文/李亞密

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出了許多先進(jìn)的課程觀念和教學(xué)理念，倡導(dǎo)教師在實(shí)際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感悟其中的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，確保學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力得到穩(wěn)步發(fā)展。基于此，教師必須轉(zhuǎn)變以往以“知識(shí)教育為主”的陳舊思想，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，將數(shù)形結(jié)合思想滲透到具體的教學(xué)中，讓學(xué)生運(yùn)用畫圖策略更好地解決問(wèn)題，使他們的審題能力、數(shù)形轉(zhuǎn)化能力、解題能力得到發(fā)展。

一、數(shù)形結(jié)合思想的基本特點(diǎn)

（一）“以數(shù)解形”的特點(diǎn)

1.借助“數(shù)”，認(rèn)識(shí)圖形

將圖形和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行有效融合可以幫助學(xué)生直觀理解圖形，提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確性。以“三角形的性質(zhì)”為例，為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)三角形，教師可以組織他們裁剪三張長(zhǎng)度不一（如5 cm、8 cm 和17 cm）的細(xì)長(zhǎng)紙條，將它們拼成一個(gè)三角形。這樣，學(xué)生可以直觀地看到這三個(gè)紙條是否可以拼成三角形，進(jìn)而借助“數(shù)”來(lái)得出結(jié)論：因?yàn)?+8＜17，所以無(wú)法組成三角形。像這樣通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析可以加深學(xué)生對(duì)圖形特征的記憶。

2.借助“數(shù)”，精確畫圖

為了提高學(xué)生畫圖的精確性，教師可以借助數(shù)量關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確畫圖。以“梯形的認(rèn)識(shí)”為例，在繪制圖形之前，教師要先引導(dǎo)學(xué)生明確梯形每條邊的數(shù)量關(guān)系，如“梯形的下底要比上底長(zhǎng)3 cm，已知上底為5 cm，請(qǐng)你畫出下底?！苯Y(jié)合具體的“數(shù)”來(lái)繪制圖形，先畫出上底（5 cm），再畫出比5 cm 多3 cm 的下底，這樣“以數(shù)解形”的方法可以提高學(xué)生畫圖的精確性[1]。

（二）“以形助數(shù)”的特點(diǎn)

1.借助“形”，充分認(rèn)識(shí)數(shù)

通過(guò)圖形的輔助，學(xué)生能更好地認(rèn)識(shí)數(shù)，對(duì)數(shù)字背后的深刻含義形成全方位的認(rèn)識(shí)，從而構(gòu)建清晰的數(shù)字概念。以“1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”為例，1000 對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是大數(shù)，為了幫助學(xué)生形成“1000”的概念，教師可以讓學(xué)生畫出一個(gè)小正方形來(lái)表示“1 個(gè)一”，畫出10 個(gè)小正方形表示“1 個(gè)十”，然后讓學(xué)生結(jié)合“1個(gè)十”，想象“1 個(gè)百”“1 個(gè)千”，以此類推，使學(xué)生結(jié)合具體的圖形來(lái)構(gòu)建“1000”的概念，從而加深理解。

2.借助“形”，理解數(shù)量關(guān)系

在數(shù)學(xué)解題中，部分學(xué)生會(huì)因?yàn)闆](méi)有深刻理解題目中的隱性條件而出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。對(duì)此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“形”來(lái)理解問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)更直觀的方式把題目中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)出來(lái)，這樣更有助于學(xué)生理解題意，找出相應(yīng)的解決思路。畫線段圖是學(xué)生在解題中經(jīng)常用到的一種方法，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在讀完題之后繪制線段圖，使他們理解題目中各種復(fù)雜的信息和數(shù)量關(guān)系，為順利解題提供支持。

二、核心素養(yǎng)背景下數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用對(duì)策

（一）研究和利用教材中的數(shù)形結(jié)合思想

要想有效培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，教師就必須對(duì)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行認(rèn)真解讀和分析，充分利用課本中的資源，在講解某一課或某個(gè)章節(jié)時(shí)對(duì)學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，使他們靈活運(yùn)用這一思想來(lái)分析、解決問(wèn)題。

（二）根據(jù)學(xué)生特征改進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)方式

1.創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，提高數(shù)形結(jié)合應(yīng)用意識(shí)

教師要注重對(duì)各式各樣教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，把知識(shí)點(diǎn)放置于熟悉的情境中，讓學(xué)生可以在生動(dòng)的情境中分析、解決問(wèn)題，循序漸進(jìn)地掌握運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的關(guān)鍵能力。這樣才能促進(jìn)學(xué)生高效學(xué)習(xí)，提高他們對(duì)該思想的應(yīng)用意識(shí)[2]。

以“比例尺”這部分為例，教師對(duì)課本上的例題進(jìn)行了改編，向?qū)W生呈現(xiàn)了以下題目：

陽(yáng)光小學(xué)的小蘭同學(xué)突發(fā)奇想，想要給學(xué)校畫一幅平面圖，但還沒(méi)開始就遇到了一個(gè)問(wèn)題，他們學(xué)校的草坪長(zhǎng)為50 m，寬為30 m，那么這么大的草坪一張紙肯定是容不下的，應(yīng)該如何才能把它畫到紙上呢？小蘭同學(xué)非常疑惑，你可以幫她解決嗎？

在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生產(chǎn)生了好奇心，逐漸進(jìn)入情境中，開始對(duì)比例尺的知識(shí)展開探索，最后運(yùn)用比例尺的知識(shí)幫助小蘭解決了問(wèn)題，并繪制出了校園平面圖。

2.利用信息技術(shù)，輔助數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)

與傳統(tǒng)口授的教學(xué)模式相比，現(xiàn)代信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)在于可以向?qū)W生呈現(xiàn)更多學(xué)習(xí)資源，通過(guò)圖畫、音視頻的融入給學(xué)生帶來(lái)視覺(jué)、聽覺(jué)上的沖擊，充分引起學(xué)生對(duì)當(dāng)堂課所教內(nèi)容的關(guān)注。對(duì)于一些學(xué)生難以理解的問(wèn)題，教師可以借助直觀的視頻圖畫來(lái)展示，鼓勵(lì)學(xué)生直接從中獲取相關(guān)的信息。

例如，在教學(xué)“扇形統(tǒng)計(jì)圖”這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以利用多媒體給學(xué)生展示問(wèn)題中的相關(guān)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生對(duì)圖形中的信息進(jìn)行分析。比如，圖片是關(guān)于“牛奶中的營(yíng)養(yǎng)成分”的，通過(guò)觀察圖形，學(xué)生可以從中獲取“水分是87%”“蛋白質(zhì)3.3%”“乳糖5%”等多個(gè)信息。接著，教師向?qū)W生提出問(wèn)題：“蛋白質(zhì)、脂肪和乳糖的占比是多少呢？”這樣，學(xué)生可以結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖快速展開計(jì)算，得到三者的營(yíng)養(yǎng)成分占比，提高解題的效率。此外，教師通過(guò)信息技術(shù)展示圖形還有利于學(xué)生進(jìn)一步了解扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)。

（三）通過(guò)多種活動(dòng)滲透數(shù)形結(jié)合思想

1.設(shè)置問(wèn)題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合價(jià)值

在解題的過(guò)程中，很少有學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)分析題目，更喜歡采取直接列式、計(jì)算的方法。當(dāng)詢問(wèn)學(xué)生具體的原因時(shí)，他們回答自己對(duì)畫圖缺乏一定的興趣，認(rèn)為通過(guò)畫圖來(lái)解題太麻煩。這說(shuō)明當(dāng)前部分學(xué)生還未意識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的重要作用。因此，在具體的教學(xué)中，教師需要針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題，采取相應(yīng)的手段，針對(duì)小學(xué)生的認(rèn)知水平給他們?cè)O(shè)置問(wèn)題，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生疑惑，并帶著疑惑展開全方位、深層次的思考。教師可以抓住時(shí)機(jī)給學(xué)生出示圖形，讓學(xué)生結(jié)合圖形分析題目中的信息，也可以鼓勵(lì)他們嘗試畫圖，讓他們體會(huì)到圖形的重要性，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的價(jià)值。

以“釘子板上的多邊形”為例，教師先給學(xué)生出示了一幅圖片（如圖1），然后提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“同學(xué)們請(qǐng)看這些多邊形，你知道它們的面積分別是多少嗎？在每個(gè)多邊形的邊上分布了幾個(gè)釘子？請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，算一算。”

圖1

在讀完這個(gè)問(wèn)題后，很多學(xué)生會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)“形”的問(wèn)題，但是僅通過(guò)對(duì)圖形的觀察是難以發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律的。這時(shí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生得出每個(gè)多邊形的面積、多邊形邊上釘子的數(shù)量，并把這些信息填入表格。教師逐漸引導(dǎo)學(xué)生把圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為面積問(wèn)題，經(jīng)歷“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，在此基礎(chǔ)上讓學(xué)生計(jì)算驗(yàn)證，可充分體會(huì)數(shù)形結(jié)合的重要性。

2.科學(xué)指導(dǎo)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想

由于受思維、認(rèn)知水平的限制，很多學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)還不夠深刻。因此，教師應(yīng)充分發(fā)揮自身的作用，在課堂上給予學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，讓學(xué)生在遇到疑難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)可以自覺(jué)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)分析、解題[3]。教師要保持一定的耐心，給予學(xué)生足夠的感知、探索、運(yùn)用的時(shí)間，同時(shí)充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)和督促作用。對(duì)于學(xué)生存在疑惑的地方，教師也可以多借助數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行講解和闡釋，讓學(xué)生在今后的解題中自覺(jué)應(yīng)用這一思想。

以工程隊(duì)問(wèn)題為例，在組織學(xué)生學(xué)完“簡(jiǎn)易方程”這部分內(nèi)容后，教師給學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：

能量工程隊(duì)平均每天要修路x米，在修了35 天之后，他們還剩下30 米沒(méi)有完成，這條路的總長(zhǎng)是1780米，如圖2，請(qǐng)問(wèn)能量工程隊(duì)每天修多少米呢？

圖2

學(xué)生很快就想到運(yùn)用畫圖策略來(lái)解決這類問(wèn)題。于是，他們?cè)诒咀由嫌镁€段來(lái)畫出對(duì)應(yīng)的圖，通過(guò)畫圖的方式開闊解題思路，自主分析數(shù)學(xué)問(wèn)題并列出相應(yīng)的式子。有的學(xué)生列了1780-30=35x的式子，也有的學(xué)生列出35x+30=1780 等，最后通過(guò)自己的能力解決問(wèn)題。

3.鼓勵(lì)學(xué)生畫圖，促進(jìn)問(wèn)題順利解決

到了中高年級(jí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到了提升，但是在面對(duì)一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果缺少對(duì)科學(xué)方法的掌握，也會(huì)“不知所措”，甚至放棄。因此，在具體教學(xué)中，教師要向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的方法，積極鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略來(lái)解決問(wèn)題，使他們?cè)诋媹D、分析圖的過(guò)程中找到解題的關(guān)鍵點(diǎn)，形成清晰的邏輯思維，有效地解決問(wèn)題[4]。

例如，在教學(xué)五年級(jí)“雞兔同籠”的問(wèn)題時(shí)，教師引入了古代的假設(shè)法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生解題。教師如果單純地通過(guò)口頭講解的方式向?qū)W生闡明雞、兔的變化，肯定難以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)解題的興趣。但是教師如果采取數(shù)形結(jié)合的方式，鼓勵(lì)學(xué)生在本子上畫一畫雞和兔的數(shù)量，再比一比頭和腳的數(shù)量，這樣學(xué)生就可以更直觀地理解雞和兔兩個(gè)變量，找到解題的思路與方法[5]。又如，教師向?qū)W生出示了一個(gè)問(wèn)題：“某倉(cāng)庫(kù)有一堆純凈水，今天運(yùn)走了35 噸，還余下總數(shù)的2/7 沒(méi)運(yùn)，請(qǐng)問(wèn)還剩下多少噸水？”部分思維能力較弱的學(xué)生說(shuō)可能一下找不到解題的思路。于是，教師鼓勵(lì)他們?cè)诩埳袭嫵鼍€段圖，這樣就可以“一目了然”，掌握運(yùn)走的水占據(jù)總數(shù)的多少，從而順利解題。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在具體教學(xué)中，教師應(yīng)圍繞小學(xué)階段學(xué)生身心發(fā)展的總體特點(diǎn)和思維水平來(lái)組織教學(xué)活動(dòng)，充分挖掘教材中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)設(shè)置疑問(wèn)給學(xué)生提供自主畫圖的空間來(lái)拓展學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生更好地解決問(wèn)題，提高分析、解決問(wèn)題的效率，最終提高數(shù)學(xué)解題能力。