劉耀義，余 敏，李 才

（1.惠州市藍(lán)微電子有限公司，惠州 516000；2.三一重工股份有限公司，長沙 430100）

0 引言

實(shí)際工業(yè)過程中的很多系統(tǒng)，如材料的成型過程、化學(xué)過程中的催化反應(yīng)、表面貼裝（Surface Mount Technology,SMT）產(chǎn)線上的芯片固化工藝，都具有典型的時(shí)間和空間動(dòng)態(tài)特征，它們常被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)（Distributed Parameter System，DPS）[1]。這些過程通常伴隨著明顯的時(shí)變或非線性，并且具有未知的動(dòng)力學(xué)和未知的邊界條件，這些都為DPSs的有效建模帶來了巨大的挑戰(zhàn)[2-4]。

對(duì)于這類系統(tǒng)，傳統(tǒng)的處理方法是將其視為一系列的偏微分方程組（Partial Differential Equation，PDE），然后通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)或數(shù)值求解的方法，如有限差分法（Finite difference method，F(xiàn)DM）、有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）、伽遼金及譜方法等[5-7]，將其轉(zhuǎn)化為常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）。這其中需要解決無線維向有限維的近似問題，很多學(xué)者展開了研究并取得了一系列的成果。在工程應(yīng)用中，這類模型通常被稱為有限集總參數(shù)模型。然而，對(duì)于這些主要的建模方法，在許多DPS中獲得精確的偏微分方程或邊界條件是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，這往往使得對(duì)此類DPS建模變得困難[8-9]。

近年來，隨著傳感器技術(shù)的發(fā)展和數(shù)據(jù)手段的不斷更新，各種形式的數(shù)據(jù)從工業(yè)過程中被采集出來，這為數(shù)據(jù)建模方法的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，提供了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。因此，為了進(jìn)一步彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的不足，很多學(xué)者提出了一些基于數(shù)據(jù)模型的方法，從實(shí)驗(yàn)輸入/輸出數(shù)據(jù)中提取系統(tǒng)的特征，確保數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型的準(zhǔn)確性[10-11]。其中，時(shí)空分離策略被許多學(xué)者研究并獲得了大量成功應(yīng)用[12]。該類方法主要通過機(jī)器學(xué)習(xí)算法，如Karhunen Loève（KL）[13]、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）[14]和支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）[15]等，從系統(tǒng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)中提取空間特征，這些特征被稱表示為空間基函數(shù)。然后，將系統(tǒng)輸出映射到空間基函數(shù)，生成表征DPSs時(shí)間動(dòng)態(tài)的的時(shí)間系數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)從原始時(shí)空建模問題向時(shí)間序列建模過程的簡化。為此，人們開發(fā)了許多方法來模擬這一時(shí)間序列過程[14-16]。然而，這些方法主要在處理線性動(dòng)態(tài)方法具有明顯的優(yōu)勢(shì)，但對(duì)于如芯片固化過程等具有明顯非線性的工業(yè)過程，其建模的準(zhǔn)確性無法滿足實(shí)際需求。此外，為了解決這個(gè)問題，盡管已經(jīng)有學(xué)者開發(fā)了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的建模模型，但高階模型給計(jì)算資源帶來了巨大壓力，使得模型難以用于實(shí)際預(yù)測(cè)和控制。

因此，為有效解決工程實(shí)際中存在的建模難和運(yùn)算復(fù)雜的問題，本文基于全局降維技術(shù)和現(xiàn)有時(shí)空分離架構(gòu)，提出了一種低維時(shí)空建模方法，對(duì)芯片加熱過程中的非線性空間和時(shí)間動(dòng)態(tài)進(jìn)行有效建模。首先，利用PCA對(duì)非線性空間特征進(jìn)行全局處理，識(shí)別并刪除冗余空間點(diǎn)；在損失盡量少信息的前提下，將無限維的空間動(dòng)態(tài)分布轉(zhuǎn)化為有限維的空間基函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，通過將系統(tǒng)的時(shí)空數(shù)據(jù)在空間基函數(shù)上投影，得到表示系統(tǒng)非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)的時(shí)間序列。然后，結(jié)合模糊算法在非線性建模方法的優(yōu)勢(shì)，建立了基于模糊算法的非線性時(shí)間模型。最后，將所獲得的空間基函數(shù)與非線性模糊模型結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了對(duì)芯片固化成型過程中空間分布和非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)的有效重構(gòu)。并通過晶圓的快速熱過程仿真，對(duì)本文所構(gòu)建模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 問題描述

1.1 溫度建模中存在的問題

在芯片固化過程中，溫度經(jīng)常決定著產(chǎn)品的最終性能。例如，晶圓的快速熱過程中，需通過合適的升溫速率將晶片重復(fù)加熱至所需溫度。此外，在STM產(chǎn)線上，將電子元件放置到印刷電路板（Printed circuit boards,PCB）上后，也需要通過固化爐的加熱作用將元件固定在PCB板上。該過程中的升溫速率與峰值溫度分別決定了組裝膠固化后SMT貼片的加工表面質(zhì)量和貼片膠的粘結(jié)強(qiáng)度。因此，溫度的均勻分布與控制精度是芯片成型和質(zhì)量的關(guān)鍵。以晶圓的快速熱過程為例，其具體原理如圖1所示。

圖1 晶圓的快速熱過程示意圖

在一些假設(shè)和簡化條件下，例如忽略位置的極角和晶圓的厚度，該系統(tǒng)可描述為以下偏微分方程[17,18]：

其中，T和Ta是晶圓和石英窗的調(diào)整溫度，dn(z,t)和dr(z,t)分別表示系統(tǒng)中未知的噪聲和擾動(dòng)；uj(t)表示系統(tǒng)輸入（電源燈的實(shí)際強(qiáng)度）；bj(z)表示外部輸入能量從區(qū)域j傳輸?shù)骄A的位置z上的輻射系數(shù)。系統(tǒng)的初始狀態(tài)和邊界條件如下：

目前，雖然有很多針對(duì)分布參數(shù)系統(tǒng)的模型被提出，但大多集中在慢變、線性或非線性過程中。由于物體本身的物理特征，從圓心鋪展開來的階梯溫度分布，導(dǎo)致了加熱過程溫度分布具有很強(qiáng)的空間和時(shí)間的非線性，這與很多工業(yè)過程有很大的區(qū)別。此外，在實(shí)際生產(chǎn)過程中，由于時(shí)變非線性、未知?jiǎng)恿W(xué)和未知邊界條件，獲得上述顯式的方程和邊界條件非常困難。因此，結(jié)合材料本身的物理過程和生產(chǎn)數(shù)據(jù)建立加熱過程中準(zhǔn)確的溫度分布模型，對(duì)于保證良好的質(zhì)量具有重要意義。

1.2 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的溫度建模方法

針對(duì)上述問題，很多基于數(shù)據(jù)的溫度建模方法被提出來，其中比較典型的是時(shí)空分離框架[12]，這種方法主要根據(jù)傅里葉變換思想，對(duì)不同采樣時(shí)刻的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。其具體做法是：首先，利用特定的特征提取算法獲得快照集的主要特征，從而在信息損失最小的情況下，將無限維的空間分布轉(zhuǎn)化為有限維的標(biāo)準(zhǔn)特征向量，即空間基向量。在此基礎(chǔ)上，將原始樣本在空間基向量上投影，得到表征非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。這樣，復(fù)雜的非線性時(shí)空建模方法就有效地轉(zhuǎn)化為了時(shí)序建模問題。

在測(cè)試晶圓的表面沿半徑方向，平均分布N個(gè)空間傳感器，采集到如下數(shù)據(jù)：[u(tk),y(xi,tk)]，其中，i=1,2,...,N，k=1,2,...,L。y(xi,tk)表示第i個(gè)傳感器在tk(k=1,2,...,L)時(shí)刻的輸出。u(t)=[u1(t),u2(t),...,um(t)]T表示輸入電壓?；跁r(shí)空分離思想，該分布參數(shù)系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)態(tài)可由下式構(gòu)建：

最終，通過降維技術(shù)，系統(tǒng)輸出可近似為以下的M階模型：

在上述時(shí)空分離架構(gòu)的基礎(chǔ)上，有很多不同的算法被提出，如KL變換、奇異值分解、流形學(xué)習(xí)等[13-15]，并在實(shí)際工業(yè)過程中得到了有效驗(yàn)證。然而，這一類方法在進(jìn)行降維的時(shí)候主要基于線性變換，大多只適用于線性系統(tǒng)或弱非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，往往無法對(duì)強(qiáng)非線性時(shí)空動(dòng)態(tài)進(jìn)行有效的建模。因此，需要建立一個(gè)有效的非線性時(shí)空模型，以表征系統(tǒng)的復(fù)雜空間分布與非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)。

2 基于PCA和模糊的低維時(shí)空模型

為了解決芯片成型過程中溫度場(chǎng)的時(shí)空非線性動(dòng)態(tài)建模問題，在PCA和非線性模糊建模技術(shù)的啟發(fā)下，提出了一種低維時(shí)空建模方法來重新建立溫度場(chǎng)的非線性時(shí)空動(dòng)態(tài)。具體如圖2所示。與傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)建模方法相比，該方法對(duì)非線性空間特征采用全局處理的方法，在利用PCA算法的時(shí)候，引入了核技巧，使低維空間中的非線性樣本數(shù)據(jù)在高維空間中被映射和線性化，從而在變換過程中保留空間非線性動(dòng)力學(xué)。在此基礎(chǔ)上，通過將原始時(shí)空數(shù)據(jù)映射到空間基函數(shù)，獲得表征系統(tǒng)時(shí)間動(dòng)態(tài)的時(shí)間序列。利用T-S模糊模型在非線性建模方面的優(yōu)勢(shì)，對(duì)系統(tǒng)的時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。最終，將二者結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)了對(duì)芯片成型過程中溫度的空間分布和非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)的有效建模。

圖2 基于PCA與模糊的低維時(shí)空建模方法

2.1 芯片固化過程的空間降維方法

通常，在對(duì)非線性分布參數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行建模的時(shí)候，傳統(tǒng)基于主成分分析或流形學(xué)習(xí)等方法的降維過程是線性的，在處理強(qiáng)空間非線性時(shí)，空間基函數(shù)的提取不能準(zhǔn)確反映空間動(dòng)態(tài)，導(dǎo)致低維時(shí)間序列數(shù)據(jù)無法準(zhǔn)確獲取，從而產(chǎn)生建模誤差。這里，利用PCA中核技術(shù)，將低維空間中的非線性樣本數(shù)據(jù)在高維空間中做線性映射，從而在變換過程中保留空間非線性動(dòng)力學(xué)。

為表示方便，將y(xi,tk)，i=1,2,...,N在tk時(shí)刻的輸出簡化為：

引入空間映射函數(shù)φ(·)反映數(shù)據(jù)從原始數(shù)據(jù)空間到高維空間的映射。由于在實(shí)際生產(chǎn)系統(tǒng)中，φ(·)通常很難獲取，一個(gè)有效的方法是引入核技術(shù)，通過映射函數(shù)的內(nèi)積形式，將其顯示化為空間核函數(shù)。在本文中，以下的高斯核徑向基函數(shù)用于反映這種低維到高維的非線性映射關(guān)系：

其中，δ表示高斯核函數(shù)的寬度參數(shù)。傳統(tǒng)的PCA降維方法是直接對(duì)樣本數(shù)據(jù)χk進(jìn)行處理。這里考慮到空間的非線性分布，引入了核技巧以實(shí)現(xiàn)對(duì)空間非線性的有效表征。假設(shè)樣本χk在新坐標(biāo)系中的映射為，則原始數(shù)據(jù)投影前后的誤差為：

其中，E滿足

其中，W=(w1,w2,...,wN)表示投影變換后的新坐標(biāo)系中的一組正交基。這里的核心問題是要找到符合條件的一組基函數(shù)滿足||W||2=1，由上述過程可構(gòu)建如下的二次優(yōu)化問題：

利用拉格朗日乘子法，并對(duì)上述目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)后，可以得到滿足條件的一組基函數(shù)：

通過時(shí)空數(shù)據(jù)的非線性映射和高維特征空間的降維，空間基函數(shù)ψ(x)={ψ(x1),ψ(x2),L,ψ(xd)}即可獲得：

2.2 模糊時(shí)間模型

基于上述有限維空間基函數(shù)，通過將系統(tǒng)輸入與輸出數(shù)據(jù)在該高維空間進(jìn)行映射，得到系統(tǒng)的非線性時(shí)間序列。根據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特征，建立相應(yīng)的模糊規(guī)則，提出了一種基于模糊算法的非線性模型，對(duì)系統(tǒng)的非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)進(jìn)行重構(gòu)。

根據(jù)時(shí)空分離的思想，將系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)在核函數(shù)上投影，可以得到表征系統(tǒng)時(shí)間動(dòng)態(tài)的時(shí)間乘子。其中，αi(tk)用于表征系統(tǒng)在xi位置的時(shí)間動(dòng)態(tài)?？梢?，對(duì)該時(shí)間乘子建立有效的模型，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)的準(zhǔn)確表達(dá)。這里，考慮到模糊模型對(duì)一切非線性過程的精確逼近能力，采用模糊模型來構(gòu)建晶圓固化過程中時(shí)間維度上的非線性動(dòng)態(tài)。假設(shè)Gsi(i=1,2,L,p)表示先驗(yàn)規(guī)則變量的模糊集，令，對(duì)于空間位置點(diǎn)j建立模糊規(guī)則如下：

其中，s=1,2,L,r表示規(guī)則編號(hào)；α(tk)表示系統(tǒng)在tk時(shí)刻的非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)；u(tk)表示系統(tǒng)在tk時(shí)刻的輸入；As和Bs分別表示上一時(shí)刻的輸出與該時(shí)刻輸入的系數(shù)。通常，利用優(yōu)化算法可進(jìn)一步求解得到參數(shù)As和Bs。由此，可以構(gòu)建系統(tǒng)的時(shí)間乘子模型如下：

σl表示第l個(gè)模糊集的高斯參數(shù)。最后，結(jié)合無冗余空間基函數(shù)和模糊時(shí)間模型，可得用于表征系統(tǒng)非線性空間分布和時(shí)間動(dòng)態(tài)的時(shí)空模型：

綜上所述，本文所建立的基于核化主成分分析和模糊算法的低維時(shí)空建模方法的主要過程如下：

1）利用傳感器測(cè)量系統(tǒng)中的輸入和輸出數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)采用核化主成分分析方法，通過式(13)和閾值（95%）確定降維后的最優(yōu)維數(shù)，將無限維的空間分布轉(zhuǎn)化為有限維的傳感器的空間特征。

2）基于上述的空間基函數(shù)，根據(jù)式(5)將系統(tǒng)輸入與輸出數(shù)據(jù)在該高維空間進(jìn)行映射，得到式(16)中的非線性時(shí)間序列。

3）根據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的特征，建立相應(yīng)的模糊規(guī)則，提出基于模糊算法的非線性模型(18)，對(duì)系統(tǒng)的非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，表征晶圓固化過程中的非線性時(shí)間動(dòng)態(tài)；

4）根據(jù)空間基函數(shù)與時(shí)間模糊模型，得到最終的低維非線性時(shí)空模型(20)，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)非線性空間動(dòng)態(tài)和時(shí)間動(dòng)態(tài)的準(zhǔn)確重構(gòu)。

3 算例分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證，本文所建立的基于KPCA和模糊算法的時(shí)空非線性建模策略，本章設(shè)計(jì)了晶圓固化過程中的算例，對(duì)模型的準(zhǔn)確性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

對(duì)于方程(1)～(2)描述的晶圓固化系統(tǒng)，方程(1)中的bj(z)表示外部輸入能量從區(qū)域j傳輸?shù)骄A位置z上的輻射系數(shù)，其具體形式可表示為[17]：

上式，dl表示燈到晶圓的距離，rin,j和rout,j是電源燈在區(qū)域j的內(nèi)徑和外徑。

該系統(tǒng)中，噪聲為滿足dn(z,t)～N(0,0.042)的高斯白噪聲；燈光源到晶圓的距離dl=1.15cm。其他加熱過程中的參數(shù)設(shè)計(jì)和取值如表1和表2所示[18]。

表1 加熱區(qū)域劃分及相關(guān)參數(shù)設(shè)置

表2 晶圓固化過程中的參數(shù)取值

通過與幾種常用方法的比較，對(duì)晶圓的固化過程進(jìn)行了仿真研究，評(píng)估所提出的建模方法的有效性。采用相對(duì)誤差（RE）和均方根誤差（RMSE）兩個(gè)指標(biāo)來驗(yàn)證建模性能。

在仿真過程中，以晶圓的圓心為重點(diǎn)，沿半徑方向平均布局了13個(gè)傳感器，用于監(jiān)測(cè)和收集固化過程中晶圓的溫度，每個(gè)傳感器之間的距離是1cm，如圖3所示。

圖3 晶圓表面?zhèn)鞲衅鞯目臻g分布

對(duì)系統(tǒng)的每個(gè)區(qū)域施加激勵(lì)信號(hào)[17]，以0.01s為采樣時(shí)間，經(jīng)時(shí)長為3s的收集，總共采集了300組輸入及相應(yīng)的輸出數(shù)據(jù)。加熱過程中五個(gè)區(qū)域的激勵(lì)信號(hào)及晶圓表面溫度的最終分布如圖4、圖5所示。

圖4 加熱過程中的激勵(lì)信號(hào)

圖5 晶圓表面的溫度分布

在這些數(shù)據(jù)中，取前200組數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余100組數(shù)據(jù)用于測(cè)試模型。根據(jù)所提出的方法，利用最佳切圖策略后，所建模型的階數(shù)從13減少到8。根據(jù)降階后的8個(gè)傳感器，基于空間核函數(shù)與模糊算法進(jìn)行時(shí)空非線性動(dòng)態(tài)的建模，該模型的實(shí)際輸出和訓(xùn)練輸出，以及相對(duì)誤差如圖6、圖7所示。

圖6 訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的模型輸出

圖7 訓(xùn)練相對(duì)誤差

從圖6和圖7可以看出，在訓(xùn)練過程中，所提出的模型可以有效地模擬系統(tǒng)的時(shí)空動(dòng)態(tài)，相對(duì)誤差在很小的范圍內(nèi)有界。此外，所建立模型的預(yù)測(cè)性能如圖8、圖9所示。

圖8 測(cè)試模型輸出

圖9 測(cè)試相對(duì)誤差

從圖中可以看出，利用實(shí)際的實(shí)驗(yàn)輸入和輸出數(shù)據(jù)，該降階模型能夠有效地重建該熱過程的時(shí)空動(dòng)態(tài)，且測(cè)試點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差較小。為進(jìn)一步展示該算法對(duì)于刪減點(diǎn)的重建性能，在原始特征值的基礎(chǔ)上，利用插值的方法對(duì)刪減后的傳感器點(diǎn)進(jìn)行還原，模型的還原結(jié)果與原始數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果如圖10所示。由圖可知，插值恢復(fù)后的傳感器數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)吻合度較高，總體丟失信息較少。

圖10 晶圓位置s3處的模型預(yù)測(cè)輸出

然后，通過比較驗(yàn)證了該方法的有效性。表3顯示了相同順序下不同方法的性能比較。為了在同一維度上真實(shí)反映所有比較結(jié)果，與其他降維方法相比，本文設(shè)計(jì)的模型通過插值恢復(fù)冗余傳感器的數(shù)據(jù)。從RMSE可以看出，與文獻(xiàn)[14]中提出的基于PCA與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模方法相比，該方法具有更好的建模性能，因?yàn)樵摲椒ㄔ诮惦A過程中充分考慮了非線性空間分布，并且通過在線時(shí)空建模策略重構(gòu)了時(shí)間非線性動(dòng)力學(xué)。

表3 算法對(duì)比結(jié)果

4 結(jié)語

本文針對(duì)芯片成型過程中溫度場(chǎng)在空間和時(shí)間上的非線性動(dòng)態(tài)分布特性，在傳統(tǒng)時(shí)空分離結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，采用KPCA和模糊算法相結(jié)合的方法，提出了一種低維時(shí)空建模方法來重構(gòu)DPS的非線性時(shí)空動(dòng)力學(xué)。利用這些機(jī)制，該方法可以有效地實(shí)現(xiàn)時(shí)變非線性DPSs模型。在此低維時(shí)空模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合晶圓的快速熱過程進(jìn)行了算例分析，并選取了幾種常用的方法進(jìn)行了進(jìn)一步的比較。最終的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)分析表明，由于充分考慮了空間和時(shí)間非線性動(dòng)力學(xué)，與其他方法相比，該方法具有更好的建模性能。在后面的工作中，會(huì)進(jìn)一步基于實(shí)際的晶圓固化過程進(jìn)行硬件實(shí)驗(yàn)，并對(duì)芯片固化成型過程中溫度的準(zhǔn)確與均勻控制展開深入研究。