陳 劍，李 毅

(海軍裝備部裝備審價(jià)中心，北京 100161)

0 引 言

充液管道是艦船冷卻系統(tǒng)、均衡系統(tǒng)、供油系統(tǒng)中的重要組成部件，承擔(dān)著運(yùn)輸?shù)墓δ?。同時(shí)設(shè)備引起的管壁振動(dòng)和管內(nèi)的噪聲也會(huì)沿著管路系統(tǒng)進(jìn)行傳遞，從而影響艦船的水下聲輻射性能。隨著海水抗腐蝕性能和輕量化設(shè)計(jì)要求的提高，越來越多的先進(jìn)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)被應(yīng)用于管路系統(tǒng)的振動(dòng)控制中。功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)是在1984 年由日本科學(xué)家提出的一種材料參數(shù)特性可隨空間位置呈現(xiàn)連續(xù)梯度變化的新型材料，如線性或指數(shù)特性變化[1]。此外由于具有很強(qiáng)的可設(shè)計(jì)特性、較好的耐磨損性能和抗斷裂性能，功能梯度材料在工業(yè)領(lǐng)域有著極大應(yīng)用前景[2-3]。功能梯度管路是指管殼結(jié)構(gòu)中，沿著管道的軸向分布有著不同的材料組分或結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以實(shí)現(xiàn)不同功能。設(shè)計(jì)功能梯度管路時(shí)，材料組分和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)都非常重要。目前，常用的材料組分主要包括金屬、陶瓷、聚合物以及它們的復(fù)合材料等。而結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)包括管徑、壁厚、彎曲角度、彎曲半徑等因素。研究功能梯度管路的方向非常廣泛，包括力學(xué)性能、熱學(xué)性能，以及流體力學(xué)性能等。其中，流體力學(xué)性能是功能梯度管路的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。研究表明，在功能梯度管路中，不同的材料組分和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)會(huì)對流體的傳輸性能產(chǎn)生顯著影響，例如可降低流體的阻力，改善流體的流動(dòng)狀態(tài)等。在功能梯度管路的制備方面，常用的方法包括機(jī)械加工、熱加工、化學(xué)合成等。其中，熱加工是一種常見的方法，可通過熱軋、熱拉伸等方式實(shí)現(xiàn)功能梯度管路的制備。另外，化學(xué)合成也是一種常用方法，目前已有許多關(guān)于此方面的研究成果?？偟膩碚f，功能梯度管路已成為研究的熱點(diǎn)之一，其研究涉及多個(gè)領(lǐng)域，包括材料科學(xué)、力學(xué)工程、流體力學(xué)等。

目前在船舶海洋工程中，冷卻和輸流等充液管道主要采用銅、鐵等金屬管道，隨時(shí)間推移，海水極易對金屬材料管壁造成腐蝕，形成管道內(nèi)部堵塞，縮短了管道使用年限和增加了維護(hù)保養(yǎng)費(fèi)用[4]。當(dāng)流體與管壁碰撞并擠壓時(shí)，會(huì)引起耦合振動(dòng)并進(jìn)一步增加噪聲。然而，傳統(tǒng)金屬材料的聲學(xué)阻尼性能相對較差，這對艦艇的減震和降噪造成了相當(dāng)大的不利影響。目前具有優(yōu)良的抗疲勞、阻尼特性新型復(fù)合材料越來越多的被應(yīng)用于工業(yè)中[5]。本文考慮以功能梯度材料取代金屬材料應(yīng)用于輸流管道，分析材料改變對于充液管道振動(dòng)的影響。

一般來說，管道的軸向尺寸明顯大于徑向尺寸，充液管路理論模型中通常采用充液梁模型和充液圓柱殼2 種理論模型。在早期的研究中，管內(nèi)流體的影響僅僅被作為附加質(zhì)量作用于充液梁的振動(dòng)方程中，從而不考慮流體與管道之間的耦合效應(yīng)[6–8]。在隨后的研究中，充液管道耦合理論得到了進(jìn)一步發(fā)展，包括管壁材料引起的泊松耦合、彎管分支管等不連續(xù)處的連接耦合和管壁內(nèi)部的摩擦耦合效應(yīng)等。在理論模型完善上，William[9]和Walker 等[10]首先考慮了管內(nèi)流體在管道軸向的可壓縮性。Wiggertr 等[11]和Lesmezr 等[12]則考慮了管壁材料的泊松耦合效應(yīng)，即管壁軸向的應(yīng)力波與管內(nèi)流體聲波之間的相互耦合作用。另外，Leer 等[13]還在理論中加入了重力作用和流體的粘性效應(yīng)。此外，Gormanr 等[14]也考慮了管道的徑向變形和初始預(yù)應(yīng)力作用?？紤]管路流固耦合(Fluid-Structure Interaction, FSI)將有助于提高管路計(jì)算精度，不考慮流固耦合將會(huì)導(dǎo)致管內(nèi)流體壓力計(jì)算結(jié)果偏低，管路結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果偏高。精確的管路流固耦合計(jì)算模型將有助于管路系統(tǒng)的優(yōu)化與設(shè)計(jì)，而不夠精確的計(jì)算結(jié)果則會(huì)導(dǎo)致管路失效，引發(fā)安全事故與經(jīng)濟(jì)損失。因此很多學(xué)者對管路流固耦合模型開展研究，管路流固耦合可看作是經(jīng)典水錘理論的擴(kuò)展，充液管路流固耦合從基本的2 方程水錘模型發(fā)展到求解三維管路流固耦合振動(dòng)的14 方程模型，還經(jīng)歷了軸向振動(dòng)4 方程模型，橫向振動(dòng)6 方程模型和面內(nèi)振動(dòng)8 方程模型等逐漸完善的階段。主要分為時(shí)域響應(yīng)求解和頻域響應(yīng)求解兩大類，時(shí)域分析方法以特征線法為代表，頻域分析方法主要有傳遞矩陣法、阻抗綜合法、動(dòng)剛度法等。其中，傳遞矩陣法在求解長距離輸流管道時(shí)會(huì)存在數(shù)值溢出和響應(yīng)計(jì)算不穩(wěn)定。

此外，穩(wěn)定性分析也是充液管路重要的研究方向之一，Pa?doussis 等[24]進(jìn)行了大量的管路顫振和發(fā)散失穩(wěn)方面的研究，Li 等[25]基于哈密爾頓原理研究了兩端彈性約束充液管非線性振動(dòng)特性，Djondjorov 等[26]研究了彈性基礎(chǔ)上管路中流速對充液管道失穩(wěn)特性的研究。但失穩(wěn)管路中的流速都比較高，船舶充液管路流速通常為3～10 m/s。張濤等[27]通過計(jì)算與實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，管內(nèi)流速從0 m/s 增加到8.9 m/s 時(shí)，管路系統(tǒng)固有頻率幾乎不變。

表1 文獻(xiàn)[27]中充液管路系統(tǒng)固有頻率隨流速變化Tab.1 The natural frequency of the liquid filled pipeline system varies with flow velocity in reference [27]

目前，針對功能梯度管道流固耦合振動(dòng)研究的文獻(xiàn)較為有限。劉辰[19]分別采用Euler梁和Timoshenko 梁模型研究了功能梯度輸流管的振動(dòng)及失穩(wěn)，此外近年來在微尺度方向?qū)τ趩伪?、多壁輸流碳納米管[20–22]的研究也很熱門，但大多將流體視為附加質(zhì)量，并未考慮流體與結(jié)構(gòu)的耦合。

本文假設(shè)管道材料特性沿管壁厚度方向呈現(xiàn)梯度變化。為了模擬管壁的連續(xù)梯度變化，將其均分為多層，并把每一層近似為均勻材料。基于管道流固耦合理論，將流速和壓力設(shè)為變量，計(jì)入流體在管道軸向的可壓縮性。通過管道的運(yùn)動(dòng)方程及流體運(yùn)動(dòng)、連續(xù)方程得出輸流彎管的耦合振動(dòng)方程，還可進(jìn)一步退化為直管方程。采用動(dòng)剛度法進(jìn)行數(shù)值求解，并基于單位內(nèi)控制方程的精確解進(jìn)行計(jì)算。相較于有限元法，該方法具有更高的計(jì)算效率。

1 功能梯度充液管道控制方程

1.1 功能梯度管理論模型

假設(shè)管道截面為標(biāo)準(zhǔn)圓形，管道的徑向坐標(biāo)記為r，其內(nèi)徑為r1，外徑為r2。又假設(shè)楊氏模量、密度以及泊松比都沿著半徑厚度方向呈指數(shù)變化。如圖1 所示，將截面均勻地分為K層，并假設(shè)每一層的材料屬性保持不變，同時(shí)沿厚度方向，層與層之間的材料參數(shù)呈現(xiàn)梯度變化例如第m層的材料參數(shù)表達(dá)式為：

圖1 管道截面分層模型Fig.1 Discrete model for the pipe section

式中，下標(biāo)1 和下標(biāo)2 分別表示內(nèi)界面和外界面的材料參數(shù)，rm1和rm2分別為第m層的內(nèi)外半徑，n為可變化的梯度指數(shù)。

1.2 充液彎管方程

彎管是管路系統(tǒng)中的重要組成部件之一，具有改變管內(nèi)流體流動(dòng)方向功能。研究一段圓弧形充液彎管的振動(dòng)，彎曲半徑為R，彎曲角度為α，管道內(nèi)半徑為a，壁厚為e。圖2 為彎管的微元段，圖中建立的局部坐標(biāo)系沿管道的軸向弧線方向?yàn)閟，面內(nèi)與s方向相切的方向?yàn)閦軸，垂直方向?yàn)閥軸。彎管可視為一個(gè)曲梁結(jié)構(gòu)，u和w分別表示梁的中性軸沿z軸和y軸的位移，φ表示面內(nèi)的轉(zhuǎn)角。在彎管兩端截面上，N和Q分別表示軸向力和剪力，M表示彎矩，P和cf表示流體截面的平均流體壓力和流速。

圖2 彎管微元段受力示意圖Fig.2 Force diagram for infinitesimal curved pipe element

對于曲梁結(jié)構(gòu)，截面上的應(yīng)變?yōu)椋?/p>

式中：κ為曲率變化，ε0為中性面上的應(yīng)變，γ為剪應(yīng)變，則梁上任意一點(diǎn)軸向應(yīng)變?yōu)?εz=ε0+yκ。

在y-z平面內(nèi)，由圖2 可得該彎管橫向及軸向的平衡方程為：

流體在軸向的運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)方程為：

式中：r為截面徑向坐標(biāo)；Kf為流體的體積模量；ur為徑向位移。在流體截面內(nèi)進(jìn)行積分并取平均值：

將式(10)沿管壁截面積分，取平均值得：

方程(3)～方程(5)、方程(13)～方程(16)構(gòu)成了功能梯度充液彎管的面內(nèi)振動(dòng)方程。

2 管系振動(dòng)求解

采用管道子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣為最小的拼接單元，為了在同一矩陣下組裝管道，采用管道兩端的流體位移變量，需從管道振動(dòng)控制方程中的變量速度進(jìn)行偏導(dǎo)變化求得。根據(jù)分離變量原則，假設(shè)管道兩端的位移和力變量形式為： ψ(s,t)=Ψ(s)eiωt。其中，i為虛數(shù)單位(i2=-1)，ω為圓頻率。聯(lián)立方程，消去振動(dòng)控制方程中的內(nèi)力變量，則得到關(guān)于位移變量的矩陣方程為：

式中，Huj、Hwj、Hvj均為常系數(shù)。聯(lián)立式(13)～式(16)中的內(nèi)力與位移之間的關(guān)系，可以用位移變量來表示內(nèi)力變量。每個(gè)管道單元都有首尾兩端，將每一端的位移、轉(zhuǎn)角和流速作為單元節(jié)點(diǎn)位移，將界面上的內(nèi)力和流體壓力作為單元節(jié)點(diǎn)外力。值得注意的是，位移和外力的函數(shù)都與C1～C8相關(guān)，因此節(jié)點(diǎn)外力和節(jié)點(diǎn)位移可用矩陣形式表示為：

式中：K1和K2為與ω相關(guān)的系數(shù)矩陣，Rα表示曲管的弧長。若管道為直管，則用管道長度L來代替Rα。

因此由式(18)可得節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為：

其中，Ke為單元?jiǎng)觿偠染仃嚕琄e=K2K1-1。

3 算例分析與討論

3.1 退化至各向同性材料的驗(yàn)證

運(yùn)用動(dòng)剛度法計(jì)算圖3 中一段L 型的空心管道，其一端固支，另一端自由。在自由端施加橫向單位載荷時(shí)，該位置的1～1 000 Hz 橫向位移響應(yīng)曲線如圖4所示。離散模型是由若干條直管單元組裝而成，同時(shí)在轉(zhuǎn)角處會(huì)被離散成2 段直管。而連續(xù)模型則由首末端的直管單元和一個(gè)彎曲單元組裝而成，其中彎曲單元會(huì)被建模為梁模型，并且在有限元軟件中進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算模型的尺寸及參數(shù)為：L=1 m；R=0.2 m；a=35 mm；e=5 mm；E=157 GPa；μ=0.34；ρ=9 000 kg/m3。從圖4 曲線可以看出，連續(xù)模型和離散模型計(jì)算結(jié)果非常接近。在低頻范圍內(nèi)，有限元計(jì)算結(jié)果和動(dòng)剛度法計(jì)算結(jié)果完全一致，而當(dāng)頻率升高，有限元網(wǎng)格劃分細(xì)化度越高，越逼近動(dòng)剛度法的計(jì)算曲線。由此可見本文采用的動(dòng)剛度法計(jì)算效率相對較高。

圖3 L 型管系結(jié)構(gòu)Fig.3 The L-shaped pipe system

圖4 管道自由端頻域位移響應(yīng)曲線Fig.4 Displacement responses at the free end in frequency domain

驗(yàn)證充液管道的振動(dòng)特性。如圖5 所示，管道由一段帶法蘭的直管和一段彎曲管道構(gòu)成。其中，管道左側(cè)與管道支撐構(gòu)件固定，管道上端無約束且與大氣相通。管道材料密度為7 900 kg/m3，材料損耗為0.001，楊氏模量為210 GPa，泊松比為0.3。法蘭內(nèi)徑為90 mm，外徑為185 mm，厚度為20 mm，法蘭與法蘭之間通過螺栓連接。管道截面直徑為80 mm，壁厚為4.5 mm，。管道內(nèi)充液體為水，密度為1 000 kg/m3，體積模量為1.95 GPa，損耗為0.002。實(shí)驗(yàn)中，在管道的自由端放置了激振器，以產(chǎn)生單元力載荷，并進(jìn)一步產(chǎn)生面內(nèi)橫向載荷。圖6 對比了10～1 000 Hz 頻率范圍內(nèi)的彎管面內(nèi)振動(dòng)加速度響應(yīng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明理論預(yù)測與實(shí)驗(yàn)曲線吻合度較高。此外，對于內(nèi)徑較小的充液管路彎管而言，使用連續(xù)模型和離散模型的差異仍然較小。

圖5 充液管道示意圖Fig.5 Experimental photo of fluid-filled pipes

圖6 頻域內(nèi)加速度響應(yīng)曲線對比Fig.6 Comparions of acceleration responses in frequency domain

3.2 功能梯度充液管道的振動(dòng)

以一段長度為6 m、兩端簡支的功能梯度充液直管為例，其截面內(nèi)徑為0.2 m，內(nèi)壁由SiC 陶瓷材料制成，外壁由鋁-SiC 陶瓷材料復(fù)合而成。其中，SiC 陶瓷的楊氏模量為427 GPa，泊松比為0.17，密度為3 100 kg/m3，鋁-SiC 陶瓷的楊氏模量為70 GPa，泊松比為0.33，密度為2 700 kg/m3，管內(nèi)流體為水。管壁用20 層均勻離散單元進(jìn)行模擬，根據(jù)計(jì)算結(jié)果生成固有頻率表。

表2 列舉的分別為前3 階彎曲模態(tài)，第一階軸向模態(tài)及前3 階流體模態(tài)，由表中數(shù)據(jù)對比可見，管壁材料的變化對于結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響要大于對于流體模態(tài)的影響；管道截面壁厚與內(nèi)徑比越小，即管壁越薄，材料對于流體模態(tài)的影響越大；隨n值增大，固有頻率增大，但變化幅度逐漸變小。不過這是由沿壁厚方向的變化函數(shù)決定的。

表2 不同壁厚情況下充液直管固有頻率(Hz)Tab.2 Natural frequencies(Hz) of fluid-filled straight pipes with different thickness

針對圖3 的管系算例，將金屬材料變?yōu)楣δ芴荻炔牧?，在第一段直管末端施加橫向單位載荷，得到頻域內(nèi)管道自由端的橫向位移響應(yīng)后，進(jìn)行傅里葉逆變換得到時(shí)域內(nèi)響應(yīng)。圖7 展示了在0～1 s 內(nèi)，當(dāng)采用不同n值的管道材料時(shí)，橫向位移響應(yīng)曲線的變化。值得注意的是，盡管在前面算例中發(fā)現(xiàn)n值升高能提高固有頻率，但管道的振動(dòng)幅值并非隨n值的增大單調(diào)降低。選取幾個(gè)具有代表性n值的計(jì)算結(jié)果。由圖可知，在n值小幅提升時(shí)，振動(dòng)幅值明顯降低，但n值繼續(xù)增大至3 時(shí)，振動(dòng)幅值反而增大，而當(dāng)n進(jìn)一步增大，即材料無限近似于內(nèi)壁材料時(shí)，振動(dòng)幅值又顯著降低。由此可見，在工程中在應(yīng)用功能梯度材料時(shí)，對于梯度變化函數(shù)的定義應(yīng)綜合考慮其動(dòng)態(tài)特性和對結(jié)構(gòu)的影響等因素。

4 結(jié) 語

本文研究了充液功能梯度管道的振動(dòng)特性，將動(dòng)剛度法應(yīng)用于管道單元組裝和拼接。通過與有限元和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比驗(yàn)證，本文所采用的計(jì)算方法經(jīng)證實(shí)準(zhǔn)確可靠。由功能梯度管道的振動(dòng)模態(tài)和時(shí)域響應(yīng)分析可見：管道材料的變化對于結(jié)構(gòu)的影響遠(yuǎn)大于對于流體的影響，管壁越薄，流體所受的影響越大；管壁應(yīng)用功能梯度材料在保證強(qiáng)度和耐腐蝕的前提下，適當(dāng)改變梯度指數(shù)能有效提高管道結(jié)構(gòu)振動(dòng)的穩(wěn)定性，但梯度指數(shù)的選取與功能梯度材料本身的材料屬性變化函數(shù)相關(guān)。本文提出的分層模型還可適用于多層復(fù)合管道，運(yùn)用的動(dòng)剛度法可適用于多種管道組裝方式，且具有較高的計(jì)算效率。