劉昊邦, 史憲銘, 郝冰, 姜永超

(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003)

0 引言

彈藥命中概率試驗(yàn)通常包含多個(gè)批次,并在每批次試驗(yàn)結(jié)束后對(duì)彈藥物理性能進(jìn)行改進(jìn),彈藥命中概率隨批次逐漸提高[1]。各批次試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從總體不同,因此考慮多批次試驗(yàn)命中概率估計(jì)問(wèn)題尤為必要。

現(xiàn)有彈藥命中概率研究主要考慮單批次試驗(yàn),即只利用一個(gè)批次彈藥射擊試驗(yàn)數(shù)據(jù),試驗(yàn)數(shù)據(jù)服從同一總體。單批次彈藥命中概率估計(jì)方法主要包括蒙特卡洛模擬法、射彈散布分析法、二項(xiàng)分布成敗型數(shù)據(jù)法等。Trzun等[2]基于蒙特卡洛方法分析單發(fā)火箭彈射擊誤差情況,計(jì)算出了火箭彈命中概率。Corriveau等[3]研究了不同射擊位置和不同射擊場(chǎng)景對(duì)武器命中概率的影響。Khaikov[4]考慮目標(biāo)類型和瞄準(zhǔn)點(diǎn)因素,研究了彈藥命中概率隨水平距離的變化情況。王保華等[5]根據(jù)高炮預(yù)制破片彈對(duì)空中目標(biāo)的毀傷機(jī)理建立毀傷能力模型,對(duì)火箭防空武器的命中概率進(jìn)行了計(jì)算。Seo等[6]對(duì)精確制導(dǎo)導(dǎo)彈命中概率和置信水平估計(jì)進(jìn)行了研究。Kang等[7]對(duì)防空火炮命中概率進(jìn)行了預(yù)測(cè)。上述研究未能考慮彈藥多批次試驗(yàn)特點(diǎn),無(wú)法科學(xué)、合理地利用各批次試驗(yàn)信息,且這些研究仍以命中與否的成敗型數(shù)據(jù)為研究基礎(chǔ),結(jié)果較為粗泛、適應(yīng)性差。

充分利用各批次試驗(yàn)信息,是解決彈藥多批次試驗(yàn)命中概率估計(jì)問(wèn)題的關(guān)鍵。貝葉斯方法在信息融合領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛,考慮運(yùn)用貝葉斯方法對(duì)各批次試驗(yàn)信息進(jìn)行融合。Li等[8]基于貝葉斯方法融合專家信息和仿真信息,對(duì)彈藥消耗進(jìn)行了預(yù)計(jì)。Guo等[9]利用貝葉斯信息融合方法對(duì)退化數(shù)據(jù)產(chǎn)品的可靠性進(jìn)行了分析。Papananias等[10]基于機(jī)器學(xué)習(xí)貝葉斯信息融合方法進(jìn)行了終端產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)估。上述研究為貝葉斯方法信息融合提供了借鑒。在融合過(guò)程中注意到,距離最終批次試驗(yàn)越近的信息更能發(fā)揮主導(dǎo)作用,因此需要對(duì)不同批次信息的融合權(quán)重進(jìn)行確定。體系貢獻(xiàn)度常用于衡量武器裝備對(duì)作戰(zhàn)體系作戰(zhàn)能力的貢獻(xiàn)程度[11],通過(guò)引入體系貢獻(xiàn)度可以計(jì)算不同批次信息權(quán)重。

此外,僅利用成敗型數(shù)據(jù)的二項(xiàng)分布法,在樣本數(shù)量較少時(shí)難以對(duì)彈藥命中概率進(jìn)行估計(jì)。考慮彈藥落點(diǎn)分布的射彈散布分析法雖然利用信息更為全面,但僅適用于射彈散布有規(guī)律可尋的情況,對(duì)射彈散布規(guī)律不明顯的彈藥并不適用。為更細(xì)致地描述彈藥命中概率,從彈藥打擊目標(biāo)的實(shí)際出發(fā),彈藥打擊目標(biāo)會(huì)命中目標(biāo)不同區(qū)域,造成目標(biāo)毀傷效果不同,命中各區(qū)域都有一定概率發(fā)生。為了對(duì)二項(xiàng)分布法進(jìn)行改進(jìn),可以改用多項(xiàng)分布描述彈藥命中概率試驗(yàn)。

綜合以上分析,本文采用貝葉斯方法融合各批次試驗(yàn)信息,并利用體系貢獻(xiàn)度確定信息融合權(quán)重。同時(shí)對(duì)原有基于成敗型數(shù)據(jù)的二項(xiàng)分布法進(jìn)行改進(jìn),改用多項(xiàng)分布進(jìn)行試驗(yàn)描述。最終提出基于多項(xiàng)分布的彈藥多批次試驗(yàn)命中概率估計(jì)方法。

1 多項(xiàng)分布彈藥命中概率試驗(yàn)

現(xiàn)有彈藥命中概率試驗(yàn)主要從命中成敗的二項(xiàng)分布角度進(jìn)行分析。即假設(shè)命中概率為P,共發(fā)射n發(fā)彈藥,命中概率試驗(yàn)[12]可表示為

(1)

式中:x為命中目標(biāo)的彈藥數(shù)。

二項(xiàng)分布貝葉斯方法通常選擇彈藥命中概率參數(shù)P的共軛分布Beta分布作為先驗(yàn)分布:

(2)

式中:先驗(yàn)分布包含參數(shù)P的先驗(yàn)信息;a、b為先驗(yàn)分布中的超參數(shù)。

二項(xiàng)分布適用于兩級(jí)毀傷目標(biāo)情況,即彈藥命中目標(biāo)可使目標(biāo)功能完全喪失。對(duì)于多級(jí)毀傷目標(biāo),彈藥在試驗(yàn)中命中目標(biāo)不同區(qū)域造成的毀傷程度不同。此時(shí)按照彈藥打擊造成的毀傷程度,可將目標(biāo)區(qū)域劃分為無(wú)毀傷區(qū)域、輕度毀傷區(qū)域、中度毀傷區(qū)域、重度毀傷區(qū)域[13]。彈藥命中無(wú)毀傷區(qū)域未能造成目標(biāo)損傷,命中重度毀傷區(qū)域能夠完全摧毀目標(biāo)。彈藥命中概率試驗(yàn)會(huì)產(chǎn)生4種命中結(jié)果,分別為命中無(wú)毀傷區(qū)域、輕度毀傷區(qū)域、中度毀傷區(qū)域、重度毀傷區(qū)域。每種結(jié)果都有一定概率發(fā)生,記為Pi,i=1,2,3,4。在n發(fā)彈藥試驗(yàn)中,采用多項(xiàng)分布描述彈藥命中概率試驗(yàn)[14]可表示為

(3)

貝葉斯先驗(yàn)分布選擇方法包括無(wú)信息先驗(yàn)分布法、最大熵法、共軛先驗(yàn)分布法等。無(wú)信息先驗(yàn)分布法適用于先驗(yàn)信息不夠充分的情況[15],而本文擁有各批次試驗(yàn)信息。最大熵法計(jì)算過(guò)程復(fù)雜,不易求解[16]。因此選擇共軛先驗(yàn)分布法確定先驗(yàn)分布。查閱貝葉斯相關(guān)文獻(xiàn)可知多項(xiàng)分布的共軛分布為Dirichlet分布[17],可表示為

(4)

式中:αi為先驗(yàn)分布中的超參數(shù);Γ(αi)為Gamma函數(shù)。

采用多項(xiàng)分布描述命中概率試驗(yàn),能夠獲取彈藥命中目標(biāo)不同毀傷區(qū)域的概率。相比僅利用命中成敗數(shù)據(jù)的二項(xiàng)分布方法,采用多項(xiàng)分布描述彈藥命中概率試驗(yàn)更為合理。

2 基于體系貢獻(xiàn)度的多批次試驗(yàn)信息融合

多批次彈藥命中概率試驗(yàn)包含多個(gè)批次試驗(yàn)信息。距離最終批次試驗(yàn)越近的信息價(jià)值越高,對(duì)彈藥命中概率估計(jì)貢獻(xiàn)程度越大。因此在信息融合過(guò)程中亟需確定各批次試驗(yàn)信息的貢獻(xiàn)程度。

2.1 多批次命中概率試驗(yàn)信息融合過(guò)程

多批次命中概率試驗(yàn)信息來(lái)源主要包括射擊試驗(yàn)信息、前一批次彈藥命中概率信息、仿真實(shí)驗(yàn)信息[18]。信息融合過(guò)程如圖1所示。

距離最終批次越近的信息更能在彈藥命中概率估計(jì)中占據(jù)主導(dǎo)地位,因此需要衡量不同信息在最終批次彈藥命中概率估計(jì)中的貢獻(xiàn)程度。

2.2 基于體系貢獻(xiàn)度的融合權(quán)重計(jì)算

(5)

在采用直覺(jué)模糊隸屬函數(shù)法確定彈藥命中概率信息隸屬度過(guò)程中,注意到專家看待彈藥命中概率信息來(lái)源是否可靠時(shí)會(huì)猶豫,引入直覺(jué)指標(biāo)表示專家猶豫程度[22],表達(dá)式為

(6)

確定先驗(yàn)信息權(quán)重中采用猶豫程度的一半進(jìn)行修正,可以求出信息δl的隸屬度表達(dá)式如下:

(7)

進(jìn)行歸一化處理,可以得到信息δl的融合權(quán)重:

(8)

(9)

3 彈藥多批次試驗(yàn)命中概率貝葉斯推斷

與單批次試驗(yàn)研究不同,多批次試驗(yàn)需要考慮每一批次信息,從初始批次開始對(duì)各批次試驗(yàn)命中概率進(jìn)行分析。

3.1 初始批次命中概率貝葉斯推斷

初始批次彈藥命中概率估計(jì)只包含初始批次射擊試驗(yàn)信息L(x(1)|P(1))和仿真實(shí)驗(yàn)信息π(P(1)|α(1))。利用貝葉斯方法將上述信息進(jìn)行融合可以求出初始批次彈藥命中概率分布:

(10)

(11)

(12)

初始批次結(jié)果可作為第2批次先驗(yàn)信息進(jìn)行使用。

3.2 第2批次命中概率貝葉斯推斷

經(jīng)過(guò)初始批次試驗(yàn)之后對(duì)彈藥物理性能進(jìn)行改進(jìn),并進(jìn)行第2批次試驗(yàn)。第2批次試驗(yàn)在估計(jì)彈藥命中概率時(shí)需要將初始批次試驗(yàn)信息考慮進(jìn)去。因此第2批次試驗(yàn)包含信息有第2批次射擊試驗(yàn)信息L(x(2)|P(2))、第2批次仿真實(shí)驗(yàn)信息π(P(2)|α(2))、初始批次彈藥命中概率信息π(P(1)|x(1))。相比初始批次試驗(yàn),第2批次試驗(yàn)信息增加了初始批次試驗(yàn)信息。依據(jù)第2節(jié)提出的體系貢獻(xiàn)度確定信息融合權(quán)重,并利用貝葉斯方法求得第2批次彈藥命中概率分布:

(13)

3.3 第i批次命中概率貝葉斯推斷

同理,第i批次試驗(yàn)包含信息有第i批次射擊試驗(yàn)信息L(x(i)|P(i))、第i-1批次彈藥命中概率信息π(P(i-1)|x(i-1))、第i批次仿真實(shí)驗(yàn)信息π(P(i)|α(i))。 其中π(P(i-)|x(i-1))包含從初始批次至第i-1批次命中概率所有信息。第i批次彈藥命中概率用貝葉斯公式表示為

(14)

(15)

上述順序約束關(guān)系分別表示第i批次彈藥命中輕度及以上毀傷區(qū)域、中度及以上毀傷區(qū)域、重度毀傷區(qū)域的概率大于第i-1批次,表明對(duì)彈藥命中性能進(jìn)行了改進(jìn)。

4 馬爾可夫鏈-蒙特卡洛方法多批次試驗(yàn)命中概率求解

3) 繼續(xù)進(jìn)行迭代轉(zhuǎn)移,產(chǎn)生新的命中概率參數(shù)點(diǎn)序列[P(i)](k+1),[P(i)](k+2),…,[P(i)](m)。

4) 去除掉馬爾可夫鏈?zhǔn)諗繝顟B(tài)之前的k個(gè)點(diǎn)序列,選用新的點(diǎn)序列作為命中概率參數(shù)P(i)的抽樣值,可以求出命中概率參數(shù)P(i)的后驗(yàn)期望:

(16)

由于命中概率參數(shù)P(i)維數(shù)較高,不易直接抽取樣本,此時(shí)需要借助Gibbs抽樣方法將高維樣本轉(zhuǎn)化為每次只抽取一個(gè)參數(shù)的一維抽樣問(wèn)題,從而便于抽樣實(shí)現(xiàn)。

基于Gibbs抽樣方法步驟[24]如下:

1) 確定命中概率參數(shù)后驗(yàn)分布的一元條件分布,從一元條件分布中抽樣比直接從多元后驗(yàn)分布中抽樣容易很多。依據(jù)命中概率參數(shù)后驗(yàn)分布公式可以求出后驗(yàn)一元條件分布:

(17)

3) 選擇馬爾可夫鏈平穩(wěn)狀態(tài)時(shí)段的點(diǎn)序列均值作為彈藥命中概率參數(shù)貝葉斯估計(jì)值:

(18)

根據(jù)抽樣結(jié)果若發(fā)現(xiàn)不滿足約束關(guān)系,即出現(xiàn)第i批次彈藥命中概率小于第i-1批次情況,表明該批次試驗(yàn)之前對(duì)彈藥命中性能改進(jìn)不理想,需要進(jìn)一步對(duì)彈藥命中性能進(jìn)行研究。

5 示例分析

為測(cè)算某型號(hào)彈藥命中概率,共進(jìn)行3個(gè)批次射擊試驗(yàn),每批次發(fā)射10發(fā)彈藥。每次射擊試驗(yàn)之后對(duì)彈藥命中性能進(jìn)行改進(jìn),彈藥命中概率認(rèn)定逐步提升。獲取這3個(gè)批次射擊試驗(yàn)信息以及仿真實(shí)驗(yàn)信息,結(jié)果如表1所示。

表1 多批次試驗(yàn)彈藥命中概率信息Table 1 Ammunition hit probabilities in multiple-batch tests

按照體系貢獻(xiàn)度打分規(guī)則,邀請(qǐng)6位同領(lǐng)域?qū)＜覍?duì)第i-1批次彈藥命中概率信息δ1和第i批次仿真實(shí)驗(yàn)信息δ2的隸屬度進(jìn)行打分。打分結(jié)果如表2所示。

表2 先驗(yàn)信息專家隸屬度打分Table 2 Prior information membership score in expert interview

生成各批次彈藥命中概率參數(shù)概率密度函數(shù)圖,如圖5所示。對(duì)各批次參數(shù)馬爾可夫鏈結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表3所示。

表3中貝葉斯統(tǒng)計(jì)結(jié)果給出各批次試驗(yàn)命中概率參數(shù)的均值和方差。以第3批次試驗(yàn)作為最終批次,可以得到最終批次彈藥命中無(wú)毀傷區(qū)域概率的均值為0.124、方差為0.084 7;輕度毀傷區(qū)域概率的均值為0.251、方差為0.199 3;中度毀傷區(qū)域概率的均值為0.343、方差為0.244 3;重度毀傷區(qū)域概率的均值為0.282、方差為0.212 3。從結(jié)果中可以看出,本文方法能夠得出彈藥命中目標(biāo)不同毀傷區(qū)域的概率分布情況,相比依據(jù)命中與否的二項(xiàng)分布方法,所得概率更為全面。同時(shí)發(fā)現(xiàn)各批次結(jié)果滿足順序約束關(guān)系,表明每批次試驗(yàn)之后對(duì)彈藥命中性能進(jìn)行了有效改進(jìn)。

圖3 第2批次命中概率參數(shù)迭代跡圖Fig.3 Iteration trace graph of the second-batch hit probability parameters

圖4 第3批次命中概率參數(shù)迭代跡圖Fig.4 Iteration trace graph of the third-batch hit probability parameters

圖5 各批次彈藥命中概率參數(shù)概率密度函數(shù)圖Fig.5 Probability density function diagram of ammunition hit probability parameters of each batch

6 結(jié)論

本文對(duì)基于多項(xiàng)分布的彈藥多批次試驗(yàn)命中概率估計(jì)進(jìn)行了研究,在現(xiàn)有二項(xiàng)分布、單批次試驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上,從實(shí)際試驗(yàn)過(guò)程出發(fā)對(duì)多項(xiàng)分布、多批次試驗(yàn)彈藥命中概率進(jìn)行估計(jì)。得到如下主要結(jié)論:

表3 各批次彈藥命中概率參數(shù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析Table 3 Bayesian statistical analysis of ammunition hit probability parameters for each batch

1) 考慮彈藥命中概率試驗(yàn)通常分多個(gè)批次進(jìn)行的實(shí)際情況,在進(jìn)行多批次命中概率估計(jì)時(shí),通過(guò)體系貢獻(xiàn)度確定各批次試驗(yàn)信息的融合權(quán)重。

2) 采用貝葉斯方法對(duì)各批次射擊試驗(yàn)信息與仿真實(shí)驗(yàn)信息進(jìn)行融合,從而實(shí)現(xiàn)融合各批次試驗(yàn)信息的目的。

3) 考慮彈藥命中目標(biāo)不同毀傷區(qū)域的實(shí)際情況,以彈藥命中目標(biāo)不同毀傷區(qū)域的概率作為彈藥命中性能指標(biāo),采用多項(xiàng)分布描述命中概率試驗(yàn),能夠細(xì)致描述彈藥命中性能,為彈藥命中概率估計(jì)提供借鑒。