郭瑞雪 艾保全

(華南師范大學(xué)物理學(xué)院,廣州 510006)

粒子的隨機運動被整流為定向運動是非平衡統(tǒng)計物理的重要研究內(nèi)容.盡管如此,在活性粒子整流的研究中,粒子通常被視為剛性的.然而,在軟物質(zhì)中,粒子通常具有可變形的性質(zhì).本文重點探討了可形變自驅(qū)動粒子在非對稱周期通道中的定向運輸行為.由于這些粒子具有可變形的特性,它們可以通過比自身小的通道.本文通過數(shù)值計算發(fā)現(xiàn),可形變自驅(qū)動粒子能夠打破熱力學(xué)平衡,在空間不對稱的條件下產(chǎn)生定向運動.粒子的集體運動方向完全由通道的不對稱性決定.本文還發(fā)現(xiàn),增加自驅(qū)動速度和粒子軟化都能促進粒子的整流,而增大密度和旋轉(zhuǎn)擴散則會阻礙粒子的定向運動.本文的研究成果有助于理解可形變粒子在受限結(jié)構(gòu)中的定向運動行為,并為相關(guān)軟物質(zhì)馬達的實驗研究提供理論支持.

1 引言

作為生物學(xué)和物理學(xué)的前沿課題之一,分子馬達的定向運動一直備受關(guān)注.這些微小的分子馬達在生物體內(nèi)能夠?qū)TP 水解能轉(zhuǎn)化為機械能,從而產(chǎn)生定向運動[1-3].它們在細胞內(nèi)的物質(zhì)定向輸運方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用,并幾乎參與了生物體所有的生命活動,包括肌肉收縮、細胞運動和基因復(fù)制[4,5].因此,深入研究分子馬達的運動特性具有重要意義.為了更深入地了解分子馬達的運動特性,國內(nèi)外學(xué)者從理論和實驗兩個方面進行了全面的研究.其中,布朗馬達作為重要的理論模型為進一步探究分子馬達的運動特性提供了理論支持[6-8].

布朗馬達是一種利用時間或空間的不對稱性將隨機運動轉(zhuǎn)化為定向輸運的非平衡系統(tǒng).該輸運機制在物理學(xué)、生物學(xué)、納米技術(shù)等領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注和深入研究[9-13].根據(jù)非平衡驅(qū)動的差異,布朗馬達模型可分為搖擺棘輪[14-17]、閃爍棘輪[18-21]和關(guān)聯(lián)棘輪[22-24]3 種主要類型.搖擺棘輪中無偏向的外力引起系統(tǒng)的瞬態(tài)時間不對稱,進而在周期不對稱勢中發(fā)生定向運動.閃爍棘輪模型中粒子在空間不對稱的勢場隨機在兩態(tài)或多態(tài)間躍遷或者采取勢的時間調(diào)制來形成定向運動.關(guān)聯(lián)棘輪模型主要考慮色噪聲對整流的影響.其他類型的布朗馬達模型則可視作上述3 種類型的擴展或組合,比如驅(qū)動蛋白的頭部彈性連接,而勢在兩態(tài)之間閃爍的模型可歸為閃爍的棘輪模型[25].研究各類布朗棘輪模型有助于深入理解定向輸運行為,并為優(yōu)化定向輸運提供可能性[26].

在布朗馬達系統(tǒng)中,以往對于不對稱通道中的整流運動的研究已經(jīng)覆蓋了多種類型的粒子,包括活性粒子[27-29]、極性粒子[30]和手性粒子[31]等.這些研究中粒子都被看作是剛性的.然而,在細胞單層、發(fā)育中的組織、壓縮泡沫和乳劑等軟物質(zhì)系統(tǒng)中,粒子往往是可形變的.而且,軟/可形變粒子的形變特性會強烈影響系統(tǒng)的動力學(xué)行為[32-36].例如,可形變粒子可以通過明顯小于粒子尺寸的通道并進行定向輸運[37].因此,在受限結(jié)構(gòu)中可形變粒子如何影響定向運動是一個有趣但尚未解決的問題.

為了解決這一問題,本文研究了在二維不對稱周期管中可形變的自驅(qū)動粒子,并重點考慮了可形變特性對粒子的定向輸運的影響.對于可形變自驅(qū)動粒子,自驅(qū)動會破壞熱力學(xué)平衡,在空間不對稱條件下產(chǎn)生定向輸運.粒子的集體運動方向完全由周期管的不對稱性決定.增大粒子的自驅(qū)動速度和粒子軟化都會促進粒子的整流,而增大密度和旋轉(zhuǎn)擴散則會阻礙粒子的整流.此外,在大的自驅(qū)動速度下,粒子的可形變特性對定向輸運的影響更加顯著.

2 模型和方法

考慮N個可形變自驅(qū)動粒子在二維周期不對稱管中的運動.二維不對稱周期通道的形狀可以用其半寬度來描述(如圖1(a)所示):

圖1 (a)可形變粒子在二維不對稱周期通道中運動的示意圖,通道的形狀利用其半寬度來描述((1) 式),x 方向施加周期邊界條件,y 方向 施加反射邊界條 件;(b)由20 個頂點 構(gòu)成 的多邊形粒子,{xm,c,ym,c}表示多 邊形m 的質(zhì)心,{xm,i,ym,i} 表示 多邊形 m的第 i 頂點的位置Fig.1.(a) Scheme of deformable particles moving in a two-dimensional asymmetric periodic channel,the shape of the channel is described by the half width of the channel(Eq.(1)),periodic boundary condition is imposed in the x -direction and reflection boundary condition in the y -direction;(b) the deformable polygonal particles with 20 vertices,{xm,i,ym,i} is the position of vertexi in the polygon m and {xm,c,ym,c} is the center of mass of the polygon m.

其中LL1+L2為通道的周期.通道的最小寬度和最大寬度分別為W和2H+W.定義一個不對稱參數(shù)Δ(L1-L2)/L來描述通道的不對稱性,當Δ0 時通道是完全對稱的.在通道的x方向施加周期性邊界條件,在y方向則施加反射邊界條件.類似的幾何結(jié)構(gòu)被廣泛地應(yīng)用于非平衡定向輸運的研究中[38,39].

其中,第1 項是收縮項,它將頂點之間的連接視為彈簧常數(shù)為kl、平衡長度為l0的彈簧.第2 項是粒子面積am的二次項,描述其不可壓縮性,其中ka和a0分別表示面積剛度模量和目標面積.第3 項是彎曲項,其中kb表示彎曲剛度.無量綱的形狀參數(shù)A(Nvl0)2/(4πa0) 控制粒子的形變能力,A越大則表示粒子越軟.對于具有Nv個頂點的規(guī)則多邊形有AvNvtan(π/Nv)/π,且當Nv→∞時,Av1,這意味著頂點可以形成平滑的幾何圖形.在幾何學(xué)中,標準圓對應(yīng)于A/Av1,正五邊形對應(yīng)于A/Av1.16,正六邊形對應(yīng)于A/Av1.1.

可形變粒子的質(zhì)心的自驅(qū)動速度大小為v0,方向為nm(cosθm,sinθm),其中θm滿足如下方程:

其中,Dθ為旋轉(zhuǎn)擴散系數(shù).通常情況下,熱擴散可以用高斯白噪聲來描述,因此,這里的ξm(t) 表示具有單位方差和零均值的高斯白噪聲,滿足統(tǒng)計關(guān)系:〈ξm(t)〉0,〈ξm(t)ξm(t′)〉δ(t-t′).

構(gòu)成多邊形的頂點i的運動可以用過阻尼朗之萬方程描述:

為了計算粒子之間的排斥相互作用,將每個頂點都視為直徑δl0的圓盤(如圖1(b)所示).通過將接觸的多邊形上的重疊粒子間的排斥相互作用相加,從而得到了總的排斥相互作用能為[34]

式中,kr是排斥相互作用的強度,Θ是Heaviside階躍函數(shù).

由于可形變粒子沿y方向的運動受到通道邊界的限制,因此只關(guān)注沿x方向的集體運動.在足夠長的時間下,粒子沿x方向的平均速度可以表示為

模擬中采用隨機歐拉算法對方程(3)和方程(4)進行數(shù)值積分,積分時間步長 dt0.001,總積分時間t105,以確保系統(tǒng)達到非平衡穩(wěn)態(tài).無特殊說明時,將設(shè)置參數(shù)為μ1,N100,Nv20,klka1,kb0,kc10,L20,W4,H4,以及Dθ0.01.

3 結(jié)果與討論

3.1 通道不對稱性對定向運動的影響

圖2 描述了不同自驅(qū)動速度v0的情況下,粒子的平均速度Vs隨不對稱參數(shù)Δ的變化關(guān)系.研究結(jié)果表明,自驅(qū)動速度能夠使系統(tǒng)遠離平衡,從而發(fā)生定向輸運,且定向運動方向完全由通道的不對稱性決定的.當Δ ＜0時,粒子的平均速度為正,Δ ＞0時,粒子的平均速度為負,Δ0時,定向輸運消失.這種現(xiàn)象可以解釋為,粒子傾向于向斜坡平緩的一側(cè)移動.當Δ ＜0時,通道的最大寬度的左側(cè)更陡,因此,粒子更容易向更平穩(wěn)的右側(cè)移動,即〈Vs〉＞0.同理,當Δ ＞0時,〈Vs〉＜0.當Δ0時,通道是完全對稱的,粒子在兩個方向上運動的概率相同,因此 〈Vs〉0.因此,定向運動的方向完全由通道的不對稱性決定,N,A,v0等參數(shù)僅影響平均速度的大小,而不影響運動方向.因此,在下文討論中,只考慮Δ ＜0 的情況,設(shè)置Δ-0.8,并通過改變密度φ、形狀參數(shù)A、自驅(qū)動速度v0和旋轉(zhuǎn)擴散系數(shù)Dθ來研究可形變粒子的定向輸運.

圖2 平均速度〈Vs〉隨不對稱參數(shù) Δ 在不同 v0 下的變化曲線,A1.16Fig.2.Average velocity 〈Vs〉versus the asymmetric parameter Δ for different v0 at A1.16.

3.2 自驅(qū)動速度對定向運動的影響

圖3 為不同φ值下,平均速度 〈Vs〉隨自驅(qū)動速度v0的變化曲線.其中,可以觀察到較大的v0會促進可形變粒子的整流.當v0→0時,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài),〈Vs〉→0.當v0不斷增大時,非平衡驅(qū)動增強,持續(xù)長度Lpv0/Dθ ?L,使粒子容易通過熵壘,便于粒子通過不對稱管道.另外,發(fā)現(xiàn)隨著速度的增大,粒子的拉伸效應(yīng)會變得更加顯著,拉伸效應(yīng)也會進一步促進粒子的整流.然而,當φ較大時,隨著v0的增大,粒子與瓶頸快速接觸會加劇擁堵,從而會阻礙棘輪輸運;但是當v0足夠大時,粒子有足夠的動能跨越瓶頸.因此當φ較大時,〈Vs〉-v0曲線中會出現(xiàn)凹值的現(xiàn)象.

圖3 平均速度 〈Vs〉隨自驅(qū)動速度 v0在不同φ下 的變化曲線,A1.16Fig.3.Average velocity 〈Vs〉versus the self-propulsion speed v0 for different φ at A1.16.

3.3 旋轉(zhuǎn)擴散對定向運動的影響

圖4 為不同v0時的平均速度 〈Vs〉隨旋轉(zhuǎn)擴散系數(shù)Dθ的變化曲線,從圖中可發(fā)現(xiàn)平均速度〈Vs〉隨Dθ的增大而逐漸減小.這是因為持續(xù)長度Lp(Lpv0/Dθ)在逐漸減小,導(dǎo)致粒子通過通道更加困難.當Dθ →∞時,持續(xù)長度Lp→0,活性粒子變?yōu)楸粍恿Ｗ?系統(tǒng)中沒有非平衡驅(qū)動,因此定向輸運消失.

圖4 平均速度 〈Vs〉隨旋轉(zhuǎn)擴散系數(shù) Dθ在不同v0下 的變化曲線,A1.16, φ0.625Fig.4.Average velocity 〈Vs〉versus the rotational diffusion coefficient Dθ for different v0 at A1.16 and φ0.625.

3.4 粒子軟化對定向運動的影響

形狀參數(shù)A越大,粒子越容易變形和變軟.圖5(a)為不同v0下,平均速度 〈Vs〉隨形狀參數(shù)A的變化關(guān)系.從圖5(a)可以觀察到在較小的v0下,形狀參數(shù)對平均速度的影響很小,而在較大的v0下,〈Vs〉隨形狀參數(shù)的增大逐漸增大.隨著A的增大,粒子被軟化,這意味著粒子的面積可以增大,甚至大于初始面積.粒子的面積越大,拉伸效應(yīng)就越明顯.因此在v0較大時,形狀參數(shù)A的增大會促進粒子的整流.而v0較小時,粒子的拉伸效應(yīng)不是很明顯,此時A對整流的影響較小.圖5(b)描述了〈Vs〉在v0-A平面的相圖,從圖中能夠更清晰地觀察〈Vs〉隨v0和A的變化情況.當固定A時,平均速度〈Vs〉隨著速度增大而變大.固定較小v0時,A對平均速度的影響非常小,當固定較大v0時,A對平均速度的影響較大.

圖5 (a) 平均速度〈Vs〉隨形狀參數(shù)A 在不同v0下的變化曲線;(b) 平均速度 〈Vs〉在v0-A 平面的相圖,φ0.625Fig.5.(a) Average velocity 〈Vs〉versus the shape parameter A for different v0 at ?0.625 ;(b) phase diagram of the average velocity 〈Vs〉in the v0-A representation at φ0.625.

3.5 粒子密度對定向運動的影響

圖6 為不同v0下的平均速度〈Vs〉隨著密度φ的變化曲線.從圖6 可以觀察到密度的增大會阻礙粒子的定向運動,而且這個影響在大v0時比在小v0時更為顯著.因為對于小v0的情況,粒子有足夠的時間變形及調(diào)整使其順利通過瓶頸.而對于大v0的情況,粒子會迅速接近瓶頸,粒子數(shù)的增加會加劇粒子的堵塞,使其通過通道的難度增大,從而阻礙了棘輪輸運.

圖6 平均速度 Vs隨密度φ在不同v0下的變化曲線,A1.16Fig.6.Average velocity Vs versus the density φ for different v0 at A1.16.

3.6 多粒子和單粒子的對比

最后,在φ相同的情況下,將多粒子和單粒子運動情況進行比較.在這種情況下,設(shè)置單粒子的面積等于多粒子面積之和.圖7(a)—(c)分別描述了多粒子和單粒子的平均速度 〈Vs〉隨A,v0,Dθ三個參數(shù)的變化關(guān)系.結(jié)果表明,雖然多粒子和單粒子都可通過通道瓶頸,但多粒子更能促進整流.事實上,盡管單個可形變粒子能夠通過比其自身尺寸更小的通道瓶頸,但當它分裂成多個可形變粒子時,顯然更容易通過通道瓶頸,從而促進粒子的整流.

圖7 φ0.625時,單粒子和多粒子的平均速度〈Vs〉分別隨 A, v0, Dθ 的變化曲線Fig.7.The average velocity of single particle and many particles 〈Vs〉is taken as a function of A, v0,and Dθ at φ0.625.

4 結(jié)論

本文通過數(shù)值模擬研究了二維不對稱周期通道中的可形變自驅(qū)動粒子的定向輸運.粒子的自驅(qū)動速度作為非平衡驅(qū)動,打破熱力學(xué)平衡,在空間不對稱的條件下產(chǎn)生定向運動.研究結(jié)果表明,粒子的定向運動方向完全由通道的不對稱參數(shù)決定,粒子更傾向于向較平緩的一側(cè)運動.粒子自驅(qū)動速度的增大和粒子的軟化能夠促進棘輪輸運.特別是在大自驅(qū)動速度下,粒子的拉伸效應(yīng)會更加明顯,粒子軟化對定向輸運的促進會更加顯著.然而,密度和旋轉(zhuǎn)擴散的增大會阻礙粒子的整流.密度的增大會導(dǎo)致粒子堵塞,使其通過通道變得更加困難.而旋轉(zhuǎn)擴散的增加則會導(dǎo)致粒子運動的持續(xù)長度減小,同樣使得粒子通過通道更加困難.當密度一定時,相較于單個可形變粒子,多個可形變粒子總是促進整流的.

細胞的集體運動在組織生長、傷口愈合和免疫反應(yīng)中起著重要的作用,這對于理解病理機制,如癌癥和轉(zhuǎn)移的形成也很重要.在本文中,粒子的形狀可以用多自由度來描述,這比以往用于描述軟/可形變粒子系統(tǒng)的模型更有優(yōu)勢.從結(jié)果來看,可形變粒子可以通過明顯小于自身尺寸的通道瓶頸,并進行定向輸運,這不同于以往剛性粒子的結(jié)果.本文的研究結(jié)果有助于理解可形變粒子在受限結(jié)構(gòu)中的輸運行為,并為相關(guān)的軟物質(zhì)實驗提供理論支持.期望這些結(jié)果能夠促使細胞集體運動的進一步實驗研究,以深入了解與集體細胞運動相關(guān)的生物過程.