盛正大,王媛,王慧男,王芳

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

Van der pol系統(tǒng)是一種常見于數(shù)學(xué)與物理研究領(lǐng)域且具有清晰的動(dòng)力學(xué)特征的經(jīng)典電路系統(tǒng),學(xué)者們對(duì)該系統(tǒng)的隨機(jī)分岔行為進(jìn)行了諸多研究. 例如,F.Moss等通過攝動(dòng)分析研究了Van der pol 系統(tǒng)的線性穩(wěn)定問題[1],結(jié)果表明分岔點(diǎn)相對(duì)于確定性的強(qiáng)度與噪聲強(qiáng)度成正比;Mathieu等利用多尺度展開方法對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)下的Van der pol系統(tǒng)的分岔閾值進(jìn)行了解析確定[2];Shinji Doi等利用算子的密度演化方法分析了Van der pol系統(tǒng)的隨機(jī)分岔[3];R. Mbakob Yonkeu等研究了指數(shù)相關(guān)噪聲激勵(lì)下的Van der pol系統(tǒng)的隨機(jī)分岔問題[4]. 在廣泛的應(yīng)用和研究中,學(xué)者們發(fā)現(xiàn)時(shí)滯會(huì)對(duì)Van der pol系統(tǒng)產(chǎn)生明顯的影響,如時(shí)間延遲引起的震蕩、混沌和周期運(yùn)動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致工程的失敗[5-6],但恰當(dāng)選取時(shí)滯參數(shù)可以提高對(duì)于系統(tǒng)的控制,因此在Van der pol非線性系統(tǒng)中補(bǔ)充時(shí)滯反饋具有重大意義. 王明芬研究了時(shí)滯Van der pol方程hopf分支的等價(jià)性[7];岳錫亭等考慮到電子震蕩的滯后性,在原有的研究成果上加入了時(shí)滯,并提出了含時(shí)滯項(xiàng)的Van der pol方程,研究了周期擾動(dòng)下的含有時(shí)滯項(xiàng)Van der pol系統(tǒng)在特定的參數(shù)條件下產(chǎn)生的臨界分支,且證明了時(shí)滯項(xiàng)對(duì)振幅存在影響,但岳錫亭的研究?jī)H僅局限在狹義Van der pol系統(tǒng)中[8-9]. 付守才等在文章中討論了時(shí)滯Van der pol系統(tǒng)的hopf分岔,提出了分支解穩(wěn)定的參數(shù)條件[10]. M.M.Klosek利用多尺度方法對(duì)于帶有時(shí)滯的Van der pol系統(tǒng)進(jìn)行了隨機(jī)分岔分析[11]. M. Gaudreault分析了在時(shí)滯參數(shù)較小時(shí)的隨機(jī)分岔閾值[12]. 可見學(xué)術(shù)界對(duì)于Van der pol系統(tǒng)的研究相對(duì)完善,但這些研究大多限于整數(shù)階非線性系統(tǒng).相較于整數(shù)階,分?jǐn)?shù)階的優(yōu)勢(shì)在于擁有良好的記憶性,并且利用分?jǐn)?shù)階微積分所建立的模型更加適用于真實(shí)世界,更符合現(xiàn)實(shí)存在的粘彈性阻尼、生物神經(jīng)元等的物理特性[13-16]. 有關(guān)含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯反饋的Van der pol系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)分岔現(xiàn)象的研究還較欠缺. 因此本文研究了在寬帶噪聲的激勵(lì)下含分?jǐn)?shù)階時(shí)滯耦合反饋的Van der pol系統(tǒng)的隨機(jī)P-分岔現(xiàn)象.

1 模型處理

研究寬帶噪聲激勵(lì)下含有分?jǐn)?shù)階時(shí)滯負(fù)反饋的Van der pol系統(tǒng):

(1)

(2)

ξ(t)為寬帶噪聲,功率譜密度如下:

(3)

設(shè)φ(t)=ωt+θ,令式(1)的解為

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行計(jì)算,可得

(5)

(6)

(7)

將式(4) 和式(7)代入式(1)中,可得:

(8)

又從式(6)知

(9)

將式(9)代入式(8)中,可得

(10)

通過上述代換,式(1)可以用下面的微分方程表示:

(11)

2 平穩(wěn)概率密度函數(shù)

將式(11)寫為如下形式:

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

(16)

故將Caputo形式的分?jǐn)?shù)階微分Dαx(t)寫成雙積分形式

(17)

(18)

則式(18)滿足

(19)

將式(4)代入式(19)中

(20)

從式(20)解得:

(21)

其中c是根據(jù)初始條件ψ(y,0)=0來決定的,進(jìn)一步將式(21)代入式(19)中得:

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

根據(jù)式(24),式(25)和式(26)得如下It隨機(jī)微分方程:

(27)

W(t)是標(biāo)準(zhǔn)的維納過程,且da不依賴于θ,因此可得系統(tǒng)幅值的FPK方程:

(28)

其中:

(29)

(30)

其中C是歸一化常數(shù).

3 仿真分析

3.1 時(shí)滯參數(shù)對(duì)隨機(jī)P-分岔的影響

設(shè)所添噪聲各系數(shù)值ζ=1,ω=0.9,ω1=0.3和噪聲強(qiáng)度D=0.1,固定所研究系統(tǒng)的參數(shù)值α1=1.51,α2=1.25,α3=1.25,α4=0.5,分?jǐn)?shù)階α=0.3,選取時(shí)滯參數(shù)=0.01,繪制出相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)圖(圖1(a)),及其俯視圖(圖1(b)),截面圖(圖1(c)),平穩(wěn)概率密度函數(shù)圖(圖1(d)).

(a)聯(lián)合概率密度分布圖 (b)聯(lián)合概率密度俯視圖

(c)聯(lián)合概率密度截面圖 (d)平穩(wěn)概率密度函數(shù)圖

(a)聯(lián)合概率密度分布圖 (b)聯(lián)合概率密度俯視圖

通過圖2可以得出,固定噪聲和系統(tǒng)的其他參數(shù),僅改變時(shí)滯參數(shù).當(dāng)選取的=0.01,可在聯(lián)合概率密度函數(shù)圖中看到一個(gè)明顯的雙峰曲線.當(dāng)時(shí)滯參數(shù)值增加為=0.2,可以從平穩(wěn)概率密度函數(shù)中看到一個(gè)先遞增再遞減的單峰曲線.與此同時(shí),聯(lián)合概率密度函數(shù)圖的峰形也發(fā)生了變化,由雙峰變?yōu)閱畏?說明當(dāng)固定其他參數(shù)不變,時(shí)滯值從0.01增加為0.2時(shí),平穩(wěn)概率密度峰值發(fā)生變化,出現(xiàn)單峰和雙峰之間的躍遷.

3.2 分?jǐn)?shù)階α對(duì)隨機(jī)P-分岔的影響

(a)聯(lián)合概率密度分布圖 (b)聯(lián)合概率密度俯視圖

(c)聯(lián)合概率密度截面圖 (d)平穩(wěn)概率密度函數(shù)圖

4 結(jié)論

研究表明在寬帶噪聲的激勵(lì)下,固定其他參數(shù)不變,僅改變時(shí)滯參數(shù)的大小,平穩(wěn)PDF曲線會(huì)出現(xiàn)從雙峰到單峰的變化,系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機(jī)P-分岔;而僅改變分?jǐn)?shù)階階數(shù),平穩(wěn)PDF曲線同樣出現(xiàn)從雙峰到單峰的峰值變化,系統(tǒng)會(huì)隨著分?jǐn)?shù)階的變化出現(xiàn)P-分岔現(xiàn)象.