張志勇　張加紅

摘要： 正態(tài)分布有著廣泛的實用性和優(yōu)美的數(shù)學特性，但高中生知識和生活經(jīng)驗不足，學習存在一定的“難”和“困”。梳理正態(tài)分布的前世今生，思考分布的特質疑難，探索利用GeoGebra的可視化優(yōu)勢設計探究性活動，旨在讓學生在親身操作中發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的奧妙，在直觀形象中實現(xiàn)從離散型隨機變量到連續(xù)性隨機變量的跨越，在數(shù)與形的關聯(lián)比較中認識參數(shù)的涵義價值。探討“可”與“能”、評析“變”與“進”，關鍵在于利用可視化看見不可見，借助問題引領提升核心素養(yǎng)。

關鍵詞：正態(tài)分布；數(shù)學探究；GeoGebra；概率密度

大數(shù)據(jù)時代，概率與統(tǒng)計已經(jīng)廣泛應用于社會生活的各個方面，法國數(shù)學家拉普拉斯說：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題。”如何在大數(shù)定理、抽樣分析、中心極限定理等知識內容缺失的情形下，幫助學生形成數(shù)據(jù)意識、提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)？如何優(yōu)化基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實的方法路徑？如何運用數(shù)學方法收集數(shù)據(jù)、提取信息，進而構建模型、推斷結論？……筆者以“正態(tài)分布”為例，探討如何在GeoGebra軟件的支持下，構建可視化學習環(huán)境，幫助學生在探究活動中認識正態(tài)分布的模型本質。

一、在內容解析中認識“難”與“困”

顧名思義，正態(tài)分布指“正常狀態(tài)或自然狀態(tài)”下的分布，現(xiàn)實世界中很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布。同時，蘊涵客觀事實和客觀規(guī)律的正態(tài)曲線有著諸多優(yōu)良特性，如流暢對稱的優(yōu)美線條，反映分布“常態(tài)”的“ 3σ原則”等。

（一）正態(tài)分布的前世今生

早在1734年，法國數(shù)學家棣莫弗在研究二項概率的近似計算時，用定積分代替求和，得到，首次揭開正態(tài)密度函數(shù)的神秘面紗，但沒有用于刻畫隨機現(xiàn)象的概率分布。

1809年，德國數(shù)學家高斯《天體運動理論》一書出版。該書涉及隨機誤差分布的確定，所使用的數(shù)據(jù)分析方法，正是以正態(tài)誤差分布為基礎的最小二乘法（1801年計算“谷神星”軌道的方法）。高斯回應了當時天文學中處理數(shù)據(jù)觀測誤差的棘手問題^[1]：

設真值為θ，n個獨立測量值為X₁，X₂，…，X_n測量值的聯(lián)合概率

L（θ）=L（θ;X₁，X₂，…，X_n）=f （X₁-θ） f （X₂-θ）… f （X_n-θ），其中f為待定的誤差密度函數(shù)。

高斯直接取使L（θ）達到最大值的=（X₁，X₂，…，X_n），作為θ的估計（估計值稱為極大似然估計），這是極大似然思想的首次亮相。高斯采用了逆向思考問題的方法，先承認算術平均 是應取的估計，再找到誤差密度函數(shù)f，使得誤差分布導出的極大似然估計正好等于算術平均值 ；經(jīng)證明，所有函數(shù)中唯一滿足條件的就是f （x）=[即為正態(tài)分布N（0，h²）]。高斯提出了極大似然估計的思想，同時又解決了誤差的概率密度分布問題，因此正態(tài)分布也稱“高斯分布”。

（二）正態(tài)分布的特質挖掘

如果連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f （x）=，x∈R（其中μ∈R，σ＞0為常數(shù)），則稱X服從正態(tài)分布（normal distribution），記為X～N （μ，σ²）。特別地，當μ=0，σ=1時，稱X服從標準正態(tài)分布。其中f （x）稱為正態(tài)密度函數(shù)，f （x）的圖象即為正態(tài)密度曲線，F(xiàn)（x）=P （X≤x）=f （t）dt為X的分布函數(shù)。

由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)密度曲線是“中間高兩邊低”的鐘形曲線（如圖1），具有以下特征。（1）對稱性：曲線關于直線x=μ對稱；當x＜μ時曲線上升，當x＞μ時曲線下降。（2）單峰性：曲線在x=μ處達到峰值；當丨x丨無限增大時，曲線無限接近x軸。（3）等積性：曲線下方和x軸上方范圍內的區(qū)域面積為1，即P（-∞＜X＜+∞）=1。（4）扁尖性：σ越大，曲線越扁平；σ越小，曲線越尖陡。（5）3σ原則：隨機變量X的取值落在區(qū)間（ μ-σ，μ+σ）內的概率約為68.27%，落在區(qū)間 （μ-2σ， μ+2σ）內的概率約為95.45%，落在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內的概率約為99.73%；也就是說X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]，在此區(qū)間以外取值的概率大約只有 0.0027。

（三）正態(tài)分布的疑難聚焦

我們知道，正態(tài)密度函數(shù)f （x）=中有兩個參數(shù)：均值μ稱為位置參數(shù)，決定分布的中心位置；標準差σ稱為形狀參數(shù)，σ的變化影響曲線的形狀（高度和寬度）、決定曲線峰值高低。正態(tài)密度函數(shù)解析式結構復雜，學生只能知其然很難知其所以然。缺乏體驗的生搬硬套，難以洞悉參數(shù)σ影響曲線形狀的變化規(guī)律，對于“3σ原則”“當X～N （μ，σ²）時，Z=服從標準正態(tài)分布N （0，1） ”，只能“紙上談兵”，落入無法言傳的尷尬境地。

對于正態(tài)分布的處理，教材多是從分析測量誤差數(shù)據(jù)引入，強調“隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，分組越來越多、組距越來越小，頻率直方圖的輪廓越來越穩(wěn)定，趨近一條光滑的鐘形曲線”^[2]。然而，頻率直方圖不斷加密（數(shù)據(jù)量越來越大）揭示正態(tài)密度函數(shù)需要經(jīng)歷3次質的飛躍：從直方圖到概率密度曲線的極限理解，再從概率密度曲線過渡到具有兩個參數(shù)的正態(tài)分布密度函數(shù)，最后根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)確定函數(shù)的兩個參數(shù)恰好是數(shù)學期望和方差^[3]。從歷史視角看，正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，源于棣莫弗的二項概率逼近工作，成于高斯的測量誤差理論。從離散型隨機變量過渡到連續(xù)型隨機變量的探究，教師不僅要讓學生“看到”正態(tài)分布的出處，感悟頻率直方圖逼近正態(tài)曲線、二項分布趨近正態(tài)分布的極限理解，而且要幫助學生直觀“發(fā)現(xiàn)”正態(tài)分布的特性，如從二項分布的數(shù)學期望到正態(tài)曲線的對稱性，從頻率分布直方圖的小矩形面積為頻率到正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1，等等。所有這些都離不開可視化技術的賦能創(chuàng)新。

二、在技術挖掘中探討“可”與“能”

作為一款服務教與學的動態(tài)數(shù)學軟件，GeoGebra實現(xiàn)了“形”（幾何Geometry）與“數(shù)”（代數(shù)Algebra）的深度融合：指令輸入和工具構造使動態(tài)演示過程更加逼真生動；代數(shù)運算系統(tǒng)（CAS）的無縫嵌入為數(shù)學探究提供完美支持。

對于正態(tài)分布，學生可以使用GeoGebra的“概率計算器”視區(qū)直接操作探究（如圖2）：打開“概率計算器”視區(qū)，繪制單個正態(tài)分布曲線，改變分布參數(shù)輸入值，探究曲線的形態(tài)變化，思考參數(shù)對曲線的影響和關聯(lián)；輸入或拖動滑動條改變區(qū)間范圍，借助給定區(qū)間范圍的計算值的即時呈現(xiàn)理解概率的涵義；或者切換“累積”選項，借助P（X≤x）的度量值的變化感知分布函數(shù)與密度函數(shù)的差異。探究復雜一點的構造則需要在繪圖區(qū)里展開：選中“概率計算器”視區(qū)，在右鍵菜單中點擊“復制到繪圖區(qū)”命令，導出分布圖形到繪圖區(qū)；或者輸入指令“正態(tài)分布（<平均數(shù)>， <標準差>， <變量值>， <是否累積？ true|false> ） ”，直接繪制正態(tài)分布曲線。繪圖區(qū)中同時呈現(xiàn)二次分布直方圖和正態(tài)曲線，改變“試驗次數(shù)”和“頻率值”動態(tài)展示從二項分布到正態(tài)分布的動態(tài)逼近，不僅可以進行不同概率分布間的縱向比較，而且可以繪制多條正態(tài)曲線，在橫向比較中認識位置參數(shù)μ，分析形狀參數(shù)σ對正態(tài)曲線的影響。

應用GeoGebra構建正態(tài)分布的可視化學習情境，可以突破因知識基礎不足帶來的學習之“難”和生活體驗缺失導致的探究之“困”，為學生探究正態(tài)分布提供無限“可”與“能”：提供豐富的概率分布實例，在操作實踐中感悟趨勢逼近，在動態(tài)變換中發(fā)現(xiàn)分布特性，在直觀想象中抽象概率模型……

三、在活動探究中提升“學”與“養(yǎng)”

數(shù)學探究活動是“圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程”^[4]。學生在GeoGebra支持下開展探究活動，經(jīng)歷正態(tài)分布的模型建構過程：在直觀想象、數(shù)學抽象中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，在邏輯推理、數(shù)學運算中學會有邏輯地表達和交流，在發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程中養(yǎng)成質疑、反思的習慣，在數(shù)學探究，活動操作中發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（一）情境創(chuàng)設，模型初見

問題1：我們知道，二項分布基于n重伯努利試驗，即“隨著實驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在概率附近”。那么，隨著n的逐漸增大，頻率分布、二項分布會呈現(xiàn)怎樣的樣態(tài)呢？

探究實驗：在圖3所示的場景中，選中“概率計算器”視區(qū)，點選“二項分布”選項，修改“試驗次數(shù)”和“成功概率”的輸入值，觀察概率分布條形圖的變化，直觀感知二項分布的性質；在“繪圖區(qū)”中，拖動滑動條改變試驗次數(shù)，在連續(xù)動態(tài)變化中認識概率分布的趨勢逼近。在圖4所示的場景中，增大樣本量、細化分組，在頻率直方圖的動態(tài)演變中進一步感知正態(tài)分布的極限存在，從量變到質變，從直觀到抽象，如同棣莫弗當年一樣瞥見正態(tài)曲線。

設計意圖：正態(tài)分布的發(fā)現(xiàn)，源于棣莫弗的二項概率逼近工作，成于高斯的測量誤差理論。正態(tài)分布的情境引入有兩條路徑：從二項分布逼近導入，感悟二項分布逼近正態(tài)分布的極限理解；由測量誤差數(shù)據(jù)分析導入，“看見”光滑鐘形曲線的漸變趨近。雖然沒有微積分的推演論證，但在可視化技術的支持下，可以讓學生學會用數(shù)學眼光看問題并增強數(shù)據(jù)意識。相比較而言二項分布條形圖更規(guī)整，學生易于看出正態(tài)曲線的存在性；而誤差數(shù)據(jù)分析的結果更真實，對學生數(shù)學抽象能力要求更高。在探究中，教師要提醒學生關注分布圖、直方圖的特性，如對稱性、增減的趨勢等，這是探究正態(tài)分布特性的基礎和準備。

（二）特性思考，模型想象

問題2：在前面的探究中，我們已經(jīng)“看”到了正態(tài)曲線，結合二項分布圖和誤差數(shù)據(jù)直方圖，會發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些性質？進一步，能用一個函數(shù)模型來擬合正態(tài)曲線嗎？

思想實驗：學生以小組為單位，結合圖3、圖4的探究場景，討論正態(tài)曲線的可能性質；并嘗試擬合相應的函數(shù)解析式，以滿足所得到的曲線性質。

設計意圖：在圖象的示意啟發(fā)下，正態(tài)曲線的多數(shù)性質，如對稱性、單峰性、扁尖性等，“顯”而易“見”。教師引導學生重走高斯當年路，結合性質想象解析式，在反向思考中嘗試有限度的數(shù)學再創(chuàng)造。在圖象的支持下按圖索驥有一定的可行性，如由對稱性想到丨x丨、x²，由單調性想到、，由最大值想到e^-丨x丨，e^-x2，…，再由均值μ反映數(shù)據(jù)集中水平，標準差σ決定數(shù)據(jù)離散程度，猜測解析式中μ、σ的可能位置。

僅憑數(shù)學探究得出完整的正態(tài)曲線的解析式當然不現(xiàn)實。事實上，嚴密的數(shù)學推導，如系數(shù)的得出，不僅需要完整的微積分知識儲備，而且需要深刻理解正態(tài)分布內涵。但學生對模型進行想象探究，有利于反向思考正態(tài)曲線的特性，同時也是為理解解析式做前置思考。在思想實驗告一段落后，教師給出正態(tài)密度函數(shù)的解析式、講解正態(tài)分布的定義并適當介紹正態(tài)分布解析式的數(shù)學發(fā)現(xiàn)歷史（如圖5）^[5]，在敘述數(shù)學研究不易的同時，凸顯以列舉方式嘗試的價值和必要。

（三）參數(shù)探究，模型理解

問題3：μ、σ是正態(tài)密度函數(shù)f （x）=中的兩個重要參數(shù)，那么均值μ、標準差σ是怎樣影響并決定正態(tài)曲線的形狀和特性的？

探究實驗：在圖6所示的探究場景中，學生度量、計算后確認正態(tài)曲線的形狀特性；改變陰影部分區(qū)間范圍，借助區(qū)間范圍內的面積刻畫，獲得分布函數(shù)F（x）的直接認識，深化對稱性、等積性的內涵認識。拖動滑動條改變μ、σ的數(shù)值，觀察比較正態(tài)曲線位置、形狀的相對變化，準確描述正態(tài)曲線的扁尖性。進一步地，學生可借助對“μ動σ定”和“μ定σ動”情形下系列正態(tài)曲線的整體連續(xù)展示（如圖7和圖8），深刻理解參數(shù)含義。

設計意圖：對于對稱性和單峰性，學生通過正態(tài)曲線的直觀圖象即可發(fā)現(xiàn)，借助密度函數(shù)解析式則可進行數(shù)學驗證。對于等積性，由于缺少微積分的數(shù)學基礎，學生需要有概率計算作鋪墊，同時從頻率分布直方圖的矩形面積反向推證解釋。扁尖性是數(shù)學探究的重點，學生不僅要感知單個圖象，而且要建立整體認知。教師如此設計探究活動，不僅是為了學生獲得曲線性質，更重要的是認識參數(shù)含義。

有別于離散型隨機變量，連續(xù)型隨機變量X的取值不能一一列舉且任意單點值處的概率都是0。教材回避了分布函數(shù)F（x）的概念（P （X＜a）=

f （x）dx、P （a≤ X≤b）= f （x）dx），只是“規(guī)定”區(qū)間概率為x軸上方、正態(tài)曲線下方圍成的區(qū)域面積。由于高中階段不研究一般的連續(xù)型隨機變量，于是圖6中的概率度量計算，其實有結合具體案例滲透分布函數(shù)F（x）概念之意。在教學中教師只有讓學生多些操作體驗才能彌補“規(guī)定”的欠缺。

（四）尺度把握，模型深化

問題4：參數(shù)μ、σ決定著正態(tài)曲線的位置和形狀，那么不同“高矮”“瘦胖”的正態(tài)曲線有著怎樣的相似基因呢？選擇怎樣的方案開展進一步的探究？

探究實驗：在圖9所示的探究場景中，學生拖動滑動條觀察不同正態(tài)曲線中相似區(qū)間跨度內的概率值的變化，發(fā)現(xiàn)結果的相似性；從而認識“3σ原則”。

設計意圖：探究活動不限于確認“3σ原則”，還指向不同正態(tài)曲線的“相似性”：“概率值P （ μ-kσ≤X≤μ+kσ）是一個只與k有關的定值”，說明σ是正態(tài)分布的尺度參數(shù)（用于丈量不同分布的相同規(guī)律），從而為不同正態(tài)分布間的相互轉化提供依據(jù)，即“當X～N （μ，σ²）時，Z=服從標準正態(tài)分布N （0，1）”。事實上，學生借助標準正態(tài)分布數(shù)值表，可反推計算任意正態(tài)分布的隨機變量概率值。

四、在行動反思中評析“變”與“進”

正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐中，并且鐘形曲線對稱流暢，密度函數(shù)性質優(yōu)美，是不可多得的數(shù)學研究對象。然而，學生知識基礎薄弱，生活經(jīng)驗缺失，普遍難于理解這部分內容。為解決學生“知道是什么，但不知道為什么”的問題，教師應以幫助學生經(jīng)歷正態(tài)分布的模型建構過程為目標，可基于GeoGebra設置四階段的數(shù)學探究活動，讓他們在初見、想象、理解、深化的過程中，理解正態(tài)分布概念，發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線性質。

（一）信息技術賦能，可視化中看見不可見

二項分布的趨勢逼近、頻率直方圖的極限演變、概率數(shù)值的即時計算、參數(shù)變化下的整體印象……GeoGebra構建的“所見即所得”的關聯(lián)情境，以“形”之長彌“數(shù)”之短，讓學生發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布、建構密度函數(shù)模型，順理成章、自然流暢。特別有意義的是，因為有豐富的實例和直觀的圖象支持，教師可以設計反向擬合正態(tài)密度函數(shù)解析式的思想實驗，讓學生重走高斯當年路，體驗數(shù)學研究的樂趣和不易。

教師在技術賦能下開展數(shù)學可視化教學，將抽象的數(shù)學對象以可看見的表征形式直觀呈現(xiàn)，可以使數(shù)學的關聯(lián)性變得可見甚至可操作，幫助學生形象、直觀、整體地認識和理解，進而洞悉數(shù)學本質。如圖9中對尺度參數(shù)的認識，從正態(tài)曲線的“相似性”到不同正態(tài)分布間的相互轉化，源于教材又高于教材。這樣的可視化沒有弱化學生的邏輯抽象，而是帶來了更高的觀念滲透和更深的思維啟迪，讓學生有更多的可能參與更高層次的思考與解決數(shù)學問題等活動。

（二）活動探究助力，問題引領下提升素養(yǎng)

數(shù)學教師固然應該教會學生許多必要的數(shù)學基礎知識，但重要的是促進“人—知”互動，讓學生在習得知識的過程中領悟數(shù)學思想。在正態(tài)分布的教學中，設置了四階段的探究任務，讓學生在親身操作中發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的奧妙，在直觀形象中實現(xiàn)從離散型隨機變量到連續(xù)性隨機變量的跨越，在數(shù)形關聯(lián)比較中認識參數(shù)的含義價值。“學習任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，學會用數(shù)學方法思考，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，離不開數(shù)學探究活動的歷練和信息技術的加持。

理想的數(shù)學探究應該盡可能由學生自主操作，“自主發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，猜測合理的數(shù)學結論，提出解決問題的思路和方案”。然而，如果教師完全放手不管只會讓學生手足無措。教師需要設計有梯度的探究活動，為學生提供適合的探究平臺和實驗情境，并以問題串的方式啟發(fā)思路、提示方法。因此，設置合理而有梯度的問題鏈，提供必要的腳手架，以有效降低探究的門檻，尤為關鍵。過于寬泛、過于碎片都是不可取的，教師既不能放任不管又不能“嚼爛了喂給學生吃”。教師應在學生思維“關節(jié)點”與“關鍵點”處駐足停留，在關鍵環(huán)節(jié)、關鍵思想方法上啟發(fā)學生思考。

注：本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學大單元教學價值意蘊與路徑探析研究”（編號：SJMJ/2021/10）、國家社會科學基金教育學一般課題“‘雙減背景下義務教育階段作業(yè)設計研究”（課題批準號：BHA220139）的階段研究成果。

參考文獻

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[5] 李玲，徐章韜.正態(tài)分布的教學設計：從歷史中尋找學生認知生長點[J].數(shù)學教育學報，2023（2）：12-17.

（作者張志勇系江蘇省常州市第五中學正高級教師，江蘇省首批蘇教名家培養(yǎng)對象，江蘇省高中數(shù)學名師工作室主持人；張加紅系江蘇省常州市田家炳高級中學副校長，高級教師）

責任編輯：祝元志