王重陽，王敏，李慧，許振領(lǐng)，蘇振強(qiáng)

（中國人民解放軍63892 部隊(duì)，河南 洛陽 471003）

現(xiàn)代戰(zhàn)爭中，巡航導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈等精確制導(dǎo)武器的大量應(yīng)用使地面與海面目標(biāo)所受到的威脅日益嚴(yán)重。目前主要通過防空導(dǎo)彈對巡航導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈進(jìn)行有效攔截，而采取大機(jī)動(dòng)突防是巡航導(dǎo)彈、反艦導(dǎo)彈突破防空導(dǎo)彈防御區(qū)的有效手段。防空導(dǎo)彈普遍采用比例導(dǎo)引等傳統(tǒng)的制導(dǎo)律，其制導(dǎo)指令在攔截點(diǎn)附近都存在過載指令較大的現(xiàn)象，特別是攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，比例導(dǎo)引往往存在滯后性，在即將攔截的時(shí)刻需用過載指令大而造成脫靶量較大。

文獻(xiàn)[1-11]主要采用微分幾何、最優(yōu)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制等控制理論針對機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，與比例導(dǎo)引相比面對機(jī)動(dòng)目標(biāo)制導(dǎo)效果有了較好的改善，但用到控制理論較深，制導(dǎo)律形式較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[12-18]這些經(jīng)典的末制導(dǎo)律設(shè)計(jì)思想主要采用各種濾波算法對機(jī)動(dòng)目標(biāo)的加速度進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)估計(jì)的目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度對制導(dǎo)律進(jìn)行補(bǔ)償，但其濾波算法計(jì)算過程較為復(fù)雜。

采用經(jīng)典的PID 控制方法推導(dǎo)出對固定目標(biāo)與機(jī)動(dòng)目標(biāo)的零化視線角速率制導(dǎo)律[19-20]，并采用經(jīng)典的擴(kuò)展卡爾曼濾波方法估計(jì)出機(jī)動(dòng)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)加速度，對所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律進(jìn)行目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償。并通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)精度，提高了攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)性能。

1 具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償?shù)哪┲茖?dǎo)律設(shè)計(jì)

經(jīng)典的PID 控制器最主要的優(yōu)點(diǎn)是根據(jù)目標(biāo)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)之間的誤差去實(shí)時(shí)消除這個(gè)誤差，而并不是依靠輸入與輸出之間的關(guān)系。所以，這也是經(jīng)典的PID 控制器被廣泛采用的主要原因。

基于經(jīng)典PID 控制器的誤差反饋控制思想可以設(shè)計(jì)零化視線角速率的制導(dǎo)律。首先，針對固定目標(biāo)設(shè)計(jì)，如圖1 所示，以縱向平面為例，建立導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)方程。

圖1 導(dǎo)彈打擊固定目標(biāo)彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系

對式（1）彈目相對運(yùn)動(dòng)方程中第二式求導(dǎo)并化簡可得：

從而，設(shè)輸入量u=-aMq，輸出量y=，得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)即為被控對象的傳遞函數(shù)，如式（4）所示：

零化視線角速率控制思想是在攔截目標(biāo)時(shí)刻彈目視線角速率為零，設(shè)定目標(biāo)初速值v0=0，利用誤差反饋控制的方法，設(shè)定的目標(biāo)值與系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)之間的誤差e=v0-y，根據(jù)該誤差來決定控制力u，系統(tǒng)在該控制力的作用下，最終輸出達(dá)到設(shè)定值v0=0。反饋控制過程如圖2 所示。

圖2 經(jīng)典誤差反饋控制

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

由y=，u=-aMq，v0=0，可得:

式（7）表明，攔截固定目標(biāo)的零化視線角速率制導(dǎo)律就是比例導(dǎo)引制導(dǎo)律。

同理，對于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，也可以采用基于經(jīng)典的PID 控制器誤差反饋控制的思想，設(shè)計(jì)零化視線角速率的制導(dǎo)律。以縱向平面為例，如圖3 所示，建立導(dǎo)彈攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的相對運(yùn)動(dòng)方程。

圖3 導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)彈目相對運(yùn)動(dòng)關(guān)系

對式（8）彈目相對運(yùn)動(dòng)方程中第二式求導(dǎo)，并按照前面理論將導(dǎo)彈軸向加速度與側(cè)向加速度和目標(biāo)軸向加速度與側(cè)向加速度都投影到垂直與彈目視線方向，化簡可得:

式（9）與式（3）相比多了目標(biāo)垂直于彈目視線上的加速度，根據(jù)針對固定目標(biāo)的零化視線角速率制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)方法，設(shè)輸入量u=aTq-aMq，輸出量y=設(shè)定期望值v0=0，可以將輸入控制量表示為u=ke=k(v0-y)，與式（6）相同。從而，攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的零化視線角速率制導(dǎo)律為：

由于大機(jī)動(dòng)目標(biāo)在末段巡航速度VT變化不大，所以目標(biāo)垂直于視線方向上的加速度可簡化為aTq=aTcos(θT-q)，所示式（10）可寫為：

從式（11）可以看到，目標(biāo)側(cè)向加速度aT為導(dǎo)引頭無法提供的信息量，所以需要準(zhǔn)確估計(jì)aT，如果可以將aT估計(jì)得較為準(zhǔn)確，該制導(dǎo)律攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)就相當(dāng)于比例導(dǎo)引制導(dǎo)律攔截固定目標(biāo)。

2 目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)

機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的最基本問題是建立機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型。而建立機(jī)動(dòng)目標(biāo)模型一般既需要滿足實(shí)際機(jī)動(dòng)情況又要便于數(shù)學(xué)計(jì)算處理。近些年來，許多學(xué)者根據(jù)機(jī)動(dòng)模型不同特點(diǎn)，采用不同的方法建立了多種機(jī)動(dòng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型。其中常見的有：常速與常加速模型、時(shí)間相關(guān)模型、半馬爾科夫模型、“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型等。

“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型的主要思想：當(dāng)目標(biāo)正以某一加速度進(jìn)行機(jī)動(dòng)時(shí)，下一時(shí)刻的加速度取值是有限的，且只能在“當(dāng)前”加速度的鄰域內(nèi)。由于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型對機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速描述更為準(zhǔn)確并且模型描述也不復(fù)雜，因此對目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息的估計(jì)采用“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型[6]。當(dāng)目標(biāo)“當(dāng)前”加速度為正時(shí)，概率密度函數(shù)為：

由瑞利分布的統(tǒng)計(jì)特性可知，只需得到參數(shù)μ就可以確定其分布特性，從而得出機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度方差為：

縱向平面的設(shè)計(jì)與航向平面的設(shè)計(jì)過程相同，故以一個(gè)平面為例展開設(shè)計(jì)，建立導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的系統(tǒng)模型：

建立導(dǎo)引頭觀測模型：

設(shè)狀態(tài)變量為X=[R,q,θT,αT,θM]Τ，導(dǎo)引頭觀測值為Y=，將系統(tǒng)模型改寫為狀態(tài)空間描述的形式，如下：

為了便于計(jì)算機(jī)處理，要將系統(tǒng)方程與觀測方程進(jìn)行離散化，首先將X(t)與Y(t)進(jìn)行泰勒展開，假定卡爾曼濾波的一次計(jì)算周期時(shí)間為Δt，令t=k，t+Δt=k+1 代入式（16）并整理即可得到離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)方程。

擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filtering,EKF)是將非線性函數(shù)φ(·)圍繞標(biāo)稱狀態(tài)濾波值(k/k)進(jìn)行泰勒展開，并略去二次及以上高階項(xiàng)后得到非線性系統(tǒng)的線性化模型。

利用擴(kuò)展卡爾曼濾波對離散化后的系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行線性化得到式（17）。

有了離散化與線性化后的系統(tǒng)方程，就可以采用卡爾曼濾波對目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度aT進(jìn)行估計(jì)。

其中，式（18）第四步估計(jì)的狀態(tài)向量X(k+1/k+1)的第四個(gè)分量即為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度aT。通過計(jì)算機(jī)程序即可解算出目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度aT用于具有機(jī)動(dòng)目標(biāo)加速度估計(jì)的制導(dǎo)律式（11）中。

3 計(jì)算機(jī)仿真分析

以防空導(dǎo)彈攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)為例驗(yàn)證該制導(dǎo)律的性能。防空導(dǎo)彈末制導(dǎo)初始速度800 m/s，末制導(dǎo)初始時(shí)刻位置坐標(biāo)（0，100，0）。目標(biāo)為速度300 m/s 的亞音速空面導(dǎo)彈，初始位置坐標(biāo)為（8 000，500，900），目標(biāo)機(jī)動(dòng)方式為空間螺旋機(jī)動(dòng)，機(jī)動(dòng)角頻率為0.5π rad/s，仿真步長10 ms。

采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律對機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截，仿真結(jié)果如圖4、圖5 所示。

圖4 比例導(dǎo)引三維彈道

圖5 比例導(dǎo)引下導(dǎo)彈的復(fù)合過載

采用具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律對機(jī)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行攔截，仿真結(jié)果如圖6-9 所示。

圖6 設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律的三維彈道

圖7 鉛垂方向目標(biāo)加速度估計(jì)

圖8 水平方向目標(biāo)加速度估計(jì)

在仿真過程中，比例導(dǎo)引的制導(dǎo)方式仿真時(shí)間為7.52 s，脫靶量為8.41 m；具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律仿真時(shí)間為7.74 s，脫靶量為1.72 m。

對比圖5 與圖9 結(jié)果表明，采用比例導(dǎo)引制導(dǎo)律防空導(dǎo)彈攔截末段過載接近20 g，而采用具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律前段過載大末端過載收斂到11 g，這樣給導(dǎo)彈末段留有較大的機(jī)動(dòng)能力，從而致使脫靶量要小于比例導(dǎo)引。

圖9 采用所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律情況下導(dǎo)彈的復(fù)合過載

由圖7 與圖8 結(jié)果表明，采用擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法對目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)最大誤差為6%，估計(jì)精度較高。驗(yàn)證了具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度補(bǔ)償?shù)闹茖?dǎo)律對大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效性。

4 結(jié)論

基于反饋控制的思想設(shè)計(jì)了可攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)末制導(dǎo)律，設(shè)計(jì)采用經(jīng)典PID 控制中誤差反饋的方法推導(dǎo)出了結(jié)構(gòu)簡單實(shí)用的攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)末制導(dǎo)律。這種制導(dǎo)律需要已知目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度，通過建立機(jī)動(dòng)目標(biāo)的“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)模型與彈目相對運(yùn)動(dòng)方程，并且對模型進(jìn)行離散化、線性化，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波的方法估計(jì)出目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度信息。在目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速估計(jì)精確度較高的情況下，這種具有目標(biāo)機(jī)動(dòng)信息補(bǔ)償?shù)哪┲茖?dǎo)律對大機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截相當(dāng)于比例導(dǎo)引制導(dǎo)律對固定目標(biāo)攔截。通過計(jì)算機(jī)仿真證明，該制導(dǎo)律能比較有效解決攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)脫靶量較大的問題。