陳凝飛 魏廣宇 仇志勇2)?

1) (浙江大學(xué)物理學(xué)院,聚變理論與模擬中心,杭州 310027)

2) (Center for Nonlinear Plasma Science and ENEA C.R.Frascati,Frascati,Italy)

為了理解托卡馬克裝置中給定徑向電場對離子溫度梯度模(ITG)穩(wěn)定性的影響,基于非線性回旋動理學(xué)理論和氣球模表象推導(dǎo)了環(huán)位形下包含徑向電場引起的極向流和密度擾動影響的ITG 的本征模方程,并分別在長/短波長極限下研究了高能量粒子誘發(fā)測地聲模(EGAM)所伴隨的徑向電場對ITG 的本征頻率、增長率和平行模結(jié)構(gòu)的影響.不僅對該本征模方程進(jìn)行了理論研究,還使用本征矩陣法對其進(jìn)行數(shù)值求解,以便對理論結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.研究發(fā)現(xiàn)EGAM 伴隨的電場引起的極向轉(zhuǎn)動會大幅降低ITG 的增長率,而極向模數(shù)m=1 的密度擾動對ITG 的線性穩(wěn)定性影響很小.這一結(jié)果與一般認(rèn)為的帶狀流通過極向流剪切抑制湍流的結(jié)果是一致的.除此之外,使用本文發(fā)展的一般性方法也可以研究高能量粒子激發(fā)的阿爾芬不穩(wěn)定性與漂移波湍流通過阿爾芬不穩(wěn)定性激發(fā)帶狀結(jié)構(gòu)發(fā)生的間接非線性相互作用,即帶狀結(jié)構(gòu)所伴隨的徑向電場通過極向轉(zhuǎn)動和密度擾動影響ITG 的穩(wěn)定性.該間接非線性通道可以作為對主導(dǎo)背景等離子體輸運(yùn)的微觀湍流和主導(dǎo)高能量粒子輸運(yùn)的阿爾芬不穩(wěn)定性之間的直接相互作用通道的補(bǔ)充.

1 引言

由磁約束聚變裝置中普遍存在的壓強(qiáng)梯度驅(qū)動的漂移波湍流(drift wave,DW)被認(rèn)為是引起等離子體反常輸運(yùn)的可能原因之一[1],從而導(dǎo)致等離子體約束性能降低.在眾多漂移波模式中,由離子溫度梯度驅(qū)動的離子溫度梯度模(ion-temperature gradient driven mode,ITG)是被研究得最多的漂移波之一,這是由于它會造成離子的熱輸運(yùn),而離子的約束對于未來磁約束裝置極為重要.因此,需要對ITG 的線性穩(wěn)定和非線性飽和機(jī)制進(jìn)行研究.其中,ITG 非線性飽和機(jī)制的研究對提升磁約束聚變裝置的熱離子約束性能和加深對低-高約束模轉(zhuǎn)換的理解具有重要意義.

徑向電場引起的E×B極向剪切流可以破壞ITG 的徑向相干結(jié)構(gòu),從而降低其幅度及相應(yīng)的離子熱輸運(yùn)[2].Hahm等[3]通過兩點(diǎn)非線性理論分別研究了大縱橫比或有限縱橫比的托卡馬克位形中的E×B極向剪切流對湍流的抑制作用,并發(fā)現(xiàn)當(dāng)流剪切率大于背景湍流的去相關(guān)率時(shí)(正比于增長率),湍流就會被大幅抑制.隨后,他們還發(fā)現(xiàn)雖然極向流的振蕩分量(如本文中重點(diǎn)討論的測地聲模)對剪切率的貢獻(xiàn)很大,但是它對背景湍流的抑制效果不如零頻帶狀流.這可能是由于有限頻率的剪切流在湍流渦旋還未被扭曲時(shí)就改變方向,從而使其平均效果沒有零頻分量強(qiáng).但是,這些徑向電場與DW 相互作用的模型都沒有包含可能會產(chǎn)生定性影響的環(huán)耦合效應(yīng).因此,需要研究環(huán)耦合效應(yīng)存在時(shí),徑向電場對ITG 穩(wěn)定性和平行模結(jié)構(gòu)的影響.

這些徑向電場有多種來源,包括湍流自發(fā)激發(fā)的帶狀流(zonal flows,ZFs)和外源產(chǎn)生的徑向電場.帶狀流是環(huán)向模數(shù)n=0、極向模數(shù)m ≈0 的介觀尺度徑向電場.它包含零頻帶狀流(zero-frequency ZF,ZFZF)和有限頻率的測地聲模(geodesic acoustic mode,GAM).ITG 可以通過非線性雷諾脅強(qiáng)自發(fā)激發(fā)帶狀流,這是ITG 非線性飽和的重要通道.在該過程中ITG 一方面會將一部分能量非線性地傳遞給帶狀流,另一方面,也會被帶狀流散射到線性穩(wěn)定的短波長區(qū)間[4,5].因此,ITG 具有自調(diào)制的過程,即ITG 自發(fā)激發(fā)的帶狀流會對ITG自身性質(zhì)產(chǎn)生影響.另外,未來及現(xiàn)有的眾多托卡馬克中通過中性束加熱或聚變反應(yīng)產(chǎn)生的高能量粒子(energetic particle,EPs)對自持燃燒具有重要意義.由于GAM 具有有限頻率,可被速度空間各向異性的高能量粒子共振激發(fā),即高能量粒子誘發(fā)測地聲模(energetic-particle-induced GAM,EGAM)[6?9].由于帶狀流可以通過非線性雷諾脅強(qiáng)抑制湍流,Qiu等[10]提出用中性束注入激發(fā)EGAM,進(jìn)而對湍流進(jìn)行主動控制.但是,Zarzoso等[11]的回旋動理學(xué)模擬表明,EGAM 被EPs 注入激發(fā)后,反而將ITG 湍流從Dimits 臨界穩(wěn)定區(qū)間中激發(fā)起來[12],從而破壞等離子體約束,這與人們普遍認(rèn)為的帶狀流抑制湍流的圖像矛盾.一個可能的機(jī)制是,對于臨界穩(wěn)定的背景湍流,當(dāng)EGAM 被EPs 強(qiáng)烈激發(fā)時(shí),耦合的非線性系統(tǒng)將會把能量傳遞給背景湍流,這一機(jī)制可類比化學(xué)中的勒夏特列原理[5,13,14].

除此之外,EPs 的特征拉莫半徑尺度與ITG湍流尺度之比?1 (其中TE為EP 溫度,Ti為離子溫度),因此之前都認(rèn)為EPs 和微觀湍流之間的相互作用較弱.同時(shí),未來燃燒等離子體中產(chǎn)生的α 粒子的速度拋射角各向同性,因此,EGAM與湍流之間的相互作用和主要依靠α 粒子加熱的燃燒等離子體不完全相關(guān).但是大量實(shí)驗(yàn)[15,16]和模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)EPs 的注入可能會對湍流幅度進(jìn)行調(diào)制,使得背景等離子體約束改善[17?19].針對這一現(xiàn)象,人們提出了各種假說,其中高能量粒子直接或間接產(chǎn)生的徑向電場可能會在其中發(fā)揮重要作用.一方面,EPs 可以通過軌道損失機(jī)制直接產(chǎn)生邊緣徑向電場[20],以此抑制湍流及其輸運(yùn),并可能導(dǎo)致低-高約束模轉(zhuǎn)換.另一方面,未來的燃燒等離子體中,EPs 的速度接近阿爾芬速度vA=其中ρ=nimi為等離子體質(zhì)量密度(mi是離子質(zhì)量,ni是離子密度),因此會激發(fā)各種阿爾芬本征模式(Alfvén eigenmodes,AEs)[21]或高能量粒子模(energetic particle mode,EPM)[22].這些阿爾芬本征模式可能通過參量衰變或調(diào)制不穩(wěn)定性激發(fā)帶狀結(jié)構(gòu)(zonal structures,ZSs)[23,24],并通過帶狀結(jié)構(gòu)與ITG 發(fā)生間接相互作用.這一間接非線性相互作用通道與二者的直接相互作用通道一起構(gòu)成了主導(dǎo)熱等離子體輸運(yùn)的微觀湍流和主導(dǎo)高能量粒子輸運(yùn)的阿爾芬湍流的非線性相互作用圖像[25].因此,在環(huán)位形中研究ITG 與徑向電場,尤其是與高能量粒子激發(fā)的徑向電場之間的非線性相互作用對理解ITG 的非線性飽和,以及ITG 與AEs 之間的間接相互作用都具有重要意義.

綜上所述,本文基于非線性回旋動理學(xué)理論在環(huán)位形中研究給定的徑向電場對ITG“線性”穩(wěn)定性的影響.首先推導(dǎo)了描述一般徑向電場影響下的ITG“線性”局域本征模方程,并將其變換到氣球?？臻g以便對環(huán)耦合效應(yīng)進(jìn)行處理.這里的局域指本文只考慮沿磁力線的平行模結(jié)構(gòu),并且包含了環(huán)效應(yīng)和平行可壓縮性,但忽略了徑向波包效應(yīng).研究發(fā)現(xiàn),在本模型中,徑向電場通過密度擾動和電勢擾動引起的極向轉(zhuǎn)動對ITG 的線性穩(wěn)定性產(chǎn)生影響.為了契合本文的主題,我們以EGAM 的徑向電場為例進(jìn)行了具體分析.研究發(fā)現(xiàn)無論在短波長還是長波長極限下,EGAM 的電勢擾動引起的極向轉(zhuǎn)動都會使得ITG 的線性增長率和實(shí)頻的絕對值大幅降低.與此同時(shí),EGAM 的密度擾動對ITG 的線性穩(wěn)定性影響較小.本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第2 節(jié)引入一般理論模型;第3 節(jié)在短波長和長波長極限下求解并分析ITG 的本征模方程;第4 節(jié)給出簡單的總結(jié)和討論.本文發(fā)展的一般模型,適用于頻率遠(yuǎn)低于ITG 頻率的徑向電場對其穩(wěn)定性的影響,因此,不僅適用于研究線性激發(fā)的帶狀流對ITG 穩(wěn)定性的影響,也可以應(yīng)用于理解平衡的平均流與湍流的相互作用,還可以應(yīng)用于高能量粒子激發(fā)的阿爾芬不穩(wěn)定性與漂移波湍流通過帶狀流結(jié)構(gòu)的“間接”相互作用.

2 基本模型

為了突出徑向電場對ITG 穩(wěn)定性的影響,本文采用具有同心圓磁面的托卡馬克位形,并使用右手系(r,θ,ξ),其中r,θ 和ξ 分別是小半徑、極向和環(huán)向角.在此位形中,平衡磁場由B=B0[(1-εcosθ)eξ+εeθ/q] 給出,其中ε ≡r/R是逆環(huán)徑比,R是大半徑,q ≡rBξ/(RBθ) 是安全因子,它代表磁力線在極向和環(huán)向環(huán)繞的圈數(shù)之比.由于ITG一般具有較高的環(huán)向模數(shù)n,平衡參數(shù)剖面(密度、溫度等)的特征長度遠(yuǎn)大于有理面之間的距離(Δr=1/(nq')),因此可以將擾動電勢寫為

其中,s ≡(r-r0)/Δr=nq-m0表示用相鄰有理面間距離Δr=1/(nq') 歸一化的徑向坐標(biāo),q'=?q/?r表示安全因子的徑向梯度,r0為參考磁面的徑向位置,它滿足nq(r0)-m0=0,且滿足m0為遠(yuǎn)大于j的整數(shù);表示ITG 的徑向精細(xì)結(jié)構(gòu).

ITG 和EGAM 都是頻率遠(yuǎn)低于回旋頻率的低頻擾動,因此二者之間的非線性相互作用可用非線性回旋動理學(xué)理論進(jìn)行研究.為了更加關(guān)注離子溫度梯度模的物理,這里假設(shè)托卡馬克密度剖面是平的,即ηi≡Lni/LTi→∞,其中Lni≡-ni/(?ni/?r),LTi≡-Ti/(?Ti/?r)分別為密度和溫度不均勻性的特征長度.同時(shí),假設(shè)在高約束模等離子體的臺基區(qū)內(nèi),徑向電場的頻率一般遠(yuǎn)低于ITG 的頻率.描述ITG 離子響應(yīng)的非線性回旋動理學(xué)方程由下式給出:

其中,左右兩邊的第一項(xiàng)分別為電子和離子的絕熱響應(yīng),即對應(yīng)無慣性的玻爾茲曼分布,〈·〉 代表速度空間 積分,N0表示粒子數(shù)密度,Ts表示粒子s的溫度.典型的ITG 模通常滿足k//v//,e?ω～ω?Ti?ωd,k//v//,i,即忽略電子的慣性,其擾動分布函數(shù)的非絕熱分量 δHI,e=0.在該量級下,離子的擾動分布函數(shù)的非絕熱分量為

其中,Λ ≡ickrkθ/B0為非線性耦合系數(shù).將ITG的離子非絕熱響應(yīng)(4)代入準(zhǔn)中性條件(3),即可得到ITG 的色散關(guān)系.同時(shí),垂直波數(shù)可以分解為徑向和極向分量,即,則第j個極向模式在實(shí)空間內(nèi)的本征模方程可寫為

在方程(5)中,s?≡r(?q/?r)/q是磁剪切,τ ≡Te/Ti是電子和離子溫度之比,bθ ≡,z ≡s-j=nq-m.方程(5)右邊第一項(xiàng)為磁漂移引起的相鄰極向模式之間的環(huán)耦合效應(yīng),這是托卡馬克這樣的環(huán)形磁約束裝置上特有的效應(yīng).另外,離子對徑向電場的非絕熱響應(yīng) 〈δHE,i〉 可能也有極向不均勻性,因此可能造成額外的環(huán)耦合.例如,對于本文研究的EGAM 來說,其密度擾動在環(huán)向截面為上下反對稱,正比于 sinθ,而ZFZF 的密度擾動正比于 cosθ[26].方程(5)是一個涉及徑向和極向的二維微分-差分方程,很難進(jìn)行理論分析.為了更好地研究環(huán)耦合效應(yīng)帶來的影響,采用氣球模表象將方程(5)分解為兩個耦合的一維本征值方程,即描述ITG 平行模結(jié)構(gòu)的方程和緩變的徑向包絡(luò)的方程.氣球模表象基于平移不變性,即有理面之間的距離 Δr遠(yuǎn)小于等離子體平衡參數(shù)變化的尺度或,可以認(rèn)為不同有理面上的極向分量的模結(jié)構(gòu)形狀一致.此時(shí),擾動電勢可以寫為傅里葉積分的形式:

其中,η 為沿磁力線的極向坐標(biāo),又被稱為擴(kuò)展極向角,其取值范圍為η ∈(-∞,+∞) ;Φ(η) 為ITG的平行模結(jié)構(gòu);A(r)為極向分量的緩變徑向包絡(luò).本文將基于局域模型研究ITG 的徑向模結(jié)構(gòu),并不包含其徑向波包效應(yīng)[27],因此也不會涉及EGAM的全局模結(jié)構(gòu)[8].基于(6)式給出的傅里葉積分形式,ITG 在氣球模空間的本征模方程可寫為

3 徑向電場對ITG 線性穩(wěn)定性的影響

基于方程(8)給定的EGAM 的徑向電場,方程(7)可進(jìn)一步寫為如下類薛定諤方程的形式:

3.1 短波長極限

從文獻(xiàn) [28]可知,ITG 的平行模結(jié)構(gòu)在實(shí)空間的寬度正比于b1/2,這說明短波長極限下(b～O(1)),ITG 的模結(jié)構(gòu)在徑向較寬,相鄰極向模式之間的耦合較強(qiáng),即在氣球?？臻g中局域在η=0 附近,形成氣球模結(jié)構(gòu).因此,短波長極限也被稱為強(qiáng)耦合/氣球近似(strong coupling/ballooning approximation).在這一近似下,周期性勢阱可在η=0 附近泰勒展開.值得注意的是,EGAM 正比于 sinη的貢獻(xiàn)會改變原方程的偶對稱性,從而使ITG 的本征模結(jié)構(gòu)不再關(guān)于η=0 對稱.當(dāng)偏離過大時(shí),上述在原點(diǎn)附近進(jìn)行的展開將可能不再適用.這里先驗(yàn)地假設(shè)該偏離 Δη ?1,從而使得上述展開依然有效.此時(shí),ITG 的本征模方程可寫為

其中,λ=(2l+1) 為該本征值方程的本征值,l為非負(fù)整數(shù).將方程(11)代入方程(12)即可得出能級為l的本征態(tài)的色散關(guān)系:

此時(shí),韋伯方程中的諧振子勢阱存在一系列本征值和本征函數(shù),如圖1 所示.從圖1(a)和圖1(b)可以看出,無論是否存在徑向電場,最不穩(wěn)定的本征態(tài)(本征值虛部最大)都是l=0 的基態(tài),其本征函數(shù)由高斯函數(shù)給出為Φ(η)=exp[-σ(η+Δη)2],其中

圖1 短波長極限下,eδφE/Ti=0 (a)和 0.1 (b)時(shí),ITG 本征值的實(shí)部(Ωr)和虛部(Ωi)的分布.在兩種情況下,最不穩(wěn)定的都是l=0 的基態(tài)Fig.1.Distribution of the real (Ωr) and imaginary (Ωi)parts of eigenvalues of ITG when eδφE/Ti=0 (a) and 0.1(b) in the short-wavelength limit.In both cases,the ground state with l=0 is the most unstable eigenstate.

因此,在不存在徑向電場時(shí)(Δη=0),ITG的基態(tài)本征模在氣球?？臻g的平行模結(jié)構(gòu)是局域在原點(diǎn)附近的高斯函數(shù),其寬度正比于1/b,即實(shí)空間模寬度正比于b;相反,在系統(tǒng)中存在有限的徑向電場時(shí)(Δη/=0),ITG 的平行模結(jié)構(gòu)相對原點(diǎn)有有限的偏移,如圖2 所示.此外,從圖2 發(fā)現(xiàn)由EGAM 引起的ITG 平行模結(jié)構(gòu)的偏移 Δη ?1,這說明了前文中將勢阱在η=0 附近展開的自洽性.同時(shí),基態(tài)對應(yīng)的色散關(guān)系(l=0)為

圖2 短波長極限下,eδφE/Ti=0.1 和0 時(shí),ITG 最不穩(wěn)定的基態(tài)的平行模結(jié)構(gòu).其中,藍(lán)色實(shí)線表示徑向電場為零時(shí)ITG 的模結(jié)構(gòu),紅色虛線表示有限徑向電場時(shí)ITG 的模結(jié)構(gòu)Fig.2.Mode structure of the most unstable mode of ITG.The blue solid and red dashed lines represent the cases with eδφE/Ti=0 and eδφE/Ti=0.1,respectively.

色散關(guān)系(14)除了大括號里的最后兩項(xiàng)表示由EGAM 的徑向電場引起的修正,其他項(xiàng)與文獻(xiàn) [28]中的ITG 線性色散關(guān)系一致.通過求解基態(tài)色散關(guān)系(14),可以得到基態(tài)本征值的解析解,它的實(shí)部和虛部分別為ITG 的實(shí)頻和增長率;同時(shí),本文也使用本征矩陣法直接求解方程(9)從而得到本征值的數(shù)值解,并將二者所得的結(jié)果進(jìn)行比較.圖3(a)和圖3(b)分別是ITG 的增長率和實(shí)頻對EGAM幅度的依賴關(guān)系,可以看到紅線代表的理論解和藍(lán)線代表的數(shù)值解符合得很好.從圖3(a)可以看出,當(dāng)徑向電場從0 增強(qiáng)到0.1 時(shí),ITG 的增長率大幅下降約50%,同時(shí),實(shí)頻的絕對值也下降約50%.從方程(2)可知,徑向電場對ITG 穩(wěn)定性的影響有兩個通道: 一是電勢擾動引起的極向旋轉(zhuǎn);二是密度擾動.為了研究兩個效應(yīng)各自對ITG 增長率降低的貢獻(xiàn),可在研究一個效應(yīng)時(shí)將另一個效應(yīng)關(guān)閉.首先,當(dāng)開啟密度擾動,同時(shí)關(guān)閉電勢擾動時(shí),ITG 的增長率基本不隨EGAM 幅度變化而變化,如圖4 中的綠色實(shí)線所示.考慮相反的情形,即只包含極向旋轉(zhuǎn)的影響而不包含密度擾動時(shí),ITG的增長率與將二者都包含的情況十分接近,分別如圖4 中的紅色虛線和藍(lán)色實(shí)線所示.綜上,我們發(fā)現(xiàn)徑向電場的電勢擾動(即極向旋轉(zhuǎn))是引起ITG 增長率下降的主要原因.

圖3 短波長極限下,ITG 的增長率 (a)和實(shí)頻(b)與EGAM幅度 eδφE/Ti 的關(guān)系.藍(lán)色圓點(diǎn)表示直接數(shù)值求解本征值方程(9)得到的數(shù)值解,紅色叉號表示求解基態(tài)色散關(guān)系(14)得到的理論解.實(shí)頻和增長率都是用 Cs/ 進(jìn)行歸一化,其中,=2Te/mi 表示聲速;這兩幅圖所用的參數(shù)為=0.2,b=1Fig.3.Dependence of the growth rate (a) and real frequency (b) of ITG on the amplitude of EGAM eδφE/Ti in short-wavelength limit.The blue circles represent the numerical value obtained by directly solving the eigenmode equation (9);while the red crosses represent the theoretical value obtained by solving the dispersion relation (14).The real frequency and growth rate of ITG are normalized to Cs/,with =2Te/mi representing sound velocity.The parameters used here are =0.2 and b=1.

3.2 長波長極限

3.1 節(jié)討論的強(qiáng)耦合近似要求b ?1,這是一個很強(qiáng)的約束條件.當(dāng)b逐漸減小時(shí),ITG 極向分量的徑向?qū)挾纫仓饾u減小,因此在b?1 的長波長極限下,強(qiáng)耦合近似不再成立.由于在長波長近似下ITG 極向分量的實(shí)空間寬度很小,相鄰極向分量之間的耦合相比強(qiáng)耦合近似弱,因此也被稱為中等/弱耦合近似.長波長近似下存在平板ITG 和環(huán)形ITG 兩個分支,而本文更關(guān)注激發(fā)閾值更低的環(huán)形分支.環(huán)形ITG 的平行模結(jié)構(gòu)是環(huán)效應(yīng)引起的快變勢阱(η～O(1))的響應(yīng)和慢變的平衡剖面的響應(yīng)的疊加.自洽性分析給出環(huán)分支是由平行可壓縮性(正比于η 二階導(dǎo)的項(xiàng))與絕熱電子響應(yīng)(正比于Ω3的項(xiàng))平衡得到,由此可以得出Ω=O(b-1/3).此時(shí),可以定義環(huán)分支的模結(jié)構(gòu)為

圖5 長波長極限下,eδφE/Ti=0 (a)和 0.1 (b)時(shí),ITG 的本征值分布.在兩種情況下,最不穩(wěn)定的都是l=0 的基態(tài)Fig.5.Distribution of eigenvalues of ITG wheneδφE/Ti=0(a) and 0.1 (b) in the long-wavelength limit.In both cases,the ground state with l=0 is the most unstable eigenstate.

方程(19)左邊第二項(xiàng)由徑向電場電勢m=0分量貢獻(xiàn),而密度擾動對長波長極限下的ITG 色散關(guān)系沒有貢獻(xiàn),這可能是由于在長波長極限下ITG的平行模結(jié)構(gòu)很寬,如圖6 所示,從而將EGAM的m=1 的密度擾動平均了.圖7 給出了ITG 的增長率和頻率對徑向電場幅度的依賴關(guān)系,可以發(fā)現(xiàn)理論解和數(shù)值解符合得較好.具體來說,當(dāng)徑向電場強(qiáng)度eδφE/Ti從0 增強(qiáng)到0.1 時(shí),ITG 的增長率從0.028 下降到0.020,下降約 28%.與此相比,短波長情形下,ITG 的增長率大幅下降約50%.這說明,在同樣幅度下,徑向電場對短波長極限的ITG 的致穩(wěn)效果比對長波長極限的ITG 強(qiáng),但是我們并不清楚造成該現(xiàn)象的原因.方程(19)中不包含密度調(diào)制的貢獻(xiàn),這說明長波長極限下密度調(diào)制可能不會對ITG 的增長率造成影響.同樣,解析的色散關(guān)系(19)說明密度擾動不對ITG 的線性色散關(guān)系造成影響,為了驗(yàn)證這一點(diǎn),采用與短波長極限時(shí)相同的做法,即在研究一個效應(yīng)時(shí)將另一個關(guān)閉,結(jié)果如圖8 所示.結(jié)果表明,只存在極向旋轉(zhuǎn)和兩種非線性效應(yīng)都存在時(shí),ITG 增長率對EGAM 幅度的依賴關(guān)系基本一致,同時(shí),只存在密度擾動時(shí),ITG 增長率不隨EGAM 幅度變化.因此,在長波長極限下,EGAM 的電勢擾動會導(dǎo)致ITG 增長率下降,而密度擾動對ITG 的增長率沒有影響.長波長極限下,ITG 的平行模結(jié)構(gòu)的偶對稱性也會被徑向電場破壞,使其從壞曲率區(qū)產(chǎn)生微小的偏移,如圖6 所示.值得一提的是,這些結(jié)果是在b=0.01 時(shí)得到的,這會導(dǎo)致ITG的頻率小于EGAM 的頻率,從而破壞理論的自洽性,但是為了將快慢尺度充分分離,依然采用了這一非典型參數(shù).

圖6 長波長極限下,eδφE/Ti=0.1 和0 時(shí),ITG 最不穩(wěn)定的基態(tài)的平行模結(jié)構(gòu).其中,藍(lán)色實(shí)線表示徑向電場為零時(shí)ITG 的模結(jié)構(gòu),紅色虛線表示有限徑向電場時(shí)ITG 的模結(jié)構(gòu)Fig.6.Mode structure of the most unstable mode of ITG.The blue solid and red dashed lines represent the cases with eδφE/Ti=0 and eδφE/Ti=0.1,respectively.

圖7 長波長極限下,ITG 的增長率 (a)和實(shí)頻(b)與EGAM 幅度 eδφE/Ti 的關(guān)系.藍(lán)色圓點(diǎn)表示直接數(shù)值求解本征值方程(9) 得到的數(shù)值解,紅色叉號表示求解基態(tài)色散關(guān)系(19)得到的理論解.這兩幅圖所用的參數(shù)為εTi=0.2,b=0.01Fig.7.Dependence of the growth rate (a) and real frequency (b) of ITG on the amplitude of EGAM eδφE/Ti in long-wavelength limit.The blue circles represent the numerical value obtained by directly solving the eigenmode equation (9);while the red crosses represent the theoretical value obtained by solving the dispersion relation (19).The parameters used here are εTi=0.2 and b=0.01.

圖8 長波長極限下,極向旋轉(zhuǎn)和密度調(diào)制共同作用和分別作用時(shí) ITG 增長率對 EGAM 幅度的依賴關(guān)系.圖中綠色實(shí)線表示只有密度擾動的情形,紅色虛線表示只有電勢擾動的情形,藍(lán)色實(shí)線表示兩種擾動都存在的情形Fig.8.Dependence of the growth rate of ITG in presence of poloidal rotation and/or density modulation in longwavelength limit.The green solid and red dashed lines represent the cases with only density modulation and poloidal rotation,respectively;while the blue line represents the case with both effects.

4 結(jié)論

為了研究徑向電場對ITG“線性”穩(wěn)定性的影響,本文基于非線性回旋動理學(xué)理論和氣球模表象,在環(huán)位形下推導(dǎo)了可以描述在一般徑向電場影響下的ITG 本征模方程.該模型適用于頻率遠(yuǎn)低于ITG 的徑向電場.另外,為了理解高能量粒子激發(fā)的EGAM 的電場對ITG 的影響,將EGAM 作為示例進(jìn)行研究,并在短/長波長極限下分別對其進(jìn)行解析求解.不僅對該本征模方程進(jìn)行理論研究,還基于本征矩陣法對其進(jìn)行數(shù)值求解以便對解析結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證.

從一般模型可知徑向電場主要通過密度擾動和電勢擾動引起的極向轉(zhuǎn)動對ITG 造成影響.無論是在短波長還是長波長極限,EGAM 的電勢擾動引起的極向轉(zhuǎn)動都會導(dǎo)致ITG 的線性增長率和實(shí)頻的絕對值大幅降低.同時(shí),EGAM 的密度擾動對ITG 的線性穩(wěn)定性幾乎沒有影響,尤其在長波長極限下,快變的密度擾動在慢變平行模結(jié)構(gòu)尺度上被平均,從而不會進(jìn)入ITG 的色散關(guān)系.另外,EGAM 的密度擾動正比于 sinη,因此會破壞原有勢阱的偶對稱性,并最終導(dǎo)致ITG 的平行模結(jié)構(gòu)偏離η=0.雖然本文得到的結(jié)果與一般的極向剪切流抑制湍流的模型所得到的的結(jié)果一致,但是本文中極向流可以直接降低ITG 的線性增長率,且不依賴流的剪切.

本研究不僅給出了徑向電場為EGAM 時(shí)ITG的增長率、實(shí)頻和平行模結(jié)構(gòu)等的具體結(jié)果,也提供了研究徑向電場對ITG 不穩(wěn)定性的影響的一般理論模型,這些徑向電場不僅可以是由外部注入的高能量粒子直接激發(fā)的電場,也可以是由阿爾芬本征模等不穩(wěn)定性自發(fā)激發(fā)的介觀尺度帶狀結(jié)構(gòu).帶狀結(jié)構(gòu)同樣可通過極向轉(zhuǎn)動和密度擾動對ITG 的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響,因此,ITG 與高能量粒子激發(fā)的阿爾芬不穩(wěn)定性可以通過介觀尺度帶狀結(jié)構(gòu)為中介發(fā)生間接相互作用.該間接相互作用通道將與兩者的直接非線性相互作用通道一起構(gòu)成主導(dǎo)背景等離子體輸運(yùn)的微觀湍流和主導(dǎo)高能量粒子輸運(yùn)的阿爾芬不穩(wěn)定性之間的相對完整的非線性作用圖像,有助于人們理解等離子體中多尺度的非線性相互作用.同時(shí),本工作也存在一些不足之處.首先,所做的分析都是假設(shè)了ITG 的頻率遠(yuǎn)大于徑向電場的頻率,這一點(diǎn)對靠近芯部的EGAM 來說并不一直成立.因此,未來可以將此模型推廣到有限頻率的徑向電場的情形.另外,只考慮了徑向的局域理論,沒有研究ITG 的徑向包絡(luò)效應(yīng)的影響.但是,托卡馬克中的徑向電場具有徑向不均勻性,如本文中研究的EGAM 就具有全局模結(jié)構(gòu).因此,本文給出的局域模型無法包含徑向電場的梯度及其產(chǎn)生的極向流的剪切對ITG 造成的影響.因此,需要繼續(xù)在本工作的基礎(chǔ)上包含ITG 的徑向包絡(luò)并進(jìn)而研究徑向電場的梯度和流剪切對ITG 穩(wěn)定性的影響.

感謝浙江大學(xué)陳騮教授分享的原始想法.