馬瑞瑞 陳騮 仇志勇

1) (核工業(yè)西南物理研究院,成都 610041)

2) (浙江大學(xué)物理系,杭州 310027)

3) (加州大學(xué)歐文分校物理與天文學(xué)系,加州 CA 92697-4574)

位于動(dòng)理學(xué)熱離子帶隙附近的低頻阿爾芬擾動(dòng)因可以與高能量粒子或背景熱粒子發(fā)生相互作用而引起了廣泛的關(guān)注.本文在一般魚骨模色散關(guān)系的理論框架下,針對(duì)反磁剪切托卡馬克等離子體中觀測到的由高能量粒子或者背景熱粒子激發(fā)的低頻剪切阿爾芬波的線性特性進(jìn)行了一系列的理論研究.由于這些低頻剪切阿爾芬波與2019 年DIII-D 開展的專門研究高能量離子驅(qū)動(dòng)低頻不穩(wěn)定的實(shí)驗(yàn)密切相關(guān),因此本文通過采用DIII-D 具有代表性實(shí)驗(yàn)的平衡參數(shù),證明了實(shí)驗(yàn)上觀測的低頻模和比壓阿爾芬本征模分別是以阿爾芬極化為主的反應(yīng)型和耗散型不穩(wěn)定模,因此,將前者稱為低頻阿爾芬模更準(zhǔn)確.由于受逆磁和捕獲粒子動(dòng)理學(xué)效應(yīng)的影響,低頻阿爾芬模既可以在低頻區(qū)(頻率小于熱離子的渡越或反彈頻率)與比壓阿爾芬聲模耦合,又可以在高頻區(qū)(頻率大于或近似等于熱離子的渡越頻率)與比壓阿爾芬本征模耦合.此外,由于受到不同激發(fā)機(jī)制的影響,與局域在安全因子最小值有理面附近的低頻阿爾芬模相比,驅(qū)動(dòng)比壓阿爾芬本征模的高能量離子的壓強(qiáng)梯度在偏離安全因子最小值的有理面時(shí)達(dá)到最大值,相應(yīng)的比壓阿爾芬本征模的本征函數(shù)在高能量離子驅(qū)動(dòng)最大的徑向位置處出現(xiàn)峰值.通過改變安全因子最小值理論上重現(xiàn)了實(shí)驗(yàn)上觀測的比壓阿爾芬本征模和低頻阿爾芬模的上升頻譜特征.研究還表明,比壓阿爾芬聲模由于受到強(qiáng)烈的朗道阻尼,因而很難被高能量粒子激發(fā),這與基于第一性原理的理論預(yù)測和模擬結(jié)果一致.本文證明了一般魚骨模色散關(guān)系在解釋和預(yù)測實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果方面的強(qiáng)大能力.

1 引言

高能量粒子(energetic particle,EP)在聚變等離子體中的約束特性對(duì)決定當(dāng)前和未來接近或在反應(yīng)堆參數(shù)區(qū)間運(yùn)行的托卡馬克的性能具有重要意義.例如,為了點(diǎn)燃氘-氚(D-T)等離子體,必須對(duì)在D-T 聚變反應(yīng)中產(chǎn)生的阿爾法粒子進(jìn)行良好的約束.同樣地,在射頻或中性束注入實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的高能量離子也必須受到良好的約束才能成功地實(shí)現(xiàn)等離子體加熱和/或電流驅(qū)動(dòng).盡管目前基于庫侖碰撞理論對(duì)EP 約束性的評(píng)估是可行的,但這一理論仍然存在嚴(yán)重的問題,問題主要來自于由EP 激發(fā)的集體振蕩所引起的EP 的反常輸運(yùn)損失.這是由于攜帶著足夠強(qiáng)的來自壓強(qiáng)梯度自由能的EP,其特征頻率(例如渡越/反彈頻率)與剪切阿爾芬波(shear Alfvén wave,SAW)的頻率在同一量級(jí)(均在MHz 范圍內(nèi)),并且SAW 的群速度與磁場平行,因此通過波-粒共振相互作用,可以直接激發(fā)多種SAW,并引起EP 的反常輸運(yùn).在聚變裝置中,由于磁場和等離子體的不均勻性,使得各種阿爾芬本征模(Alfvén eigenmode,AE)存在于SAW 連續(xù)譜的帶隙中.這些AE 因不受連續(xù)譜阻尼的影響,很容易被EP 激發(fā),因此通常被認(rèn)為是EP 輸運(yùn)的主要因素[1].

在這些由不同效應(yīng)引起的AE 中,其中由有限比壓引起的阿爾芬本征模(beta-induced Alfvén eigenmode,BAE)存在于由熱等離子體可壓縮效應(yīng)產(chǎn)生的間隙中[2,3].自首次觀測到BAE 以來[2,3],動(dòng)理學(xué)熱離子帶隙頻率[4]范圍內(nèi)的低頻阿爾芬波譜一直是人們研究的熱點(diǎn).這些模的頻率(ω)與熱離子逆磁頻率(ω?pi)同一量級(jí),且與熱離子渡越(ωti)和/或反彈(ωbi)頻率相當(dāng),因而可以與背景熱粒子和EP 發(fā)生相互作用[1,5-9].由這種相互作用引起的有限電磁擾動(dòng)和帶狀場結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)相應(yīng)粒子的輸運(yùn)過程產(chǎn)生正面或負(fù)面的影響[1,4,10].這類低頻SAW 擾動(dòng)包括但不局限于: 考慮了有限逆磁漂移效應(yīng)的動(dòng)理學(xué)氣球模(kinetic ballooning mode,KBM)[11-13]、由熱離子可壓縮性而引起的BAE[2,3]、由動(dòng)理學(xué)熱離子可壓縮性及波-粒共振效應(yīng)引起的阿爾芬的離子溫度梯度(Alfvénic ion temperature gradient,AITG)模[6,14]、以及由兩個(gè)邊帶聲模相互耦合再與SAW 耦合而產(chǎn)生的比壓阿爾芬聲模(betainduced Alfvén acoustic eigenmode,BAAE)[15,16].對(duì)于這些低頻SAW,由于熱等離子體的可壓縮效應(yīng)會(huì)對(duì)其色散關(guān)系產(chǎn)生重要的修正,因此,低頻SAW 的線性性質(zhì)往往與已被廣泛研究的環(huán)向阿爾芬本征模(toroidal Alfvén eigenmode,TAE)[17]和反磁剪切阿爾芬本征模(reversed shear Alfvén eigenmode,RSAE)[18,19]等高頻阿爾芬本征模的線性性質(zhì)不同.一般地,包含任何熱粒子動(dòng)理學(xué)效應(yīng)的由高能量粒子激發(fā)的Alfvén 波的不穩(wěn)定性,均可以在由Zonca 和Chen[20,21]發(fā)展的一般類魚骨模色散關(guān)系(general fishbone-like dispersion relation,GFLDR)的理論框架下進(jìn)行統(tǒng)一的描述.GFLDR 是類比磁流體能量原理的推導(dǎo)方法,將描述波色散關(guān)系的式子表示為類能量形式的方程.它首先要求擾動(dòng)量在空間上存在兩個(gè)徑向尺度,然后采用模分解[22]和WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)[23,24]漸進(jìn)匹配的方法將渦量方程表示成能量函數(shù)的形式.該理論已成功用于魚骨模、有限磁剪切下BAE 等相關(guān)實(shí)驗(yàn)的解釋和模擬的驗(yàn)證[25-27].在動(dòng)理學(xué)處理中,低頻SAW 連續(xù)譜的極化可以迅速變化,模之間的耦合對(duì)熱離子的溫度和密度的比值以及熱離子逆磁頻率與渡越頻率的比值非常敏感[5,28].因此,與低頻間隙相關(guān)的各種特征頻率變得非常重要.例如,通行粒子共振條件取決于渡越頻率,而捕獲粒子的共振條件取決于反彈頻率和環(huán)向進(jìn)動(dòng)頻率.為了直觀地說明與低頻間隙相關(guān)的特征頻率對(duì)低頻SAW 連續(xù)譜的影響,我們采用GFLDR 理論[5,7,14,20,21,29,30]畫出了環(huán)向模數(shù)n=3、極向模數(shù)m=4—8 的低頻SAW 和聲波分支的連續(xù)譜,結(jié)果如圖1 所示.這里采用了DIIID 第#178631 次放電在1200 ms 的平衡剖面.其中圖1(a1)—(c1)的連續(xù)譜包含了逆磁效應(yīng)和熱通行離子可壓縮效應(yīng),以及通過波-熱離子相互作用和逆磁效應(yīng)而產(chǎn)生的漂移阿爾芬波和漂移波邊帶模的耦合[7].因此,該連續(xù)譜可以描述模頻率滿足 |ωbi|＜ω|＜|ωA| (ωA代表Alfvén 頻率)的低頻模.圖1(a2)—(c2)則包含了逆磁效應(yīng)與熱通行和熱捕獲離子的可壓縮效應(yīng),能夠描述更低頻(0＜|ω|＜|ωA|)的SAW分支[5,8,28].根據(jù)GFLDR,我們可以通過模的頻率(Re(ω/ωti))(a)、增長率(Im(ω/ωti))(b)和極化性質(zhì)(|Sf|)(c)對(duì)各種分支進(jìn)行分類,這一點(diǎn)將在下文詳細(xì)闡述.這里要強(qiáng)調(diào)的是,通過對(duì)比圖1(a1)—(c1)和圖1(a2)—(c2)可知,捕獲粒子的動(dòng)理學(xué)效應(yīng)對(duì)相對(duì)高頻的BAE 的連續(xù)譜無明顯影響,而對(duì)低頻的BAAE 和KBM的連續(xù)譜(如頻率、增長率及極化性質(zhì))產(chǎn)生了重大的影響.

圖1 n=3,m=4—8 的 低頻SAW 和聲波分支的連續(xù)譜,此處采用了DIII-D 第#178631 次放電 在1200 ms 的平衡分布(a1)—(c1)考慮了逆磁效應(yīng)和熱通行離子可壓縮效應(yīng),以及通過波-熱離子相互作用和逆磁效應(yīng)而產(chǎn)生的漂移阿爾芬波和漂移波邊帶模的耦合[7]的低頻SAW連續(xù)譜;(a2)—(c2)包含了逆磁效應(yīng)與熱通行和熱捕獲離子的可壓縮效應(yīng)[5,8,28]Fig.1.Continuous spectra of low-frequency shear Alfvén and acoustic branches for n=3,m=4-8: (a1)-(c1)Considering the diamagnetic effects and thermal ion compressibility as well as drift Alfvén wave and drift wave sideband coupling via the wave thermal-passing-ion interaction and diamagnetic effect[7];(a2)-(c2) considering the diamagnetic effects and the rmalion compressibility (well passing and deeply trapped particle dynamics)[8,28].The equilibrium profiles of DIII-D #178631 at 1200 ms are adopted.

最近關(guān)于EP 對(duì)這些低頻SAW 影響的實(shí)驗(yàn)和模擬研究涵蓋了最新開發(fā)的創(chuàng)新診斷方法對(duì)實(shí)驗(yàn)測量的解釋和建模[31-35],以及在將數(shù)值研究和/或模擬結(jié)果與觀察到的現(xiàn)象進(jìn)行比較方面的最新進(jìn)展[28,36-40].尤其是2019 年Heidbrink等[33-35]在DIII-D 上進(jìn)行的一系列實(shí)驗(yàn)專門研究了低頻SAW的不穩(wěn)定性.這些實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn): 之前被識(shí)別為DIIID 中由高能量離子驅(qū)動(dòng)的低頻BAAE 不穩(wěn)定性其實(shí)與高能量離子的驅(qū)動(dòng)無關(guān),而且這種環(huán)向模數(shù)n=3—12的不穩(wěn)定性強(qiáng)烈地依賴于電子的參數(shù)(如電子溫度Te及其梯度),其頻率與離子逆磁頻率相當(dāng),并低于BAAE 的帶隙中心.此外,在Te≥2.1 keV且比壓β 值適中的實(shí)驗(yàn)條件下,這類低頻模呈現(xiàn)出“圣誕彩燈”和“山峰”的頻譜特征,即: 這種低頻模與安全因子q的演化有關(guān),局域在安全因子最小值qmin的徑向位置附近,并在qmin接近有理數(shù)時(shí)出現(xiàn).針對(duì)這種現(xiàn)象,陳騮[41]首次從理論上預(yù)測: 這一低頻模并不是通常所指的BAAE,而是一種與高能量離子激發(fā)無關(guān)的反應(yīng)型不穩(wěn)定性.關(guān)于反應(yīng)型不穩(wěn)定性的描述,將在下文進(jìn)行直觀且詳細(xì)的闡述(圖6).現(xiàn)在起將低頻模稱為低頻阿爾芬模(LFAM),它屬于以阿爾芬極化為主的低頻SAW.請(qǐng)注意,這個(gè)術(shù)語與DIII-D 實(shí)驗(yàn)中觀察到的低頻模(low-frequency mode)相同[33].此外,在DIII-D實(shí)驗(yàn)研究中還發(fā)現(xiàn),當(dāng)注入平行方向的中性束注入(neutral beam injection,NBI)時(shí),除了以上的LFAM 不穩(wěn)定性外,還觀測到了由高能量離子共振激發(fā)的、且不穩(wěn)定性對(duì)NBI 的功率和注入方向非常敏感的BAE.這里為了方便讀者閱讀,選取文獻(xiàn) [34]中典型的實(shí)驗(yàn)結(jié)論,如圖2 所示,其中圖2(a)為布局在DIII-D 大半徑R=192—201 cm之間的ECE 通道的互功率譜圖;圖2(b)為EFIT重建得到的qmin與時(shí)間的關(guān)系.其中頻譜圖中所示的不同符號(hào)分別對(duì)應(yīng)不同m/n值的不同模式:RSAE(?),BAE(?)及LFAM(□).這些不穩(wěn)定的高頻BAE 和LFAM 均出現(xiàn)在qmin附近,并且它們的頻譜特征隨著環(huán)向模數(shù)的增加呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì),而且相鄰環(huán)向模數(shù)的模頻率近似被環(huán)向旋轉(zhuǎn)頻率(frot)分隔.這些高頻的BAE 和低頻的LFAM之間的細(xì)微差別在于: 對(duì)于LFAM 而言,當(dāng)qmin為有理值時(shí),LFAM 才被觀測到;此外,ECE 測得的模結(jié)構(gòu)也局域在qmin的徑向位置.BAE 雖也出現(xiàn)在當(dāng)qmin接近有理數(shù)時(shí),但其不穩(wěn)定性發(fā)生的時(shí)間不如LFAM 精確.此外,與LFAM 相比,BAE 的本征函數(shù)在空間上偏離qmin的徑向位置.針對(duì)以上實(shí)驗(yàn)觀察,基于第一性原理的數(shù)值模擬已對(duì)BAE和LFAM 的線性性質(zhì)進(jìn)行了大量的模擬研究[40,42],但上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象仍未得到完全解釋.引用與Heidbrink 教授討論問題時(shí)的原話“That question has troubled me since2019when we did the experiment:why do these modes that seem so similar(in some ways)differ so much inothers?”.因 此,本文將基于GFLDR 的理論 框架[5,20,21,25,43-46],從理論上提供對(duì)DIII-D 實(shí)驗(yàn)觀測和數(shù)值模擬中低頻SAW 不穩(wěn)定性的本質(zhì)和主要特征(如LFAM,BAE 及BAAE 穩(wěn)定性和極化)的分析;同時(shí)也再次驗(yàn)證GFLDR 理論框架的預(yù)測能力及其對(duì)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬結(jié)果的解釋能力[20,21].

圖2 Heidbrink等[34]對(duì)DIII-D 參考炮數(shù)#178631 分析的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (a)布局在大半徑R=192—201 cm 之間的ECE 通道 的互功率譜 圖;(b) EFIT 重建得到 的 qmin 與時(shí) 間的關(guān)系.其中頻譜圖上所示的不同符號(hào)分別對(duì)應(yīng)不同m/n值的不同模式: RSAE(?),BAE(?)及LFAM(□)Fig.2.The DIII-D experimental results from Ref.[34] by Heidbrink et al.:(a)Cross-power spectrogram in the reference shot for ECE channels between192-201 cm;(b) measured qmin from EFIT reconstructions vs.time.The RSAE(?),BAE(?),and LFAM(□) symbols represent the values of m/n shown on the spectrogram.

本文從不考慮[47]以及考慮EP[48]的效應(yīng)來研究低頻SAW 的線性特征.在這種情況下,不同種類粒子的動(dòng)理學(xué)效應(yīng)將通過其壓強(qiáng)特征尺度線性地進(jìn)入低頻SAW 的色散關(guān)系并影響其行為.對(duì)于DIII-D 第178631 次放電,圖3 所示為熱粒子和高能量粒子的壓強(qiáng)特征尺度(LPth和LPE),以及在弱和/或零磁剪切情況下(|s|=|(r/q)(dq/dr)|? 0.05)模的寬度(Δm)的徑向依賴關(guān)系.這里,r為沿著小半徑方向的徑向位置.具體而言,EP 的壓強(qiáng)分布由“弛豫的(relaxed)”EP 剖面和“經(jīng)典的(classical)”EP 剖面這兩種極限情況給出.“弛豫的”EP 剖面由EFIT[49]重建提供,其中快離子的壓強(qiáng)是通過計(jì)算平衡壓強(qiáng)與熱粒子壓強(qiáng)之差得到的.另一種由TRANSP/NUBEAM[50]給出,是指在考慮由不穩(wěn)定性引起的快離子輸運(yùn)的情況下得到的“經(jīng)典的”EP 分布.對(duì)于這兩種極限情況,EP 的壓強(qiáng)特征尺度分別由LPE;rel和LPE;cl表示.當(dāng)模失穩(wěn)時(shí),真實(shí)的EP分布可能介于這兩個(gè)極限之間,且最接近基于EFIT獲得的結(jié)果.在弱和/或零磁剪切區(qū)域,對(duì)于給定的環(huán)向和極向模數(shù) (n,m),其歸一化平行波矢ΩA,m=k//n0qminR=nqmin-m,模的徑向度可以用Δm ?1/|nq''|1/2[45,46]來估算.這 里,k//n0表 示在r0處的平行波矢,其中q剖面具有最小值并由qmin給出,q''表示q在徑向上的二次導(dǎo)數(shù),R是托卡馬克的大半徑.由圖3 可知,在弱和/或零磁剪切的區(qū)域,LPth?Δm.這一關(guān)系通常對(duì)應(yīng)于將全局問題簡化為求解模的局域色散關(guān)系的前提條件.因此,對(duì)于與高能量粒子激發(fā)無關(guān)的LFAM 的分析,可以通過求解低頻SAW 的局域色散關(guān)系來處理[47].然而,對(duì)于高能量離子驅(qū)動(dòng)的BAE,需要討論兩種不同的情況[48]: 一種是在適中的EP 壓強(qiáng)梯度下,即仍有＞Δm的關(guān)系,這種情況可近似通過求解局域的GFLDR[5,20,21,25,43-46]來研究EP激發(fā)的BAE 的性質(zhì);另一種是當(dāng)系統(tǒng)中存在強(qiáng)的EP 壓強(qiáng)梯度時(shí),則有?Δm,對(duì)于這種情況,需要求解低頻SAW的全局色散關(guān)系.關(guān)于這部分的討論將在理論模型中具體展開.

圖3 熱粒子和高能量粒子壓強(qiáng)特征尺度(和),以及在弱和/或零磁剪切(s=rq'/q)情況下模寬度(Δm)的徑向依賴關(guān)系Fig.3.Radial dependences of the typical scale lengths of thermal and energetic particle pressure ( and ),magnetic shear (s) as well as the estimated radial mode width (Δm).

本文的結(jié)構(gòu)如下: 首先,第2 節(jié)討論弱磁剪切和/或零磁剪切附近低頻SAW 的局域和全局色散關(guān)系,這些色散關(guān)系的選取取決于LP和Δm的相對(duì)大小;緊接著,第3 節(jié)詳細(xì)討論不包含及包含EP 效應(yīng)的低頻SAW 的數(shù)值結(jié)果和相應(yīng)的理論分析,并進(jìn)一步與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較;最后第4 節(jié)對(duì)本文進(jìn)行總結(jié)和討論.

2 理論模型

本節(jié)將討論具有弱反磁剪切DIII-D 放電中低頻SAW 的色散關(guān)系.正如第1 節(jié)所討論的,我們將依據(jù)LPth及LPE與Δm的相對(duì)大小,討論以下兩種情況來研究低頻SAW 的穩(wěn)定性.情況Ⅰ: 不考慮EP 的作用(LPth?Δm)以及考慮適中EP 梯度(LPE;rel＞Δm)情形下,描述低頻SAW 的局域GFLDR 模型;情況Ⅱ: 考慮強(qiáng)EP 壓強(qiáng)梯度(LPE;cl≈Δm)情形下,適用于描述低頻SAW 的全局GFLDR模型.

2.1 局域模型

其中,Λn(ω) 為廣義的慣性項(xiàng),它既包括逆磁效應(yīng),也包括通行熱粒子和捕獲熱粒子的動(dòng)理學(xué)效應(yīng).關(guān)于Λn(ω) 的具體推導(dǎo)請(qǐng)參考文獻(xiàn) [8].這里將主要結(jié)果總結(jié)于附錄A 中以方便讀者閱讀.此外,方程(1)的右邊包含了對(duì)理想?yún)^(qū)域勢(shì)能的“流體”和“動(dòng)能”貢獻(xiàn).對(duì)于低頻模?1),與頻率無關(guān),考慮圓截面近似并采用(s,α)模型[52],則的表達(dá)方程可表示為

這里需要注意的是,方程(1)的中括號(hào)的第一項(xiàng)代表在r=r0處有限的k//n0qminR,它來自有限的場線彎曲效應(yīng),并在方程中起著重要的穩(wěn)定作用[20,21,25].此外,通過Sf≡(iδE///k//)a.c./δφd.c.來定義模的極化.這里的 a.c.和 d.c.分別對(duì)應(yīng)于平行電場、波矢和標(biāo)勢(shì)擾動(dòng)的正弦分量和幾乎恒定的分量.Sf的詳細(xì)表達(dá)方程也在附錄A 中給出.根據(jù)文獻(xiàn) [8,28,51]中的討論,|Sf| 的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,表示模具有SAW 的極化特征;而 |Sf| 的值與1 可比擬或大于1 則代表模具有離子聲波的極化特征.

當(dāng)粒子壓強(qiáng)特征尺度與模的徑向?qū)挾瓤梢院芎脜^(qū)分開時(shí),我們得到了描述低頻SAW 的局域GFLDR,即方程(1).進(jìn)一步,可以借助數(shù)值方法研究方程(1)中涉及的各項(xiàng),來描述實(shí)驗(yàn)觀測和模擬中低頻SAW 的基本物理.然而,在強(qiáng)EP壓強(qiáng)梯度存在的情況下,如上述討論的情況Ⅱ,此時(shí)描述低頻SAW 的局域GFLDR 將不再適用,需要借助全局的GFLDR 來處理.

2.2 全局模型

求解常微分方程(4)一般需要借助數(shù)值方法.然而,對(duì)于DIII-D 的情形,如圖4 中的黑色曲線所示的“經(jīng)典”分布下高能量離子歸一化壓強(qiáng)梯度的徑向關(guān)系,它可以用紅色曲線所示的解析方程αE(ρ)=c1[1-(ρ-c2)2/]來很好地?cái)M合.這里c1=0.7099,c2=0.3018,c3=0.2944.這一方法使得我們可以解析得到描述低頻SAW 的全局色散關(guān)系.需要注意的是,高能量離子的最大驅(qū)動(dòng)位于ρ=c2=0.3018 附近,它偏離了qmin的徑向位置.此外,方程(3)中αE為r的函數(shù):

圖4 “經(jīng)典”EP 分布下EP 歸一化壓強(qiáng)梯度的徑向關(guān)系.其中紅線是解析擬合曲線,qmin 的歸一化徑向位置為ρ0≡r0/a=0.28Fig.4.Radial dependence of the normalized pressure gradient of EPs with the classical profile.Here,the normalized radial position of qmin is ρ0 ≡r0/a=0.28.

其中δa=c1/αE0,δb=r0-c2a,a為等離子小半徑,δc=c3a/LPE;cl,αE0和LPE;cl表示在r=r0的值.

進(jìn)一步,引入變量代換x=r-r0=σz-Δb,則方程(4)可進(jìn)一步簡化為

則由方程(7)可導(dǎo)出描述低頻SAW 的全局色散關(guān)系:

式中的正整數(shù)L表示徑向本征模數(shù).相應(yīng)的本征函數(shù)為

其中,HL(z) 表示L次厄密多項(xiàng)方程.對(duì)于離散模,其因果限制條件要求 Re(σ2)＞0 ;這里的σ2由方程(7)中的第二個(gè)方程求解,且滿足色散關(guān)系——方程(8).此外,δφm(r) 的典型徑向?qū)挾葁則由w2=4σ2給出.

方程(1)和方程(8)組成了本節(jié)理論模型的主要結(jié)論,即由高能量離子激發(fā)的低頻SAW 的局域和全局的GFLDR.根據(jù)各項(xiàng)的具體表達(dá)式,就可以計(jì)算方程中的各項(xiàng),分析它們對(duì)色散關(guān)系的影響,進(jìn)而研究實(shí)驗(yàn)觀察到的低頻SAW 的線性性質(zhì).

3 數(shù)值結(jié)果與分析

本節(jié)將分別給出低頻SAW 局域的和全局的GFLDR 的數(shù)值結(jié)果,其色散關(guān)系分別由方程(1)和方程(8)給出.

這里的數(shù)值研究采用了如圖5 所示的DIIID 第#178631 次 放電t=1200 ms 的 平衡分布[33],其中q剖面具有反磁剪切的位形,并在r0/a=0.28時(shí)具有最小值qmin=1.37.此外,在 1050 ms＜t ＜1350 ms 的時(shí)間窗口內(nèi),qmin從1.49 降至1.18,具體可參考文獻(xiàn) [33]中的圖6(b).此處應(yīng)注意,快粒子的溫度是通過慢化分布快粒子的平均動(dòng)能定義的等效溫度.

圖5 DIII-D 第#178631 次放電的(a)溫度和q 的徑向分布,(b)密度的徑向分布,以及(c)環(huán)向磁場 Bt 和環(huán)向旋轉(zhuǎn)頻 率 frot 的徑向分布Fig.5.Radial profiles of (a) temperature and q,(b) density and (c) Bt as well as toroidal rotation frequency frot of DIII-D shot #178631 used for numerical studies.

圖6 在不包含EP 效應(yīng)的情況下,低頻SAW 的(a)頻率、(b)增長率和(c)極化性質(zhì)對(duì) Ω?pi ≡ω?pi/ωti 的依賴關(guān)系Fig.6.Dependence of (a) mode frequencies,(b) growth rates and (c) polarization of modes onΩ?pi ≡ω?pi/ωti without EP effect.

3.1 局域數(shù)值結(jié)果和分析

首先研究局域低頻SAW 的線性性質(zhì),即情況Ⅰ.在數(shù)值研究中所采用的局域平衡參數(shù)均在qmin的徑向位置r0/a=0.28 處取值:S=0.5895,τ=Te/Ti=3.86 keV/2.37 keV=1.62,ne=3.80×1019m-3,ni=3.19×1019m-3,εr=r0/R=0.10,βi≈0.01,εni=Lni/R=0.414,ηi=Lni/LTi=0.8324,ω?ni/ωti=0.1919,(m,n)=(8,6),kθρLi=0.2555,kθρLe=0.0054.此外,其他固定的平衡量為:a=0.64 m,等離子體磁軸處的大半徑R0=1.74 m,B0=1.8 T.這里的kθ為極向波數(shù),ρLi和ρLe分別是熱離子和熱電子的拉莫爾半徑.

首先,研究低頻SAW 在不考慮EP 效應(yīng)時(shí)的(a)模頻率、(b)增長率和(c)模極化對(duì)歸一化熱離子逆磁頻率Ω?pi≡ω?pi/ωti的依賴關(guān)系,如圖6 所示.根據(jù)模頻率和 |Sf| 的值,可將圖中的3 個(gè)分支分類為: 1) KBM (用圓圈標(biāo)記的紅色曲線),且ω ∝ω?pi;2) BAE 及其諧波分支BAE1和BAE2 (藍(lán)色曲線),頻率接近MHD 極限值ω/ωti=qmin≈2.51;3) BAAE (用鉆石標(biāo)記的綠色曲線),頻率約為BAE 的一半,并經(jīng)歷強(qiáng)的朗道阻尼.此處需要注意的是,BAE1 和BAE2 均是BAE 諧波的分支,它們來自于慣性項(xiàng)Λn(ω) (方程(A1))中的超越函數(shù),由于不同的平行模結(jié)構(gòu),它們通常具有更強(qiáng)的朗道阻尼,因此需要更多的自由能來激發(fā).由圖6可知,即使在不考慮EP 效應(yīng)的情況下,KBM 在低頻區(qū)和高頻區(qū)都不穩(wěn)定(見圖6(b)中紅色曲線).隨著ω ∝ω?pi的增加,KBM 的頻率先增大,然后約在Ω?pi=0.75 附近與強(qiáng)阻尼的BAAE 耦合,兩者發(fā)生耦合后BAAE 的阻尼明顯減弱.隨著Ω?pi的進(jìn)一步增大,KBM 的頻率也隨之增加,不穩(wěn)定的KBM 與強(qiáng)阻尼的BAE2 (如圖6(a)和圖6(b)中帶“ × ”標(biāo)記的藍(lán)色曲線所示)耦合,同時(shí)降低了BAE2 的阻尼率,相應(yīng)的頻率和增長/阻尼率呈現(xiàn)出典型的復(fù)共軛特征,這是線性反應(yīng)型不穩(wěn)定性的一個(gè)基本特征[54,55].請(qǐng)注意,在這種情況下,KBM的頻率始終隨Ω?pi而變化.此外,圖6(c)所示的極化曲線表明,BAAE 具有SAW 和聲波混合的極化特征;而BAE 和KBM 本質(zhì)上都是SAW的極化.這里需要指出,所謂的反應(yīng)型不穩(wěn)定性涉及兩種振蕩模方程的耦合: 一種是正能波,另一種是負(fù)能波.正、負(fù)能波的定義為: 如果用D(ω,k)=Dh(ω,k)+iDa(ω,k) 表示模方程的色散關(guān)系,其中Dh和Da分別表示色散關(guān)系中的厄米和反厄密分量,那么正能波滿足?(ωrDh)/?ωr＞0 ;負(fù)能波滿足?(ωrDh)/?ωr＜0.其中ωr代表模的實(shí)頻.在不穩(wěn)定的臨界點(diǎn)(如方程(13)所討論的),這兩支正負(fù)能波之間發(fā)生能量交換而簡并,沒有任何凈能量轉(zhuǎn)移到等離子體介質(zhì)中.

進(jìn)一步研究了EP 對(duì)低頻SAW 穩(wěn)定性的影響.為了便于對(duì)比,畫出了包含EP 效應(yīng)和不包含EP 效應(yīng)的數(shù)值結(jié)果,如圖7 所示,其中虛線代表無EP 效應(yīng),而實(shí)線代表包含EP 效應(yīng).EP 對(duì)低頻SAW 穩(wěn)定性的影響由圖7(b)中紫色曲線所示的區(qū)域標(biāo)出,可以明顯看出: KBM 在沒有EP 的情況下是唯一不穩(wěn)定的模,而KBM 和BAE在有EP 存在時(shí),在低頻區(qū)域同時(shí)不穩(wěn)定.根據(jù)實(shí)驗(yàn)參數(shù)計(jì)算出的離子逆磁頻率為Ω?pi;exp=0.3517,如圖7(b)的垂直虛線所示.在這種情況下,方程(1)在離子逆磁頻率方向上根的分布如圖8 所示,其中橫軸和縱軸分別表示根的實(shí)頻和增長/阻尼率.圖8 再次表明: 在EP 存在的情況下(如圖8(b)所示),KBM 和BAE 都是不穩(wěn)定的.經(jīng)計(jì)算,在等離子體框架下KBM 和BAE 的頻率分別為5.6 kHz和63.7 kHz;該理論預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果一致.此外,圖7(c)所示的極化曲線表明: 對(duì)于KBM和BAE,其|Sf|?0.1,這表明KBM 和BAE 本質(zhì)上是SAW 極化的模.

圖7 在不包含(w/o)和包含(w/)EP 效應(yīng)情況下,低頻SAW 的(a)頻率、(b)增長率和(c)極化性質(zhì)對(duì)Ω?pi ≡ω?pi/ωti 的依賴關(guān)系.圖中所示的垂直虛線表示 Ω?pi;exp 的實(shí)驗(yàn)值,約為0.35Fig.7.Dependence of the (a) real frequencies,(b) growth rates and (c) polarization of the low-frequency SAWs on Ω?pi ≡ω?pi/ωti for the cases without (w/o) and with (w/)EP effects.Here,a dashed vertical line represents the experimental value of Ω?pi;exp of about 0.35.

圖8 (a)無EP 效應(yīng)和(b)有EP 效應(yīng)的情況下,色散關(guān)系方程(1)在復(fù)平面上的本征值分布Fig.8.Eigenvalues of the dispersion relation Eq.(1) in the complex-ω plane for the cases (a) without and (b) with EPs

值得注意的是,與對(duì)EP 效應(yīng)不敏感的頻率相比,在有和沒有EP 效應(yīng)的情況下,KBM 的增長率發(fā)生了顯著的變化.這是因?yàn)樵诒疚牡睦碚撃Ｐ椭?EP 的絕熱和對(duì)流貢獻(xiàn)通過α 修改了 δW?f的值,如方程(2)所示.在這一點(diǎn)上,為了獲得更加令人信服的理論預(yù)測和實(shí)驗(yàn)觀測的對(duì)比,有必要提供更精確的理論模型和更全面的實(shí)驗(yàn)分析.這里還應(yīng)注意到,即使在足夠強(qiáng)的Ω?pi效應(yīng)下,BAAE由于逆磁和捕獲粒子效應(yīng)而與KBM 耦合變得弱阻尼,但BAAE 的穩(wěn)定性和性質(zhì)仍不受高能量離子的影響,如圖7 中帶有符號(hào)(沒有EP 效應(yīng))的綠色虛線和帶有符號(hào)(具有EP 效應(yīng))的實(shí)線所示,它們?cè)? 個(gè)圖中顯然是重疊的.此外,從圖8 中根的分布也可以清晰地看出BAAE 的穩(wěn)定性不受EP 的影響.本文的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)報(bào)道的數(shù)值模擬結(jié)果[37,39,40]以及理論預(yù)測(“EPs preferen-tially excite the BAE over the BAAE branch due to the stronger wave-EP interaction”)[51]相符合.

接下來,將qmin作為掃描參數(shù)來研究在DIIID 中觀察到如圖2 所示的高頻BAE 和LFAM 上升頻譜的潛在不穩(wěn)定性機(jī)制.圖9 給出了KBM(紅色曲線)和BAE (藍(lán)色、綠色、紫色和橙色曲線)的模頻率(帶標(biāo)記的實(shí)線曲線)和增長率(帶標(biāo)記的虛線曲線)在不同極向和環(huán)向模數(shù)(m,n)下對(duì)qmin的依賴關(guān)系.

圖9 KBM (紅色曲線)和BAE (藍(lán)色、綠色、紫色和橙色曲線)的模頻率(帶標(biāo)記的實(shí)線)和增長率(帶標(biāo)記的虛線)在不同(m,n)下對(duì)qmin 的依賴關(guān)系.圖中還給出了實(shí)驗(yàn)觀測的頻率.對(duì)于BAE,由于?？缭搅艘粋€(gè)頻率范圍,因此這些線表示不穩(wěn)定區(qū)域的上下限;對(duì)于LFAM,實(shí)驗(yàn)頻率變化小于0.5 kHz.橫坐標(biāo)為 qmin 的變化,是依據(jù)參考文獻(xiàn) [34]的圖8 所示的實(shí)驗(yàn)測量的 qmin(t),將時(shí)間t 轉(zhuǎn)換為 qmin 的變化,與此相關(guān)的不確定度為 Δqmin ≈0.01.縱坐標(biāo)為理論實(shí)驗(yàn)室框架下的頻率,已將多普勒頻移合并到計(jì)算的等離子體框架下的頻率 nfrot,相關(guān)的不確定度為～0.5×n kHzFig.9.Dependence of mode frequencies (solid curves with markers) and growth rates (dashed curves with markers) on qmin of the KBMs (red curves) and the BAEs (blue,green,purple and orange curves) for different (m,n).The experimentally observed frequencies are also shown.For the BAE,since the modes span a range of frequencies,the lines indicate the upper and lower limits of the unstable bands;for the LFAM,the experimental frequency variation is ＜0.5 kHz.In the abscissa,the experimentally measured qmin(t) fit shown in Fig.8 of Ref.[34] is used to convert time to qmin,with an associated uncertainty of Δqmin ≈0.01.In the ordinate,the theoretical lab-frame frequency incorporates a Doppler shift to the calculated plasma-frame frequency of nfrot,with an associated uncertainty of～0.5×n kHz.

圖9 表明,高頻的BAE 和低頻的KBM 在上升方向上的模頻率間隔均約為7.5 kHz,此頻率正好對(duì)應(yīng)于ρ=0.28 處 的等離子體旋轉(zhuǎn)頻率frot(見圖5(c)中黑色實(shí)線).對(duì)于KBM,其不穩(wěn)定性的最大值正好出現(xiàn)在當(dāng)qmin為有理數(shù)時(shí),如圖9 中紅色虛線.對(duì)于BAE,其不穩(wěn)定性出現(xiàn)的時(shí)間不像KBM 那樣精確,表現(xiàn)為BAE 增長率的最大值偏離qmin有理面的位置.此外,相對(duì)于高n的BAE(如橙色曲線),低n的BAE (如藍(lán)色曲線)偏離qmin有理值的距離更大.圖中同時(shí)標(biāo)記出了理論預(yù)測的頻率(彩色曲線)與實(shí)驗(yàn)測量值(帶“ ★ ”的黑線)的比較,清晰可見這些數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果能夠較好地符合.我們將在結(jié)論部分中對(duì)理論預(yù)測和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較進(jìn)行詳細(xì)的總結(jié)與討論.

為了從理論上深入理解圖9 中不穩(wěn)定性的激發(fā)機(jī)制,我們進(jìn)一步分析了一般魚骨模色散關(guān)系(GFLDR)在高頻(|ω|?ωti)和低頻 |ω|?ωbi兩種極限下的行為.

同樣地,對(duì)于KBM,當(dāng)頻率滿足 |ω|?|ωbi|,其慣性項(xiàng)可簡化為

并且系統(tǒng)在滿足以下情況時(shí)出現(xiàn)反應(yīng)型不穩(wěn)定性:

由方程(13)可知,對(duì)于反應(yīng)型不穩(wěn)定性,當(dāng)k//n0qminR →0時(shí),方程(13)的右側(cè)出現(xiàn)最大值,對(duì)應(yīng)于不穩(wěn)定性在qmin為有理數(shù)時(shí)達(dá)到峰值,當(dāng)偏離有理面時(shí),KBM 被有限的k//n0qminR(代表的場線彎曲致穩(wěn)效應(yīng))迅速致穩(wěn).因此,qmin中的不穩(wěn)定窗口也非常窄,大約為 |Δqmin|≈0.02—0.04,將qmin的變化與t的變化對(duì)應(yīng)起來,Δt大約7.5 ms,這種頻譜特征正是實(shí)驗(yàn)上觀測到的“圣誕彩燈”的現(xiàn)象.此外,對(duì)于Te?Ti,主要的驅(qū)動(dòng)項(xiàng)來自熱電子,而來自EP 的驅(qū)動(dòng)由于其特征頻率(如進(jìn)動(dòng)共振頻率)遠(yuǎn)大于模的頻率而忽略不計(jì).

另外還研究了在保持電子溫度Ti不變的情況下,KBM 的模頻率和增長率對(duì)電子溫度Te的依賴關(guān)系,結(jié)果如圖10 所示.可以清楚地看出,不穩(wěn)定性驅(qū)動(dòng)隨著Te的增加而增加.這是由于較大的Te通過(2)式中的 dβ/dr使得負(fù)數(shù) δW?nf的絕對(duì)值更大,而負(fù)的 δW?nf提供了MHD 不穩(wěn)定性的驅(qū)動(dòng).因此,在保持Ti不變的情況下,KBM 的增長率將隨著Te的增加而增加,這與實(shí)驗(yàn)觀測的LFAM 不穩(wěn)定性與電子溫度成正相關(guān)的結(jié)論一致.

圖10 模頻率(Re(ω/ωti))和增長 率(Im(ω/ωti))對(duì)Te的依賴關(guān)系,其中 Ti=2.45 keVFig.10.Dependence of mode frequency and growth rate on Te.Here,Ti=2.45 keV.

上述的數(shù)值結(jié)果和理論分析解釋了實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果: 1)理論預(yù)測的KBM 與實(shí)驗(yàn)觀測的LFAM對(duì)Te的依賴關(guān)系一致;2)與KBM 相比,BAE 在時(shí)間上偏離有理qmin值的程度更大.為進(jìn)一步解釋這種偏差及其對(duì)徑向模結(jié)構(gòu)的影響,需要對(duì)低頻SAW 的全局模型進(jìn)行數(shù)值研究.

3.2 全局?jǐn)?shù)值結(jié)果和分析

本節(jié)將應(yīng)用方程(8)來研究“經(jīng)典”高能量離子分布下的全局低頻SAW 的穩(wěn)定性.

圖11 所示為KBM (三角形標(biāo)記)和BAE (帶標(biāo)記的線)的頻率(藍(lán)色標(biāo)記)和增長率(紅色標(biāo)記)與徑向模方程數(shù)L的關(guān)系.結(jié)果表明: 1)對(duì)于BAE 和KBM,基本征態(tài)(L=0)最不穩(wěn)定;2)對(duì)于BAE,等離子體框架下的頻率和增長率為(80.7+15.2i) kHz,增長率與實(shí)頻之比為γ/ωr≈0.19,這是EP 激發(fā)的臨界不穩(wěn)定帶隙模的典型特征;對(duì)于KBM,等離子體框架下的頻率和增長率為 (-3.2+5.7i) kHz,γ/ωr≈1.8 ;這是反應(yīng)型不穩(wěn)定性的典型特征.這一數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn) [40]中報(bào)道的模擬結(jié)果一致.

圖11 KBM(三角形標(biāo)記)和BAE(帶標(biāo)記的曲線)的頻率(藍(lán)色標(biāo)記)和增長率(紅色標(biāo)記)與徑向模數(shù)L 的依賴關(guān)系Fig.11.Dependence of the real frequencies (blue markers)and growth rates (red markers) of the KBM (triangle markers) and BAE (line with markers) on the radial mode number L.

相應(yīng)地,圖12 為L=0 的BAE 的徑向模結(jié)構(gòu)δφm(r).可以看出,當(dāng)L=0 時(shí),BAE 的徑向本征函數(shù) δφm具有與實(shí)驗(yàn)測量的徑向模結(jié)構(gòu)相似的高斯型.在這種情況下,理論上預(yù)測的 δφm的徑向?qū)挾葹閣=0.2107,與高能量離子壓強(qiáng)的特征度相當(dāng),即LPE;cl=0.1773,這一點(diǎn)與圖3 的分析一致.此處值得注意的是,由EP 分布決定,BAE 的本征函數(shù)在最大高能量粒子壓強(qiáng)梯度的徑向位置處出現(xiàn)峰值,這導(dǎo)致與qmin的徑向位置出現(xiàn)較大的偏差.由此可以預(yù)期,KBM 的本征函數(shù)應(yīng)該在不穩(wěn)定性驅(qū)動(dòng)最大的qmin有理值處達(dá)到峰值.

圖12 L=0 的BAE 的徑向模結(jié)構(gòu) δφm (r).圖中還給出了BAE 模結(jié)構(gòu)的近似實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果,如帶‘ × '的紅線所示Fig.12.Radial mode structure δφm (r) for theL=0 BAE.The approximate experimental measurement of the mode structure of BAE is also shown.

最后,采用局域理論模型(當(dāng)EP 由“弛豫”分布給出時(shí))與全局理論模型(當(dāng)EP 由“經(jīng)典”分布給出時(shí))分別計(jì)算的模數(shù)為(m,n)=(8,6)的LFAM,BAAE 及BAE 的頻率匯總至表1 中,通過對(duì)比發(fā)現(xiàn): 兩種模型下得到的LFAM 和BAE均為不穩(wěn)定性模,而BAAE 為穩(wěn)定性模;并且兩種模型下計(jì)算得到低頻SAW 的歸一化角頻率結(jié)果非常接近.這里需要說明的是,角頻率前的負(fù)號(hào)(“-”)代表模式沿著熱電子逆磁漂移方向傳播.對(duì)于LFAM,由于其本質(zhì)是與EP 驅(qū)動(dòng)無關(guān)的反應(yīng)型不穩(wěn)定的KBM,因此,只要滿足(13)式的反應(yīng)型不穩(wěn)定性條件,LFAM 就可以在沿著熱離子或者熱電子逆磁漂移方向上進(jìn)行傳播.這一結(jié)論與文獻(xiàn) [33]中的實(shí)驗(yàn)觀測(對(duì)六炮具有相似放電條件的不同環(huán)向模數(shù)(n=5—11) LFAM 頻率的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn),在零頻附近既有沿?zé)犭娮幽娲牌品较騻鞑サ哪?又有沿?zé)犭x子逆磁漂移方向傳播的模)一致.

表1 采用局域模型與全局模型計(jì)算(m,n)=(8,6)低頻SAW 頻率(ω/ωti)的對(duì)比Table 1.Comparison of the low-frequency SAW frequencies (ω/ωti) with (m,n)=(8,6) calculated by local and the global models.

4 結(jié)論

本文研究了DIII-D 反磁剪切托卡馬克實(shí)驗(yàn)中低頻剪切Alfvén 波(SAW)的線性特性.通過分析實(shí)驗(yàn)平衡分布,基于廣義的魚骨模色散關(guān)系(GFLDR)的統(tǒng)一理論框架,討論了弱和/或零磁剪切低頻SAW 的局域和全局模型.通過數(shù)值和理論分析,描述了模的頻率、增長率和極化性質(zhì)對(duì)安全因子最小值(qmin)的依賴關(guān)系以及低頻SAW 在不同粒子分布下的失穩(wěn)機(jī)制.研究結(jié)果表明,在DIII-D 實(shí)驗(yàn)中觀察到的LFAM 和BAE 分別是反應(yīng)型和耗散型不穩(wěn)定模,且以阿爾芬波的極化為主.由于不同的失穩(wěn)機(jī)制,相比于局域在有理qmin面的LFAM,BAE 的本征函數(shù)在空間上位于高能量離子驅(qū)動(dòng)最強(qiáng)的徑向位置,導(dǎo)致偏離qmin的徑向位置.

此外,本文的理論分析解釋了許多實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果,總結(jié)如下.

1)基于GFLDR 理論,成功解釋了BAE 和LFAM 兩個(gè)不穩(wěn)定頻率范圍的時(shí)間模式,這兩個(gè)不穩(wěn)定頻譜都出現(xiàn)在qmin的有理值附近,但具有明顯不同的不穩(wěn)定性性質(zhì).

2)理論上KBM 的頻率與實(shí)驗(yàn)中LFAM 的頻率符合得很好;即使在沒有高能粒子(EP)的情況下KBM 也可能是不穩(wěn)定的;對(duì)于BAE 而言,其頻率的理論預(yù)測值與實(shí)驗(yàn)值的范圍也相同;該理論還證明了BAAE 是穩(wěn)定的,即BAAE 與DIII-D中觀測的不穩(wěn)定的低頻模無關(guān).

3)對(duì)于LFAM 和BAE 而言,其共同特征是:環(huán)向模數(shù)較大的不穩(wěn)定模的持續(xù)時(shí)間都比環(huán)向模數(shù)較低的環(huán)模的持續(xù)時(shí)間短,隨著n的增加,圖9中較窄的增長率曲線成功地解釋了這一特征.

4)理論上成功預(yù)測了實(shí)驗(yàn)上觀測的單個(gè)不穩(wěn)定的BAE 比不穩(wěn)定的LFAM 跨越的頻率范圍要大得多的特征.除此之外,實(shí)驗(yàn)上不穩(wěn)定的LFAM持續(xù)時(shí)間很短,大約只有幾毫秒,這與理論上得到的KBM 增長率對(duì)qmin的強(qiáng)烈依賴是一致的;而不穩(wěn)定的BAE 比LFAM 持續(xù)的時(shí)間更長,這與理論上得到的BAE 增長率對(duì)qmin的依賴性較弱是一致的.

5)實(shí)驗(yàn)中的LFAM 出現(xiàn)在qmin為有理值時(shí);而BAE 雖也出現(xiàn)在接近有理值時(shí),但出現(xiàn)的時(shí)間不如LFAM 精確.理論對(duì)穩(wěn)定性的預(yù)測重現(xiàn)了這一特征: 即KBM 的增長率在有理qmin值處急劇增加,而BAE 增長率的峰值相對(duì)有理qmin值略有偏離.

6)在實(shí)驗(yàn)上,BAE 的徑向本征函數(shù)具有近似的高斯分布,這與理論預(yù)測的L=0 的徑向諧波最不穩(wěn)定是一致的.此外,實(shí)驗(yàn)中LFAM 在含氫等離子體中比在純氘等離子體中更不穩(wěn)定[35];這一特征可通過方程(13)得知: 在含氫的等離子體中,較大的ωA(∝1/mi) 會(huì)降低不穩(wěn)定性閾值.

感謝Fulvio Zonca 教授(意大利國家新技術(shù)、能源和可持續(xù)經(jīng)濟(jì)發(fā)展研究機(jī)構(gòu)非線性等離子體中心)和William Walter Heidbink 教授(加州大學(xué)歐文分校物理與天文學(xué)系)對(duì)本工作提供的技術(shù)指導(dǎo)和支持,感謝DIII-D 團(tuán)隊(duì)提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),感謝楊磊博士(中國工程物理研究院)和鄒云鵬博士(核工業(yè)西南物理研究院)的有益討論.同時(shí),作者也非常感謝意大利ENEA 非線性等離子體中心(Center for Nonlinear Plasma Science,CNPS)為本工作的開展提供的富有啟發(fā)性的學(xué)術(shù)討論氛圍和寶貴的科學(xué)引導(dǎo).

此外,Sf≡(iδE///k//)a.c./δφd.c.的表達(dá)方程[8]為

式中的函數(shù)F(x),ΔF(x),G(x),ΔG(x),N1(x),ΔN1(x),D1(x),ΔD1(x),P1,P2,P3,及,x=ω/ωti均為等離子體色散函數(shù)Z(x) 的函數(shù),它們的定義如下: