王震鐸，王朝暉，張若愚

（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.南京理工大學(xué)近程射頻感知芯片與微系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，通信的意義和內(nèi)涵不斷演變。太赫茲通信、通信感知一體化和智能超表面[1-2]等通信技術(shù)也迎來(lái)了蓬勃發(fā)展。智能制造、智慧醫(yī)療、智能家居、智慧城市等新興業(yè)務(wù)場(chǎng)景的不斷涌現(xiàn)，推動(dòng)了通信、人工智能、大數(shù)據(jù)、圖像處理和遙感等技術(shù)的深度融合[3-4]。從1G 的語(yǔ)音通信到如今5G 的萬(wàn)物互聯(lián)，通信場(chǎng)景正在向多元化的方向發(fā)展[5]。國(guó)際電信聯(lián)盟明確了5G 通信的三大應(yīng)用場(chǎng)景[6-9]，包括增強(qiáng)型移動(dòng)寬帶（eMBB,enhanced mobile broadband）、大連接物聯(lián)網(wǎng)（mMTC,massive machine-type communication）以及低時(shí)延高超可靠通信（URLLC,ultra-reliable &low-latency communication）。然而當(dāng)今廣泛使用的正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）技術(shù)難以滿足上述應(yīng)用場(chǎng)景對(duì)通信波形更加嚴(yán)格的要求，作為5G 候選波形的廣義頻分復(fù)用（GFDM,generalized frequency division multiplexing）由于具有更加靈活、高效的優(yōu)點(diǎn)，成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)。

GFDM 是一種基于時(shí)頻資源塊的非正交多載波調(diào)制方案，每個(gè)時(shí)頻資源單位由若干個(gè)子符號(hào)和子載波構(gòu)成[10]。GFDM 系統(tǒng)具有良好的時(shí)頻聚焦特性，能夠在多徑環(huán)境下提供較好的抗干擾性能和頻譜利用率[11]，是一種適于物聯(lián)網(wǎng)、無(wú)線電視、衛(wèi)星通信等領(lǐng)域的調(diào)制方式。由于時(shí)頻資源配置的靈活性，GFDM 可以很容易地實(shí)現(xiàn)與正交頻分復(fù)用（OFDM）的兼容，并且支持多個(gè)用戶共享物理層資源。從某種意義上說(shuō)，GFDM 可以視作一種編碼OFDM 技術(shù)。另外，在GFDM 中，多個(gè)子符號(hào)共用一個(gè)循環(huán)前綴（CP,cyclic prefix），節(jié)省了頻帶資源，提升了GFDM 系統(tǒng)的頻帶利用率。此外，文獻(xiàn)[12]表明正交時(shí)頻空（OTFS,orthogonal time frequency space）可以作為具有簡(jiǎn)單排列的GFDM 信號(hào)進(jìn)行處理。通過(guò)正確選擇設(shè)計(jì)GFDM 參數(shù)，可以合成OFDM 和OTFS 等波形。因此以GFDM 系統(tǒng)為研究對(duì)象對(duì)其他波形技術(shù)有一定的參考價(jià)值。

為了提高GFDM 系統(tǒng)的性能，減少對(duì)相鄰信道的干擾以及推進(jìn)GFDM 技術(shù)與物聯(lián)網(wǎng)、車聯(lián)網(wǎng)的融合，研究人員一直在深入探究抑制GFDM 系統(tǒng)帶外（OOB,out of band）功率泄漏和降低GFDM 系統(tǒng)的峰均功率比（PAPR,peak to average power ratio）等相關(guān)問(wèn)題。針對(duì)OOB 問(wèn)題，文獻(xiàn)[13]通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)的基于向量的GFDM 系統(tǒng)表征深入研究，提出了一種基于矩陣化表征的GFDM 發(fā)射機(jī)模型，指出了GFDM 系統(tǒng)OOB 性能與原型濾波器的聯(lián)系，并為設(shè)計(jì)最優(yōu)濾波器提供了參考。文獻(xiàn)[14]通過(guò)將GFDM 發(fā)射信號(hào)的功率譜密度表示為GFDM 濾波器系數(shù)的函數(shù)，將最小化OOB 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為濾波器設(shè)計(jì)問(wèn)題，權(quán)衡了誤碼率（BER,bit error rate）性能和OOB 性能。文獻(xiàn)[15]利用二次規(guī)劃方法對(duì)原型濾波器加以設(shè)計(jì)優(yōu)化以有效抑制GFDM 系統(tǒng)的帶外功率。除此之外，文獻(xiàn)[16-18]通過(guò)GFDM 與索引調(diào)制相結(jié)合，利用不同子載波的激活狀態(tài)從而達(dá)到降低帶外輻射、提高功率放大器效率和頻譜效率的效果。針對(duì)PAPR 問(wèn)題，文獻(xiàn)[19]通過(guò)對(duì)GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能的理論性能的分析，闡明了濾波器優(yōu)化PAPR 性能所能達(dá)到的限制。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了一種基于梯度下降法的線性預(yù)編碼器，通過(guò)最小化GFDM 信號(hào)瞬時(shí)功率的方差、二階矩和三階矩等統(tǒng)計(jì)參數(shù)來(lái)降低PAPR，并給出了相應(yīng)的優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[21]提出了一種預(yù)編碼器，通過(guò)最小化瞬時(shí)功率（IP,instantaneous power），從而降低PAPR。文獻(xiàn)[22]提出了一種基于小波變換的技術(shù)，可以有效提升系統(tǒng)PAPR 性能。文獻(xiàn)[23]結(jié)合選擇映射（SLM,selective mapping）和部分傳輸序列（PTS,partial transmit sequence）等技術(shù)提出了混合沃爾什-哈達(dá)瑪預(yù)編碼技術(shù)，以進(jìn)一步降低發(fā)射端的PAPR。文獻(xiàn)[24-25]通過(guò)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換（WFRFT,weighted fractional Fourier transform）來(lái)優(yōu)化GFDM系統(tǒng)PAPR 性能。此外，文獻(xiàn)[26-27]指出WFRFT在衰落信道中具有誤碼率性能優(yōu)勢(shì)。

目前，已有多篇文獻(xiàn)獨(dú)立且完整地提出了抑制GFDM 信號(hào)的OOB 輻射和降低PAPR 的方案，但只有少數(shù)文獻(xiàn)研究了兩者的聯(lián)合抑制問(wèn)題。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)GFDM 系統(tǒng)OOB 和PAPR 性能的聯(lián)合優(yōu)化，本文基于頻譜預(yù)編碼（SP,spectral precoding）理論為GFDM 系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種通用預(yù)編碼器。頻譜預(yù)編碼是一種重要的技術(shù)手段，通過(guò)優(yōu)化信號(hào)的頻譜分布，以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)帶外功率的抑制。通過(guò)研究GFDM 系統(tǒng)功率譜衰減特性，給出了預(yù)編碼器的具體表達(dá)式，闡述了預(yù)編碼器參數(shù)對(duì)GFDM 帶外功率的影響，通過(guò)調(diào)節(jié)預(yù)編碼器參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)GFDM 系統(tǒng)帶外功率的調(diào)控。在此基礎(chǔ)上，提出了基于WFRFT頻譜預(yù)編碼的GFDM（WFRFT-SP-GFDM）系統(tǒng)，通過(guò)二維參數(shù)的靈活配置，實(shí)現(xiàn)了帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯(lián)合優(yōu)化。

1 系統(tǒng)模型

1.1 GFDM 模型

GFDM 系統(tǒng)是一種針對(duì)時(shí)頻資源進(jìn)行調(diào)制的多載波傳輸系統(tǒng)，考慮一個(gè)具有K個(gè)子載波和M個(gè)子符號(hào)的GFDM 系統(tǒng)，發(fā)射端信源提供的比特信息通過(guò)正交幅度調(diào)制（QAM,quadrature amplitude modulation）得到碼元信息，一個(gè)時(shí)頻資源單位內(nèi)包含的N個(gè)碼元信息通過(guò)M個(gè)子符號(hào)進(jìn)行傳輸，每個(gè)子符號(hào)包含K個(gè)子載波，即N=KM。第m個(gè)子符號(hào)上的碼元信息記為dm=[d0,m,…,dK-1,m]T。GFDM 系統(tǒng)第k個(gè)子載波上的M個(gè)子符號(hào)通過(guò)原型濾波器循環(huán)卷積進(jìn)行濾波，濾波后的信號(hào)經(jīng)過(guò)上變頻到第k個(gè)子載波，生成第k個(gè)子載波上的發(fā)射信號(hào)，通過(guò)K個(gè)子載波疊加形成的GFDM 信號(hào)為

根據(jù)式(1)，GFDM 系統(tǒng)調(diào)制過(guò)程的矩陣形式可以表示為

其中，d=[d0,0,…,dK-1,0,…,dK-1,M-1]T表示待傳輸碼元信息，矩陣A為KM×KM階調(diào)制矩陣，表示為

調(diào)制矩陣A由原型濾波器經(jīng)過(guò)時(shí)移和頻移形成，包含GFDM 信號(hào)調(diào)制過(guò)程中涉及的所有信號(hào)處理步驟。

1.2 WFRFT 模型

WFRFT 可以看作傅里葉變換的推廣形式，即傅里葉變換是WFRFT 在某種情況下的特例。階數(shù)為α的WFRFT 定義為

其中，x(n)為時(shí)域信號(hào)，x(-n)為時(shí)域反轉(zhuǎn)信號(hào)，X(n)為頻域信號(hào)，X(-n)為頻域反轉(zhuǎn)信號(hào)；ω0(α)、ω1(α)、ω2(α)和ω3(α)為WFRFT 的系數(shù)，定義為

其中，θ=0,1,2,3。另外，由于加權(quán)系數(shù)所具有的周期性，因此加權(quán)階數(shù)α的取值范圍通常為[0,1]。由式(4)可得，階數(shù)為α的WFRFT 的矩陣形式為

其中，Wα為α階加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換矩陣，表示為

其中，I表示單位陣，F(xiàn)表示傅里葉變換矩陣。當(dāng)階數(shù)α=0時(shí)，Wα簡(jiǎn)化為單位陣；當(dāng)階數(shù)α=1時(shí)，Wα簡(jiǎn)化為傅里葉變換矩陣。

2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)模型

圖1 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)框架

在預(yù)編碼之后，每個(gè)子符號(hào)通過(guò)原型濾波器g(t)進(jìn)行成型濾波并上變頻，經(jīng)過(guò)時(shí)域疊加后得到GFDM 信號(hào)，在一個(gè)GFDM 信號(hào)時(shí)間間隔T內(nèi)，GFDM 信號(hào)可以表示為

其中，IM為M階單位陣。當(dāng)預(yù)編碼矩陣U為單位陣時(shí)，SP-GFDM 系統(tǒng)簡(jiǎn)化為GFDM 系統(tǒng)。

SP-GFDM 信號(hào)基帶的功率譜密度可以表示為

通過(guò)重復(fù)分部積分將式(11)展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)

由式(15)可以得出，當(dāng)預(yù)編碼矩陣滿足約束條件時(shí)，GFDM 系統(tǒng)的帶外功率衰減速度為f-2J-2甚至更快。約束條件可以等價(jià)地改寫(xiě)為

并且預(yù)編碼矩陣U滿足UHU=I。在GFDM 系統(tǒng)調(diào)制傳輸過(guò)程中，考慮到每個(gè)子符號(hào)具有相似的譜特性，使GFDM 波形的譜特性呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。為了方便分析，假設(shè)在GFDM 系統(tǒng)預(yù)編碼和調(diào)制過(guò)程中，子符號(hào)攜帶具有獨(dú)立同分布的碼元信息，且滿足E。因此可得SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜密度的另一種表現(xiàn)形式為

其中，Gm(f)是e(f)gm(f)的傅里葉變換。作為多載波調(diào)制的一種方案，相對(duì)于單載波調(diào)制來(lái)說(shuō)，GFDM 系統(tǒng)同樣也面臨著PAPR 較大的問(wèn)題。PAPR較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致功率放大器工作在非線性區(qū)域，引入了信號(hào)失真和頻譜再生，影響功率譜的快速衰減。因此通過(guò)對(duì)GFDM 系統(tǒng)頻譜預(yù)編碼，達(dá)到帶外功率快速衰減的同時(shí)也要考慮對(duì)PAPR 的抑制。為此將預(yù)編碼器U擴(kuò)展為預(yù)編碼器UQ，并令P=UQ簡(jiǎn)化后續(xù)表述，通過(guò)預(yù)編碼器P實(shí)現(xiàn)對(duì)GFDM 系統(tǒng)的帶外功率和峰均功率比的聯(lián)合優(yōu)化。通過(guò)對(duì)Q加以設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的同時(shí)保持帶外功率快速衰減的特性，此時(shí)SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜可以表示為

酉矩陣具有保持信號(hào)能量的性質(zhì)，它可以有效地保持信號(hào)的功率不變。當(dāng)Q矩陣是酉矩陣時(shí)，其不會(huì)影響SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率的快速衰減。由式(22)也可得，當(dāng)Q矩陣是酉矩陣時(shí)，其滿足QQH=I，此時(shí)式(22)退化為式(21)，即Q為酉矩陣時(shí)不影響SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率的快速衰減。值得注意的是，預(yù)編碼矩陣P是一個(gè)K×S的矩陣，Q矩陣為S×S矩陣，用于在不改變所得功率譜的情況下降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR?？紤]到WFRFT預(yù)編碼矩陣為酉矩陣且具有易與GFDM 系統(tǒng)結(jié)合的特性，并可以有效降低GFDM 系統(tǒng)的PAPR。因此，以此為切入點(diǎn)來(lái)研究Q矩陣的具體表達(dá)形式。定義一個(gè)K×S的矩陣為α階加權(quán)分?jǐn)?shù)傅里葉變換矩陣Wα刪除前J列和最后J列的形式。為了實(shí)現(xiàn)降低GFDM 系統(tǒng)PAPR 的目的，將預(yù)編碼矩陣逼近取得最小值，即約束條件為

在這種情況下，GFDM 波形與WFRFT 預(yù)編碼的GFDM 波形具有相似性，從而實(shí)現(xiàn)在帶外功率快速衰減的情況下降低系統(tǒng)PAPR。對(duì)約束條件進(jìn)一步分析可得

由式(25)和式(26)可得優(yōu)化后的結(jié)果為

WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的矩陣表示為

其中，J和α為預(yù)編碼器參數(shù)。當(dāng)預(yù)編碼參數(shù)取特定值時(shí)，如表1 所示，WFRFT-SP-GFDM 可退化為不同的波形模態(tài)，在基于WFRFT 的通用預(yù)編碼框架下，實(shí)現(xiàn)了WFRFT-SP-GFDM、WFRFT-GFDM、SP-GFDM、GFDM 等波形體制的融合。

表1 WFRFT-SP-GFDM 參數(shù)等效關(guān)系

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的性能優(yōu)勢(shì)，本節(jié)對(duì)WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB、PAPR 和BER性能進(jìn)行了仿真。表2 給出了WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定。

表2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)定

3.1 帶外功率性能

為了研究WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)在帶外功率快速衰減以及不同參數(shù)下的預(yù)編碼器對(duì)帶外功率影響的效果，對(duì)WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能進(jìn)行了仿真分析。圖2 給出了當(dāng)子載波參數(shù)K分別為128 和256 時(shí)，隨著參數(shù)J增大，WFRFTSP-GFDM 系統(tǒng)相比于GFDM 系統(tǒng)在子載波利用率所承受的具體損失。

圖2 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)子載波利用率

如圖3 所示，與GFDM 系統(tǒng)相比，SP-GFDM系統(tǒng)帶外功率泄露較低，即SP-GFDM 系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)更快的帶外功率衰減，而且參數(shù)J不同時(shí)的SP-GFDM 系統(tǒng)的帶外功率衰減也有差異，即隨著參數(shù)J的增大，衰減速率加快，證明了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。如圖4 所示，不同α參數(shù)下的SP-GFDM系統(tǒng)和WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能基本一致，即WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能不受參數(shù)α的影響。相同參數(shù)J下 SP-GFDM 系統(tǒng)和WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能具有一致性，驗(yàn)證了式(22)所指出的當(dāng)Q為酉矩陣時(shí)不會(huì)影響GFDM 系統(tǒng)帶外功率的性能。另外，圖3 和圖4 表明，當(dāng)預(yù)編碼參數(shù)J增大時(shí)，系統(tǒng)使用的子載波并未減少，仍為128 個(gè)子載波，即所有子載波均處于使用狀態(tài)。這一結(jié)果表明，無(wú)論預(yù)編碼參數(shù)J的取值如何，系統(tǒng)都能夠充分利用所有子載波進(jìn)行信息傳輸?？傮w而言，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)J來(lái)調(diào)控帶外功率抑制性能，實(shí)現(xiàn)帶外功率抑制和子載波利用率的折中，且比GFDM、WFRFT-GFDM 等波形具有更低的帶外功率。

圖3 SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率性能

圖4 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)帶外功率性能

3.2 峰均功率比性能

為了研究預(yù)編碼參數(shù)對(duì)WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能的影響，對(duì)WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能進(jìn)行了仿真分析，仿真過(guò)程中采用4 倍過(guò)采樣處理。

如圖5 所示，其中，橫坐標(biāo)r0表示PAPR 門限值，縱坐標(biāo)CCDF 表示系統(tǒng)大于對(duì)應(yīng)PAPR 門限值的概率。SP-GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能與GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能相比基本一致，即U預(yù)編碼對(duì)GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能有輕微的影響。參數(shù)α相同時(shí)，不同參數(shù)J下WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)性能基本一致，即參數(shù)J不影響WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的PAPR 性能。參數(shù)J相同時(shí)，與GFDM 系統(tǒng)相比，不同參數(shù)α下WFRFT-SP-GFDM系統(tǒng)PAPR性能有所改變，且隨著參數(shù)α的增大，PAPR 抑制效果逐漸增強(qiáng)。結(jié)合WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)OOB 性能分析，通過(guò)矩陣U和矩陣Qα分別實(shí)現(xiàn)了對(duì)GFDM 系統(tǒng)的OOB 性能和PAPR 性能的調(diào)控，且兩者具有不會(huì)相互作用影響的良好性質(zhì)，通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)J和α，實(shí)現(xiàn)GFDM 系統(tǒng)OOB 性能和PAPR 性能的協(xié)同控制。此外，當(dāng)編碼參數(shù)α相同時(shí)，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)的 PAPR 性能逼近于WFRFT-GFDM 系統(tǒng)PAPR 性能。

圖5 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)峰均功率比性能

3.3 誤碼率性能

為了探究預(yù)編碼參數(shù)對(duì) WFRFT-SP-GFDM系統(tǒng)誤碼率的影響，對(duì)WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)BER 性能進(jìn)行了仿真分析。仿真中信道為AWGN信道和多徑信道，其中，多徑信道設(shè)置為6 條徑，每條徑的時(shí)延設(shè)置為[0,100,150,200,250,300]ns，每條徑的平均功率設(shè)置為[0,-3,-6,-7.2,-10.8,-18,-25.2]dB。

圖6 SP-GFDM 系統(tǒng)誤碼率性能

圖7 WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)誤碼率性能

4 結(jié)束語(yǔ)

本文面向通信波形的帶外功率抑制需求，針對(duì)GFDM 系統(tǒng)的帶外功率、峰均功率比、誤碼率等性能的聯(lián)合優(yōu)化問(wèn)題，提出了一種基于WFRFT 的通用頻譜預(yù)編碼器。通過(guò)對(duì)SP-GFDM 系統(tǒng)功率譜衰減特性的理論分析，推導(dǎo)了使其快速衰減的約束條件，給出了預(yù)編碼矩陣的具體表達(dá)式，詳細(xì)論述了預(yù)編碼參數(shù)對(duì)GFDM 系統(tǒng)帶外功率衰減的影響機(jī)理。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合 WFRFT 理論提出了WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)，通過(guò)二維參數(shù)的靈活配置，WFRFT-SP-GFDM 可退化為GFDM、SP-GFDM、WFRFT-GFDM 等波形，實(shí)現(xiàn)了對(duì)帶外功率、峰均功率比等性能的靈活調(diào)控。仿真結(jié)果表明，WFRFT-SP-GFDM 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了帶外功率、峰均功率比、誤碼率、子載波利用率等性能的聯(lián)合優(yōu)化，與GFDM 波形相比，具有更低的帶外功率和峰均功率比；與WFRFT-GFDM 波形相比，在峰均功率比和誤碼率性能近似相同時(shí)，具有更低的帶外功率性能。