重慶市長壽龍溪中學(xué)校(401249) 吳波

1 問題的提出

完全四點(diǎn)形是指平面上四個(gè)點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)及其兩兩連結(jié)的六條直線所組成的圖形,這四個(gè)點(diǎn)稱為它的頂點(diǎn),六條直線稱為它的邊. 在文獻(xiàn)[1]中我們將《數(shù)學(xué)通報(bào)》數(shù)學(xué)問題2583[2]推廣為全對(duì)稱形式,即給出了圓錐曲線內(nèi)接完全四點(diǎn)形三組對(duì)邊之間存在如下關(guān)系:

定理1[1]在平面直角坐標(biāo)系中, 主對(duì)稱軸平行(重合)于x軸且離心率為e的圓錐曲線上四點(diǎn)A1,A2,A3,A4可生成一個(gè)完全四點(diǎn)形, 其諸邊AiAj的斜率存在且為kij(1 ≤i

注1圓錐曲線主對(duì)稱軸指其焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸;而圓的任意對(duì)稱軸都視作主對(duì)稱軸.

注2當(dāng)其中某(些)邊的斜率不存在時(shí),從極限角度看,定理1 的結(jié)論仍成立.

定理1 題設(shè)中要求完全四點(diǎn)形外接于一條圓錐曲線. 如果脫離圓錐曲線,對(duì)于一般的完全四點(diǎn)形,其三組對(duì)邊的斜率之間是否也隱含著某種關(guān)系呢?

本文即探討這個(gè)問題.

2 完全四點(diǎn)形三組對(duì)邊斜率之間的關(guān)系

對(duì)于一般的完全四點(diǎn)形,經(jīng)過探討,我們發(fā)現(xiàn)其三組對(duì)邊的斜率之間滿足如下的對(duì)稱關(guān)系:

定理2平面直角坐標(biāo)系中的完全四點(diǎn)形A1A2A3A4的邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

證明因?yàn)槠揭破矫嬷苯亲鴺?biāo)系并不會(huì)改變直線的斜率, 因此不妨設(shè)A4是原點(diǎn), 再設(shè)Ai(xi,yi)(i= 1,2,3), 則有則

注意到上述行列式所對(duì)應(yīng)的矩陣的第一行向量與第三行向量之和正好等于第二行向量,因此其行列式的值必為0.證畢.

一般來說,與斜率有關(guān)的結(jié)論會(huì)依賴于平面直角坐標(biāo)系的選擇. 比如定理1 題設(shè)中就要求“主對(duì)稱軸平行(重合)于x軸”. 但是定理2 的題設(shè)中并未對(duì)完全四點(diǎn)形所在的平面直角坐標(biāo)系作出限制. 也就是說,定理2 的結(jié)論對(duì)任選的平面直角坐標(biāo)系都成立. 只是需要注意: 當(dāng)所選的平面直角坐標(biāo)系使得某(些)邊的斜率不存在時(shí),對(duì)式①應(yīng)當(dāng)如命題1(見下一小節(jié))的證明中那樣從極限的角度來理解.

3 定理2 的若干特例或極限情形

定理2 有眾多特例或極限情形,本節(jié)略舉幾例.

命題1對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的完全四點(diǎn)形A1A2A3A4,其邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

(i)若對(duì)邊A1A4,A2A3都與x軸平行,則

(ii)若對(duì)邊A1A4,A2A3都與y軸平行,則k12+k34=k13+k24.

(iii)若邊A1A4與x軸平行,而對(duì)邊A2A3與y軸平行,則k12k34=k13k24.

證明(i)此時(shí)有k14=k23=0. 代入定理2 的式①并按最后一行展開得:k12k34(k13+k24) =k13k24(k12+k34)).然后兩邊都除以k12k34k13k24即得結(jié)論.

(ii)將定理2 式①的最后一行除以k14k23得

按最后一行展開即得. 證畢.

注1如命題1(ii)(iii)所示,當(dāng)定理2 中某(些)kij(1 ≤i

注2不借助于定理2,也可通過計(jì)算直接驗(yàn)證命題1 的結(jié)論成立.

命題2如圖1, 對(duì)平面直角坐標(biāo)系中的平行四邊形A1A2A3A4,邊AiAj的斜率為kij(1 ≤i

圖1

證明將k34=k12,k23=k14代入式①得:

前兩行分別減去第三行得:

將左邊分解,然后兩邊約去公因式k12-k14可得:

將待證式展開易知: 上式與待證式等價(jià).證畢.

利用命題2 容易推得(證略):

推論1如圖2, 在平面直角坐標(biāo)系中,AM是?ABC的一條中線,AM,BC均不平行于y軸,則

圖2

推論2在平面直角坐標(biāo)系中,AM是?ABC的一條中線,則

(i)AM//y軸?kAB+kAC= 2kBC;BC//y軸?kAB+kAC=2kAM.

(ii)AM//x軸?;BC//x軸

4 本質(zhì)

這不是調(diào)和點(diǎn)列(線束)交比等于-1 的形式么(參見文獻(xiàn)[4])? 雖然圖1 中只有A1A2,A1A3,A1A4過A1,而A2A4卻不過A1. 但這仍然提示我們: 定理2 其實(shí)是完全四點(diǎn)形的一個(gè)射影性質(zhì). 本節(jié)中我們就將指出定理2 在射影幾何中的本質(zhì).

定義1[3]設(shè)f為一維基本形[π]上的一個(gè)非恒等的射影變換,若對(duì)于任意的x∈[π],都有f(x) =f-1(x),則稱f為[π]上的一個(gè)對(duì)合.

定義1 也可以等價(jià)地表述為: 非恒等的射影變換f如果滿足f2(f復(fù)合f)為恒等變換,那么f就是一個(gè)對(duì)合.

比如:O是直線l上的點(diǎn),在以直線l為底的點(diǎn)列上定義關(guān)于O的對(duì)稱變換φ,即對(duì)于任何X∈l,φ(X)為X關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn). 顯然有φ2(X)=X,即φ2為恒等變換. 因此關(guān)于O的對(duì)稱變換φ就是對(duì)合的一個(gè)實(shí)例.

定理3[3](Desargues 對(duì)合定理) 如圖3, 不過完全四點(diǎn)形A1A2A3A4頂點(diǎn)的直線l與其邊AiAj的交點(diǎn)為Pij(1 ≤i

圖3

由于透視保持交比不變,因此有:

推論3如圖3,不過完全四點(diǎn)形A1A2A3A4頂點(diǎn)的直線l與其邊AiAj的交點(diǎn)為Pij(1 ≤i

現(xiàn)限定在仿射平面上,且圖3 中的直線l取該平面的無窮遠(yuǎn)直線,則Pij為AiAj的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(1 ≤i

圖4

推論4如圖4,過一點(diǎn)作與完全四點(diǎn)形三組對(duì)邊分別平行的直線,則所作的三對(duì)直線是屬于同一對(duì)合的三對(duì)對(duì)應(yīng)直線.

在平面直角坐標(biāo)系中,共點(diǎn)的四直線間的交比可以用斜率來表示(參見文獻(xiàn)[4]). 當(dāng)然,兩個(gè)線束成對(duì)合的條件也可以用斜率來表示. 可以證明(證略): 推論2 即是定理2 用“對(duì)合”概念表述之后的等價(jià)形式.

這表明: 定理2 是Desargues 對(duì)合定理的一個(gè)特例,本質(zhì)上是完全四點(diǎn)形的一個(gè)射影性質(zhì).

至于第3 小節(jié)中的命題2,它可以簡潔地表述為:

推論5過一點(diǎn)作與平行四邊形的兩條鄰邊和兩條對(duì)角線分別平行的直線,則所作的兩對(duì)直線調(diào)和共軛.

作為完全四點(diǎn)形的對(duì)偶圖形,完全四線形的三對(duì)頂點(diǎn)之間是否也存在某種對(duì)稱關(guān)系呢? 確實(shí)如此! 文獻(xiàn)[5]的定理4的推論中就利用復(fù)數(shù)給出了復(fù)平面上的完全四線形三對(duì)頂點(diǎn)之間的與定理2 非常相似的結(jié)論. 有興趣的讀者可以參看.