周艷麗 徐碩 楊輝

摘要：城軌列車速度曲線研究對于優(yōu)化列車運行過程具有重要的作用。為得到更好的城軌列車速度曲線優(yōu)化效果，本文針對列車運行準時性、運行能耗和舒適度3個目標，提出一種基于改進多目標差分進化算法的速度曲線優(yōu)化方法。首先，建立城軌列車運行過程的多目標優(yōu)化模型；然后，通過采用精英鏡像初始化策略、引入?yún)?shù)自適應和多變異策略，提升多目標差分進化（MODE）算法的性能，并通過與其他6種對比算法在ZDT系列測試函數(shù)上所得的反世代距離評價指標（IGD）值進行比較，驗證了所提算法的優(yōu)越性；最后，結合南昌地鐵一號線某區(qū)間真實線路數(shù)據(jù)進行仿真。結果表明，改進的MODE算法（IMODE）相較于對比算法在綜合性能方面具有一定優(yōu)勢，同時在列車節(jié)能優(yōu)化問題中具有較強的實用性。

關鍵詞：城軌列車；速度曲線；多目標優(yōu)化；差分進化算法

中圖分類號：U231 文獻標志碼：A

本文引用格式：周艷麗，徐碩，楊輝. 基于改進多目標差分進化算法的城軌列車速度曲線優(yōu)化[J]. 華東交通大學學報，2023，40（5）：76-82.

Optimization of Urban Rail Train Speed Profile Based on Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm

Zhou Yanli1，2，3，Xu Shuo1，2，3，Yang Hui1，2，3

（1. School of Electrical & Automation Engineering， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China； 2. Jiangxi Key Laboratory Advanced Control and Optimization， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China； 3. State Key Laboratory for Performance Monitoring and Guarantee of Rail Transit Infrastructure， East China Jiaotong University，Nanchang 330013， China）

Abstract：The study of train speed profiles plays a crucial role in optimizing the train operation process for urban rail train. To achieve better optimization results of train speed profiles， aiming at the three goals of train running punctuality， running energy consumption and passenger comfort， an approach based on an improved multi-objective differential evolution algorithm is proposed. Firstly， a multi-objective optimization model for urban rail transit trains is established based on the train operation process. Then， by adopting an elite mirror initialization strategy， ntroducing parameter adaptation and multi-mutation strategies， the performance of the multi-objective differential evolution （MODE） algorithm is improved， and by comparing with the IGD values obtained by the other 6 comparison algorithms on the ZDT series test functions， the superiority of the proposed algorithm is verified. Finally， combined with the real line data of Nanchang Metro Line 1， the simulation results show that the improved MODE algorithm has certain advantages in comprehensive performance compared with the comparison algorithm， and has strong practicability in train energy-saving optimization problems.

Key words： urban railway; speed profile; multi objective optimization; differential evolutionary algorithm

Citation format：ZHOU Y L，XU S，YANG H. Optimization of urban rail transit train speed profile based on enhanced multi-objective differential evolution algorithm[J]. Journal of East China Jiaotong University，2023，40（5）：76-82.

軌道交通是現(xiàn)代城市交通的重要組成部分，為居民提供了便捷、安全、環(huán)保的出行選擇。城市軌道交通中的速度-距離（v-s）曲線對列車的運行和調度至關重要，合理設計v-s曲線可以提高線路運輸能力和運行效率，為乘客提供安全、 舒適的乘車體驗。列車速度-距離曲線的優(yōu)化問題作為一個典型的多目標優(yōu)化問題[1]，涉及準時性、舒適性、停車精準性等多個指標的優(yōu)化。針對這一問題，國內外學者目前采用的多目標優(yōu)化方法有粒子群算法、遺傳算法、差分進化算法等智能優(yōu)化方法[2-3]。

周艷麗等[4]針對北京某地鐵線路多目標速度曲線節(jié)能優(yōu)化問題提出一種改進的差分進化算法，通過構造適應度函數(shù)將列車優(yōu)化問題轉化為單目標問題進行求解。黃江平等[5]將引入動態(tài)學習因子及改進速度更新公式的改進粒子群算法用于列車速度曲線優(yōu)化過程，同時引入加權懲罰系數(shù)設計適應度函數(shù)。李婉婷等[6]采用加權法構造適應度函數(shù)，并提出一種黃金正弦-鯨魚優(yōu)化算法對列車速度曲線優(yōu)化問題進行求解。以上研究均通過將多目標優(yōu)化問題轉化為單目標優(yōu)化問題以加快求解進程，忽略了各個目標約束之間相互作用的復雜制約關系。徐凱等[7]提出一種協(xié)同進化的多目標混沌粒子群優(yōu)化算法對城軌列車速度曲線優(yōu)化問題進行求解，得到了較好的尋優(yōu)效果，但其求解過程中未充分考慮計劃運行時間，忽略了實際運營的需求。列車運行優(yōu)化本就是多目標優(yōu)化問題，列車準時性、舒適性及能耗都應充分考慮。湯旻安等[8]將黃金比例策略引入快速非支配排序遺傳算法，提升了算法的綜合性能，快速有效地得到列車最優(yōu)控制策略。

基于當前研究基礎，本文以列車運行準時性、能耗及舒適度為目標，結合列車運行過程，提出一種改進的多目標差分進化算法（improved multi-objective differential evolution algorithm， IMODE），通過數(shù)值仿真驗證改進算法的優(yōu)越性，并以南昌地鐵一號某區(qū)間線路為例，基于MATLAB仿真平臺驗證其對列車節(jié)能優(yōu)化問題的有效性，得到列車速度曲線的多目標優(yōu)化Pareto解集。

1 城軌列車多目標優(yōu)化模型

1.1 列車動力學模型

在此將城軌列車視為單質點[9]，結合牛頓第二定律對其運行過程進行受力分析，建立城軌列車動力學模型如下

式中：t為列車站間運行時間；s為t時刻列車運行位置；v為列車當前運行速度；μf，μb∈［0，1］為列車牽引力、制動力的輸出比例系數(shù)；F為列車運行時所受到的牽引力；B為列車運行時所受到的制動力；W為列車運行過程中所受到的總阻力；W0為列車基本阻力；Wi為列車坡度附加阻力；Wc為列車曲線附加阻力。

1.2 多目標優(yōu)化模型

基于對城軌列車單車站間駕駛策略的分析，構建如下性能指標來評價列車的運行過程。

1） 準點性指標。城市軌道交通對準時性有著較高的要求，本文將列車實際站間運行時間T與計劃站間運行時間Tp的差值作為列車準點性指標，具體公式如式（2）所示

2） 節(jié)能性指標。本文根據(jù)列車縱向動力學模型及列車站間運行工況的分析，采用如下計算方式計算列車的運行能耗

式中：F為列車所施加的牽引力； s為列車在0.1 s內的運行距離；T為列車的運行時間。

3） 舒適度指標。目前，我國城市軌道交通行業(yè)均以沖擊率指標作為舒適度的衡量標準[12]，沖擊率的計算方式如式（4）所示

綜上所述，城軌列車速度曲線多目標優(yōu)化數(shù)學模型如下

2 改進的多目標差分進化算法

本文采用自適應的變異因子與交叉概率代替差分進化算法（differential evolution，DE）的固定參數(shù)策略，同時引入多變異策略，并對初始化方式進行改進，以進一步提升算法性能。

2.1 精英鏡像初始化策略

為提高初始化種群的多樣性，本文首先采用透鏡成像反向學習策略得到含相反解的兩個種群，接著，對這兩個種群進行非支配排序和擁擠度距離排序，得到一組優(yōu)秀的個體。最后，從這些優(yōu)秀的個體中選擇出所需數(shù)量的種群。

2.2 參數(shù)自適應更新策略

DE算法的相關參數(shù)對算法優(yōu)化性能具有重要影響?？s放因子F決定了差分向量對變異個體的影響程度，在進化過程中設置較大的縮放因子能保持種群多樣性但會減慢收斂速度，反之可以加快收斂速度但難保持多樣性；交叉概率（crossover rate，CR）能影響算法的局部搜索能力和全局搜索能力的平衡，當CR越大，變異個體對試驗個體的貢獻越多，有利于局部搜索和加快收斂速度；反之，當CR越小，有利于種群的多樣性和全局搜索[13]。

然而傳統(tǒng)差分進化算法的參數(shù)值均是根據(jù)經(jīng)驗所得的，無法實時動態(tài)調整。為使算法在進化過程中逐漸從全局搜索轉到局部搜索，本文采用如式（6）所示遞減的數(shù)學函數(shù)模型作為變異因子F，而針對交叉概率，本文結合文獻[12]設計了隨迭代次數(shù)自適應非線性變化的交叉概率，公式如式（7）所示

式中：Fmin，F(xiàn)max為縮放因子F的最小值和最大值；G為當前迭代次數(shù)，Gmax為最大迭代次數(shù)；CRmin，CRmax分別為交叉概率的最小值和最大值。

2.3 多策略變異方法

常見的3種變異模式[13]如式（8）～式（10）所示

式中：“rand”為以隨機方式從種群中抽取進行差分運算的個體；“best”為從種群中選擇適應度值最優(yōu)的個體。DE/rand/1策略的新個體是通過3個隨機選擇的個體之間的差異向量變異得到的，可以提高種群多樣性；DE/best/1策略中新個體是通過當前種群中最優(yōu)個體與2個隨機個體之間的差異向量進行變異得到的，能夠提升個體的收斂性。為平衡算法收斂性和多樣性，結合遺傳算法中的輪盤賭選擇，融合以上3種變異策略，提出了一種多策略的變異方法。

3種變異策略的具體選擇方式如下

為一個服從均勻分布的隨機數(shù)[14]，用以實現(xiàn)算法動態(tài)調節(jié)不同進化時期的重點搜索方向，使得改進后的算法在早期具備更強的全局尋優(yōu)能力，在后期則具備更穩(wěn)定的收斂性能[15]。

2.4 IMODE算法執(zhí)行偽代碼

3 改進多目標差分進化算法測試

3.1 測試函數(shù)

本文選擇多目標優(yōu)化問題中常用的ZDT系列標準測試函數(shù)[16]中的5個測試函數(shù)，進行數(shù)值仿真實驗通過與多目標灰狼優(yōu)化算法[17]（multi-objective grey wolf optimizer，MOGWO）、非支配排序的遺傳算法-Ⅱ[18]（NSGA-Ⅱ）、非支配排序的遺傳算法-Ⅲ[19]（non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ，NSGA-Ⅲ）、多目標粒子群優(yōu)化算法[20]（multi-objective particle swarm optimization，MOPSO）、強度帕累托進化算法2[21]（SPEA2）、基于網(wǎng)格的進化算法[22]（grid-based evolutionary algorithm，GrEA）等一些經(jīng)典成熟的多目標優(yōu)化算法進行比較，進一步驗證改進算法的優(yōu)越性。

3.2 評價指標

本文采用綜合評價指標反世代距離（inverted generational distance，IGD）對不同算法的綜合性能進行評價[23]。

IGD定義為

di計算的是Pareto近似前沿P上的參考點p與最近的解xi之間的歐氏距離。

3.3 算法測試結果

算法測試過程中所采用對比算法的參數(shù)設置與參考文獻[17-22]一致，只是種群規(guī)模與算法的最大迭代次數(shù)統(tǒng)一設置為種群規(guī)模NP=200，最大迭代次數(shù)Gmax=200，外部存檔數(shù)P=100。在計算過程中，為保證所得結果的魯棒性，本文將所采用的算法獨立均運行10次，所求得的具體數(shù)值如表1所示。

表1展示的是IMODE算法及6種對比算法在所選取的5個ZDT測試函數(shù)上IGD指標計算結果。從表中可以看出，除了NSGA-Ⅱ算法在ZDT6測試函數(shù)所得的均值最優(yōu)之外，IMODE在其他測試函數(shù)的結果無論在均值還是標準差上均為最優(yōu)。因此本文所提改進后的算法在IGD性能方面相比于其他對比算法具有更大的優(yōu)勢，證明了本文所提IMODE算法的優(yōu)越性。

4 實例仿真驗證

為了驗證提出的IMODE算法對于城軌列車運行過程多目標優(yōu)化的有效性，本文針對南昌地鐵一號線某全長2 031.39 m的區(qū)間A-B線路進行實例研究。在該區(qū)段上，站間限制速度為80 km/h，列車編組規(guī)格為6節(jié)編組，4動2拖，動車質量47.8 t，拖車質量48 t，列車牽引/制動特性曲線如圖1所示。

城軌列車區(qū)間運行控制是通過牽引、巡航、惰行、制動4種運行工況之間的轉換來實現(xiàn)列車運行控制的。根據(jù)文獻[4]對列車固定運行策略下運行能耗與區(qū)間長度關系的研究，對于南昌地鐵一號線區(qū)間A-B采用四工況的運行轉換方式（牽引-巡航-惰行-制動）。同時為保證列車停車的精準性，本文采用回溯法對列車制動過程進行處理。本文以準時性、能耗、舒適度為優(yōu)化目標建立優(yōu)化模型，為方便計算，在優(yōu)化過程中，將列車在不同工況下的持續(xù)時間作為優(yōu)化變量，采用IMODE算法進行求解。算法的種群規(guī)模、迭代次數(shù)及外部存檔數(shù)，對算法的運算速度均有影響，經(jīng)過多次仿真調試，參數(shù)設置為：NP=50，Gmax=100，P=100。仿真所得的列車速度曲線Pareto解集如圖2所示。

Pareto解集中的個體就代表著不同的v-s曲線運行方案，個體對應的適應度值代表著方案的優(yōu)劣。從圖2中可以直觀的看出，不同方案對應的適應度之間是相互制約的。Pareto前沿解中，不同指標占優(yōu)下的個體是不同的，這就為其他需求下的列車運行提供了選擇。

為直觀展示計算結果，在優(yōu)化得到每種運行工況的持續(xù)時間后，通過計算求得列車不同工況的工況轉化點。經(jīng)過仿真求解，得到100組不同的運行v-s運行方案，具體的優(yōu)化結果如表2所示。

從圖2及表2的多目標的優(yōu)化結果不難看出，各個優(yōu)化目標間存在互相影響、互相制約的關系，其中某一指標最佳時其余指標并沒有達到最優(yōu)效果。為驗證所得Pareto解集的有效性，以Pareto解中能耗最低的v-s曲線100與列車2023年3月某日的實際運行曲線進行對比如圖3所示。從中可以看出，優(yōu)化曲線通過延長列車惰行距離，充分利用線路坡度，實現(xiàn)了節(jié)能運行。

對于每個運行區(qū)間都可以得到一組Pareto最優(yōu)前沿，通過分析Pareto前沿，決策者可以了解不同目標之間的權衡關系，并可以根據(jù)具體情況選擇最符合實際需求的解決方案。

5 結論

針對城軌列車速度曲線優(yōu)化問題，本文以準時性、運行能耗和舒適度為優(yōu)化目標，建立了城軌列車運行過程的多目標優(yōu)化模型；提出了一種改進的多目標差分進化算法對該問題求解。為驗證算法性能，進行了算法性能對比實驗和實例仿真實驗。實驗結果表明：與其他6種算法相比，所提IMODE算法在綜合性能方面具有一定的優(yōu)越性，且IMODE算法在實際城軌列車運行曲線優(yōu)化問題方面具有可行性和實用性，對城軌列車運行優(yōu)化和調度具有一定的輔助和參考意義。

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第一作者：周艷麗（1983—），女，講師，博士研究生，研究方向為軌道交通運行優(yōu)化與控制。E-mail：yanlizhou@ecjtu.edu.cn。

通信作者：楊輝（1965—），男，博士，教授，研究方向為軌道交通運行優(yōu)化與控制、復雜系統(tǒng)建模、控制與優(yōu)化等。E-mail：yhshuo@263.net。

（責任編輯：李 根）