趙軍圣,趙雪靜,孫宗耀

(1.聊城大學 數(shù)學科學學院,山東 聊城 252059;2.曲阜師范大學 自動化研究所,山東 曲阜 273165)

1 引言

許多化學過程和熱處理的實際工業(yè)過程會受到各種隨機擾動的影響,故可以被描述為隨機系統(tǒng)。然而,隨機擾動的存在可能會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至使其性能變低。因此,如何針對隨機系統(tǒng)設計控制器并分析系統(tǒng)的性能變得尤為重要。針對這一問題,文獻[1-3]已經(jīng)取得了重大進展。在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析過程中,對未知項的處理一直備受關注。模糊邏輯系統(tǒng)(FLS)和神經(jīng)網(wǎng)絡(NNs)常被用來處理未知函數(shù)和未知非線性項[4,5]。在這些工具的幫助下,自適應反步技術[6]已經(jīng)廣泛應用于各種隨機非線性系統(tǒng),例如隨機嚴格反饋系統(tǒng)[7]、隨機非嚴格反饋系統(tǒng)[8]、隨機純反饋系統(tǒng)[9]。

另一方面,上述控制方法都是基于傳統(tǒng)的反步控制策略提出的,這就不可避免地存在虛擬控制器求導過程中“計算爆炸”的問題。為了解決這些問題,文獻[10]提出了動態(tài)面控制(DSC)方法。然而,該方法并未消除由一階濾波器引起的誤差。為此,Dong等人[12]將命令濾波技術與自適應技術相結合,用于減少非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的濾波誤差。隨后,文獻[13]結合反步設計提出了一種輸出反饋模糊控制策略,有效地解決了具有參數(shù)不確定性的非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題。

有限時間控制[14]不僅具有響應快、高跟蹤精度的優(yōu)點,還可以使系統(tǒng)具有較好的抗干擾性能?？紤]到實際工程的需要,文獻[15]首次建立了有限時間控制方案。在文獻[16]中,借助模糊邏輯系統(tǒng)或神經(jīng)網(wǎng)絡技術,解決了函數(shù)非線性問題,改進了非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性理論。文獻[17,18]總結了有限時間穩(wěn)定性的定義和常用判據(jù),并討論了基于二階滑動控制器的有限時間控制問題。隨后,文獻[19]進一步提出了半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP),并研究了有限時間穩(wěn)定性判據(jù)。然而,到目前為止,在有限時間框架內對于具有不可測狀態(tài)的隨機非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析還沒有得到令人滿意的結果。

受上述研究成果的啟發(fā),提出利用有限時間命令濾波技術代替?zhèn)鹘y(tǒng)的命令濾波技術,以實現(xiàn)對具有未知非線性函數(shù)的隨機非線性系統(tǒng)的半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)。因此,本文主要有兩個方面貢獻:

(1) 與文獻[20,21]中已有的結果相比,本文在有限時間范圍內考慮了具有隨機擾動和未知非線性項的非線性系統(tǒng)。通過設計新的補償項來解決隨機非線性系統(tǒng)中一階濾波器所引起的誤差,克服了DSC控制方法的缺點,使系統(tǒng)能夠獲得更好的控制精度。該方法證明了閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號幾乎處處都是有限時間有界的,并且跟蹤誤差在有限時間內幾乎收斂到原點附近的鄰域內。

(2) 針對現(xiàn)有方法的不足[22,23],本文提出了有限時間控制和命令濾波的方法,解決了隨機非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題,實現(xiàn)了更快的收斂速度。同時,將模糊自適應控制技術與反步控制方法相結合,構造了自適應模糊跟蹤控制器,降低了計算復雜度,保證了閉環(huán)系統(tǒng)獲得更高的跟蹤精度。

2 問題陳述

考慮如下不確定隨機非線性系統(tǒng)

(1)

式中X=[x1,…,xn]T是系統(tǒng)狀態(tài),u?xn+1和y(t)分別是系統(tǒng)輸入與輸出。fi(·)和gi(·)是非線性連續(xù)光滑的未知函數(shù)。ω表示r維標準布朗運動,定義在一個完備概率空間上,其增量協(xié)方差為E{dω·dωT}=φ(t)φT(t)dt,φ(t)是一個未知的增量協(xié)方差矩陣。

在接下來的設計過程中,需要如下假設。

假設2 對任意X1,X2∈Ri,存在常數(shù)λi,使得

‖fi(X1)-fi(X2)‖≤λi‖X1-X2‖,

(2)

式中‖·‖表示2-范數(shù)。

3 預備知識

下面給出本文用到的一些關鍵定義和引理。

定義1[23]對任意初始值x(t0)=x0,存在常數(shù)τ和駐留時間T(τ,x0)<∞,使得E[‖x(t;x0)‖]≤τ,即稱隨機非線性系統(tǒng)(1)的平衡點是半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)。

引理1[11]考慮隨機系統(tǒng)(1)存在一個連續(xù)可微函數(shù)U(x),給定λ1,λ2∈K∞,存在常數(shù)c1>0,c2>0,0<ν<∞,0

引理2[11]令k>0,s>0,ε>0有以下不等式成立:

接下來,引入模糊邏輯系統(tǒng)的概念。

式中Ψk是使得模糊隸屬度函數(shù)μAk(y)達到最大值的點,通常認為μAk(Ψk)=1。令

則模糊邏輯系統(tǒng)可以重新描述為y(x)=ΨTQ(x),式中Q(x)=[Q1,…,QN]T,Ψ=[Ψ1,…,ΨN]T。

引理3[11]經(jīng)過有限時間瞬態(tài)過程,有如下不帶有輸入擾動的方程成立

(3)

式中ηr0=ηr并且解是有限時間穩(wěn)定的。

注1 由引理3可知,如果噪聲影響微分器的輸入,則αr=ηr0成立,如果噪聲不影響微分器的輸入,則可以使用引理4。

引理4[11]如果輸入擾動滿足|αr-αr0|≤κ,借助適當?shù)膮?shù)W1和W2滿足

(4)

式中μ1>0,a1>0,?1>0和?2>0。

引理5[22]對于任意的ai∈R,i=1,…,n和給定的0

(|a1|+…+|an|)r≤|a1|r+…+|an|r≤n1-r(|a1|+…+|an|)r。

引理6[22]對于任意的ε>0和定義在緊集Ω上的連續(xù)函數(shù)χ(x),存在模糊邏輯系統(tǒng)ΨTQ(x),有

給出一階Levant微分器

(5)

式中αr為輸入信號,φ1和φ2為命令濾波的狀態(tài),W1和W2為待設計的參數(shù)。

4 設計過程

現(xiàn)將系統(tǒng)(1)改寫為以下形式

(6)

由于L是嚴格的Hurwitz矩陣,則存在兩個矩陣DT=D>0和BT=B>0,有LTD+DL=-B。

選擇李雅普諾夫函數(shù)V0=eTDe,并借助于引理6,假設1和假設2,可得

(7)

式中λmin(B)是B的最小特征值。

5 主要結果

接下來,將闡述本文的主要結果。就(5)而言,對i=1,2…,n-1,定義有限時間命令濾波

(8)

式中xd是期望跟蹤信號。為了處理由有限時間命令濾波引起的濾波誤差,提出了如下形式的補償機制

式中ξ(0)=0,這里ci,li是常數(shù)。

(9)

由引理2,不難得到

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

于是

(15)

定理1 設隨機非線性系統(tǒng)(6)滿足假設1～3,分別選擇有限時間命令濾波器、補償跟蹤誤差信號、虛擬控制器、實際控制器、自適應律,則閉環(huán)系統(tǒng)(6)是半全局依概率有限時間穩(wěn)定(SGFSP)的,且跟蹤誤差依概率有限時間收斂到原點附近的鄰域內。

證明從(15)中,可以得到

(16)

式中

除此之外,a=min{K1,K2,K3},b=min{K4,K5,K6}。此時,選擇一個李雅普諾夫函數(shù)

可得

(17)

借助引理3和引理4,可以得到|xj+1,c-αj|≤?j1,于是有

(18)

注本文研究了有限時間命令濾波輸出反饋跟蹤控制問題,與文獻[20,21]相比,將結果擴展到了隨機非線性系統(tǒng)中。通過設計一個新的補償項,克服了文獻[10]中提出動態(tài)面控制方法的缺點,補償了由一階濾波器引起的誤差。

6 仿真例子

作為設計方法的應用,考慮如下數(shù)值示例

(19)

構造虛擬控制輸入和實際控制器

(20)

選擇適當?shù)淖赃m應律

(21)

選擇如下的設計參數(shù)的值

圖1 y和xd的軌跡

圖2 和的軌跡

圖3 x1和的軌跡

圖4 x2和的軌跡

7 結論

本文基于具有隨機擾動和未知狀態(tài)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題提出了一種模糊有限時間命令濾波反步控制策略,利用更為簡易的狀態(tài)觀測器去估計測量狀態(tài),利用FLS技術估計未知函數(shù)。該方法不僅解決了中間變量函數(shù)多次求導引起的計算量大的問題,而且保證了有限時間內所有參考信號依概率有界。仿真結果表明了該控制方法的有效性。此外,該方法在輸出函數(shù)未知的高階隨機非線性系統(tǒng)中是否具有可行性將是一個非常實際的課題。