王青林， 陳 磊， 明 鋒

（1. 青海省湟源公路工程建設(shè)有限公司， 青海 西寧 810000； 2. 青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 青島 266000；3. 中國科學(xué)院 西北生態(tài)環(huán)境資源研究院 凍土工程國家重點實驗室， 甘肅 蘭州 730000）

0 引言

我國是第三凍土大國，凍土區(qū)面積約占全國面積的53.5%［1］。受凍土區(qū)氣溫變化的影響，不僅土中原位水發(fā)生相變產(chǎn)生約9%的體積膨脹，而且未凍結(jié)土層中的孔隙水在溫度梯度作用下將向凍結(jié)鋒面遷移并凍結(jié)成冰。由此將引起地表出現(xiàn)大幅度隆起，局部變形量甚至超過40 cm，這將導(dǎo)致修建在寒區(qū)環(huán)境中的建筑物產(chǎn)生凍害［2-4］。為解決因凍脹引起的凍害問題，研究者提出了諸多水熱耦合模型來評估凍脹［5-7］。在這些凍脹模型中，凍土滲透系數(shù)是控制水分遷移速率及遷移量的關(guān)鍵參數(shù)。因此，選擇合理的滲透系數(shù)模型就成為準(zhǔn)確預(yù)測凍脹的前提條件。

獲取凍土滲透系數(shù)的方法有兩種：試驗測試和理論推導(dǎo)。盡管飽和凍土滲透系數(shù)試驗存在費時、費力、離散性大等缺陷，但諸多研究人員仍得到了凍土滲透系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律［8-12］?；谝延性囼灲Y(jié)果，國內(nèi)外學(xué)者提出了一系列經(jīng)驗?zāi)Ｐ秃屠碚撃Ｐ蛠韽浹a試驗方法的不足。經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷奶攸c是形式簡單，但沒有嚴格的推導(dǎo)過程，僅僅是根據(jù)試驗結(jié)果所給出擬合公式，通常具有一個或多個經(jīng)驗參數(shù)［13］。而且，經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭袃鐾翝B透性系數(shù)是未凍水含量或者溫度的函數(shù)。在水熱耦合模型中，大多采用經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛠砻枋鰞鐾翝B透系數(shù)變化規(guī)律，如應(yīng)用較多的冰阻模型［7］。該模型認為飽和凍土的滲透系數(shù)由于受到了冰的阻力作用，致使其降低至相同液態(tài)水含量條件下非飽和未凍土滲透系數(shù)的1/I（I是冰阻系數(shù)，其常為含冰量或溫度的函數(shù)）。經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭械膮?shù)是通過試驗結(jié)果擬合得到，所以這些參數(shù)僅適用于特定土體。當(dāng)將其用于其他土體時，模型有效性將有所降低［14］。所以，在不同水熱模型中，通常會選擇不同的經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛠硖岣哳A(yù)測精度。相對而言，理論模型具有嚴格的推導(dǎo)過程，其模型參數(shù)具有明確的物理意義。由于理論模型減少了對經(jīng)驗系數(shù)的依賴，其普適性更強，更值得在水熱模型中推廣使用。因此，本文對凍土滲透系數(shù)理論模型在水熱耦合模型中的有效性進行討論。

由于水熱耦合模擬結(jié)果對凍土滲透系數(shù)極為敏感，所以合理選擇凍土滲透模型就變得十分重要。為評價理論模型在水熱耦合模型中的適用性，本文以四組飽和凍土的滲透系數(shù)理論模型為例，首先將滲透系數(shù)理論模型與經(jīng)驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測結(jié)果進行對比，然后選擇預(yù)測效果較好的滲透系數(shù)模型帶入水熱耦合模型，以凍脹量變化為判據(jù)評價其適用性。

1 凍土滲透系數(shù)理論模型

在凍土滲透實驗的基礎(chǔ)上，人們提出了諸多經(jīng)驗?zāi)Ｐ图袄碚撃Ｐ?，? 列舉了四組飽和凍土的滲透系數(shù)理論模型。根據(jù)模型特點，將四組模型分別命名為分形模型［13］、離散統(tǒng)計模型［14］、連續(xù)統(tǒng)計模型［15］和等價模型［16］，各模型的數(shù)學(xué)表達式及主要計算參數(shù)如表1所示。

表1 凍土滲透系數(shù)模型Table 1 Hydraulic conductivity models for frozen soil

上述四組模型的詳細推導(dǎo)過程，可參閱文獻［13-16］。為更好體現(xiàn)四組滲透系數(shù)模型的優(yōu)缺點，下面對四組理論模型進行簡單介紹。分形模型是將分形理論應(yīng)用到凍土中，可更好地表征土中孔隙真實無序的狀態(tài)。該模型結(jié)果主要取決于凍土中的最大孔徑，孔隙率、孔徑分維數(shù)和迂曲度，其中最大孔徑對凍土的滲透系數(shù)影響最大［13］。離散統(tǒng)計模型是基于土體凍結(jié)特征曲線與土體孔隙分布函數(shù)的相似性，以及非飽和土的滲透系數(shù)與土水特征曲線之間的關(guān)系而提出的，該模型的計算結(jié)果主要取決于其中有效孔隙分布［14］。連續(xù)統(tǒng)計模型則是通過建立凍結(jié)特征曲線和孔徑分布函數(shù)的關(guān)系函數(shù)，提出了滲透系數(shù)模型，該模型只需要對不同未凍水含量條件下的土體凍結(jié)特征曲線進行積分即可得到滲透系數(shù)［15］。等價模型借鑒非飽和土的滲透系數(shù)模型，認為孔隙冰與空氣對水分遷移的阻礙作用是相當(dāng)?shù)?，認為飽和凍土的滲透系數(shù)等于相同液態(tài)水含量條件下非飽和未凍土的滲透系數(shù)［16］。由于部分文獻中并沒有給出飽和未凍土的滲透系數(shù)，所以只能計算其相對滲透系數(shù)進行比較。當(dāng)采用相對滲透系數(shù)表述預(yù)測結(jié)果時，只需要土體凍結(jié)特征曲線和土體顆粒級配曲線。

為量化滲透系數(shù)預(yù)測值和實測值之間的差異，采用均方根誤差（RMSE）進行分析，其計算公式如下：

式中：N是實測數(shù)據(jù)數(shù)量；Krti是第i個實測相對滲透系數(shù)（由經(jīng)驗?zāi)Ｐ痛_定）；Krpi是第i個預(yù)測相對滲透系數(shù)（由理論模型確定）。

2 結(jié)果與分析

為評價滲透系數(shù)理論模型的適用性，此處選取文獻［17-19］中的三個水熱耦合模型為例進行分析。在這三組水熱耦合模型中，不僅都采用的是飽和凍土的滲透系數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，而且文獻中都給出了詳細的模型參數(shù)。模型驗證從兩個方面開展：滲透系數(shù)變化和凍脹變化。為方便比較，將案例一、案例二和案例三中的滲透系數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ头謩e命名為經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵?，?jīng)驗?zāi)Ｐ投徒?jīng)驗?zāi)Ｐ腿?/p>

2.1 滲透系數(shù)變化

2.1.1 案例一

案例一為文獻［17］中的水熱耦合模型，該模型采用經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵粊砻枋鰞鐾翝B透系數(shù)變化。經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵豢梢员硎緸椋?0］：

式中：k為飽和凍土的滲透系數(shù)；ks為飽和未凍土的滲透系數(shù)；θu為體積未凍水含量；θ為初始飽和體積含水量；b為與土顆粒級配相關(guān)的擬合參數(shù)，可以表示為：

式中：dg為幾何平均顆粒直徑；σg為幾何標(biāo)準(zhǔn)差；dg與σg可由土顆粒級配曲線獲得。

基于文獻［17］中給出的土體凍結(jié)特征曲線、土顆粒級配曲線和飽和滲透系數(shù)，利用表1中的模型，可計算得到四組模型計算的相對滲透系數(shù)（圖1）。從圖1可以看出本文所列舉的四組理論模型可以有效反映滲透系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律，且預(yù)測值與文獻［17］中的滲透系數(shù)值比較接近。應(yīng)該指出的是，分形模型存在有效的臨界溫度，對應(yīng)凍結(jié)過程中的粉質(zhì)黏土、粉土和粉砂分別是-18.0 ℃、-15.0 ℃和-13.7 ℃。當(dāng)溫度低于該臨界溫度時，分形模型將不再適用。從圖1 中的計算結(jié)果來看，該臨界溫度較低，可滿足凍土滲透系數(shù)計算要求。離散統(tǒng)計模型高估了粉質(zhì)黏土的滲透系數(shù)，但低估了粉砂土的滲透系數(shù)。整體而言，分形模型、等價模型和連續(xù)統(tǒng)計模型的表現(xiàn)較好。

圖1 不同土體的相對滲透系數(shù)隨溫度變化Fig. 1 Variation of the relative hydraulic conductivity with the temperature

圖2 進一步在雙對數(shù)坐標(biāo)中對比了滲透系數(shù)模型計算值和文獻［17］中所用的滲透系數(shù)值。在《土工試驗方法標(biāo)準(zhǔn)》（GB/T 50123—2019）中，土體滲透系數(shù)的最大試驗允許差值為±2×10-n（n為自然數(shù)）。參考此誤差標(biāo)準(zhǔn)，本文確定相對滲透系數(shù)預(yù)測值的可接受試驗誤差值為±2×10-n。如圖2 所示，大多數(shù)的數(shù)據(jù)點都落在可接受試驗誤差區(qū)域內(nèi)，僅少部分數(shù)據(jù)點落在可接受實驗誤差區(qū)域外。需要注意的是，有三組滲透系數(shù)數(shù)據(jù)點甚至落在一個數(shù)量級誤差區(qū)域外，如粉砂的分形模型，粉土和粉砂的離散統(tǒng)計模型?？傮w而言，本文所列四組滲透系數(shù)模型預(yù)測值和文獻［17］水熱耦合模型中所用的滲透系數(shù)值較接近。這表明本文所列四組滲透系數(shù)理論模型可代替文獻［17］中的經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀?/p>

圖2 文獻［17］所用相對滲透系數(shù)與四組理論模型計算值對比Fig. 2 Comparison of the relative hydraulic conductivity used in Reference ［17］ and the values calculated by the four hydraulic conductivity models

表2匯總了這四組模型的均方根誤差值。可以看出，四組模型的均方根誤差值均較小，說明了四組模型具有良好的穩(wěn)定性。四種模型均對粉砂的預(yù)測效果較差，對粉土和粉質(zhì)黏土的效果較為準(zhǔn)確。等價模型的均方根誤差最小，其次是連續(xù)統(tǒng)計模型、分形模型和離散統(tǒng)計模型。對于文獻［17］中的土樣，等價模型的預(yù)測能力最好。

表2 模型的均方根Table 2 RMSE of the model

2.1.2 案例二

案例二以文獻［18］中的水熱耦合模型為例進行分析，并以粉質(zhì)黏土為研究對象。文獻［18］中使用的滲透系數(shù)為經(jīng)驗?zāi)Ｐ投?，其表達式為：

式中：模型所需參數(shù)可查詢參考文獻［18］。

圖3對比了四組理論模型預(yù)測值與文獻［18］所用的相對滲透系數(shù)。如圖所示，相對滲透系數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ椭蹬c分形模型和離散統(tǒng)計模型的預(yù)測值較為接近，但是與連續(xù)統(tǒng)計模型和等價模型的預(yù)測值稍有偏差。鑒于該經(jīng)驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測結(jié)果位于本文四組模型預(yù)測范圍內(nèi)，且被O’Neill 等［21］、周國慶等［22］、周揚等［23］多次采用，表明該模型具有一定的合理性。需要指出的是，該模型的指數(shù)對不同土并不是一個常數(shù)。對于等價模型，根據(jù)顆粒級配曲線計算得到其指數(shù)n=12.08，與文獻［18］所用的n=9 有所差別，所以導(dǎo)致相對滲透系數(shù)預(yù)測值偏低。對分形模型，該粉質(zhì)黏土分形模型有效的臨界溫度是-22 ℃，低于該溫度則分形模型不再適用?？梢钥闯?，土體顆粒級配曲線不僅嚴重影響等價模型中的指數(shù)n的取值，而且對土體凍結(jié)特征曲線的數(shù)值和形態(tài)也有較大影響，進而影響分形模型、離散統(tǒng)計模型和連續(xù)統(tǒng)計模型的預(yù)測精度。

圖4 在雙對數(shù)坐標(biāo)中對比了四組理論模型與經(jīng)驗?zāi)Ｐ投臐B透系數(shù)預(yù)測結(jié)果。從圖4 中可以看出，只有分形模型和離散統(tǒng)計模型的數(shù)據(jù)點落在了可接受試驗誤差區(qū)域內(nèi)，等價模型的數(shù)據(jù)點則大多落在了可接受實驗誤差區(qū)域的邊緣。連續(xù)統(tǒng)計模型的數(shù)據(jù)點雖然大多落在了可接受實驗誤差區(qū)域外，但也基本分布在一個量級的誤差區(qū)域內(nèi)。因此，可以采用分形模型和離散統(tǒng)計模型來代替經(jīng)驗?zāi)Ｐ投?/p>

圖4 文獻［18］中所用的相對滲透系數(shù)與四組理論模型計算值對比Fig. 4 Comparison of the relative hydraulic conductivity used in Reference ［18］ and the values calculated by the four hydraulic conductivity models

表3 匯總了這四組模型的均方根誤差值，可以看到四組模型的均方根誤差值均較小，說明四組模型的穩(wěn)定性較好。相對而言，分形模型和離散統(tǒng)計模型的均方根誤差較小，表明這兩組模型可以代替經(jīng)驗?zāi)Ｐ投?/p>

表3 模型的均方根Table 3 RMSE of the model

2.1.3 案例三

案例三以文獻［19］的水熱耦合模型為例進行分析。該耦合模型采用的是經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿?，其表達式為：

從公式（5）可以看出，經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿谋磉_式簡單，只需要溫度和飽和滲透系數(shù)就可以預(yù)測凍土滲透系數(shù)。圖5給出了本文所列舉的滲透系數(shù)模型計算的相對滲透系數(shù)。如圖所示，除等價模型外，其余三組理論模型與經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿臐B透系數(shù)預(yù)測值較為接近。需要指出的是，該粉質(zhì)黏土對應(yīng)的分形模型有效臨界溫度為-1.40 ℃。對比前兩個案例，此粉質(zhì)黏土的分形有效臨界溫度偏高，這是因為該土樣的凍結(jié)特征曲線斜率過大，使得大部分水分被迅速凍結(jié)。等價模型與經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿念A(yù)測結(jié)果相差最大，可能是由于土體顆粒級配曲線不合理，導(dǎo)致計算得到的指數(shù)n偏離極大所致。盡管經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿嬖诮?jīng)驗參數(shù)，但仍適用于描述此粉質(zhì)黏土樣品滲透系數(shù)變化。

圖5 相對滲透系數(shù)隨溫度的變化曲線Fig. 5 Variation of the relative hydraulic conductivity with the temperature

圖6 進一步在雙對數(shù)坐標(biāo)中對比了本文所列舉的四組滲透系數(shù)模型和經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿嬎愕南鄬B透系數(shù)數(shù)值。如圖6 所示，連續(xù)統(tǒng)計模型的數(shù)據(jù)點基本都落在可接受試驗誤差范圍內(nèi)；分形模型的數(shù)據(jù)點也大多落在可接受試驗誤差區(qū)域內(nèi)；離散統(tǒng)計模型只有少部分數(shù)據(jù)點落在可接受試驗誤差內(nèi)，但是大部分都落在了一個量級的誤差區(qū)域內(nèi)；等價模型預(yù)測結(jié)果則幾乎全部不在可接受試驗誤差區(qū)域內(nèi)。這說明等價模型并不適用于此土樣，而其余三組理論模型可以代替經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿鐾翝B透系數(shù)變化趨勢。

圖6 文獻［19］中所用的相對滲透系數(shù)與四組模型計算值對比Fig. 6 Comparison of the relative hydraulic conductivity used in Reference ［19］ and the values calculated by the four hydraulic conductivity models

表4匯總了這四組模型的均方根誤差值。由表4 可見，除了等價模型，其余三組模型的均方根誤差值均較小，說明了這三組模型的可靠性。其中，連續(xù)統(tǒng)計模型的均方根誤差最小，其次為分形模型和離散統(tǒng)計模型，而等價模型的均方根誤差最大。因此，可以采用分形模型和連續(xù)統(tǒng)計模型預(yù)測該凍結(jié)粉質(zhì)黏土樣品的滲透系數(shù)。

表4 模型的均方根Table 4 RMSE of the model

2.2 凍脹變化規(guī)律

凍土滲透系數(shù)模型大多應(yīng)用于預(yù)測凍土中的水熱分布及凍脹、融沉變形。從前一節(jié)的分析結(jié)果來看，分形模型在三個案例中的適用性更強。因此，本節(jié)采用分形模型代替文獻［18］中的經(jīng)驗?zāi)Ｐ投?，并利用原文中的相關(guān)參數(shù)對凍脹試驗結(jié)果進行預(yù)測（圖7）。如圖7 所示，在凍結(jié)前期（0～50 h），無論是經(jīng)驗?zāi)Ｐ投€是分形模型，其預(yù)測的凍脹量與實測凍脹量相差很小。在凍結(jié)后期（50～90 h），經(jīng)驗?zāi)Ｐ投念A(yù)測結(jié)果偏小，而采用分形模型的預(yù)測結(jié)果偏大。由于經(jīng)驗?zāi)Ｐ投臐B透系數(shù)預(yù)測值略小于分形模型的預(yù)測值，所以采用分形模型的凍脹預(yù)測結(jié)果偏大。但從凍脹預(yù)測誤差來看，分形模型的預(yù)測結(jié)果接近實測值（最大相對誤差小于10%），可證明分形模型的有效性。

圖7 不同滲透系數(shù)模型下的凍脹量預(yù)測結(jié)果Fig. 7 Prediction of the frost heave with different hydraulic conductivity models

3 討論

3.1 理論模型的優(yōu)缺點

從三個案例來看，本文所列四組理論模型可以有效的反映文獻中滲透系數(shù)的變化規(guī)律，而且凍脹算例也證實了理論模型的可靠性。由于選擇不合理的凍土滲透系數(shù)模型，將導(dǎo)致水熱分布預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確，進而影響凍脹預(yù)測精度。因此，若在水熱耦合模型中，采用滲透系數(shù)理論模型，不僅可有效避免經(jīng)驗公式參數(shù)的選取，而且還能保證預(yù)測精度。但需要注意的是，滲透系數(shù)理論模型也存在一定的局限性：（1）最大孔徑對分形模型的預(yù)測結(jié)果影響較大，且該模型存在溫度下限，但該下限可滿足凍脹模型的要求；（2）離散統(tǒng)計模型雖然解決了分形模型的缺點，但其計算結(jié)果并不是一條平滑曲線，難以通過一個公式擬合，因此很難應(yīng)用到數(shù)值計算中。（3）連續(xù)統(tǒng)計模型所需參數(shù)較少，但對部分土體的適用性較差。（4）等價模型不僅沒有嚴格的理論推導(dǎo)，而且對部分土體的預(yù)測效果較差。從四組模型對三個案例的預(yù)測結(jié)果來看，不同理論模型表現(xiàn)出不同的預(yù)測效果，而分形模型在三個案例中表現(xiàn)較為均衡，其適用性最強。因此，建議在水熱耦合模型中采用分形模型來描述凍土滲透系數(shù)變化。

3.2 凍融過程中的滲透系數(shù)滯后性

從表1 中可以看出，凍土滲透系數(shù)不僅可以采用溫度為變量，而且也可以采用未凍水含量為變量。圖8 以經(jīng)驗?zāi)Ｐ鸵唬═arnawski 和Wagner 模型）為基礎(chǔ)，計算得到凍結(jié)與融化過程中的土體相對滲透系數(shù)變化規(guī)律［20］。如圖8 所示，在相同溫度條件下，計算得到的粉質(zhì)黏土的相對滲透系數(shù)最大，其次是粉土，粉砂的相對滲透系數(shù)最小；而在相同體積未凍水含量下，正好相反，粉砂的相對滲透系數(shù)最大，其次是粉土，而粉質(zhì)黏土的相對滲透系數(shù)最小。這是因為Tarnawski 和Wagner 模型中，土體凍結(jié)特征曲線和土體顆粒級配曲線共同決定了滲透系數(shù)的大小。土體顆粒級配曲線不僅決定了模型參數(shù)2b+ 3 的大小，而且也影響土體中的未凍水含量θu。依據(jù)土體顆粒級配曲線，計算得到粉質(zhì)黏土，粉土和粉砂的模型參數(shù)2b+ 3 分別是12.22、10.83和8.52。如圖8（a）所示，計算出來的融化過程的滲透系數(shù)要小于凍結(jié)過程的滲透系數(shù)，這是因為土體在融化過程中的未凍水含量要小于其在凍結(jié)過程中的未凍水含量。但是隨著溫度的降低，滯后效應(yīng)對滲透系數(shù)的影響也在逐漸減小。但是采用未凍水含量為變量時，滲透系數(shù)在凍融過程并沒有體現(xiàn)出滯后效應(yīng)［圖8（b）］，這和以往的研究結(jié)果一致［24］。因此，建議以未凍水含量為變量表示凍土滲透系數(shù)模型。

圖8 凍結(jié)和融化過程中相對滲透系數(shù)隨溫度（a）和體積未凍水含量（b）的變化曲線Fig. 8 Variation of the relative hydraulic conductivity with the temperature （a） and unfrozen water content （b） during the freezing and thawing process

4 結(jié)論

本文通過對四組飽和凍土的滲透系數(shù)模型和三個水熱耦合模型中選取的經(jīng)驗?zāi)Ｐ偷挠嬎憬Y(jié)果進行對比，討論了四組飽和凍土的滲透系數(shù)模型的預(yù)測能力，得出以下主要結(jié)論：

（1）水熱耦合模型中所用的滲透系數(shù)經(jīng)驗?zāi)Ｐ蛿?shù)值和本文所列舉的四組理論模型數(shù)值大多都非常接近，建議使用滲透系數(shù)理論模型來描述凍土滲透系數(shù)變化規(guī)律。

（2）四組理論模型均能有效描述凍土滲透系數(shù)變化，但理論模型預(yù)測結(jié)果受土體顆粒級配曲線影響明顯，推薦使用分形模型計算凍土滲透系數(shù)。

（3）用溫度表示的滲透系數(shù)表現(xiàn)出滯后效應(yīng)，而用未凍水含量表示的滲透系數(shù)并沒有表現(xiàn)出滯后效應(yīng)，建議在凍土滲透系數(shù)模型中以未凍水含量為變量。