石惠文

（唐山工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，河北唐山 063299）

單擺是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的物理模型，但由于其非線性特性，常被用來(lái)作為高校師生研究非線性控制的典型案例，與之類(lèi)似的系統(tǒng)還有欠驅(qū)動(dòng)倒立擺和Pendubot 機(jī)器人等[1-3]。對(duì)于此類(lèi)非線性系統(tǒng)，常用的控制方法是將驅(qū)動(dòng)直接作用在被控對(duì)象上。另外，還有一種利用角動(dòng)量守恒定律進(jìn)行姿態(tài)控制的方法，動(dòng)量飛輪平衡控制就是其中之一。劉江昊等[4]設(shè)計(jì)了一種動(dòng)量輪平衡的位姿控制器，使用PID 控制算法，能夠保證整機(jī)在受到一定程度的干擾時(shí)保持較好的魯棒性；孟劍新等[5]針對(duì)無(wú)人駕駛自行車(chē)自平衡問(wèn)題提出了一種通過(guò)角動(dòng)量守恒定律設(shè)計(jì)的動(dòng)量輪來(lái)使無(wú)人駕駛自行車(chē)能夠長(zhǎng)久地保持靜態(tài)平衡。

本文主要研究擺桿的平衡及起擺控制，但不直接驅(qū)動(dòng)擺桿，而是使用LQR 控制器驅(qū)動(dòng)裝配在擺桿末端的動(dòng)量輪轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)其姿態(tài)的調(diào)整，為驗(yàn)證控制策略的有效性進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。

1 動(dòng)力學(xué)模型

在擺桿末端裝配一個(gè)由電機(jī)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)量輪，則帶動(dòng)量輪的單擺如圖1 所示，其由擺桿和動(dòng)量輪2 部分組成，有2 個(gè)自由度。在固定鉸鏈處無(wú)驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力矩只施加在單擺與動(dòng)量輪的活動(dòng)鉸鏈處，故這是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 單擺系統(tǒng)參數(shù)

圖1 單擺系統(tǒng)示意圖

應(yīng)用拉格朗日法推導(dǎo)出帶動(dòng)量輪的單擺系統(tǒng)的動(dòng)力方程

根據(jù)牛頓第三定律，有

式中：u為輸入控制力矩。

將式（1）和式（2）聯(lián)立，得到關(guān)于擺桿和動(dòng)量輪角速度的非線性狀態(tài)空間方程

在豎直向上的平衡點(diǎn)處對(duì)其線性化處理。夾角θ很小時(shí)，認(rèn)為sinθ≈θ。取擺桿的角位移、角速度和動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)角、角速度4 個(gè)變量組成狀態(tài)向量x=，得到近似的線性狀態(tài)方程

2 基于LQR 的平衡控制

2.1 LQR 控制原理

擺桿的平衡控制采用線性二次型調(diào)節(jié)器（LQR），其屬于最優(yōu)控制策略中常用的一種控制方法，具有很好的魯棒性，控制思路是求解二次型優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為被控對(duì)象狀態(tài)x和控制輸入u的二次型函數(shù)

式中：因控制目標(biāo)就是豎直向上平衡位置，x 也代表誤差向量；Q 為狀態(tài)向量懲罰系數(shù)矩陣；R為輸入懲罰系數(shù)。

LQR 最優(yōu)控制就是要實(shí)現(xiàn)計(jì)算出的狀態(tài)反饋矩陣K 使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值，而K由權(quán)矩陣Q 與R唯一決定。使用MATLAB 自帶的函數(shù)K=lqr（A，B，Q，R）可以直接求解出反饋矩陣K?？刂七^(guò)程依據(jù)公式u=-Kx 實(shí)時(shí)計(jì)算控制量，構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制[6]。

2.2 平衡控制MATLAB 仿真

研究擺桿在豎直向上平衡位置附近（±10°范圍）的平衡控制，此時(shí)系統(tǒng)可近似為線性系統(tǒng)。設(shè)定擺桿的初始角度，動(dòng)量輪初始轉(zhuǎn)角為0，且整個(gè)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，即初始狀態(tài)向量為控制目標(biāo)為將擺桿豎起來(lái)，不關(guān)心動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)角，故將動(dòng)量輪轉(zhuǎn)角的懲罰系數(shù)設(shè)定足夠小，取0.001，其余狀態(tài)變量的懲罰系數(shù)均設(shè)定為1；考慮到電機(jī)提供驅(qū)動(dòng)力矩的限制，驅(qū)動(dòng)力矩的懲罰系數(shù)設(shè)置大一些，以減少優(yōu)化計(jì)算出的驅(qū)動(dòng)力矩，即使用MATLAB 的lqr 函數(shù)計(jì)算得到反饋矩陣K ＝（-3.192 -0.417 5 -3.162×10-4-4.522×10-3）。

在MATLAB 中，編寫(xiě)運(yùn)行仿真腳本程序，得到擺桿角位移和動(dòng)量輪轉(zhuǎn)角的變化情況如圖2 所示?？梢钥闯觯?.53 s 擺桿就進(jìn)入5%誤差帶，進(jìn)入了平衡狀態(tài)，最大超調(diào)量?jī)H為6.37%。動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)角很大，因?yàn)槠洳皇强刂颇繕?biāo)，為了實(shí)現(xiàn)擺桿的平衡，需要驅(qū)動(dòng)動(dòng)量輪快速轉(zhuǎn)動(dòng)，故優(yōu)化計(jì)算條件中將其懲罰系數(shù)設(shè)置得極小。通過(guò)LQR 控制動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)擺桿的快速平衡。

圖2 擺桿初始小轉(zhuǎn)角時(shí)擺桿角位移和動(dòng)量輪轉(zhuǎn)角

3 起擺控制虛擬樣機(jī)仿真

ADAMS 是一種多體動(dòng)力學(xué)仿真分析軟件，適用于機(jī)械設(shè)計(jì)、動(dòng)態(tài)分析和運(yùn)動(dòng)控制等領(lǐng)域，可以方便地對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)及動(dòng)態(tài)響應(yīng)等多種分析，實(shí)現(xiàn)多種計(jì)算機(jī)輔助工程的設(shè)計(jì)過(guò)程，從而提高產(chǎn)品的質(zhì)量和效率。ADAMS 可與MATLAB 聯(lián)合使用，實(shí)現(xiàn)虛擬樣機(jī)仿真。在ADAMS 中建立多體系統(tǒng)并輸出描述系統(tǒng)方程的有關(guān)參數(shù)，再在MATLAB 中讀入ADAMS 輸出的信息并建立其控制方案，在計(jì)算過(guò)程中兩者進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，由ADAMS 的求解器求解系統(tǒng)方程，由MATLAB 求解控制方程，共同完成整個(gè)控制過(guò)程的計(jì)算[7]。

在SolidWorks 建立動(dòng)量輪驅(qū)動(dòng)的單擺系統(tǒng)實(shí)體裝配模型，以Parasolid 格式導(dǎo)入到ADAMS 中，添加運(yùn)動(dòng)副，設(shè)置摩擦阻力矩，得到單擺系統(tǒng)的虛擬樣機(jī)如圖3所示。

圖3 單擺系統(tǒng)的ADAMS 虛擬樣機(jī)

在虛擬樣機(jī)中，設(shè)置擺桿的角位移、角速度和動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)角，角速度為輸出量，將動(dòng)量輪的驅(qū)動(dòng)力矩設(shè)置為輸入量，將被控系統(tǒng)導(dǎo)出為MATLAB/Simulink 的功能塊，在Simulink 中聯(lián)接LQR 反饋控制器[8]，搭建聯(lián)合仿真模型如圖4 所示。

圖4 聯(lián)合仿真框圖

擺桿從豎直向下的初始位置上擺至豎直向上的不穩(wěn)定平衡位置，系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量狀態(tài)向量懲罰矩陣Q 保持不變，考慮到實(shí)際控制電機(jī)的驅(qū)動(dòng)力矩的限制，優(yōu)化計(jì)算中增大輸入量的懲罰系數(shù)，設(shè)定R=1.0×106，計(jì)算得到反饋向量K=（-0.437 2-0.056 74 -3.162×10-5-5.495 057×10-4）。將兩軟件的數(shù)據(jù)交換周期設(shè)置為0.005 s，運(yùn)行3 s 仿真，擺桿的角位移變化如圖5 所示，動(dòng)量輪的驅(qū)動(dòng)力矩變化如圖6所示。

圖5 擺桿起擺過(guò)程中角位移

圖6 擺桿起擺過(guò)程中動(dòng)量輪的驅(qū)動(dòng)力矩

分析仿真結(jié)果，經(jīng)過(guò)1.06 s 的調(diào)節(jié)時(shí)間，擺桿進(jìn)入平衡狀態(tài)，最大超調(diào)量為23.02%。超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間都比平衡控制時(shí)略長(zhǎng)，原因有二：一是初始偏差較大，控制難度相對(duì)于±10°內(nèi)的控制大幅度增加；二是虛擬樣機(jī)聯(lián)合仿真的模型是非線性的，而使用的LQR 控制器仍然是線性的，這也說(shuō)明LQR 對(duì)非線性模型也能夠起到較好控制效果。仿真實(shí)驗(yàn)表明，使用LQR 控制策略可以通過(guò)控制動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)擺桿的起擺以及平衡控制，使用動(dòng)量輪進(jìn)行姿態(tài)控制方法也為其他非線性系統(tǒng)的控制提供了一個(gè)新的控制途徑。

4 結(jié)論

本文以單擺系統(tǒng)為研究對(duì)象，在擺桿末端裝配一個(gè)動(dòng)量輪，利用角動(dòng)量守恒通過(guò)控制動(dòng)量輪的轉(zhuǎn)動(dòng)間接實(shí)現(xiàn)擺桿的平衡及起擺控制。采用MATLAB 軟件編寫(xiě)LQR 控制程序，仿真控制實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：LQR 控制器控制動(dòng)量輪轉(zhuǎn)動(dòng)能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定在豎直向上的平衡位置。采用MATLAB/Simulink 和ADAMS 聯(lián)合虛擬樣機(jī)仿真，LQR 控制器也能使擺桿完成起擺，進(jìn)一步驗(yàn)證了有效性。2 個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)綜合說(shuō)明增加動(dòng)量輪并使用LQR 驅(qū)動(dòng)動(dòng)量輪轉(zhuǎn)動(dòng)可以較好地完成單擺系統(tǒng)的控制，這為其他非線性系統(tǒng)的姿態(tài)控制提供了一種新途徑。