李 森徐明瑩 張 璐 鄧明旭

(大連海事大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 大連 116026)

1 引言

提高無線通信系統(tǒng)的容量一直是無線通信領(lǐng)域研究的焦點。傳統(tǒng)的極化分集方案是指在發(fā)射端和接收端同時使用一對具有正交極化方向的天線，以相同的頻率不同的極化方向傳輸同樣的信息，利用極化方向相互正交的天線發(fā)出的信號呈現(xiàn)出的不相關(guān)衰落特性來減輕多徑效應(yīng)，從而在發(fā)射機和接收機之間保持可靠的通信鏈路和可接受的服務(wù)質(zhì)量。但是這種傳統(tǒng)的極化分集方案并不能實現(xiàn)對頻譜資源的有效利用，為了進(jìn)一步提高頻譜利用率，Isaeva等人[1]提出了在相互正交的兩個極化天線上分別傳輸不同信息的4維調(diào)制(Quaternion O rthogonal Design,QOD)技術(shù)。4維信號在復(fù)雜的多徑、反射、折射等傳播過程中其極化方向的變化會導(dǎo)致兩個不同極化方向的接收天線之間產(chǎn)生干擾，因此在應(yīng)用QOD技術(shù)提高通信系統(tǒng)頻譜利用率的同時，也需要設(shè)計高效的信號處理算法來實現(xiàn)4維信號的均衡和干擾抑制。

4元數(shù)是愛爾蘭數(shù)學(xué)家Ham ilton在1843年首先提出的，因其本身固有的結(jié)構(gòu)特點成為處理3維或4維信號相關(guān)問題的一個重要工具。例如最近的一些研究成果成功地將4元數(shù)應(yīng)用在彩色圖像處理[2]、風(fēng)速預(yù)測[3]和矢量傳感器陣列信號處理[4]等方面。近年來，人們對4元數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也越來越感興趣[5]，提出了4元數(shù)卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和4元數(shù)遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[6]。最早將4元數(shù)應(yīng)用到自適應(yīng)濾波算法中的是Took和M andic[7]，他們提出了4元數(shù)最小均方誤差(Quaternion Least Mean Square,QLMS)算法。針對4元數(shù)不同的梯度求導(dǎo)規(guī)則，研究人員又陸續(xù)提出了QLMS算法的其他表達(dá)形式以及改進(jìn)算法。例如：Xu等人[8]提出了基于廣義哈密頓實演算(Generalized Ham ilton-Real,GHR)梯度求解規(guī)則的QLMS算法；并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了能夠統(tǒng)一處理4元數(shù)圓和非圓信號的自適應(yīng)濾波寬線性(W idely Linear, W L)QLMS算法[9]。為了解決QLMS算法收斂速度慢的問題，M engü?等人[10]用4元數(shù)誤差信號的最小峰度函數(shù)代替4元數(shù)最小均方誤差函數(shù)，提出了4元數(shù)最小平均峰度(Quatern ion Least-M ean Kurtosis,QLMK)算法并進(jìn)一步提出了寬線性4元數(shù)最小平均峰度(W idely Linear Quaternion Least-M ean KurtosisW L-QLMK)算法[11]。文獻(xiàn)[12]使用誤差熵作為代價函數(shù)，基于信息理論學(xué)習(xí)技術(shù)提出了4元數(shù)核最小誤差熵(Quaternion Kernel M inimum Error Entropy,QKMEE)自適應(yīng)算法，解決了QLMS算法在非高斯脈沖噪聲環(huán)境下性能下降的問題。

以上的算法都是針對單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)系統(tǒng)而言的，文獻(xiàn)[13]探討了利用多對雙極化天線同時發(fā)射和接收垂直與水平極化電磁波的雙極化多輸入多輸出(M ultip le Input M u ltip le Output,M IMO)系統(tǒng)，并使用4元數(shù)描述了雙極化M IMO系統(tǒng)的信道模型，相較于雙極化SISO傳輸系統(tǒng)，雙極化M IMO系統(tǒng)在信道容量及信號傳輸效率方面有很大的提高。

4元數(shù)理論和4元數(shù)自適應(yīng)濾波算法的研究進(jìn)展為解決4維調(diào)制信號的均衡和干擾抑制問題奠定了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[14]用4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)濾波器來模擬正交極化信道對傳輸信號產(chǎn)生的影響。文獻(xiàn)[15]將2維調(diào)制的4QAM(Quadrature Am plitude Modulation,QAM)方案擴展到正交極化天線系統(tǒng)中的QOD的16Q2AM(Quaternion QAM,Q2AM)方案，并利用4元數(shù)4個部分之間彼此相互正交的特性將16Q2AM調(diào)制信號表示為4元數(shù)形式，在此基礎(chǔ)上利用QLMS算法提出了一種基于訓(xùn)練信號的均衡方案解決了4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)信道引起的碼間干擾問題。文獻(xiàn)[16]又進(jìn)一步提出了一種基于4元數(shù)的恒模盲均衡(Quaternion Constan t M odu lus A lgorithm,QCM A)算法。仿真結(jié)果表明QLMS和QCMA兩種算法都較好地實現(xiàn)了正交極化信道的均衡。由于QLMS算法是基于訓(xùn)練信號的，因此會降低通信系統(tǒng)的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然可以提高通信系統(tǒng)的傳輸效率，但是由于QCMA算法的代價函數(shù)與相位無關(guān)導(dǎo)致均衡后的星座圖會產(chǎn)生隨機角度的相位偏移，使均衡器輸出的穩(wěn)態(tài)均方誤差(Mean Square Error,MSE)過大。為了解決這個問題，參考在2維調(diào)制方案中的并行盲均衡算法[17–20]的思想，本文將直接判決(Direct Decision,DD)[21]的QLMS算法和QCMA算法相結(jié)合，提出了一種改進(jìn)的4元數(shù)直接判決并行恒模(QCMA+DDQLMS)算法，利用QCMA算法能使眼圖盡快張開和直接判決的QLMS算法收斂速度快、MSE小的優(yōu)點，在實現(xiàn)均衡輸出無相位模糊的同時還具有更小的MSE。

2 4元數(shù)基本理論和4維調(diào)制(QOD)技術(shù)

2.1 4元數(shù)基本理論

其中，q*代表q的共軛，qa,qb,qc,qd∈R( R表示實數(shù)域)。i,j,k是虛部單位向量，它們之間滿足式(2)的關(guān)系

4元數(shù)在理論上可以理解為對復(fù)數(shù)的擴展，所以它與復(fù)數(shù)有著相似的運算法則，但4元數(shù)乘法不滿足交換律，即：q1q2=q2q1。不過4元數(shù)的共軛滿足qq*=q*q，因此，4元數(shù)的模值表達(dá)式為：|q|2=qq*。

對于4元數(shù)的梯度求導(dǎo)，本文采用基于GHR的運算規(guī)則，GHR演算簡化了4元數(shù)的乘積規(guī)則和鏈?zhǔn)揭?guī)則，能夠高效計算4元數(shù)的導(dǎo)數(shù)，GHR導(dǎo)數(shù)分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，本文主要關(guān)注左導(dǎo)數(shù)，它的求導(dǎo)規(guī)則為[8]

其中，f是關(guān)于4元數(shù)q的4元數(shù)函數(shù)，?f/?qa,?f/?qb,?f/?qc,?f/?qd是f對q的每個部的偏導(dǎo)。

特殊地，對于共軛的導(dǎo)數(shù)為

設(shè)g也是關(guān)于q的4元數(shù)函數(shù)，對于4元數(shù)函數(shù)相乘時的求導(dǎo)GHR演算中引入了一種新的求導(dǎo)規(guī)則[9]

其中?f/?q g,?f/?q g*也是一種GHR左導(dǎo)數(shù)，但只對某些特殊的函數(shù)形式才有定義，具體內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)[9]中給出的表1。

表1 4-抽頭4元數(shù)信道脈沖響應(yīng)

2.2 4維調(diào)制(QOD)技術(shù)

為了進(jìn)一步提高頻譜利用率，在雙極化天線的基礎(chǔ)上提出了QOD技術(shù)，信號通過QOD技術(shù)調(diào)制后經(jīng)由正交極化天線發(fā)射將產(chǎn)生4維信號。在2維調(diào)制技術(shù)中基帶信號可以采用復(fù)數(shù)表示，例如4QAM調(diào)制時基帶信號的實部和虛部可以分別取1或–1，構(gòu)成4種組合；16QAM調(diào)制時基帶信號的實部和虛部可以分別取1,–1,3,–3中的一個值，構(gòu)成16種組合。在QOD技術(shù)中，可以用4元數(shù)來表示4維基帶信號[15]。例如：4元數(shù)的4個部分別取1或–1，則構(gòu)成16種不同的組合，稱這種調(diào)制方式為16Q2AM；同理，4元數(shù)的4個部分分別取1,–1,3,–3中的一個值，則一共有256種組合，稱這種調(diào)制方式為256Q2AM。

3 4元數(shù)自適應(yīng)均衡算法

4元數(shù)值無線通信系統(tǒng)模型如圖1所示，4維信號s(n)經(jīng)4元數(shù)有限沖擊響應(yīng)信道h(n)傳輸后在均衡器輸入端和4元數(shù)加性噪聲n(n)一起進(jìn)入到4元數(shù)均衡器中。4元數(shù)均衡器的輸入信號矢量為x(n)=[x(n),x(n-1),...,x(n-L+1)]T，其中x(n)可以表示為

圖1 4元數(shù)值無線通信系統(tǒng)模型

其中*表示卷積運算。均衡器的輸出為

其中，w(n)=[w0(n),w1(n),...,w L-1(n)]T為4元數(shù)值的均衡器權(quán)矢量，L為均衡器的長度。

3.1 4元數(shù)最小均方誤差(QLMS)算法

QLMS算法的代價函數(shù)為

其中，d(n)為均衡器期望輸出的4維信號，也就是已知的訓(xùn)練序列。

QLMS算法權(quán)矢量w(n)的更新公式為[14]

其中，μ＞0為QLMS算法迭代步長。

3.2 4元數(shù)恒模盲均衡(QCMA)算法

QCMA算法的代價函數(shù)為

迭代步長大小決定了每次更新后均衡器抽頭系數(shù)的變化程度，進(jìn)而影響算法的收斂速度和穩(wěn)定性。具體而言，在一定范圍內(nèi)，算法的迭代步長越大，抽頭系數(shù)更新的幅度就越大，算法收斂速度也會更快。然而，如果步長過大則可能導(dǎo)致算法不穩(wěn)定，甚至出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。相反，如果步長過小則算法收斂速度會變慢。因此需要在保證收斂的前提下選擇合適的迭代步長。

3.3 4元數(shù)直接判決并行恒模均衡算法

QLMS算法在實際應(yīng)用中，必須有訓(xùn)練序列才能完成均衡，會降低通信系統(tǒng)的傳輸效率。QCMA盲均衡算法雖然不需要訓(xùn)練序列，但是它的均衡結(jié)果會產(chǎn)生隨機角度的相位偏移，導(dǎo)致M SE較大。為了克服QCMA算法穩(wěn)態(tài)誤差大和QLMS算法需要訓(xùn)練序列的問題，本文將基于判決引導(dǎo)的最小均方誤差(Decision-Directed QLMS,DD-QLMS)算法與QCMA算法相結(jié)合提出了一種4元數(shù)直接判決并行恒模均衡(QCM A+DD-QLM S)算法，首先利用QCMA算法張開眼圖，然后利用DD-QLMS算法進(jìn)一步減小MSE。4元數(shù)直接判決并行恒模均衡器的原理圖如圖2所示，該方案由一個QCMA均衡器和一個同時工作的D D-Q L M S 均衡器組成，設(shè)wd(n)=[wd,0(n),wd,1(n),...,wd,L-1(n)]T為D DQLMS算法的權(quán)矢量，則直接判決并行恒模均衡器的權(quán)矢量可以表示為w(n)=wc(n)+wd(n)，均衡器的輸出為

其中，QCMA算法權(quán)矢量wc(n)的更新方程按式(11)計算。

μd＞0 為DD-Q LM S算法迭代步長。由于DDQLMS算法中的期望信號為并行均衡器輸出的判決信號，為了保證算法的有效性在QCMA+DD-QLMS并行算法中上述權(quán)矢量的更新過程只有在利用QCMA算法將眼圖打開后才工作。定義利用QCMA算法進(jìn)行權(quán)矢量更新后整個均衡器的輸出為

通過判斷QCMA算法權(quán)矢量更新前后均衡器的判決輸出是否相同來判斷眼圖是否打開，即

如果眼圖沒有打開則繼續(xù)利用QCMA算法來打開眼圖，DD-QLMS算法不發(fā)揮作用；如果眼圖已經(jīng)打開則進(jìn)一步利用DD-QLMS算法減小均衡器的輸出誤差。因此最終在QCMA+DD-QLMS并行算法中DD-QLMS算法的權(quán)矢量更新公式為

4 仿真實驗

設(shè)信道脈沖響應(yīng)h(n)為4抽頭的4元數(shù)FIR濾波器，其系數(shù)的具體取值如表1所示[16]。

MSE是衡量盲均衡算法的一個重要性能指標(biāo)，MSE 的定義為M SE=其中m代表M en tecar lo運行次數(shù)，在本文中取m=300。由于4維調(diào)制信號有4維坐標(biāo)，無法直接畫出4維調(diào)制信號的星座圖，所以本文中以2維星座圖或3維星座圖的形式來表示4維調(diào)制信號。當(dāng)以2維星座圖的形式來表示4維調(diào)制信號時共有兩個2維星座圖，1個2維星座圖表示i和實部，1個2維星座圖表示j和k部。當(dāng)以3維星座圖的形式來表示4維調(diào)制信號時共有4張圖，每張圖中包括4元數(shù)4個部中的任意3個部。

實驗1輸入信號為16Q2AM信號，噪聲采用4元數(shù)值加性高斯白噪聲，信噪比設(shè)為25 dB，均衡器長度L=15，采用中心抽頭系數(shù)初始化的方法。QCMA算法的迭代步長設(shè)為μc=0.001 3[16]，QCMA+DDQLMS算法的迭代步長首先設(shè)為情形1(C1)中的參數(shù)：μc=0.001 3,μd=0.001 2。對QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進(jìn)行實驗仿真。均衡前的星座圖如圖3所示，各個極化方向上的信號已經(jīng)完全無法分辨。圖4和圖5分別給出了利用QCM A和QCM A+DDQLMS算法均衡后的2維星座圖，圖6和圖7分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖。從均衡后的星座圖中可以看出，由于QCMA算法的代價函數(shù)中只考慮了信號的模值，而沒有考慮到信號的相位信息，因此其均衡后的星座圖出現(xiàn)了明顯的相位偏移現(xiàn)象，而QCMA+DDQLMS并行算法中先用QCMA算法來張開眼圖，然后在DD-QLMS算法中利用并行均衡器輸出的直接判決信號作為參考信號找出輸出信號中與之最接近的點，既考慮了幅值又考慮了相位，因此均衡后的星座圖沒有出現(xiàn)相位模糊。

圖3 16Q2AM調(diào)制時均衡前3維星座圖

圖4 16Q2AM 調(diào)制時QCMA算法均衡后2維星座圖

圖5 16Q2AM調(diào)制時QCMA+DD-QLMS算法均衡后2維星座圖

圖6 16Q2AM 調(diào)制時QCMA算法均衡后3維星座圖

為了驗證步長對算法收斂性及穩(wěn)態(tài)性能的影響，在圖8中除了給出上述兩種情況下的MSE收斂曲線還增加了QCM A+DD-QLM S算法在情形2(C2)μc=0.002,μd=0.001 2時的收斂曲線。從圖8的對比結(jié)果圖可看出，對比QCMA算法，QCMA+DD-QLMS算法具有更小的穩(wěn)態(tài)MSE。而對于具有不同迭代步長的QCMA+DD-QLMS算法，迭代步長與算法的收斂速度是呈正向關(guān)系的，即迭代步長越大算法的收斂速度越快；而迭代步長與算法的穩(wěn)態(tài)性能是呈反向關(guān)系的，即迭代步長越大算法的穩(wěn)態(tài)性能越差、穩(wěn)態(tài)MSE越大。

圖8 16Q2AM調(diào)制時QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對比圖

實驗2輸入信號為256Q2AM信號，噪聲同樣采用4元加性高斯白噪聲，信噪比設(shè)為45 dB，兩個算法的迭代步長分別設(shè)為μc=0.000 005,μd=0.000 08，均衡器長度L=15，采用中心抽頭系數(shù)初始化的方法，對QCMA算法和QCMA+DD-QLMS進(jìn)行實驗仿真。均衡前的星座圖如圖9所示，各個極化方向上的信號同樣也是完全無法分辨。圖10和圖11分別給出了利用QCMA和QCMA+DD-QLMS算法均衡后的2維星座圖，圖12和圖13分別給出了利用QCMA和QCM A+DD-QLM S算法均衡后的3維星座圖，圖14給出了兩種算法的MSE收斂曲線對比圖。

圖10 256Q2AM調(diào)制時QCMA算法均衡后2維星座圖

圖12 256Q2AM調(diào)制時QCMA算法均衡后3維星座圖

圖13 256Q2AM調(diào)制時QCMA+DD-QLMS算法均衡后3維星座圖

圖14 256Q2AM調(diào)制時QCMA和QCMA+DD-QLMS算法MSE收斂曲線對比圖

從仿真結(jié)果的均衡后星座圖可看出，兩種算法均完成了均衡任務(wù)，但是QCMA算法均衡后的星座圖出現(xiàn)明顯的相位偏移現(xiàn)象，收斂后的MSE也較大，而QCMA+DD-QLMS算法均衡后的信號都聚集在各自星座點的周圍，并沒有出現(xiàn)相位模糊的現(xiàn)象且得到了更小的穩(wěn)態(tài)MSE。但QCMA+DDQLMS算法是將QCMA算法與DD-QLMS算法并行操作，很顯然它的計算復(fù)雜度要高于QCMA算法。

5 結(jié)論

QCM A算法雖然實現(xiàn)簡單，計算復(fù)雜度低，但是均衡后會出現(xiàn)相位模糊現(xiàn)象且MSE較大。為了解決這個問題，本文提出一種基于QCMA算法和DD-QLM S算法相結(jié)合的QCMA+DD-QLMS并行算法。所提出的算法充分利用了QCMA算法能較好地打開眼圖的特性和DD-QLMS算法MSE小的優(yōu)點。對QCMA和QCMA+DD-QLMS算法進(jìn)行了仿真驗證，從均衡后的星座圖及算法的M SE收斂曲線來看，雖然QCMA+DD-QLMS算法較QCMA算法的計算復(fù)雜度高，但是QCMA+DD-QLMS算法很好地解決了QCMA算法的相位模糊問題，使得均衡后的輸出具有更小的MSE。