付維方，樊香麗，劉英杰

(1.中國(guó)民航大學(xué) 航空工程學(xué)院，天津 300300；2.北京飛機(jī)維修工程有限公司，北京 100621)

民機(jī)維修主要采取換件為主的維修方式，這勢(shì)必對(duì)航空備件的供應(yīng)保障提出很高的要求，有效的備件供應(yīng)保障是保證航空裝備處于良好狀態(tài)的重要條件。對(duì)于民機(jī)而言，飛機(jī)上的故障件若不能及時(shí)更換，會(huì)導(dǎo)致飛機(jī)延誤甚至停飛，進(jìn)而影響航班正常運(yùn)行和航空公司的聲譽(yù)，并帶來(lái)不可估量的損失。為達(dá)到服務(wù)水平，航材保障部門通常持有大量備件庫(kù)存，而可修備件通常十分昂貴，因此優(yōu)化可修備件的供應(yīng)成本是降低民航運(yùn)營(yíng)成本的潛在控制點(diǎn)。航空維修企業(yè)通常設(shè)有多個(gè)基地，單級(jí)多基地橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的保障模式在現(xiàn)實(shí)中十分常見，針對(duì)這種保障模式，在保證飛行安全和滿足目標(biāo)保障率的前提下，探索更優(yōu)的備件庫(kù)存策略，提高飛機(jī)維修的供應(yīng)速度，實(shí)現(xiàn)成本的系統(tǒng)化節(jié)約，對(duì)民航企業(yè)運(yùn)營(yíng)效益的提高具有重要意義。

早期關(guān)于允許轉(zhuǎn)運(yùn)的多點(diǎn)庫(kù)存系統(tǒng)相關(guān)研究主要如下。Lee[1]在假設(shè)同組倉(cāng)庫(kù)相同且組內(nèi)允許相互轉(zhuǎn)運(yùn)的前提下，針對(duì)單種備件兩級(jí)系統(tǒng)，提出轉(zhuǎn)運(yùn)模型的3 個(gè)經(jīng)典參數(shù)。Axs?ter[2]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，考慮每個(gè)組中本地倉(cāng)庫(kù)不必相同的情況下進(jìn)行建模和求解。Sherbrooke[3]提出延遲橫向轉(zhuǎn)運(yùn)策略，并對(duì)兩級(jí)庫(kù)存系統(tǒng)可修項(xiàng)目進(jìn)行模擬研究。Wong等[4]建立在各倉(cāng)庫(kù)目標(biāo)等待時(shí)間限制下的可修備件兩地庫(kù)存系統(tǒng)連續(xù)盤點(diǎn)模型。后續(xù)的研究大多是對(duì)已有模型的擴(kuò)展，并分為單級(jí)、兩級(jí)和多級(jí)供應(yīng)模式開發(fā)相應(yīng)的模型。文獻(xiàn)[5-14]針對(duì)完全共享策略提出模型，構(gòu)建的模型大部分都依據(jù)可修復(fù)備件多級(jí) 管 理(multi echelon technology for recoverable item control, METRIC)理論和維修排隊(duì)原理，并假設(shè)同級(jí)或同組倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存完全共享。文獻(xiàn)[15-19]等考慮不同條件下的單向轉(zhuǎn)運(yùn)策略，并開發(fā)相應(yīng)的模型。文獻(xiàn)[20]允許單級(jí)系統(tǒng)所有基地間互相轉(zhuǎn)運(yùn)但不共享其全部可用庫(kù)存，并假設(shè)維修來(lái)源無(wú)限。對(duì)于航空維修企業(yè)而言，完全共享策略并非是最好的選擇，單向或跨區(qū)域轉(zhuǎn)運(yùn)政策的提出很大程度上受各地點(diǎn)缺貨成本差異或庫(kù)存系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)分布的影響。這些研究提出的模型和方法并不一定適用于所有的備件保障系統(tǒng)。

現(xiàn)實(shí)中航空維修企業(yè)各基地對(duì)自身保障水平要求較高，基于自身利益，通常不會(huì)因滿足其他基地的需求而將自身全部備件庫(kù)存用于橫向轉(zhuǎn)運(yùn)，導(dǎo)致自身需求短缺。因此結(jié)合此背景，并針對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)的不足，對(duì)由多基地組成的單級(jí)轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)進(jìn)行研究。假設(shè)轉(zhuǎn)運(yùn)在所有基地間進(jìn)行，各基地根據(jù)自身庫(kù)存保留水平?jīng)Q定是否轉(zhuǎn)運(yùn)，并根據(jù)轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用最小原則選擇合適的轉(zhuǎn)運(yùn)源。結(jié)合各基地機(jī)隊(duì)規(guī)模和部件裝機(jī)量，假設(shè)維修來(lái)源有限，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建目標(biāo)服務(wù)水平限制下多基地不完全轉(zhuǎn)運(yùn)庫(kù)存優(yōu)化模型，并設(shè)計(jì)粒子群求解算法，以解決非成本約束下民機(jī)運(yùn)行保障問(wèn)題。在滿足民航企業(yè)備件供應(yīng)保障目標(biāo)的基礎(chǔ)上，確定各基地可修備件的最佳配置量，使得系統(tǒng)總成本最低，為航材管理人員提供有效的決策思路和方法。

1 問(wèn)題描述及符號(hào)說(shuō)明

1.1 問(wèn)題描述

針對(duì)航空維修企業(yè)可修備件的庫(kù)存問(wèn)題，考慮由N個(gè)基地組成的單級(jí)多基地轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)，采用不完全轉(zhuǎn)運(yùn)策略對(duì)其備件保障過(guò)程進(jìn)行研究，以確定單一類型可修備件在各基地的備件庫(kù)存水平。不完全轉(zhuǎn)運(yùn)策略是指當(dāng)一個(gè)基地面臨缺貨，而另一個(gè)基地備件庫(kù)存量大于其保留水平時(shí)，才對(duì)缺貨基地提供橫向轉(zhuǎn)運(yùn)，而不是提供全部可用庫(kù)存。航空維修企業(yè)在各基地儲(chǔ)存一定數(shù)量的可修備件，當(dāng)基地i出現(xiàn)故障部件時(shí)，若基地i有可用庫(kù)存，則使用其庫(kù)存?zhèn)浼M(jìn)行更換；若基地i沒(méi)有可用備件，而其他基地有且備件數(shù)量大于對(duì)應(yīng)庫(kù)存保留水平，則從這些基地中首先選擇到基地i轉(zhuǎn)運(yùn)成本最低的基地，并將其可用件轉(zhuǎn)運(yùn)至基地i；若基地i沒(méi)有可用備件且其他基地的備件庫(kù)存都不超過(guò)自身保留水平，則基地i缺貨，直到該故障件修復(fù)完成并再次成為可用件?；赜幸欢ǖ木S修能力，可以修復(fù)一些小問(wèn)題。當(dāng)基地不可修復(fù)時(shí)，應(yīng)將其發(fā)送到維修中心或特殊維修設(shè)施進(jìn)行維修，維修完成后將修復(fù)件送回提供備件的基地。

模型基于以下關(guān)鍵假設(shè)：

1) 單位時(shí)間內(nèi)備件需求服從Poisson 過(guò)程；

2) 維修時(shí)間服從指數(shù)分布，且不考慮報(bào)廢；

3) 系統(tǒng)維修能力充足，通過(guò)基地或外包進(jìn)行維修；

4) 只有裝機(jī)運(yùn)行的備件才會(huì)發(fā)生故障，每個(gè)備件故障都將導(dǎo)致系統(tǒng)不能正常工作；

5) 系統(tǒng)中任意兩個(gè)基地之間橫向轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)間很短，可忽略不計(jì)，但會(huì)產(chǎn)生額外的轉(zhuǎn)運(yùn)成本。

1.2 符號(hào)說(shuō)明

I：基地集合，I= {1, 2, ···,N}；

Qi：基地i的飛機(jī)數(shù)量；

M：?jiǎn)螜C(jī)部件裝機(jī)量；

λi：基地i的部件故障率；

λi*：基地i自身的備件需求率，λi*= λiQiM；

λ0：所有基地總需求率，其中，

ηij：基地i向基地j提供橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的概率，i ≠ j；

λij：基地i因向基地j提供橫向轉(zhuǎn)運(yùn)而增加的需求率，i ≠ j；

1/μ：平均維修時(shí)間；

Si：基地i的備件初始庫(kù)存水平；

S0：所有基地的備件總庫(kù)存

ξ：系統(tǒng)目標(biāo)服務(wù)水平；

πi(x) ：系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，基地i備件庫(kù)存量為x的概率；

Hi：基地i的備件庫(kù)存保留水平；

gi：當(dāng)基地i備件庫(kù)存量大于Hi時(shí)的備件有效需求率；

hi(Oix)：當(dāng)基地i備件庫(kù)存量不超過(guò)0 時(shí)的備件有效需求率；

βi：基地i需求直接被滿足的概率，即基地i備件庫(kù)存量大于0 的概率，令 βi=P(i*)，P(-i*) =1-P(i*)；

αi：基地i的需求不能由自身滿足時(shí)，由其他基地轉(zhuǎn)運(yùn)滿足的概率；

θi：基地i需求發(fā)生短缺的概率，αi+βi+ θi= 1；

γi：基地i能提供橫向轉(zhuǎn)運(yùn)的概率，即基地i備件庫(kù)存量大于Hi的概率，令

εi：基地i的目標(biāo)備件服務(wù)水平；

CH：?jiǎn)挝粠?kù)存存儲(chǔ)成本；

Cij：從基地i到基地j的單件轉(zhuǎn)運(yùn)成本；

CTi：轉(zhuǎn)運(yùn)到基地i的單位期望轉(zhuǎn)運(yùn)成本；

P：某備件的單位購(gòu)買成本；

T：備件壽命周期。

2 備件多基地庫(kù)存轉(zhuǎn)運(yùn)模型

2.1 系統(tǒng)庫(kù)存分析

聚合所有基地的需求并將其視作在單個(gè)位置發(fā)生，以求得滿足整體目標(biāo)服務(wù)水平所需的系統(tǒng)庫(kù)存。依據(jù)假設(shè)，所有需求的總和也是泊松分布。λ0為聚合總需求，故維修提前期平均需求可以表示為λ0/μ，則系統(tǒng)所需備件總庫(kù)存的近似下界是滿足式(1)的最小整數(shù)SL。

2.2 基地庫(kù)存分析

在確定系統(tǒng)備件總庫(kù)存的下界之后，考慮如何將其分配到各個(gè)基地，各基地備件配置量會(huì)影響系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)時(shí)的轉(zhuǎn)運(yùn)成本。設(shè)其他基地到基地j的單位轉(zhuǎn)運(yùn)成本大小排序?yàn)?/p>

根據(jù)轉(zhuǎn)運(yùn)規(guī)則，當(dāng)基地1 至基地 (i-1) 都不滿足轉(zhuǎn)運(yùn)條件時(shí)，基地i才能對(duì)基地j提供轉(zhuǎn)運(yùn)服務(wù)。因此當(dāng)基地j的需求能夠被轉(zhuǎn)運(yùn)滿足時(shí)，由基地i提供轉(zhuǎn)運(yùn)的概率[20]為

其中，基地i、l、e ≠ j。

在基地i能提供轉(zhuǎn)運(yùn)的情況下，因基地i對(duì)j供應(yīng)而增加的需求率為

當(dāng)基地i備件庫(kù)存量大于Hi時(shí)，其有效需求率為自身需求率加上由于其他基地的橫向轉(zhuǎn)運(yùn)請(qǐng)求而增加的需求率，則此時(shí)備件的有效需求率為

當(dāng)基地i備件庫(kù)存量大于0 但不超過(guò)Hi時(shí)，基地i僅能滿足自身的需求，故其有效需求率為λi*。

當(dāng)基地i備件庫(kù)存量不超過(guò)0 時(shí)，其有效需求率即為缺貨產(chǎn)生的速率，等于自身正常需求率減去由其他基地轉(zhuǎn)運(yùn)滿足的需求率。由于各基地飛機(jī)數(shù)量有限，其自身正常需求率受本地運(yùn)行飛機(jī)數(shù)量的影響，因?yàn)槿舸藭r(shí)發(fā)生故障而又沒(méi)有其他基地提供轉(zhuǎn)運(yùn)時(shí)，則該基地缺貨并導(dǎo)致一架飛機(jī)停飛，進(jìn)而對(duì)其自身正常需求率產(chǎn)生影響。因此此時(shí)該基地備件有效需求率為

或

將基地凈庫(kù)存視為庫(kù)存狀態(tài)，通過(guò)分析基地需求過(guò)程，得到基地i的庫(kù)存狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程如圖1 所示。

應(yīng)用生滅過(guò)程理論推導(dǎo)基地凈庫(kù)存滿足的穩(wěn)態(tài)概率公式，首先根據(jù)圖1 得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。

然后求解以上方程可得各狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)概率πi(k) 為

其中，

則基地i需求能夠直接被滿足，即備件庫(kù)存量大于0 的概率為

基地i備件需求發(fā)生短缺的概率為

則基地i需求能橫向轉(zhuǎn)運(yùn)滿足的概率為

基地i能提供橫向轉(zhuǎn)運(yùn)，即其備件庫(kù)存量大于Hi的概率[20]為

2.3 庫(kù)存優(yōu)化模型

基于此，建立如下庫(kù)存優(yōu)化模型，目標(biāo)是求得各基地備件最優(yōu)庫(kù)存，使系統(tǒng)在滿足規(guī)定保障水平的條件下，單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)平均總成本最?。?/p>

約束條件為

3 優(yōu)化算法

3.1 參數(shù)求解

本文構(gòu)建一個(gè)迭代算法，依據(jù)模型參數(shù)之間的聯(lián)系，將上次迭代結(jié)果作為下次迭代的輸入，不斷逼近最優(yōu)解，當(dāng)差值滿足要求的誤差容限時(shí)，迭代結(jié)束。

3.2 粒子群算法

由于優(yōu)化模型參數(shù)較多，求解復(fù)雜，粒子群算法是解決這類復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的有效工具。與其他智能優(yōu)化算法相比，粒子群算法具有計(jì)算快速和算法易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)，所以本文采用傳統(tǒng)粒子群算法對(duì)建立的庫(kù)存模型進(jìn)行求解，具體步驟如下。

步驟1 算法準(zhǔn)備及參數(shù)設(shè)置。初始化粒子群規(guī)模n= 20，設(shè)置慣性因子ω = 0.95，學(xué)習(xí)因子c1=c2= 2，最大速度Vmax= 2.4，最佳適應(yīng)度變化閾值B= 0.001，最大迭代次數(shù)Kmax= 500。

步驟3 根據(jù)式 (14) 設(shè)計(jì)適應(yīng)度函數(shù)，計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。

步驟4 判斷粒子的歷史最優(yōu)位置是否需要更新。對(duì)于每個(gè)粒子，若當(dāng)前位置和該粒子的歷史最優(yōu)位置同時(shí)滿足或同時(shí)不滿足約束，則用它的適應(yīng)度值與其歷史最佳適應(yīng)度值進(jìn)行比較，如果前者小于后者，則更新 最 佳適應(yīng)度值 及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)位置；若兩者之一不滿足約束，則選擇滿足約束的位置作為當(dāng)前迭代中該粒子的最優(yōu)位置，其對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度值作為當(dāng)前最佳適應(yīng)度值。

步驟5 判斷全局最優(yōu)位置是否需要更新。比較當(dāng)前全局最優(yōu)與歷史全局最優(yōu)，判斷的過(guò)程與步驟4 相同，如若滿足更新的要求，則更新并記錄當(dāng)前迭代全局最佳適應(yīng)度值及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)位置。

步驟6 按照如下方程更新粒子j的飛行速度和位置。

其中，r1、r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；Pkj表 示 迭代至第k次時(shí)粒子j的最佳位置，也稱個(gè)體極值點(diǎn)；表示迭代至第k次時(shí)整個(gè)粒子群搜索到的最優(yōu)位置，即決策變量最優(yōu)，也稱全局極值點(diǎn)。

步驟7 判斷算法是否終止。若最佳適應(yīng)度變化量滿足閾值條件或算法達(dá)到最大迭代次數(shù)，則停止迭代，并輸出最佳位置和最優(yōu)的適應(yīng)度值，否則返回步驟3 繼續(xù)進(jìn)行迭代。

4 算例分析

運(yùn)用計(jì)算機(jī)仿真的方法對(duì)所構(gòu)建的模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證，搭建AnyLogic 多智能體仿真模型，輸入各個(gè)仿真參數(shù) (見表1)，按照前述需求到達(dá)、送修過(guò)程和轉(zhuǎn)運(yùn)規(guī)則設(shè)計(jì)各智能體之間仿真交互的程序，以年為單位進(jìn)行仿真，將運(yùn)行多次的仿真結(jié)果取其平均值并記錄到表2 中。由于實(shí)際中航空維修企業(yè)各基地對(duì)備件保障水平要求比較高，因此本文主要對(duì)各基地保障率1- θi≥80% 的情況進(jìn)行測(cè)試。某航空維修企業(yè)有3 個(gè)不同的基地，仿真實(shí)驗(yàn)基本參數(shù)值的設(shè)置如表1 所示，其他參數(shù)的設(shè)置及其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)備件配置方案如表2 所示。表中參數(shù)的設(shè)定是根據(jù)已有文獻(xiàn)和航空維修企業(yè)的部分真實(shí)數(shù)據(jù)綜合確定的代表性數(shù)據(jù)。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)基本參數(shù)的取值Table 1 Basic parameters settings of the simulation experiment

表2 不同情況下仿真與近似算法的計(jì)算結(jié)果比較Table 2 Comparisons of simulation and approximate algorithm results under different conditions

將表2 中序號(hào)為1、4、7、10 對(duì)應(yīng)的組合參數(shù)作為優(yōu)化算法和仿真模型的基本輸入?yún)?shù)，即可分別獲得該組合參數(shù)對(duì)應(yīng)算法優(yōu)化及仿真的結(jié)果。將其作為基準(zhǔn)進(jìn)行敏感性分析，改變影響最優(yōu)備件配置方案的關(guān)鍵參數(shù)，如對(duì)于序號(hào)2，只改變各基地的故障率，各基地機(jī)隊(duì)規(guī)模及其目標(biāo)保障率等保持默認(rèn)，以探討各基地部件故障率變化對(duì)備件配置策略以及系統(tǒng)總成本等的影響。根據(jù)表2 中算法及仿真結(jié)果可知，當(dāng)部件故障率增加或機(jī)隊(duì)規(guī)模擴(kuò)大時(shí)，會(huì)導(dǎo)致基地最佳備件配置量增加；當(dāng)各基地目標(biāo)保障率或系統(tǒng)目標(biāo)保障率要求提高時(shí)，也會(huì)導(dǎo)致最佳備件配置量增加以及系統(tǒng)總成本增加。這符合實(shí)際工作中航空維修企業(yè)可修備件配置的一般規(guī)律。

對(duì)比分析表2 的計(jì)算結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)本文建立的優(yōu)化模型及算法求得的各基地的近似保障率 αi+ βi，與用AnyLogic 軟件仿真一年得到的實(shí)際保障率相比較，最大誤差為0.06，優(yōu)化得到的最佳備件配置方案基本都能達(dá)到或十分接近于各基地目標(biāo)保障率和系統(tǒng)目標(biāo)保障率。優(yōu)化算法所獲得的結(jié)果都是在6 ～ 23 次迭代內(nèi)求得的，所以本文的算法搜索效率比較高，收斂速度比較快。同時(shí)本文構(gòu)建的仿真模型還獲得了不同情況下的系統(tǒng)年運(yùn)營(yíng)總成本，與算法求得的年運(yùn)營(yíng)總成本進(jìn)行比較，兩者的最大相對(duì)誤差為0.31%。這說(shuō)明本文所建立的模型及算法求得的結(jié)果與仿真結(jié)果取得良好的一致性。

5 結(jié)論

在實(shí)際工作中各基地面臨轉(zhuǎn)運(yùn)請(qǐng)求時(shí)不一定都會(huì)通力合作，而是以自身利益為出發(fā)點(diǎn)，允許基地間相互轉(zhuǎn)運(yùn)但不完全共享其可用備件，已有研究提出的完全共享轉(zhuǎn)運(yùn)模型和單向轉(zhuǎn)運(yùn)模型等不完全適用于解決這類問(wèn)題。因此本文建立基地有限維修來(lái)源條件下的不完全轉(zhuǎn)運(yùn)庫(kù)存優(yōu)化模型，為擁有一定機(jī)隊(duì)規(guī)模，允許相互轉(zhuǎn)運(yùn)，但不完全共享其可修備件庫(kù)存的單級(jí)多基地民機(jī)備件保障系統(tǒng)提供決策思路和依據(jù)。

1) 模型優(yōu)化得到的備件配置方案可以在滿足目標(biāo)保障率的條件下使系統(tǒng)總成本達(dá)到最小，符合民航企業(yè)的保障實(shí)際，可為航空備件保障人員在不完全共享策略下制定合理的可修備件庫(kù)存配置方案提供一定的理論和決策依據(jù)。

2) 應(yīng)進(jìn)一步綜合考慮多種備件項(xiàng)目，以系統(tǒng)確定各可修件的備件數(shù)量達(dá)到企業(yè)的綜合保障要求。

3) 如何確定庫(kù)存保留水平，而不是將其視為常量的問(wèn)題也值得后續(xù)進(jìn)行研究。