胡 波 高 添 曾達(dá)幸 盧文娟 王 帥 王國永

(1.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 秦皇島 066000; 2.東莞理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 東莞 523808;3.河北石油職業(yè)技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程系, 承德 067000)

0 引言

混聯(lián)機(jī)構(gòu)是機(jī)器人機(jī)構(gòu)的重要分支,其中以兩轉(zhuǎn)動一移動(2R1T)并聯(lián)機(jī)構(gòu)為重要組成部分的五自由度混聯(lián)構(gòu)型[1-6]備受工業(yè)界青睞,以其為本體的混聯(lián)機(jī)器人得到了廣泛的應(yīng)用,典型成功案例包括Exechon[1-2]、 Tricept[3-4]、 Sprint Z3[5-6]混聯(lián)機(jī)構(gòu)等。這類機(jī)構(gòu)中,Exechon機(jī)構(gòu)由2-UPR+SPR型并聯(lián)模塊和RR型串聯(lián)機(jī)構(gòu)組成。該機(jī)構(gòu)運(yùn)動副數(shù)目少且機(jī)構(gòu)中存在過約束,這些特點(diǎn)帶來了整體機(jī)構(gòu)精度和剛度等性能的提升。受Exechon機(jī)構(gòu)啟發(fā),諸多學(xué)者提出了新的構(gòu)型方案。李秦川等[7]提出了具有此類特點(diǎn)的含垂直交錯轉(zhuǎn)軸的2R1T機(jī)構(gòu),并綜合出了大量新型RPR類并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型[8],其中包括多種具有此類特點(diǎn)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。JIN等[9]提了以2-RPU+SPR機(jī)構(gòu)為并聯(lián)模塊的可用于飛機(jī)機(jī)翼裝配的五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)。路曼等[10]研究了類Exechon機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合、運(yùn)動學(xué)和樣機(jī)研制問題。胡波等[11]提出了2-RPU+UPU機(jī)構(gòu),并證明了包括2-RPU+UPU、2-RPU+UPR、2-RPU+SPR等在內(nèi)的23種機(jī)構(gòu)實(shí)際上為運(yùn)動學(xué)完全等效的并聯(lián)機(jī)構(gòu)[12]。此類機(jī)構(gòu)的研究也引起了其他學(xué)者的關(guān)注[13-14]。由于運(yùn)動等效性質(zhì)的存在,這23種并聯(lián)機(jī)構(gòu)和RR模塊組成混聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí),其末端約束和運(yùn)動特性具有共性,只需以其中一種(2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)研究為例即可。實(shí)際上,由2-RPU+UPU機(jī)構(gòu)和RR模塊組成的混聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究還并不完善。

在少自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)分析方面,以往研究通常將混聯(lián)機(jī)構(gòu)分成獨(dú)立并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)機(jī)構(gòu)分別研究,認(rèn)為整體混聯(lián)機(jī)構(gòu)的理論模型是獨(dú)立機(jī)構(gòu)的簡單疊加,忽視了對整體混聯(lián)機(jī)構(gòu)理論建模的研究和分析。末端約束分析是少自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)分析的重要內(nèi)容[15-18],是開展機(jī)構(gòu)分析和綜合的基礎(chǔ),針對串聯(lián)機(jī)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束分析一直是機(jī)構(gòu)學(xué)的研究熱點(diǎn),并且其研究已經(jīng)相當(dāng)成熟。然而,針對混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)末端約束分析實(shí)際非常少見,僅見文獻(xiàn)[17]分析了5自由度Exechon混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)末端約束。針對(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端約束分析尚未見報(bào)道。

末端運(yùn)動耦合是少自由度機(jī)構(gòu)的重要特性,與末端具有六自由度運(yùn)動的機(jī)構(gòu)不同,少自由度機(jī)構(gòu)末端六維移動和轉(zhuǎn)動參數(shù)之間存在著相互耦合關(guān)系,在計(jì)算反解過程中不能任意給定,必須首先通過體現(xiàn)末端位姿耦合關(guān)系的方程求解末端可行六維位姿參數(shù)。在這一問題的處理上,目前多結(jié)合伴隨運(yùn)動[19-20]的求解方式得到機(jī)構(gòu)運(yùn)動耦合關(guān)系。然而由于(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)具有不同于傳統(tǒng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端運(yùn)動耦合形式,其末端運(yùn)動耦合并未能妥善解決。

為解決(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)中存在的末端約束和運(yùn)動耦合問題,本文采用Grassmann-Cayley代數(shù)求解該機(jī)構(gòu)的末端約束,并結(jié)合整體機(jī)構(gòu)的約束方程,通過消元得到只含末端6維位姿參數(shù)的末端運(yùn)動耦合模型,以期為(2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)提供解析化的末端約束和運(yùn)動耦合模型。

1 (2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)末端約束分析

1.1 混聯(lián)機(jī)構(gòu)描述

如圖1所示,混聯(lián)機(jī)構(gòu)由2-RPU+UPU型并聯(lián)模塊和RR型串聯(lián)模塊組成。2-RPU+UPU型并聯(lián)模塊由動平臺n1、定平臺n0、2條結(jié)構(gòu)相同的RPU分支ri(i=1,3)和1條UPU分支r2組成。定平臺n0和動平臺n1均為三角形結(jié)構(gòu),其中心分別為p0和p1,端點(diǎn)分別記為ai和bi(i=1,2,3)。3條分支呈對稱分布,并均將P副作為驅(qū)動副,RPU分支ri(i=1,3)通過R副與定平臺n0上的ai(i=1,3)連接,并通過U副與動平臺n1上的bi(i=1,3)連接,UPU分支r2通過U副與定平臺n0上的a2連接,并通過U副與動平臺n1上的b2連接。并聯(lián)模塊中的每個(gè)U副均由轉(zhuǎn)軸相互垂直且相交的R副組成,設(shè)R1ij表示第i條分支上的第j個(gè)R副。

圖1 (2-RPU+UPU)+(RR)型混聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Sketch of (2-RPU+UPU)+(RR) type hybrid mechanism

定義:并聯(lián)模塊中的各個(gè)運(yùn)動副滿足如下關(guān)系R1i1⊥a1a3,R1i1⊥ri,R1i1‖R1i2,R1i2⊥R1i3(i=1,2,3),R1i3|b1b3(i=1,3),R121|p0a2,R121⊥R122,R122‖R123,R123⊥ri,R123⊥R124,R124⊥n1。

RR型串聯(lián)模塊由剛性連桿d、R21和R22組成,連桿d始端與p1固連,末端點(diǎn)為p2,R21和R22相交于p2。串聯(lián)模塊中的兩個(gè)運(yùn)動副和連桿、平臺滿足幾何關(guān)系d|R21,R21⊥n1, R21⊥R22。

1.2 混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端耦合約束求解方法

(1)

為解決式(1)的螺旋系求交問題,在此引入Grassmann-Cayley代數(shù)。Grassmann-Cayley代數(shù)是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具,在并聯(lián)機(jī)構(gòu)/混聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)和奇異性分析領(lǐng)域已有多個(gè)成功案例[21-22]。其交運(yùn)算可應(yīng)用于求解不同線性空間的交空間,可將其應(yīng)用于兩個(gè)螺旋系的求交運(yùn)算。

C=w1∨w2∨…∨wk

(2)

在Grassmann-Cayley代數(shù)中,將C稱為k階extentor。

設(shè)M和N分別是兩個(gè)l維空間內(nèi)的i階和j階梯extensor,M=m1∨m2∨…∨mi(M=m1m2…mi),N=n1∨n2∨…∨nj(N=n1n2…nj)。M和N的求并運(yùn)算可由其exterior product表示為

M∨N=m1m2…min1n2…nj

(3)

若i+j≥d,M和N的求交運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)i+j-d階的extensor

M∧N=∑sgn(σ)[mσ(1)mσ(2)…mσ(d-j)n1n2…nj]·
mσ(d-j+1)mσ(d-j+2)…mσ(i)

(4)

式(4)為Grassmann-Cayley代數(shù)的混續(xù)積公式,其中[·]為行列式的簡寫,和運(yùn)算是σ的所有排列組合,滿足:σ(1)<σ(2)<…<σ(d-j),σ(d-j+1)<σ(d-j+2) <…<σ(i)。

1.3 (2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)末端約束及自由度

在點(diǎn)p0、p1、p2處分別建立坐標(biāo)系{ni}(i=0, 1, 2),則{n0}和{n2}分別對應(yīng)基坐標(biāo)系和末端坐標(biāo)系,各坐標(biāo)軸滿足的幾何關(guān)系為:X0‖a1a3,Y0⊥a1a3,Z0⊥n0,X1‖b1b3,Y1⊥b1b3,Z1⊥n1,X2|R22。設(shè)pxi、pyi、pzi為點(diǎn)pi在基坐標(biāo)系{n0}下的坐標(biāo)。

由文獻(xiàn)[12]知,該機(jī)構(gòu)的第1、3分支中,存在一過U副中心平行于分支中R副的約束力FAi(i=1, 3)和垂直于U副平面的約束矩TAi,第2分支中存在過R121和R124交點(diǎn)c且平行于R122的約束力FA2。這5個(gè)約束螺旋線性相關(guān),可取3個(gè)獨(dú)立的約束力構(gòu)成其約束螺旋系,3個(gè)約束力螺旋可表示為

(5)

其中

fAi=R1j1dAi=bi-p2(i=1,3)
fA2=R122dA2=c-p2

式中Rijk——轉(zhuǎn)動副Rijk的方向矢量

bi、c、pi——點(diǎn)bi、c、pi的位置矢量

fAi——約束力FAi的方向矢量

dAi——參考點(diǎn)p2到FAi的矢徑

同樣,在RR分支中,由約束螺旋的觀察法[15]知分支中存在過R副交點(diǎn)的3個(gè)約束力FBi(i=1,2,3)和一垂直于R21和R22的約束矩TB1,對應(yīng)的力螺旋可表示為

(6)

由獨(dú)立螺旋組成的螺旋系可通過各獨(dú)立螺旋的外積運(yùn)算表示[22],則2-RPU+UPU機(jī)構(gòu)約束螺旋系可表示為

(7)

RR機(jī)構(gòu)約束螺旋系可表示為

(8)

將式(7)、(8)代入式(4),則整體混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端約束可表示為

(9)

式(9)為通過2個(gè)約束螺旋系求并運(yùn)算得到的混聯(lián)機(jī)構(gòu)末端約束的解析表達(dá)式。

(10)

式中λAi、λBi——常數(shù)

2 (2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動耦合解析

(11)

末端坐標(biāo)系{n2}相對于基坐標(biāo)系{n0}的旋轉(zhuǎn)變化可表示為

(12)

其中

(13)

點(diǎn)ai、bi在{n0}中可表示為

(14)

(15)

θ=π/6+(2π/3)(i-1)

式中E——點(diǎn)p0到點(diǎn)ai的長度

e——點(diǎn)p1到點(diǎn)bi的長度

2-RPU+UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿長計(jì)算式為

ri=|bi-ai|

(16)

令pxi、pyi、pzi分別表示點(diǎn)pi在坐標(biāo)系{n0}的3個(gè)坐標(biāo)值。在基坐標(biāo)系{n0}中p2可表示為

p2=p1+dZ1

(17)

2-RPU+UPU機(jī)構(gòu)的末端位姿耦合關(guān)系可表示為[11]

px1=pz1zl1/zn1

(18)

py1=(eym1-E)/2

(19)

xm1=0

(20)

(21)

(22)

由式(17)可知(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端位置可表示為

px2=px1+dzl1

(23)

py2=py1+dzm1

(24)

pz2=pz1+dzn1

(25)

由該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)條件可知

zl1xl2+zm1xm2+zn1xn2=0

(26)

結(jié)合式(19)、(24),可得

py2=eym1/2+dzm1-E/2

(27)

結(jié)合式(20)、(21),可得

(28)

結(jié)合式(18)、(23)、(25),可得

(29)

由式(27)、(28)可得

(30)

由式(26)、 (29)可得

(31)

將式(29)、(31)代入式(22),化簡可得

(32)

由式(31)、(32)可得

(33)

由式(30)可得

(34)

將式(33)代入式(34),兩邊平方,消去zm1,可得

(35)

式(35)描述了5自由度(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端位姿耦合關(guān)系,當(dāng)給定5個(gè)獨(dú)立位姿參數(shù)時(shí),剩余的1個(gè)位姿參數(shù)可由式(35)求出。

3 數(shù)值算例

設(shè)定(2RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)中,各平臺及連桿的尺寸為E=1.20 m,e=0.60 m,d=0.75 m。給定末端執(zhí)行器X和Z方向的位置坐標(biāo)為:px2=-0.32 m,pz2=1.80 m,機(jī)構(gòu)末端姿態(tài)按照XYX型歐拉角給定,對應(yīng)歐拉角分別給定為:α=56°,β=-40°,λ=-80°,在給定以上5個(gè)位姿參數(shù)的基礎(chǔ)上求解未知位置參數(shù)py2。

將上述參數(shù)代入式(35),可得到關(guān)于py2的高次方程為

(36)

式(36)求解可得py2為-0.792 5、0.099 7、-0.220 5、-0.472 3 m。

結(jié)果可在軟件環(huán)境下構(gòu)建機(jī)構(gòu)的運(yùn)動模擬機(jī)構(gòu)得到驗(yàn)證[24]。結(jié)果表明仿真結(jié)果與式(36)計(jì)算結(jié)果的第2組結(jié)果吻合。

以上述得到的末端6維位姿參數(shù)為基礎(chǔ),(2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)的反解計(jì)算可得:r1=1.337 9 m,r2=1.148 0 m,r3=1.133 8 m,θ1=-35.201 2°,θ2=-4.579 9°。

在該位姿下,根據(jù)式(5)、(6)計(jì)算可得各子機(jī)構(gòu)中的約束螺旋為

由式(9)計(jì)算可得該混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端約束為

Sr=[-0.403 8 0.912 0 -0.071 8 0.617 4 0.749 7 -0.204 4]T

結(jié)果表明,此位姿下(2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)的末端約束為以0.449 2 m為節(jié)距的約束螺旋。

4 結(jié)論

(1)得到了(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端約束和位姿耦合模型,為少自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)的整機(jī)末端約束和運(yùn)動耦合分析提供了有效的思路和方法。

(2)基于約束求交原理,結(jié)合Grassmann-Cayley代數(shù)建立了(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端約束求解模型。在一般位形下,該機(jī)構(gòu)的末端約束為一帶有節(jié)距的約束螺旋,其末端自由度形式為2R2T1H型運(yùn)動。

(3)結(jié)合(2-RPU+UPU)+(RR)混聯(lián)機(jī)構(gòu)的約束方程,通過消元建立了(2-RPU+UPU)+(RR)機(jī)構(gòu)的末端運(yùn)動耦合模型,從而獲得了該機(jī)構(gòu)的末端6維可行位姿,并以此得到了該機(jī)構(gòu)修正的反向運(yùn)動學(xué)模型。