田禮漫 溫永立? 王云飛 張善超 李建鋒 杜鏡松 顏輝3) 朱詩(shī)亮3)

1)(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué),廣東省量子調(diào)控工程與材料重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

3)(華南師范大學(xué)物理前沿科學(xué)研究院,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

傳播子在路徑積分理論中扮演著核心角色,因此在路徑積分理論可使用的多個(gè)現(xiàn)代量子物理領(lǐng)域中有重要價(jià)值.然而,由于其一直未能在實(shí)驗(yàn)中被直接測(cè)量,基于路徑積分表述研究量子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展受到了嚴(yán)重制約.最近,基于波函數(shù)直接測(cè)量方法,我們提出了傳播子測(cè)量方案,并利用單光子實(shí)驗(yàn)首次成功實(shí)現(xiàn)了傳播子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量.此外,在這項(xiàng)研究中還首次演示了量子力學(xué)的最小作用量原理.該研究成功解決了路徑積分實(shí)驗(yàn)研究中的技術(shù)難題.本文綜述了此領(lǐng)域的研究進(jìn)展,具體為簡(jiǎn)述波函數(shù)直接測(cè)量的基本概念和研究進(jìn)展,并詳細(xì)介紹傳播子測(cè)量的理論模型、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果.最后,介紹了一個(gè)重要的應(yīng)用范例,即通過(guò)傳播子測(cè)量實(shí)現(xiàn)最小作用量原理的實(shí)驗(yàn)演示.本文綜述的傳播子測(cè)量研究進(jìn)展,將為今后使用該方法開(kāi)展相關(guān)實(shí)驗(yàn)研究提供重要的參考.

1 引言

1948年,費(fèi)曼根據(jù)最小作用量原理提出了量子力學(xué)的路徑積分表述[1-3],這是繼薛定諤的波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)之后的第三種量子力學(xué)表述方式.路徑積分對(duì)現(xiàn)代量子物理學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大作用,是量子場(chǎng)論、量子統(tǒng)計(jì)、量子引力等多個(gè)領(lǐng)域的基礎(chǔ).傳播子是路徑積分理論的核心物理量,它是獲取量子系統(tǒng)重要信息(如波函數(shù)、量子態(tài)演化、作用量、拓?fù)洳蛔兞亢团浞趾瘮?shù))的重要工具.然而,自從提出路徑積分以來(lái),其主要作為研究量子系統(tǒng)的理論工具,實(shí)驗(yàn)研究基本空缺.基于路徑積分表述的量子實(shí)驗(yàn)需要對(duì)傳播子進(jìn)行測(cè)量,但在我們的工作[4]之前,國(guó)際上未有關(guān)于傳播子測(cè)量的實(shí)驗(yàn)報(bào)告,這是限制路徑積分實(shí)驗(yàn)研究推進(jìn)的主要原因.

傳播子描述了量子系統(tǒng)從初態(tài)演化到末態(tài)的概率幅,與波函數(shù)一樣,都是復(fù)值.而傳統(tǒng)的正交投影量子測(cè)量模型[5]僅能對(duì)實(shí)數(shù)物理量進(jìn)行測(cè)量.1988 年Aharonov 等[6]提出了弱測(cè)量概念,他們發(fā)現(xiàn)在該測(cè)量框架下,弱值可以把測(cè)量信號(hào)顯著放大,這種放大效應(yīng)后來(lái)被廣泛應(yīng)用于量子精密測(cè)量和微小量測(cè)量中.2011 年Lundeen 等[7]巧妙利用弱值是復(fù)值這個(gè)性質(zhì),把弱值與波函數(shù)進(jìn)行關(guān)聯(lián),最終把波函數(shù)的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)到實(shí)驗(yàn)可探測(cè)量中,實(shí)現(xiàn)了對(duì)單光子空間波函數(shù)的直接測(cè)量.這種測(cè)量方法具有簡(jiǎn)潔、直接的優(yōu)勢(shì),也被稱(chēng)為直接測(cè)量法,被廣泛應(yīng)用到各類(lèi)量子態(tài)測(cè)量實(shí)驗(yàn)中,也有不少研究對(duì)這種測(cè)量技術(shù)進(jìn)行了重要的推廣和優(yōu)化.由于傳播子和波函數(shù)在數(shù)學(xué)形式和物理性質(zhì)方面具有相似性,我們自然可以問(wèn)一個(gè)重要科學(xué)問(wèn)題:是否可以基于波函數(shù)的直接測(cè)量方法來(lái)研究傳播子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量方法? 我們研究組[4]于2017 年開(kāi)展了此問(wèn)題的研究,并于2023 年發(fā)表了研究結(jié)果:基于波函數(shù)的直接測(cè)量方法,提出了實(shí)現(xiàn)路徑積分傳播子測(cè)量的理論模型;類(lèi)似波函數(shù)的直接測(cè)量方法,傳播子的實(shí)部和虛部分別從可測(cè)量算符的期望值得到.根據(jù)這個(gè)理論模型,我們基于單光子設(shè)計(jì)了傳播子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng),成功測(cè)量了單光子在自由空間及諧振勢(shì)中的傳播子,這是傳播子的首次實(shí)驗(yàn)測(cè)量,為基于路徑積分的實(shí)驗(yàn)研究解決了關(guān)鍵的技術(shù)問(wèn)題.此外,該研究基于傳播子的測(cè)量對(duì)路徑積分中的最小作用量原理進(jìn)行了演示,通過(guò)測(cè)量所得的傳播子進(jìn)行分析,得到了單光子的經(jīng)典路徑,首次實(shí)現(xiàn)了量子力學(xué)中的最小作用量原理實(shí)驗(yàn)演示.傳播子是現(xiàn)代量子物理中的重要物理量之一,對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量為未來(lái)基于路徑積分的量子系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)研究提供了方法,是推動(dòng)路徑積分從理論研究逐步走向?qū)嶒?yàn)研究的途徑.

本文旨在綜述傳播子測(cè)量方法的相關(guān)研究進(jìn)展.第2 節(jié)概述弱值的概念、波函數(shù)直接測(cè)量法及其進(jìn)展,重點(diǎn)介紹該方法實(shí)現(xiàn)復(fù)值物理量測(cè)量的主要思想.第3 節(jié)簡(jiǎn)要介紹最小作用量原理的沿革以及路徑積分理論和傳播子的基本概念.第4 節(jié)先介紹傳播子測(cè)量的理論模型,然后以光學(xué)系統(tǒng)為例介紹實(shí)現(xiàn)傳播子測(cè)量的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì),并展示測(cè)量所得傳播子實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).第5 節(jié)介紹基于傳播子的測(cè)量實(shí)現(xiàn)最小作用量原理實(shí)驗(yàn)演示,這是傳播子測(cè)量的重要應(yīng)用范例.最后,對(duì)傳播子測(cè)量的研究進(jìn)行總結(jié)并展望未來(lái)的研究方向.

2 波函數(shù)的直接測(cè)量法

波函數(shù)是描述量子系統(tǒng)狀態(tài)的復(fù)值函數(shù),通過(guò)波函數(shù)可得出量子系統(tǒng)的各種性質(zhì),是量子理論的核心.一般而言,量子可測(cè)量的算符是厄密算符,測(cè)量結(jié)果也必為實(shí)數(shù),而波函數(shù)是復(fù)數(shù),通過(guò)傳統(tǒng)的正交投影測(cè)量方法難以對(duì)其直接測(cè)量,量子態(tài)層析[8,9]是測(cè)量波函數(shù)較成熟和常用的方法,它通過(guò)對(duì)一系列算符的投影測(cè)量結(jié)果重構(gòu)出系統(tǒng)的密度矩陣或波函數(shù).然而,量子態(tài)層析有局限性,由于它需要大量的測(cè)量次數(shù)和復(fù)雜的重構(gòu)算法,在高維度量子態(tài)測(cè)量中復(fù)雜度較高.近年來(lái),一種基于弱值來(lái)直接測(cè)量波函數(shù)的方法被提出.弱值是弱測(cè)量模型中的概念,一開(kāi)始研究者們主要關(guān)注弱值的信號(hào)放大效應(yīng).后來(lái),弱值是復(fù)值的這個(gè)特性被應(yīng)用到波函數(shù)的測(cè)量中,這種測(cè)量方法因?yàn)榫哂泻?jiǎn)潔和直接的優(yōu)勢(shì)而受到廣泛的關(guān)注,其測(cè)量方案和技術(shù)也在后續(xù)很多研究工作中得到了優(yōu)化與推廣.本節(jié)先介紹弱值與弱測(cè)量的基本概念,然后介紹基于它們發(fā)展出來(lái)的波函數(shù)直接測(cè)量方法的研究進(jìn)展.

2.1 量子弱測(cè)量

這里k是一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù),因此便得到了波函數(shù)ψ(x) 與弱值的正比關(guān)系,只要測(cè)量出弱值便能得到波函數(shù).而弱值則可以由指針態(tài)的湮滅算符期望值得出:

這種測(cè)量方法具有簡(jiǎn)便性和直接性,待測(cè)波函數(shù)直接正比于實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)量,不需要大量的投影測(cè)量次數(shù)和復(fù)雜的重構(gòu)算法,因此稱(chēng)為直接測(cè)量法.隨后,直接測(cè)量法得到了廣泛的應(yīng)用和推廣,例如,它在光子偏振態(tài)[30]、光子軌道角動(dòng)量態(tài)[31]、密度矩陣[32]、Bohmian 軌跡[33-35]、高維度量子態(tài)[36]、糾纏量子態(tài)[37]、多粒子量子態(tài)[38]、幾何相位[39]等多個(gè)領(lǐng)域的測(cè)量中得到應(yīng)用,也有研究提出了免掃描的直接測(cè)量法[40],大大提升了高維量子態(tài)的測(cè)量效率,此外,研究者們也對(duì)這種方法進(jìn)行了深入討論以及推廣[41-51].

2.2 任意耦合強(qiáng)度的直接測(cè)量法

基于弱值對(duì)波函數(shù)直接測(cè)量的方法要求待測(cè)系統(tǒng)與指針的耦合足夠小,這樣會(huì)導(dǎo)致從指針提取待測(cè)系統(tǒng)信息的信號(hào)強(qiáng)度很弱,在一些噪聲較大的系統(tǒng)中難以獲得較好的信噪比.2016 年Vallone 和Dequal[52]的研究發(fā)現(xiàn),波函數(shù)直接測(cè)量法中弱耦合并不是必要的,這個(gè)耦合可以是任意強(qiáng)度.特別是,當(dāng)系統(tǒng)和測(cè)量?jī)x器之間的耦合最大時(shí),這種強(qiáng)測(cè)量的測(cè)量精度優(yōu)于弱測(cè)量,同時(shí)還保留了弱測(cè)量方案中的簡(jiǎn)潔性和直接性.這里以空間波函數(shù)測(cè)量的模型為例,在沒(méi)有弱耦合近似的情況下,待測(cè)系統(tǒng)和指針相互作用的演化算符可表示為

其中?(0) 是與x無(wú)關(guān)的常數(shù),|1〉〈1| 是指針態(tài)|1〉的投影算符.對(duì)比(4)式和(6)式,實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果和待測(cè)波函數(shù)之間少了 1/sinθ這個(gè)系數(shù),由于在弱測(cè)量情況下 sinθ是一個(gè)小量,強(qiáng)測(cè)量方案的信號(hào)強(qiáng)度比弱測(cè)量方案有著 1/sinθ倍的放大,因此強(qiáng)測(cè)量方案的測(cè)量精度也就相應(yīng)得到了顯著提升.由于強(qiáng)測(cè)量方案具備明顯的優(yōu)勢(shì),后來(lái)也被廣泛地應(yīng)用,例如,應(yīng)用在光子時(shí)域波函數(shù)的測(cè)量[53]、光子二維橫向空間波函數(shù)測(cè)量[54]、高維波函數(shù)[42,55-57]以及混合態(tài)的測(cè)量[58,59],也有研究者在離子系統(tǒng)中觀察到從弱測(cè)量到強(qiáng)測(cè)量的過(guò)渡[60].

3 最小作用量原理和費(fèi)曼路徑積分

3.1 最小作用量原理沿革

最小作用量原理被科學(xué)家看作是物理學(xué),甚至是自然界中最具普適性的基本原理,它具備簡(jiǎn)潔和統(tǒng)一的科學(xué)美學(xué)特征,在物理學(xué)乃至科學(xué)發(fā)展史中有著極其重要的地位.自然界總是以最節(jié)省的方式達(dá)到它的目的,這就是最小作用量原理的核心思想.這個(gè)原理以及其變體幾乎滲透到物理學(xué)中的每個(gè)角落.

最小作用量原理在物理學(xué)中的應(yīng)用可追溯到費(fèi)馬原理.17 世紀(jì),費(fèi)馬在研究光的折射現(xiàn)象時(shí)提出,“光的傳播總是沿著花費(fèi)時(shí)間最小的路線(xiàn)”,這是最小作用量原理思想研究自然界問(wèn)題的第一個(gè)成功范例.其后,科學(xué)家莫培督(Maupertuis)對(duì)這種極值思想進(jìn)一步推廣和總結(jié),他認(rèn)為,“自然界總是以一種最節(jié)省的方式運(yùn)行”,并提出了作用量的概念,為最小作用量原理的數(shù)學(xué)形式構(gòu)建了一個(gè)雛形.幾乎同一時(shí)期,歐拉也基于這種極值思想提出了物體運(yùn)動(dòng)的變分方程,拉格朗日受歐拉的啟發(fā),得出了分析力學(xué)的核心方程—?dú)W拉-拉格朗日方程,后來(lái)數(shù)學(xué)家哈密頓將其總結(jié)成為哈密頓原理:

這是后來(lái)物理學(xué)中最小作用量原理常用的數(shù)學(xué)形式.

19 世紀(jì)末,著名物理學(xué)家亥姆霍茲(Helmholtz)把最小作用量原理應(yīng)用于熱力學(xué)和電動(dòng)力學(xué),并證明據(jù)此可以推導(dǎo)出麥克斯韋方程組.他進(jìn)一步把該原理看作是支配整個(gè)物理學(xué)領(lǐng)域統(tǒng)一的基本原理,即試圖把這一原理推廣到物理學(xué)的所有領(lǐng)域中,他提出,“最小作用量原理很可能是關(guān)于一切自然過(guò)程的普遍性原理······它作為具有啟發(fā)性和指導(dǎo)性的原理,在我們尋求新現(xiàn)象的規(guī)律時(shí)將具有極高的價(jià)值”.此后,普朗克、諾特、希爾伯特、薛定諤、費(fèi)曼等眾多物理學(xué)家或數(shù)學(xué)家在亥姆霍茲指引的方向上不懈努力,取得了豐碩的成果,極大地推動(dòng)了現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展.歷史上有一個(gè)故事,數(shù)學(xué)家希爾伯特知道了愛(ài)因斯坦關(guān)于廣義相對(duì)論研究的初步思想后,利用最小作用量原理,比愛(ài)因斯坦還早十幾天推導(dǎo)出廣義相對(duì)論場(chǎng)方程,即現(xiàn)在稱(chēng)為愛(ài)因斯坦-希爾伯特場(chǎng)方程的廣義相對(duì)論場(chǎng)方程.另一方面,數(shù)學(xué)家諾特把該原理和對(duì)稱(chēng)性結(jié)合,推導(dǎo)出諾特定理,給出了物理學(xué)中的另一塊基石——對(duì)稱(chēng)性和守恒律的關(guān)系.因此,最小作用量原理?yè)?dān)當(dāng)著物理學(xué)的核心角色,它可以推導(dǎo)出物理學(xué)中幾乎全部關(guān)鍵的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方程.

3.2 路徑積分與傳播子

路徑積分[3]是量子力學(xué)的一種表述方法,其完整方法框架由理查德 · 費(fèi)曼[1]于1948 年提出,它以最小作用量原理[61]為核心,通過(guò)傳播子和路徑的泛函積分來(lái)描述量子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和演化.路徑積分在量子物理的發(fā)展中具有承前啟后的作用,一方面,它通過(guò)最小作用量原理形象地描述了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)的關(guān)聯(lián),另一方面,它把時(shí)間和空間同等化處理,更易于從非相對(duì)論推廣到相對(duì)論的協(xié)變形式,因此極大地推動(dòng)了現(xiàn)代量子場(chǎng)論的發(fā)展.

對(duì)于那些作用量S遠(yuǎn)大于 ? 的路徑,它們的概率相等,但是相位變化劇烈,在疊加之后其貢獻(xiàn)相干相消.當(dāng)一條路徑與其臨近路徑在一級(jí)近似上全都給出相同相位時(shí),這些路線(xiàn)不會(huì)相互抵消,而是干涉相長(zhǎng),這就是最小作用量原理δS0 確定的路徑.在宏觀世界中,? 是一個(gè)趨近于0 的微小量,作用量與它的比值S/? 便趨近于無(wú)窮大,路徑很容易相消,只有滿(mǎn)足δS0 的路徑才是穩(wěn)定的路徑,因此宏觀世界中物體運(yùn)動(dòng)軌跡就是唯一確定的.路徑積分以一種簡(jiǎn)潔、圖像化的方式重新詮釋了量子力學(xué),它通過(guò)最小作用量原理解釋了經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)之間的“過(guò)渡”[62].路徑積分在提出以后,在物理學(xué)的多個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域有著重要的影響[63-74].

4 傳播子的直接測(cè)量

4.1 傳播子測(cè)量理論方案

此時(shí),對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行后選擇,將系統(tǒng)投影到空間位置的本征態(tài) 〈xm|,這樣指針末態(tài)|f〉〈xm|?t〉便可以寫(xiě)為

最后就能得到傳播子:

圖1 路徑積分示意圖及測(cè)量方法(a) 傳播子,粒子從(xa,ta) 傳播到(xm,t) ;(b)測(cè)量傳播子的量子線(xiàn)路.為了測(cè)量K(xm,t;xa,ta),首先需要制備量子態(tài)|ψ〉和指針|0〉.然后,在 ta 時(shí)刻,耦合操作 將系統(tǒng)的位置波函數(shù)與指針進(jìn)行耦合.演化之后,將系統(tǒng)投影到t 時(shí)刻的位置 xm上,從指針讀出K(xm,t;xa,ta)Fig.1.Path integration diagram and measurement method:(a) Propagators:the propagation from(xa,ta) to(xm,t) ;(b) protocol to measure the propagators.To measure K(xm,t;xa,ta),the quantum state|ψ〉and pointer|0〉are prepared first.Then,at time ta,a coupling operation couples the positional wave function of the probe system with the pointer.After the evolution,the system is projected to position xm at t,and K(xm,t;xa,ta) can be read out from the pointer.

通過(guò)測(cè)量處于位置xm和時(shí)間tz/c(c為真空中光速)處的指針態(tài)結(jié)束演化.最終得到傳播子的表達(dá)式為

4.2 直接測(cè)量傳播子的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

根據(jù)4.1 節(jié)的傳播子測(cè)量方案,可設(shè)計(jì)測(cè)量傳播子的實(shí)驗(yàn).在4.1 節(jié)的傳播子測(cè)量方案中,需要對(duì)待測(cè)系統(tǒng)的空間模式和一個(gè)二維指針進(jìn)行耦合,并且還需要對(duì)待測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行位置后選擇,由于光子的空間模式調(diào)控和測(cè)量的技術(shù)和設(shè)備相對(duì)較成熟,且光子的傳播與演化受到環(huán)境的影響較小,因此比較適合用于演示上述傳播子的測(cè)量方案.下面基于光學(xué)系統(tǒng)介紹實(shí)現(xiàn)傳播子測(cè)量的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).

把pz看成一個(gè)常數(shù),演化時(shí)間就與z方向的位置成正比:tz/c,c為真空中光速.這里僅考慮x方向的演化,波函數(shù)ψ(x,t) 可以用類(lèi)薛定諤方程描述:

4.3 傳播子實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果

本節(jié)介紹傳播子實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.對(duì)比文獻(xiàn)[4]中的單光子實(shí)驗(yàn)結(jié)果,本文中的數(shù)據(jù)是之前未發(fā)表的相干光數(shù)據(jù),在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)上也稍有不同.原則上本文介紹的實(shí)驗(yàn)由光的一階關(guān)聯(lián)函數(shù)確定,相干光和單光子的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象一樣,但單光子的實(shí)驗(yàn)難度更大.

對(duì)于光子的傳播而言,勢(shì)能函數(shù)與折射率相關(guān).測(cè)量自由空間中的傳播子,可以讓光子在空氣中傳播,對(duì)應(yīng)于圖2 所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),僅需要把圖2(b3)中的漸變折射率透鏡移除即可.在此情況下,光子自由演化的哈密頓量為/(2m).自由空間中,光子從起點(diǎn)(xa,ta) 傳播至(x,t) 的傳播子表達(dá)式為

圖2 實(shí)驗(yàn)示意圖(a)演化和探測(cè)區(qū)域;(b1)初態(tài)制備;(b2)系統(tǒng)位置波函數(shù)與指針耦合;(b3)態(tài)的演化;(b4)位置的后選擇與指針的讀出;(b5)波函數(shù)的測(cè)量Fig.2.Schematic diagram of the experiment:(a) The evolution and detection region;(b1) initial state preparation;(b2) coupling of wave function and pointer;(b3) state evolution;(b4) post-selection of position and the readout of the pointer;(b5) measurement of the wave function.

其中Δtt-ta.假設(shè)ta0 為初始時(shí)刻,選擇xa0的位置作為固定的初始點(diǎn),通過(guò)調(diào)整圖2中CCD 的縱向位置可以調(diào)節(jié)t.CCD 在4 個(gè)不同偏振態(tài)(|+〉,|-〉,|R〉,|L〉) 的成像可測(cè)得K′′(x,t;xa,ta)ψ*(x,ta)ψ(xa,ta)K(x,t;xa,ta),圖3 給出了t20 mm/c時(shí)K′′(x,t;xa,ta)和ψ(x,ta)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.因?yàn)閭鞑プ宇?lèi)似于波函數(shù),不同的全局相位并不改變其物理實(shí)質(zhì),因此對(duì)于固定的起點(diǎn)而言,ψ(xa,ta) 可看作是一個(gè)常數(shù),通過(guò)對(duì)傳播子進(jìn)行歸一化便可忽略此項(xiàng),無(wú)需額外對(duì)其進(jìn)行測(cè)量.通過(guò)K′′(x,t;xa,ta)和ψ(x,ta) 便能得到K(x,t;xa,ta).

圖3 t20 mm/c(c 為真空中的光速)的K′′(x,t;0,0)和波函數(shù) ψ(x,0) 的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果.藍(lán)色方塊和紅色圓點(diǎn)分別展示了 K′′(x,t;0,0) 的實(shí)部和虛部.綠色菱形和紫色三角形分別展示了 ψ(x,0) 的實(shí)部與虛部Fig.3.Measured wave function of single photon and K′′(x,t20 mm/c;0,0).The green diamond and purple triangle represent the real and imaginary parts of the wave function,respectively.The red dot and the blue square show the real and imaginary parts of the K′′(x,t20 mm/c;0,0) at t20 mm/c.

圖4 給出了在固定初始位置xa0 和初始時(shí)刻ta0 的情況下,Kf(x,t;xa,ta) 以x和t為變量的理論和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對(duì)比.實(shí)驗(yàn)中通過(guò)改變探測(cè)器CCD 的位置來(lái)改變演化時(shí)間t,從t0 mm/c到t30 mm/c每隔 1 mm/c測(cè)量出Kf(x,t;xa,ta)以x為變量的曲線(xiàn),圖4(a)和圖4(b) 分別是通過(guò)(20)式計(jì)算得到的Kf(x,t;xa,ta) 的實(shí)部和虛部的理論結(jié)果,圖4(c)和圖4(d)分別是實(shí)驗(yàn)測(cè)得的Kf(x,t;xa,ta)的實(shí)部和虛部.

圖4 Kf(x,t;xa,ta) 以x 和t 為變量的理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果.縱軸是演化時(shí)間t,橫軸是橫向位置x,顏色代表實(shí)部或者虛部的幅度大小.對(duì)演化時(shí)間t 每間隔1 mm/c從0 測(cè)量到30 mm/c,橫向位置每間隔8 μm從-0.2 mm 測(cè)量到0.2 mmFig.4.Theoretical and experimental results of Kf(xb,tb;xa,ta) over time.The vertical axis is the evolution time t,the horizontal axis is the transverse position x.The colormaps represent the magnitude of the real or imaginary part of Kf(x,t;xa,ta).Evolution time is measured from 0 to 30 mm/c at 1 mm/c interval.Transverse positions are measured from -0.2 mm to 0.2 mm at 8 μm intervals.

圖5 所示為圖4 中選取t{10 mm/c,20 mm/c,30 mm/c} 這3 個(gè)特定時(shí)刻的Kf(xb,tb;xa,ta) 的理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果,紅色和藍(lán)色的實(shí)線(xiàn)表示傳播子實(shí)部和虛部的理論曲線(xiàn),紅色的圓點(diǎn)和藍(lán)色的方塊是實(shí)驗(yàn)測(cè)到的數(shù)據(jù),誤差棒是3 次重復(fù)測(cè)量得到的標(biāo)準(zhǔn)差.為了更準(zhǔn)確地對(duì)比理論和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果,以實(shí)驗(yàn)測(cè)量的傳播子在x0 位置的相位為準(zhǔn),圖4 和圖5 的理論計(jì)算結(jié)果都整體乘以一個(gè)相位因子,使得理論結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的全局相位統(tǒng)一.從圖4 和圖5 可以看出,Kf(x,t;xa,ta) 的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果高度吻合,這說(shuō)明4.1節(jié)和4.2 節(jié)所述的理論和實(shí)驗(yàn)方案可以準(zhǔn)確地測(cè)量出傳播子.

圖5 在自由空間中測(cè)到的傳播子 紅線(xiàn)和藍(lán)線(xiàn)是理論計(jì)算的傳播子實(shí)部和虛部的結(jié)果,紅色圓圈和藍(lán)色方塊是實(shí)驗(yàn)測(cè)到的數(shù)據(jù)Fig.5.Measured propagators of photons in free space.The red and blue lines are the results of theoretical calculations of the real and imaginary parts of the propagators,and the red circles and blue squares are experimentally measured data.

5 最小作用量原理的實(shí)驗(yàn)演示

傳播子是路徑積分理論中的關(guān)鍵物理量,實(shí)現(xiàn)了對(duì)傳播子的測(cè)量為對(duì)路徑積分的基本概念進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究提供了可能性.其中最小作用量原理是路徑積分中的核心原理,因此基于傳播子的測(cè)量演示最小作用量原理是對(duì)路徑積分基本概念的最直觀、最接近本質(zhì)的實(shí)驗(yàn)研究.本節(jié)將介紹如何通過(guò)傳播子的實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)現(xiàn)對(duì)最小作用量原理的實(shí)驗(yàn)演示.

根據(jù)路徑積分公式(8),傳播子可以通過(guò)對(duì)所有可能路徑的貢獻(xiàn)進(jìn)行積分求得,而所有路徑疊加的結(jié)果等同于振幅相位最穩(wěn)定的路徑,該路徑是滿(mǎn)足最小作用量原理的經(jīng)典路徑.通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)所得的路徑振幅進(jìn)行分析,找出滿(mǎn)足δS/δx(t)0 的路徑,然后將其與通過(guò)拉格朗日方程計(jì)算出來(lái)的經(jīng)典路徑進(jìn)行對(duì)比,若兩者結(jié)果相符合,則驗(yàn)證了路徑積分中的最小作用量原理.然而,由于δS/δx(t)0是變分方程,對(duì)于離散且有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而言,尋找滿(mǎn)足這個(gè)方程的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較困難,因此有必要把它轉(zhuǎn)化為更加直觀的微分方程.參考文獻(xiàn)[1],路徑可以離散化為相繼發(fā)生的事件,在起點(diǎn)(xa,ta)和終點(diǎn)(xb,tb) 設(shè)置一個(gè)途徑點(diǎn)(x,t),在此情況下,路徑的振幅可以表示為傳播子的連乘:

這樣路徑振幅便轉(zhuǎn)化為關(guān)于x和t函數(shù).φ對(duì)變量x求偏導(dǎo)可得:

因此,在實(shí)驗(yàn)中,只需要測(cè)量出傳播子K(xb,tb;x,t)和K(x,t;xa,ta),然后再通過(guò)(21)式和(23)式就能確定經(jīng)典路徑在t時(shí)刻經(jīng)過(guò)的x方向位置.不斷改變t進(jìn)行測(cè)量,就能最終描繪出經(jīng)典路徑xcl(t).事實(shí)上,在實(shí)驗(yàn)中這個(gè)判據(jù)條件還可以進(jìn)一步優(yōu)化[4],僅需用K′′(xb,tb;x,t) 和K′′(x,t;xa,ta)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)便能求出經(jīng)典路徑,這樣可以省略波函數(shù)測(cè)量的步驟.在這個(gè)優(yōu)化后的方案中,假設(shè)M,最小作用量原理的判別條件便可表示為

在圖2 所示的實(shí)驗(yàn)中,通過(guò)選擇在SLM 上相位調(diào)制位置來(lái)確定初始位置xa,將初始位置xa固定,移動(dòng)CCD 相機(jī)的縱向位置來(lái)調(diào)節(jié)t,就可測(cè)得K′′(x,t;xa,ta).調(diào)整SLM后4f透鏡系統(tǒng)的成像位置,使得t時(shí)刻變成的初始時(shí)刻,然后通過(guò)改變SLM 的相位調(diào)節(jié)位置x,此時(shí)x就是變化的起點(diǎn),終點(diǎn)xb固定,在CCD 上讀取終點(diǎn)xb的測(cè)量結(jié)果,便可以測(cè)量出K′′(xb,tb;x,t).測(cè)到K′′(x,t;xa,ta)和K′′(xb,tb;x,t)之后,利 用(24)式求M(x,t) 在x方向上的極值,就可以得到經(jīng)典路徑xcl(t).

光子在自由空間中的經(jīng)典路徑如圖6 所示.選取初始位置xa0 作為固定起點(diǎn),選取xb{-0.08 mm,0,0.08 mm}這3 個(gè)終點(diǎn)位置.圖6 中的實(shí)線(xiàn)是根據(jù)拉格朗日方程計(jì)算出自由空間中光子傳播的經(jīng)典路徑,可見(jiàn)在經(jīng)典力學(xué)中,自由傳播粒子的經(jīng)典路徑是直線(xiàn).其中離散的點(diǎn)是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的傳播子通過(guò)(23)式計(jì)算得到不同中間時(shí)刻的經(jīng)典路徑所在位置,實(shí)驗(yàn)中選取了7 個(gè)中間時(shí)刻進(jìn)行測(cè)量,x方向的測(cè)量間隔為 2.66 μm,誤差棒表示3 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差.從圖6 可以看出,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果高度一致,這意味著通過(guò)傳播子的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地得到了光子自由空間中的經(jīng)典路徑.

圖6 由最小作用量原理得到的光子自由演化時(shí)的經(jīng)典路徑.實(shí)線(xiàn)展示的是理論計(jì)算所得的自由演化的經(jīng)典路徑,離散點(diǎn)為通過(guò)傳播子的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得的自由演化的經(jīng)典路徑位置Fig.6.The classical path of photons in free evolution derived from the principle of least action.The solid line shows the classical path in free evolution obtained from the theoretical calculation,and the discrete point is the classical path position in free evolution obtained from the experimental data of the propagator.

對(duì)于光子的傳播而言,勢(shì)能函數(shù)與折射率相關(guān),選取橫向折射率為二次型函數(shù)分部的光學(xué)材料(GRIN 透鏡)放置于圖2(b3)所示的相應(yīng)位置中,那么光子傳播的哈密頓量就變?yōu)?其中ω ≈0.208(c/mm).在此情況下,可測(cè)量光子在諧振勢(shì)中演化的傳播子,然后再利用(24)式得到光子在諧振勢(shì)場(chǎng)中的經(jīng)典路徑,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7 所示.選取3 個(gè)起點(diǎn)位置xa{-0.053 mm,0,0.053 mm}和一個(gè)固定終點(diǎn)位置xb0,通過(guò)拉格朗日方程可以求出相應(yīng)的3 條經(jīng)典路徑,如圖7 中的實(shí)線(xiàn)所示,而圖中的離散點(diǎn)則為實(shí)驗(yàn)結(jié)果,實(shí)驗(yàn)中路徑演化的總時(shí)長(zhǎng)為 1.5 π/ω,其中每隔 0.1 π/ω選取一個(gè)中間時(shí)刻點(diǎn)測(cè)量得出對(duì)應(yīng)的經(jīng)典位置,誤差棒表示3 次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)差.從結(jié)果可看出,通過(guò)實(shí)驗(yàn)所測(cè)的傳播子數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地得到了光子在諧振勢(shì)中的經(jīng)典路徑.

圖7 在諧振子勢(shì)場(chǎng)中的經(jīng)典路徑.實(shí)線(xiàn)展示的是理論計(jì)算所得的在諧振勢(shì)中的經(jīng)典路徑,離散點(diǎn)為通過(guò)傳播子的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得的在諧振勢(shì)中的經(jīng)典路徑位置Fig.7.Classical trajectories in the harmonic potential.The solid line shows the classical path in the harmonic potential obtained by theoretical calculation,and the discrete point is the classical path position in the harmonic potential obtained by the experimental data of the propagator.

圖6 和圖7 的結(jié)果表明,通過(guò)傳播子測(cè)量技術(shù),可以在路徑積分的框架下演示最小作用量原理.最小作用量原理是物理學(xué)中的普適性原理,路徑積分把這一原理引入到量子力學(xué)中,對(duì)量子理論做了一個(gè)全新的闡述.實(shí)驗(yàn)演示最小作用量原理是傳播子測(cè)量的一個(gè)重要的應(yīng)用范例,它有望為此后基于路徑積分表述探索量子-經(jīng)典、量子-廣義相對(duì)論等交叉領(lǐng)域的研究提供新的思路.

6 總結(jié)與展望

本文綜述了傳播子測(cè)量的理論和實(shí)驗(yàn)進(jìn)展,介紹了傳播子測(cè)量在量子力學(xué)中最小作用量原理演示中的應(yīng)用.傳播子是費(fèi)曼路徑積分的關(guān)鍵物理量,實(shí)現(xiàn)傳播子的實(shí)驗(yàn)測(cè)量有重要的科學(xué)意義,它為路徑積分相關(guān)的量子現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究鋪平了道路.在當(dāng)今物理學(xué)界,路徑積分是多個(gè)研究領(lǐng)域中的重要理論基礎(chǔ),它在描述量子場(chǎng)論、量子多體、量子引力、凝聚態(tài)物理等多個(gè)方向的物理現(xiàn)象中有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì),因此傳播子的測(cè)量技術(shù)有望在日后應(yīng)用到這些基礎(chǔ)物理問(wèn)題的觀測(cè)和量子模擬的研究中.此外,本文介紹的基于傳播子測(cè)量得出光子經(jīng)典路徑的方法,也有望為一些經(jīng)典-量子交叉領(lǐng)域的研究提供新的思路.在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中,已經(jīng)首次成功測(cè)量了傳播子.當(dāng)前,物理學(xué)界對(duì)多種不同類(lèi)型的量子系統(tǒng)的操控和測(cè)量技術(shù)正在快速發(fā)展.因此,將傳播子的測(cè)量技術(shù)推廣至其他熱門(mén)量子實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中,也是一個(gè)有意義的研究方向.路徑積分傳播子具有廣泛的應(yīng)用,本綜述對(duì)將來(lái)進(jìn)行傳播子測(cè)量技術(shù)的研究有參考價(jià)值.