鐘 煬，劉 輝

(昆明船舶設(shè)備研究試驗(yàn)中心, 云南 昆明 650001)

0 引 言

磁異常場作為艦船、潛艇等目標(biāo)的固有物理場，包含豐富的目標(biāo)特征信息[1–2]，但水上磁異常測量成本高、效率低，常采用航磁測量的方法測量水上及水下目標(biāo)的磁異?！，F(xiàn)有的磁異常數(shù)據(jù)延拓方法延拓深度有限，無法充分利用航磁測量數(shù)據(jù)。航磁測量具有施工效率高、成本低、探測范圍大等諸多優(yōu)點(diǎn)，其探測到的場值是由探測點(diǎn)位以下所有場源形成的疊加場，即每一個測點(diǎn)數(shù)據(jù)中都包含若干個場源的信息[3–4]。一般的航磁測量中只會測量獲得某條測線或某個觀測面內(nèi)的數(shù)據(jù)，為節(jié)約探測時間成本，其他區(qū)域的磁異常數(shù)據(jù)只能依賴于對已知數(shù)據(jù)的空間轉(zhuǎn)換。因而磁異常數(shù)據(jù)的空間轉(zhuǎn)換在航磁測量中的作用非常重要，準(zhǔn)確高效的磁場數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換是資料處理中的重要環(huán)節(jié)，能夠擴(kuò)展數(shù)據(jù)內(nèi)涵，突出目標(biāo)，一定程度上減少探測結(jié)果的多解性，有效降低后續(xù)資料解釋的難度，是航磁數(shù)據(jù)處理中的重要環(huán)節(jié)[5]。

磁法勘探中的位場數(shù)據(jù)空間轉(zhuǎn)換方法包含向上延拓和向下延拓，向上延拓方法在數(shù)學(xué)上屬于狄里希萊問題，是一個適定問題，具有唯一且穩(wěn)定的解，在實(shí)際計(jì)算中只要保證參與計(jì)算的點(diǎn)足夠多，便能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果[6]。但向下延拓是一個不適定問題[7–8]，無法直接求解，國內(nèi)外諸多學(xué)者針對這一問題提出了多種解決方法。早在20 世紀(jì)40 年代，Evjen[9]采用Taylor 級數(shù)方法進(jìn)行位場數(shù)據(jù)的解析延拓，其后Peters利用該方法推導(dǎo)出向下延拓公式。1958 年，Dean[10]利用傅里葉變換，首次將空間域中無法直接求解的向下延拓問題引入到頻率域中，并推導(dǎo)出頻率域中的延拓算子，但該方法僅能進(jìn)行2 倍點(diǎn)距的下延[11]。2002 年，F(xiàn)edi[12]提出了向下延拓的 ISVD（integrated second vertical derivative）法，該方法是指在進(jìn)行 Taylar 級數(shù)展開時，奇數(shù)階和偶數(shù)階垂向?qū)?shù)采用不同求解方法，奇數(shù)階先求解垂向積分，再利用 Laplace 方程進(jìn)行求解，而偶數(shù)階直接利用Laplace 方程求解，該方法能夠穩(wěn)定地進(jìn)行5 倍點(diǎn)距的下延。2006 年，徐世浙[13–14]提出了積分迭代的位場延拓方法，該方法通過將不穩(wěn)定的向下延拓問題轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的向上延拓問題，提高了延拓的最大深度，有效延拓深度可達(dá)20 倍數(shù)據(jù)點(diǎn)距，該方法是目前最常用的位場數(shù)據(jù)延拓方法之一[15]。但多次迭代的方法影響計(jì)算速度，而迭代次數(shù)過少影響計(jì)算延拓精度，而且這一方法會在一定程度上放大噪聲信號[16–17]。

本文提出一種基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁異常數(shù)據(jù)延拓方法，并構(gòu)建由球體和長方體組成的混合模型。經(jīng)模型試驗(yàn)驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該方法延拓精度高，抗干擾能力強(qiáng)，能夠有效解決向下延拓中計(jì)算不穩(wěn)定的問題。

1 位場數(shù)據(jù)向下延拓?cái)?shù)學(xué)模型

位場數(shù)據(jù)向下延拓問題在數(shù)學(xué)上是一種不適定問題，作為現(xiàn)代地球物理學(xué)中最早利用數(shù)學(xué)原理解釋資料的方法之一，國內(nèi)外諸多學(xué)者曾對位場數(shù)據(jù)向下延拓原理做過深入全面的分析，向下延拓具有完善的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

位場的延拓問題實(shí)質(zhì)上是求解式（1）中的柯西問題：

根據(jù)式（2）向上延拓公式反求解uh的過程即為位場數(shù)據(jù)的向下延拓問題，因此，可將式（1）的柯西問題改寫為：

通過傅里葉變換可將時域中的褶積問題轉(zhuǎn)換為頻域中的乘積問題，因此，頻域中的磁異常向下延拓問題可表示為：

采用快速傅里葉變換直接求解、積分迭代、奇異值分解等方法對其進(jìn)行數(shù)值求解，在理論上可以進(jìn)行10～20 倍點(diǎn)距的向下延拓。但對于更多倍點(diǎn)距的延拓問題，或在信噪比較低的情況下，這類方法會出現(xiàn)延拓結(jié)果失真嚴(yán)重的問題。

2 基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁異常向下延拓方法

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是當(dāng)前最為常用的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有強(qiáng)大的學(xué)習(xí)和糾錯能力。當(dāng)學(xué)習(xí)樣本充足且準(zhǔn)確時，對于復(fù)雜非線性問題能夠?qū)⒄`差控制在足夠小的范圍內(nèi)。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括輸入層、隱含層和輸出層3 種結(jié)構(gòu)，當(dāng)問題較為復(fù)雜時，隱含層可以包含多層，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖Fig.1 Topological structure of BP neural network

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程包括信號正向傳播和誤差反向傳播2 個部分，首先通過輸入層獲取原始學(xué)習(xí)樣本，數(shù)據(jù)經(jīng)過隱含層建立激活函數(shù)，并獲取對應(yīng)權(quán)值，最后經(jīng)輸出層輸出結(jié)果。相鄰兩層間的傳遞公式如下式：

式中：x為輸入信號，ω為權(quán)值，a為偏置，f表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)，y表示數(shù)據(jù)在本層的輸出，也就是下一層的輸入。數(shù)據(jù)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中傳播一輪后，計(jì)算誤差，對比預(yù)先設(shè)定的期望結(jié)果，若不滿足期望，將誤差由輸出層反向傳播至隱含層，其誤差傳遞函數(shù)為：

式中：μ為學(xué)習(xí)率，E為代價函數(shù)，通過上述誤差傳遞函數(shù)修正神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的權(quán)值和偏置，直至滿足期望。在計(jì)算過程中，為了獲取更接近真實(shí)問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，往往需要進(jìn)行多次的迭代。

基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的磁異常數(shù)據(jù)延拓方法主要包括如下步驟：

步驟1 樣本數(shù)據(jù)輸入。樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量是影響B(tài)P 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算結(jié)果的重要影響因素。為保證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和質(zhì)量，以球體、圓柱體、長方體理論模型在不同高度處的坐標(biāo)、磁異常及其垂向一階導(dǎo)數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)。

步驟2 數(shù)據(jù)歸一化。由于輸入數(shù)據(jù)中包含多種不同單位、量級的參數(shù)，為避免較大量級的參數(shù)吞沒較小量級參數(shù)的權(quán)重，使激活函數(shù)飽和而無法準(zhǔn)確獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，需將輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。輸入樣本的歸一化是將各組輸入數(shù)據(jù)數(shù)值映射到特定范圍內(nèi)，本文方法是將其映射到[-1，1]的區(qū)間內(nèi)。

步驟3 建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。利用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行位場數(shù)據(jù)下延在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用中實(shí)際上算是一個較為簡單的問題，并且由于數(shù)據(jù)樣本來源于理論模型，具有很高的精度和準(zhǔn)確性，不需要數(shù)十萬甚至上百萬數(shù)量級的樣本數(shù)據(jù)，僅需要包含單個隱含層的3 層BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)即可進(jìn)行計(jì)算。

步驟4 多次訓(xùn)練獲取最優(yōu)結(jié)果。由于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練及計(jì)算過程中的參數(shù)是隨機(jī)生成的，多次訓(xùn)練和計(jì)算的結(jié)果一般不相同，為獲取較為準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，取多次計(jì)算結(jié)果的均值作為最終輸出結(jié)果。

3 理論模型

為驗(yàn)證磁異常數(shù)據(jù)向下延拓算法的準(zhǔn)確性，選取球體與長方體組合模型驗(yàn)證，各模型體平面分布如圖2所示。

圖2 場源平面位置圖Fig.2 Field source plane location diagram

該模型由1 個球體和2 個長方體組成，在北東地空間直角坐標(biāo)系中，其幾何參數(shù)見表1。

表1 各模型體幾何參數(shù)表Tab.1 The geometric parameters of each model body

3 個模型體磁化率為0.03 SI，磁化傾角均為60°，磁化偏角均為30°，地磁場強(qiáng)度為56 000 nT。所選測區(qū)x方向范圍為（0，2 000 m），y方向范圍為（0，1 600 m），測網(wǎng)間距為10 m×10 m。運(yùn)用球體和長方體正演公式進(jìn)行計(jì)算[18–19]，公式如下：

所選模型體在距地面0 m 和300 m 處的磁異常如圖3 所示。

圖3 理論模型在0 m 和300 m 高度處磁異常等值線圖Fig.3 The contour map of the magnetic anomaly at the height of 0 m and 300 m in the theoretical model

4 方法驗(yàn)證

以圖3（b）所示磁異常作為原始數(shù)據(jù)，分別運(yùn)用積分迭代法和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法將磁異常數(shù)據(jù)延拓30 倍點(diǎn)距至地表處，結(jié)果如圖4 所示。

其中，積分迭代法最大迭代次數(shù)選取為500，每次迭代計(jì)算步長為0.01。對比兩圖，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有更準(zhǔn)確的量級，且磁異常形態(tài)與理論磁異常圖3（a）更加接近。圖4（a）中球體模型磁異常在下延過程中產(chǎn)生畸變，負(fù)異常部分模糊不清。為進(jìn)一步對比2 種方法延拓結(jié)果，截取模型2 中心點(diǎn)處，即y=1 175 m的剖面，2 種方法延拓結(jié)果如圖5 所示。

可知，虛線所示的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法更加接近理論磁異常值。當(dāng)測量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，信噪比較高的情況下，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有比積分迭代方法更穩(wěn)定的下延結(jié)果，并且能夠在保證數(shù)據(jù)精度的前提下穩(wěn)定下延30 倍點(diǎn)距。

在實(shí)際磁異常探測時，環(huán)境磁噪聲的干擾較大。對于向下延拓問題，低信噪比的信號會導(dǎo)致磁異常值不連續(xù)，影響向下延拓結(jié)果。為模擬實(shí)際采集到的磁異常數(shù)據(jù)，在距地面高度300 m 處的磁異常數(shù)據(jù)中加入圖6（a）所示的高斯白噪聲，噪聲峰值為0.5 nT，加入噪聲后的磁異常等值線圖如圖6（b）所示。

圖6 含噪磁異常數(shù)據(jù)的向下延拓Fig.6 Downward continuation of noisy magnetic anomaly data

依舊運(yùn)用上述2 種方法將含0.5 nT 高斯白噪聲的磁異常數(shù)據(jù)向下延拓至地表處，保持原有計(jì)算參數(shù)不變，運(yùn)用積分迭代法計(jì)算結(jié)果如圖6（c）所示，運(yùn)用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的延拓結(jié)果如圖6（d）所示。對比可知，2 種方法延拓結(jié)果均不存在較嚴(yán)重的畸變，能夠分離3 個模型磁異常。仍然截取模型2 中心點(diǎn)所在的y=1 175處的截面，2 種延拓方法結(jié)果如圖7 所示。

圖7 y=1 175 m 延拓結(jié)果磁異常剖面圖Fig.7 Magnetic anomaly profile of extension results at y=1 175 m

圖中，總體上虛線所示的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法延拓結(jié)果更貼近理論磁異常值，但在曲線右側(cè)具有稍大的波動。BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的延拓結(jié)果具有更接近真實(shí)地表磁異常值的量級，且磁異常大小形態(tài)也更接近于理論地表處的磁異常，但含有稍多的噪聲。

為直觀對比2 種方法延拓精度，假設(shè)理論模型磁異常值為xt，運(yùn)用向下延拓方法計(jì)算的磁異常值為xc，則延拓結(jié)果的均方誤差為：

2 種方法延拓誤差如表2 所示。

表2 積分迭代法與BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的均方誤差和相關(guān)性誤差表Tab.2 Mean square error and correlation error table of integral iteration method and BP neural network method

可知，無論是無噪聲的數(shù)據(jù)還是含噪聲的數(shù)據(jù)，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法均具有更小的誤差，該方法能夠穩(wěn)定延拓30 倍點(diǎn)距。

5 結(jié) 語

本文研究意義在于將實(shí)測航磁數(shù)據(jù)向下延拓至海平面高度，代替船測磁異常數(shù)據(jù)，彌補(bǔ)船測磁異常測量效率低、成本高等缺點(diǎn)。有效解決了現(xiàn)有磁異常向下延拓方法有效延拓高度不足，強(qiáng)行進(jìn)行20 倍以上點(diǎn)距延拓畸變嚴(yán)重的問題

1）提出基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的向下延拓方法，構(gòu)建由球體和長方體組成的混合模型，通過球體及長方體磁異常正演公式計(jì)算不同高度處的磁異常理論數(shù)據(jù)，采用當(dāng)前較常用的積分迭代法，對比本文提出的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法。結(jié)果表明，基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的向下延拓方法具有更加準(zhǔn)確的結(jié)果，能夠進(jìn)行30 倍點(diǎn)距的穩(wěn)定下延。

2）模型試驗(yàn)中，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法在高質(zhì)量信號的條件下具有很好效果，能夠進(jìn)行多倍點(diǎn)距下延，但仍存在一些問題。當(dāng)信號中噪聲較強(qiáng)時，本身磁場信號較弱的區(qū)域會存在干擾，這部分區(qū)域的延拓結(jié)果并不理想，后續(xù)將針對這一問題開展研究。