的變化.例如模擬退火算法中溫度的逐步下降過程;粒子群算法中慣性權(quán)重的變化過程;蟻群算法路徑構(gòu)建時信息素和距離項本質(zhì)上是在實(shí)現(xiàn)全局搜索和局部搜索的平衡.多尺度過程是一個性能良好的全局優(yōu)化算法所必須的過程,我們希望采用量子理論中的不確定性原理對優(yōu)化算法中的多尺度過程加以證明.

不確定性原理(Uncertainty principle)是Heisenberg 在1927 年首次提出的,不確定性原理認(rèn)為粒子的位置和動量是一對不相容的觀察量,我們不能同時對其進(jìn)行精確測量.量子理論中不確定性原理的一般性表述如下: 對于兩個可觀察物理量(Observables)A和B所對應(yīng)的算符不對易(Non commuting).

則這兩個物理量不能同時精確測量,即

其中,ΔA和 ΔB為測量精度.

類似地,為了證明優(yōu)化問題的不確定性原理,需要首先定義位置算符和尺度算符.優(yōu)化問題的量子模型認(rèn)為優(yōu)化問題的解是采用波函數(shù)ψ(x)來描述的,在這一前提下優(yōu)化問題的解不再是一個確定的值而是一個概率分布,這使得優(yōu)化問題的解具有位置和尺度(尺度為頻率的倒數(shù))兩個特性.在量子理論中物理觀察量算符是通過其平均值來定義的,優(yōu)化問題的波函數(shù)代表了全局最優(yōu)解的概率分布,因此全局最優(yōu)解位置的平均值可以利用波函數(shù)得出,即

為了得到優(yōu)化問題解的頻率算符,利用優(yōu)化算法的波函數(shù)的傅利葉變換對頻率平均值計算式進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)變換:

根據(jù)量子理論中不確定性關(guān)系的一般定義,優(yōu)化算法的解的位置算符和頻率算符之間的對易關(guān)系為

這一結(jié)論說明在量子模型的解釋下,任意優(yōu)化算法在一個尺度下都不能同時精確獲得優(yōu)化問題的解ψ(x)的頻率信息和位置信息.根據(jù)傅利葉分析的原理,大尺度下的搜索可以有效獲得目標(biāo)函數(shù)的頻率信息(全局信息),但位置精度會較低,小尺度下的搜索具有較低的頻率精度,但具有較高的位置精度(局部信息).

優(yōu)化問題的不確定性關(guān)系可以表述為: 單一尺度的搜索不可能同時獲得精確的全局搜索能力和局部搜索能力,多尺度過程是優(yōu)化算法的一個必要過程.多尺度過程在一些量子算法,如量子退火算法中也是一個重要的過程,這類方法構(gòu)造的物理系統(tǒng)能不斷降低體系的量子效應(yīng),從而實(shí)現(xiàn)多尺度優(yōu)化[31-32],這也證明了優(yōu)化算法中廣泛存在的多尺度過程的必要性.

4 量子理論下智能優(yōu)化算法的實(shí)現(xiàn)

為驗(yàn)證量子理論框架對智能優(yōu)化算法研究的有效性,本節(jié)將基于前面內(nèi)容中的理論內(nèi)容簡述一種基于擴(kuò)散蒙特卡羅方法的智能優(yōu)化算法.在第2 節(jié)中,智能優(yōu)化系統(tǒng)中采樣點(diǎn)的運(yùn)動行為被假設(shè)能夠被薛定諤方程所描述,建立起了智能優(yōu)化算法的量子力學(xué)基礎(chǔ);在第3 節(jié)中,我們提到量子力學(xué)中的蒙特卡羅方法可以用作模擬擴(kuò)散方程中粒子的運(yùn)動行為,從而求解薛定諤方程.蒙特卡羅方法是一種基于薛定諤方程和擴(kuò)散方程的同構(gòu)性,利用隨機(jī)行走模擬粒子受擴(kuò)散方程約束下的物理運(yùn)動過程對優(yōu)化問題進(jìn)行求解的優(yōu)化方法,其基礎(chǔ)迭代過程可以認(rèn)為是量子理論下智能優(yōu)化系統(tǒng)的基礎(chǔ)迭代過程.在此基礎(chǔ)上,通過算符的方法證明了算法多尺度過程的必要性,通過目標(biāo)函數(shù)的Taylor 二階近似,將擴(kuò)散蒙特卡羅這樣求解基態(tài)問題的方法轉(zhuǎn)換為求解全局最優(yōu)問題.因此,在本節(jié)中將首先簡述其基礎(chǔ)迭代過程,在此基礎(chǔ)上融入前述內(nèi)容中的多尺度過程和Taylor 二階近似下的中值替換策略,構(gòu)造出新的算法,并通過CEC2013 測試集對該算法進(jìn)行簡單的測試.

4.1 基于蒙特卡羅方法的基礎(chǔ)迭代過程

在擴(kuò)散蒙特卡羅方法中,經(jīng)Wick 轉(zhuǎn)動(τ=it/?)之后,時變薛定諤方程下粒子的概率幅度可以通過無數(shù)條可能軌跡上的積分來計算.通過路徑積分的方式,薛定諤方程的解可以表達(dá)為

其中,從時刻 0 到時刻τ平均分為N個部分,Δτ=τ/N(N→∞);其中與空間中粒子動能項相關(guān)的蒙特卡羅采樣方程為

其中,與粒子擴(kuò)散過程中出現(xiàn)概率相關(guān)的權(quán)重函數(shù)為

路徑積分的公式描述了粒子在擴(kuò)散反應(yīng)過程中的運(yùn)動和密度的變化,因其可以被蒙特卡羅方法求解,故稱之為擴(kuò)散蒙特卡羅方法.為了獲得 Ψ (x,τ),擴(kuò)散蒙特卡羅方法包含了擴(kuò)散方程采樣和權(quán)重函數(shù)計算兩個階段

其中,當(dāng)存在初態(tài) Ψ (x0,0)時,終態(tài) Ψ (xN,τ)可以被由隨機(jī)擴(kuò)散P(xn,xn-1)和權(quán)重函數(shù)W(xn)所組成的隨機(jī)過程所獲得;在隨機(jī)擴(kuò)散環(huán)節(jié),新的粒子根據(jù)蒙特卡羅采樣方程產(chǎn)生;在概率函數(shù)分配環(huán)節(jié),較差的粒子“死亡”,較好的粒子產(chǎn)生更多的新粒子,這便是大家所熟知的擴(kuò)散蒙特卡羅方法中的“生滅”過程.

擴(kuò)散蒙特卡羅方法將求解含時薛定諤方程約束態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為了一個計算機(jī)可執(zhí)行的隨機(jī)算法過程.可以認(rèn)為薛定諤方程約束下智能優(yōu)化系統(tǒng)的隨機(jī)迭代過程由粒子的蒙特卡羅采樣行為和權(quán)重函數(shù)計算兩個部分所組成.

4.2 基于多種群的多尺度量子諧振子算法實(shí)現(xiàn)

文獻(xiàn)[33]實(shí)現(xiàn)了多種群的疊加態(tài)量子諧振子算法(Multiple-population-based superposition state MQHOA,MPSS-MQHOA),其利用多種群的思想對蒙特卡羅迭代過程進(jìn)行擴(kuò)展,并針對數(shù)值優(yōu)化中的全局優(yōu)化問題進(jìn)行調(diào)整,在算法中融入多尺度過程和Taylor 二階近似下的中值替換策略.現(xiàn)簡述其主要策略如下.

1)參考能量的選擇: 在蒙特卡羅方法中,ER參考能量會隨著時間不斷的動態(tài)調(diào)整,其目的是通過分支過程平衡種群的規(guī)模.MPSS-MQHOA 為了方便計算將種群規(guī)模ps設(shè)置為常數(shù),在優(yōu)化過程中,往往希望表現(xiàn)較差的粒子被緩慢地排除,以維持整個種群的多樣性并避免算法早熟的問題.因此將整個種群中最差的粒子,設(shè)置為參考能量.與此同時,算法為了避免早熟,在每輪迭代中有且僅有一個最差的子種群會被淘汰.其基于適應(yīng)度值的參考能量ER可計算為

2)多種群的蒙特卡羅采樣: 在該過程中,每個子種群中的粒子根據(jù)式(31)產(chǎn)生,來確定其在n時刻的位置,由此,可以給出g個子種群的蒙特卡羅采樣方程為

其中,g是子種群的個數(shù),psi是第i個子種群的規(guī)模,其可以通過權(quán)重函數(shù)的計算動態(tài)調(diào)整,σs是當(dāng)前的搜索尺度,是在第i個子種群的最優(yōu)粒子附近產(chǎn)生的第j個粒子.

3)子種群規(guī)模的調(diào)整: 在該過程中,根據(jù)式(32),算法中子種群的權(quán)重函數(shù)算法通過第g個種群的最優(yōu)值計算.為實(shí)現(xiàn)“生滅過程”所獲得在優(yōu)勢區(qū)域的粒子數(shù)量的積聚,在多種群粒子系統(tǒng)中,為緩解數(shù)值優(yōu)化問題中適應(yīng)度值的波動會導(dǎo)致權(quán)重函數(shù)劇烈的變化這一問題,適應(yīng)度值的排序?qū)⒈挥糜谟嬎阕臃N群的規(guī)模,算法的子種群規(guī)?？捎上率接嬎?

MPSS-MQHOA 算法的偽代碼如下:

在初始化步驟中,在整個搜索空間中隨機(jī)設(shè)置g個子種群的位置,并將搜索規(guī)模σs設(shè)置為UB和LB之間的值(搜索空間的上界和下界).算法的迭代過程主要包括粒子密度調(diào)節(jié)和蒙特卡羅采樣兩個階段.首先,根據(jù)式(36)計算每個子種群的種群大小psi.隨后,使用式(35)生成psi粒子當(dāng)f(xi)＜時,粒子被更新.粒子系統(tǒng)的最差子種群在該循環(huán)結(jié)束時被消除.在尺度調(diào)整步驟中,搜索尺度σs隨著系數(shù)Cr逐漸減小.迭代過程不斷循環(huán)直到滿足終止標(biāo)準(zhǔn),輸出最優(yōu)值.

4.3 實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文理論對算法設(shè)計的有效性,本節(jié)選取了基于種群方差的自適應(yīng)微分進(jìn)化(Population's variance-based adaptive differential evolution,PVADE)[34]、標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化(SPSO2011)[35]、QPSO[17]、失敗者出局競標(biāo)賽煙花算法(Loser-out tournament based fireworks algorithm,LoTFWA)[36]作為對照組與MPSS-MQHOA 進(jìn)行比較.

所有的算法將在CEC2013 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)測試集[37]上進(jìn)行實(shí)驗(yàn),每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)51 次,單次運(yùn)算的最大迭代次數(shù)為10 000×D,其中D為維度,實(shí)驗(yàn)維度設(shè)置為30.測試集一共包括28 個測試函數(shù),根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)不同可劃分為單模函數(shù) (F1～F5),多模函數(shù)(F6～F20),組合函數(shù) (F21～F28).所有函數(shù)的定義域?yàn)?[-100,100].實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Intel(R)Core(TM)i7-1160G7 CPU @ 1.20 GHz 2.11 GHz,16.0 GB,程序采用MATLAB2019 編寫.其中MPSS-MQHOA的粒子數(shù)設(shè)置為ps=300,子種群個數(shù)g=30,α=3,Cr=1.2;其他算法參數(shù)根據(jù)其文獻(xiàn)設(shè)置.實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表1,其中Mean 為誤差均值,Std.為解的標(biāo)準(zhǔn)差,最優(yōu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在表中用粗體標(biāo)出.

表1 PVADE,SPSO2011,QPSO,LoTFWA 和MPSS-MQHOA 在30 維CEC2013 測試集下平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)差的對比實(shí)驗(yàn),所有算法的終止條件為MaxFES=300 000,所有實(shí)驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)51 次Table 1 Comparison of mean errors and standard deviations of PVADE,SPSO2011,QPSO,LoTFWA,MPSS-MQHOA,under 30D CEC2013 benchmark functions.The stopping condition for all schemes is set at MaxFES=300 000.The experiments are repeated 51 times individually

在單模函數(shù)上,PVADE 表現(xiàn)出了優(yōu)異的性能,在除F5 外的所有函數(shù)上都排名第一.SPSO2011的表現(xiàn)略好于MPSS-MQHOA,在單模函數(shù)上排名第二,MPSS-MQHOA 排名第三.QPSO 和LoTFWA 除了在F1 上表現(xiàn)較好,在其他四個函數(shù)上都落后于其他三種算法,并列排名第四.在多模函數(shù)和組合函數(shù)上,根據(jù)平均排名,MPSS-MQHOA 排名第一,LoTFWA 排名第二,PVADE 表現(xiàn)出的性能較為均衡,取得第三的排名成績.SPSO2011 和QPSO 表現(xiàn)較差,分別排名第四和第五.

總的來說,如表1 所示,PVADE 在30 維問題上28 個函數(shù)中的11 個函數(shù)獲得了最小的平均誤差.在單模函數(shù)上,MPSS-MQHOA 和LoTFWA的平均誤差排名遠(yuǎn)落后于PVADE.但這三種算法在所有28 個函數(shù)上的平均排名卻比較接近,說明后兩種方法在多模函數(shù)和組合函數(shù)上具有良好的性能.同時,具有多種群的MPSS-MQHOA 在30 維問題中獲得了13 個函數(shù)的最小平均誤差,其平均排名為第一.該實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了基于量子框架所設(shè)計的算法相比于其他智能優(yōu)化算法具有一定的競爭力,也間接證明了本文理論對算法設(shè)計的有效性.

5 優(yōu)化問題與量子理論相關(guān)性的討論

在前面的各節(jié)中,我們從不同角度分析了優(yōu)化問題與量子理論的關(guān)系.本節(jié)中將進(jìn)一步闡明這些理論的相互關(guān)系,見表2所示.

表2 優(yōu)化算法與量子理論的對應(yīng)關(guān)系Table 2 The relationship between optimization algorithm and quantum theory

正如1976 年圖靈獎獲得者Rabin 所認(rèn)為的: “應(yīng)該放棄的只是以完全確定的方式獲得結(jié)果,這種結(jié)果可能出錯,然而出錯的可能性微乎其微”.不確定性不僅是概率算法構(gòu)造的一個重要概念,在本文中,它同時也是概率算法量子特性的基礎(chǔ).

從優(yōu)化問題的不確定性出發(fā),優(yōu)化問題解的表達(dá)方式從一個確定的位置x變?yōu)榱艘粋€概率分布ψ(x).在可行域內(nèi)某區(qū)域的解的分布的積分代表了在該區(qū)域解出現(xiàn)的幾率,這與量子理論中波函數(shù)的概率解釋是一致的,所以我們把這樣的概率分布的表達(dá)方式稱之為優(yōu)化問題解的波函數(shù).這也是我們進(jìn)一步嘗試?yán)昧孔永碚搶?yōu)化問題進(jìn)行討論與研究的基礎(chǔ).在優(yōu)化算法的研究中,使用數(shù)學(xué)的方法對隨機(jī)過程進(jìn)行研究是困難的,而且通常需要對算法框架進(jìn)行極大的簡化.所以本文建立優(yōu)化問題的量子基礎(chǔ)的核心思想是通過優(yōu)化問題與勢阱的等效對比,把優(yōu)化問題作為薛定諤方程的約束條件引入量子系統(tǒng),從而建立起薛定諤方程對隨機(jī)搜索過程的動態(tài)描述.在量子物理領(lǐng)域中,存在許多計算量子體系勢能的優(yōu)化問題,這類問題與計算機(jī)領(lǐng)域中的優(yōu)化問題并無本質(zhì)區(qū)別,這也是我們可以借用量子系統(tǒng)對優(yōu)化問題做類比研究的基礎(chǔ).

在此基礎(chǔ)上,我們從量子理論的角度出發(fā)嘗試對優(yōu)化問題進(jìn)行了以下幾方面的探索與討論:

1)薛定諤方程下的隨機(jī)搜索過程: 在這一部分中,我們通過類比量子力學(xué)與計算機(jī)領(lǐng)域的優(yōu)化方法來研究隨機(jī)搜索過程.本文中討論了擴(kuò)散蒙特卡羅方法這一比較有代表性的隨機(jī)優(yōu)化方法.該方法首先基于薛定諤方程與擴(kuò)散方程的同構(gòu),把薛定諤方程轉(zhuǎn)換至實(shí)數(shù)域中,再對薛定諤方程的勢能約束條件(目標(biāo)函數(shù))引入了參考能量的概念,通過參考能量調(diào)節(jié)隨機(jī)行走的粒子的擴(kuò)散行為,最終影響波函數(shù)的演化結(jié)果,從而獲得低能量約束條件對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)(粒子分布狀態(tài)).單純從優(yōu)化算法的角度來看,擴(kuò)散蒙特卡羅之類的算法與優(yōu)化領(lǐng)域的算法沒有任何區(qū)別,因此這類的方法中采用的數(shù)學(xué)物理手段,都可以用于研究分析優(yōu)化算法,這也是建立優(yōu)化問題與量子理論聯(lián)系的優(yōu)勢所在.

2)目標(biāo)函數(shù)的近似: 由于計算機(jī)領(lǐng)域和量子物理領(lǐng)域?qū)?yōu)化問題求解的不同需求,我們首先需要把求解復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成求解一個簡單勢阱的問題.本文在選擇勢阱逼近模型時采用二階Taylor 近似逼近目標(biāo)函數(shù)時的量子模型為量子諧振子模型,其對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為高斯分布.相似地,在QPSO算法中,δ勢阱用于對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行逼近,其對應(yīng)的基態(tài)波函數(shù)為Laplace 分布;同時根據(jù)薛定諤方程下波函數(shù)的疊加特性,利用簡單勢阱的基態(tài)波函數(shù),構(gòu)造出優(yōu)化系統(tǒng)的鄰域函數(shù).這與概率優(yōu)化系統(tǒng)中群體的概念是類似的,在一定程度上印證了優(yōu)化系統(tǒng)的量子特性.同時,這一概念的有效性已被我們的前期研究所證明.并在這個框架下引入了更精細(xì)的算法機(jī)制來提高算法的性能[25-28].

3)多尺度過程: 在許多優(yōu)化算法中,搜索尺度策略是影響算法性能的一個重要因素.我們通過量子系統(tǒng)中優(yōu)化問題的波函數(shù)的解釋,類比地定義了優(yōu)化問題物理量的算符.并通過位置算符和頻率算符的相互關(guān)系,證明了優(yōu)化問題的測不準(zhǔn)關(guān)系,從而從量子物理的角度證明了優(yōu)化問題多尺度策略必要性.

上述討論說明優(yōu)化問題與優(yōu)化算法在量子理論的框架下可以得到部分的解釋,這說明優(yōu)化問題與量子理論存在一定的相關(guān)性.為分析優(yōu)化算法提供數(shù)學(xué)物理理論的支持.

6 結(jié)束語

本文針對優(yōu)化問題量子特性展開討論,其目的并不是為了提出一種新的優(yōu)化算法,而是希望為優(yōu)化問題和優(yōu)化算法的研究和分析提供一種新的視角.

本文通過對比研究表明,量子理論與優(yōu)化問題之間確實(shí)存在廣泛的內(nèi)在聯(lián)系,量子理論給出了描述優(yōu)化問題的較為完備的數(shù)學(xué)框架,為研究優(yōu)化問題提供了一種有明確物理意義的數(shù)學(xué)工具.雖然本文未對細(xì)節(jié)進(jìn)行展開討論,但我們現(xiàn)有的研究表明,在這一模型指導(dǎo)下的算法設(shè)計是有效的,并且可以得到一些不錯的結(jié)果.

從優(yōu)化領(lǐng)域的發(fā)展趨勢看提出新的優(yōu)化算法不再是現(xiàn)在的研究焦點(diǎn),探索為優(yōu)化問題建立統(tǒng)一的理論模型在現(xiàn)階段變得尤為重要.量子理論作為優(yōu)化問題統(tǒng)一模型的理論基礎(chǔ)是一個不錯的選擇,本文的研究結(jié)果也支持這一結(jié)論.但相關(guān)的研究還有待進(jìn)一步的深入,事實(shí)上的確還有一些重要問題并沒有得到解決,例如優(yōu)化算法的隱含并行性問題(Implicit parallelism)[38-39]的量子解釋,我們希望在今后的工作中完成.