吳一凡 李奔 周文 張道祥

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 安徽 蕪湖 241002)

具有Holling-Ⅳ功能反應(yīng)項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的捕食-被捕食系統(tǒng)可以用下述微分方程組描述:

初始條件為

式中：u(x，t)，ν(x，t)分別為在空間x∈Ω 和時(shí)間t∈[0，T]上被捕食者密度和捕食者密度；d1，d2分別為被捕食者和捕食者的擴(kuò)散速率；K為被捕食者的環(huán)境容納量；C為捕食者的死亡率；A為被捕食者的自然增長率；為Holling-Ⅳ功能反應(yīng)函數(shù)；參數(shù)A、B、C、E、K、d1、d2均為正常數(shù)，它們的詳細(xì)生物學(xué)意義可以見Andrews J F所著文獻(xiàn)[1]。

式（1）中，Δαu為分?jǐn)?shù)階Laplacian 算子，α為階數(shù)，Riesz 意義下的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為(見Podlubny I 所著文獻(xiàn)[2])

分?jǐn)?shù)階微分方程作為非線性過程的有效建模工具受到越來越多學(xué)者關(guān)注，其中最具有代表性的是法國學(xué)者Oustaloup 教授領(lǐng)導(dǎo)的研究組提出的分?jǐn)?shù)階魯棒控制的概念與技術(shù)被成功應(yīng)用于汽車行業(yè)的懸掛系統(tǒng)。分?jǐn)?shù)階亞擴(kuò)散（0 ＜α＜1）和超擴(kuò)散（1 ＜α＜2）是對經(jīng)典反應(yīng)擴(kuò)散情形的推廣，其導(dǎo)數(shù)為任意階。對分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的擴(kuò)散（1 ＜α＜2）的研究可以獲得擴(kuò)散系統(tǒng)更為豐富的動(dòng)力學(xué)行為。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子求解繁瑣，計(jì)算也比整數(shù)階的情形復(fù)雜。楊可麗和吳克晴[3]分析了一類帶有p-Laplacian 算子的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)邊值問題正解唯一性問題。金艷玲[4]利用修正的Lucas 多項(xiàng)式方法，給出計(jì)算分?jǐn)?shù)階比例延遲微分方程數(shù)值解的算法，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證修正Lucas多項(xiàng)式方法對此類微分方程數(shù)值解求解的有效性。李志杰[5]考慮了模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度高、辨識(shí)速度快的特點(diǎn)，結(jié)合分?jǐn)?shù)階梯度下降算法，提出了基于分?jǐn)?shù)階梯度下降法的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。利用分?jǐn)?shù)階微積分的記憶特性，能夠更加合理、有效地運(yùn)用過去的信息，設(shè)計(jì)更有效的參數(shù)迭代公式。本文主要研究了一類分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散的捕食系統(tǒng)：首先，建立起系統(tǒng)的行波解的存在性并給出系統(tǒng)發(fā)生Hopf 分岔的條件；其次，利用分?jǐn)?shù)階微分方程的定性理論和Hopf分岔理論討論了系統(tǒng)局部穩(wěn)定、全局穩(wěn)定以及圖靈分岔發(fā)生的條件；最后，利用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬得到了系統(tǒng)的空間斑圖。

1 主要結(jié)果與分析

首先我們建立式（1）的行波解。假設(shè)d1=0，α=2,為了減少式（1）的參數(shù)，引入如下變量：

簡單計(jì)算可知，式（4）有4 個(gè)平衡點(diǎn)。E0=(0，0)對應(yīng)的是兩個(gè)物種滅絕；E1=(b，0)對應(yīng)的是只有被捕食物種存在；E3=(u0，ν0)，E4=(u1，ν1)是主要研究的對象，表示共存的被捕食者和捕食者種群。其中

為了得到本文的主要結(jié)果，對參數(shù)作如下假設(shè)：b＞1 或者有E＞，確保捕食者和被捕食者有足夠大的飽和度；a＞0 和β＞2,確保E3，E4是正平衡點(diǎn)；b＜u1，確保系統(tǒng)只有唯一一個(gè)正平衡點(diǎn)E3。

接下來，為了建立式（4）的行波解的存在性，假設(shè)式（4）的解形如u(x，t)=u(ξ)，ν(x，t)=ν(ξ)，ξ=x+ct，c是一個(gè)正數(shù)表示波速。把u(x，t)=u(ξ)，ν(x，t)=ν(ξ)代入式（4）中，得到如下波動(dòng)方程:

進(jìn)一步讓u，ν滿足邊界條件：

為了簡單起見,令α=2 分?jǐn)?shù)階微分算子即為經(jīng)典形式下的二階空間導(dǎo)數(shù)。式（5）可寫為R3中的一階微分系統(tǒng):

根據(jù)已有的研究結(jié)果，得出如下結(jié)論：

（1）若β＞，并且0 ＜c＜，則式（6）不存在滿足邊界條件的非負(fù)解。

（2）若β＞，c＞，a(1+b2)＜c2并且b＜-u0，則式（6）存在滿足邊界條件的非負(fù)解，對應(yīng)于系統(tǒng)的行波解。

1.1 Hopf分岔

這一小節(jié),我們固定α和β，討論當(dāng)b和c變化時(shí)，式（6）出現(xiàn)的分岔現(xiàn)象。這個(gè)參數(shù)的選擇相對于固定了被捕食者的生長速率和捕食者的內(nèi)稟增長率，并允許捕食者的捕食效率發(fā)生變化。

定理2.1：令

其中

如果b＞，并且u0＜，那么正參數(shù)b在參數(shù)平面(b，c)上的b0處穿越分岔曲線c2=l1+。在平衡點(diǎn)(u0，ν0，0)處的一個(gè)小擾動(dòng)下，常微分式（6）發(fā)生Hopf 分岔，該分岔對應(yīng)于分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散式（5）的一個(gè)小振幅行波解。

證明在平衡點(diǎn)（u0，ν0，0）處線性化式（6），計(jì)算可得特征方程。

其中

整理可得

容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)b＞并且u0＜時(shí)，有l(wèi)1＞0，l2＜0。將λ=ki代入特征方程，可得

由此可得，若b和c滿足c2=l1+時(shí)，特征方程有一對純虛根。下面對特征方程兩邊求導(dǎo)可得

進(jìn)一步計(jì)算可得

取上式的實(shí)部可得

明顯，在0 ＜u0＜1上，因?yàn)?1 ＜0，那么f1是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，f2是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。因此0 ＜u0＜1時(shí)，有

由Hopf 分岔理論，b在參數(shù)平面(b，c)上的b0處穿越分岔曲線c2=l1+，那么平衡點(diǎn)(u0，ν0，0)在小擾動(dòng)下，式（6）發(fā)生Hopf分岔。

1.2 局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性

考慮式（1）中d1=d2=0時(shí)的脈沖微分方程：

式（7）中：x0=x(0+)=(u(0+)，ν(0+))0 ≤k≤1，=u(t+)(ν(s)=ν(t+))，0 ≤p1＜1(0 ≤p2＜1)，T是脈沖效應(yīng)的周期。

首先給出一些符號(hào)和定義：令R+=[0，∞)和={z=(z1，z2) ∈R+}。定義映射F=(f，g)，f，g是式（1）在d1=d2=0時(shí)的右端函數(shù)。式（7）的解定義為x(t)=(u(t)，ν(t)):R+→在((n-1)T，(n+k-1)T)和((n+k-1)T，nT)是連續(xù)的，并且x(t)=x((n+k-1)T+)和x(t)=x(nT+)存在。

式（7）有一些基本的特性：

計(jì)算可得

因?yàn)槭剑?）的解是

那么有

定理2.2 令(u(t)，ν(t))是式（7）的任意解，若

那么(0，)是局部漸近穩(wěn)定的。

證明 定義x1(t)=u(t)，x2(t)=ν(t)-，那么

這里，Φ(t)滿足條件

因此，

對于式（7）有

顯然|λ2|＜1.對于|λ1|，有

1.3 圖靈分岔

考慮式（4）的如下形式：

在平衡點(diǎn)E3(u0，ν0)作一個(gè)微擾，舍去高階項(xiàng)后得到線性微擾方程：

其中

將微擾變量在傅里葉空間中展開，得到特征方程

整理后得

其中

解得

產(chǎn)生圖靈分岔的必要條件如下。

條件一：系統(tǒng)對均勻微擾必須是穩(wěn)定的，這就要求ω=0 時(shí)，λω＜0。因而系統(tǒng)要滿足a11+a22＜0，a11a22-a12a21＞0。

條件二：系統(tǒng)對于某些模數(shù)的微擾是不穩(wěn)定的，會(huì)出現(xiàn)鞍結(jié)點(diǎn)分岔，這就要求系統(tǒng)對某些ω值有detJ＜0使得λω＞0。

求關(guān)于ωα的極小值，得到最危險(xiǎn)模數(shù)值為

將最危險(xiǎn)模數(shù)值代入detJ中得到

即當(dāng)所有的參數(shù)值滿足條件一和條件二時(shí)，式（11）將發(fā)生圖靈分岔現(xiàn)象。

2 數(shù)值模擬

在這一部分，研究人員采用分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的有限差分格式[6]對式（1）進(jìn)行數(shù)值模擬。為了得到簡潔的結(jié)果，以下數(shù)值模擬結(jié)果均為捕食者的關(guān)系圖。為了驗(yàn)證算法的有效性，研究人員先討論Xu H W 和Fu S M[7]所著文獻(xiàn)中的模型（14）的空間斑圖。

選取參數(shù)如下:a=0.1，b=0.2，m=0.6，p=0.1，q=0.25，D1=0.015，α=2，β=2。當(dāng)D2=0.75＞時(shí)，公式（14）是圖靈不穩(wěn)定的，會(huì)產(chǎn)生圖靈斑圖。圖1 是t=50，100，150，200 下的數(shù)值模擬結(jié)果。這與文獻(xiàn)中的結(jié)果一致，這表明研究人員討論的結(jié)果是正確的，算法是有效的。

圖1 式(14)的空間Turing斑圖

對于式（11），研究人員發(fā)現(xiàn)在滿足產(chǎn)生圖靈分岔的必要條件一下所選取的參數(shù)數(shù)值會(huì)導(dǎo)致式（13）右端值小于零，這就無法保證條件二成立。因此，式（11）不會(huì)產(chǎn)生圖靈斑圖。圖2 是式（11）在α=1.8時(shí)t=50、100、150、200下的空間斑圖數(shù)值模擬結(jié)果。

圖2 式(11)的空間斑圖

3 結(jié)語

本文構(gòu)建了帶有Holling-IV 功能反應(yīng)函數(shù)的分?jǐn)?shù)階的具有擴(kuò)散效應(yīng)的捕食-食餌模型。我們首先給出了當(dāng)d1=0，α=2 時(shí)系統(tǒng)的行波解以及系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔的條件。然后討論了系統(tǒng)局部穩(wěn)定、全局穩(wěn)定以及圖靈分岔發(fā)生的條件。最后利用分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的有限差分格式，借助Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬得到了系統(tǒng)的空間斑圖。