李國龍,冉全福,何 坤,王時龍,操 兵

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044;2.重慶工商大學 制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室,重慶 400067)

0 引言

面齒輪副主要應用于航空領域(如直升機減速器),具有傳動比大、重合度高、結構緊湊、動力分流效果好、對安裝誤差不敏感等優(yōu)點[1]。作為直升機動力傳動裝置的核心零件之一,面齒輪必須在高速、重載的工況下保持優(yōu)良的性能,這極大提高了對面齒輪齒面精度的要求。

磨削是提高齒輪齒面精度的核心工序。面齒輪磨削加工主要有碟形砂輪磨削和蝸桿砂輪磨削兩種方法,相比碟形砂輪磨削,蝸桿砂輪磨削可實現連續(xù)分度,具有更高的加工效率。LITVIN等[2-5]研究了面齒輪蝸桿砂輪磨削工藝,設計了面齒輪蝸桿砂輪磨齒機,提出計算蝸桿砂輪型面和避免蝸桿型面奇異點的方法,闡述了面齒輪蝸桿砂輪的成形修整和平面修整原理。李政民卿等[6]和王延忠等[7]研究面齒輪滾磨刀具的基蝸桿型面計算方法,但未對其型面的奇異性進行詳細分析。高金忠等[8-9]在前人基礎上研究了齒數、模數等設計參數影響面齒輪滾磨刀具基蝸桿齒廓奇異點位置的規(guī)律,分別基于單參數包絡和雙參數包絡提出兩種蝸桿砂輪修整方法,然而該方法尚停留在理論階段。唐進元等[10-12]基于微分幾何和嚙合原理研究了面齒輪齒面和蝸桿砂輪型面的曲面特性,給出磨削過程中二者曲面點的對應關系;此外,針對現有面齒輪蝸桿砂輪磨削方法中可能出現面齒輪工作齒面不被完全覆蓋的現象,提出面齒輪蝸桿砂輪磨削多步法,并進行了VERICUT仿真驗證,仿真結果證明多步磨削可以實現面齒輪齒面全覆蓋。郭輝等[13-14]研究了在六軸數控蝸桿砂輪磨齒機磨削面齒輪的方法,選擇成形金剛滾輪修整蝸桿砂輪,該方法在原理上存在誤差,只能得到近似的砂輪型面;另外,提出利用標準錐面滾輪修整面齒輪蝸桿砂輪的方法,該方法雖然提高了金剛滾輪的通用性,但是每次只能修整蝸桿砂輪齒面上的一條螺旋線,修整效率較低。

綜上所述,面齒輪蝸桿砂輪磨削的主要難點是蝸桿砂輪型面的計算和修整。在蝸桿砂輪型面計算方面,目前的研究大都基于嚙合原理,需要求解復雜的嚙合方程且計算結果受到奇異點的限制;在蝸桿砂輪修整方面,現有面齒輪蝸桿砂輪修整方法大多需要在專用機床上進行,缺乏通用性。

為此,本文研究了在普通蝸桿砂輪磨齒機上磨削面齒輪時的蝸桿砂輪型面計算和修整問題。首先,討論了磨削面齒輪的鼓形蝸桿砂輪演變計算方法,采用母線螺旋掃掠方式建立鼓形蝸桿砂輪型面方程;其次,提出基于虛擬中心距加工原理的鼓形蝸桿砂輪成形修整方法,通過四軸聯動方式實現砂輪偏擺,從而完成鼓形蝸桿砂輪的修整;最后,利用VERICUT對所提修整方法進行了仿真驗證。

1 面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪型面計算

1.1 面齒輪蝸桿砂輪型面計算原理

面齒輪蝸桿砂輪的型面計算方法基于共軛曲面包絡理論,通過求解嚙合方程對蝸桿砂輪型面進行解析計算。從共軛包絡的角度看,面齒輪蝸桿砂輪型面由插齒刀經單參數包絡而成,插齒刀的端面齒廓為標準漸開線,如圖1所示,齒廓rs1的方程表示為

(1)

式中:rb為插齒刀基圓半徑;θs和us為插齒刀齒面的Gauss坐標;“+”對應右側齒形,“-”對應左側齒形;θos為插齒刀齒槽半角,

(2)

式中Ns和α0分別為插齒刀齒數和分度圓壓力角。

插齒刀包絡形成蝸桿砂輪齒面時,插齒刀與蝸桿砂輪之間處于假想的內嚙合狀態(tài),如圖2所示。Om-XmYmZm為與插齒刀支架固聯的固定坐標系,Os1-Xs1Ys1Zs1為插齒刀的運動坐標系;Oa-XaYaZa為與蝸桿砂輪支架固聯的固定坐標系,Ow1-Xw1Yw1Zw1為蝸桿砂輪的運動坐標系;On1-Xn1Yn1Zn1為輔助坐標系;Ews為蝸桿砂輪軸線與插齒刀軸線之間的最短距離,λw為蝸桿砂輪螺旋升角,φs和φw分別為插齒刀和蝸桿砂輪的轉角,二者之間的關系為

(3)

式中Ns和Nw分別為插齒刀齒數和蝸桿砂輪頭數。

蝸桿砂輪型面rw1在坐標系Ow1-Xw1Yw1Zw1中表示為:

(4)

rw1(θs,φs)=rw1(φs,θs,us(φs,θs))。

1.2 面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪演變計算法

1.2.1 鼓形蝸桿砂輪型面演變過程

利用共軛曲面包絡原理計算面齒輪蝸桿砂輪型面時,需要求解復雜的嚙合方程,且計算結果受奇異點的限制。本文類比齒條插刀向普通圓柱蝸桿砂輪演變的過程,將面齒輪插齒刀演變?yōu)楣男挝仐U砂輪,用于面齒輪的連續(xù)展成磨削。

建立由插齒刀向鼓形蝸桿砂輪演變成形的坐標系,如圖3所示。其中,Ow2-Xw2Yw2Zw2為與鼓形蝸桿砂輪固連的動坐標系,Ob-XbYbZb和On2-Xn2Yn2Zn2均為固定坐標系且YbObZb平面和Yn2On2Zn2平面分別與蝸桿軸截面和法截面重合,Os2-Xs2Ys2Zs2為假想齒形線的運動坐標系,Op-XpYpZp為假想齒形線的固定坐標系。

在鼓形蝸桿基體法截面上構造一對與插齒刀端面截廓一致的齒形線rs2,該齒形線方程在坐標Os2-Xs2Ys2Zs2中表示為

rs2(θ)=

式中:rb為插齒刀基圓半徑;θ0為插齒刀齒槽半角;θ為漸開線變參數;“+”對應右側齒形,“-”對應左側齒形。

以該對齒形線為母線,使母線一方面在法截面內繞Os2Zs2軸勻速旋轉,另一方面整體繞蝸桿軸線Ow2Zw2勻速旋轉,轉角分別為α和β,則從坐標系Os2-Xs2Ys2Zs2到Ow2-Xw2Yw2Zw2的變換矩陣為

(7)

式中:λ0為蝸桿軸截面和法截面之間的夾角,即名義螺旋升角;E為OpYp軸與On1Zn1軸之間的最短距離,其值由蝸桿砂輪實際尺寸決定,可隨蝸桿砂輪最大外徑的變化而變化,使蝸桿砂輪徑向尺寸不受插齒刀尺寸的限制。

當α與β滿足α/β=Nw/Ns(Ns為插齒刀齒數,Nw為蝸桿頭數)的關系時,母線便可在鼓形蝸桿基體上掃掠形成鼓形蝸桿砂輪螺旋面rw2,表示為

(8)

1.2.2 鼓形蝸桿砂輪的螺旋升角

鼓形蝸桿螺旋升角(λw)定義為蝸桿螺旋線上某點的切向量與該點所在端截面的夾角。令鼓形蝸桿砂輪母線與分度圓交點為Q(-r,0,0),其中r表示齒形線分度圓半徑,Q點經過1.2.1節(jié)所述的螺旋運動可形成一條螺旋線L(如圖4),螺旋線L的方程為

(9)

Q點在螺旋線上的任意位置時,對β求偏導,得螺旋線在其任意點的切矢量為

(10)

鼓形蝸桿上過Q點的端截圓在Q點的切矢量為

(11)

(12)

可見鼓形蝸桿的螺旋升角λw隨著螺旋線上點位置的變化而不斷變化,取螺旋線與鼓形蝸桿最大端截圓交點Q0處的螺旋升角為鼓形蝸桿砂輪的名義螺旋升角,名義螺旋升角即為鼓形蝸桿軸截面和法截面的夾角,用λ0表示,將β=0代入式(12)并化簡得

(13)

1.3 演變法與傳統(tǒng)共軛包絡法的計算實例

表1 蝸桿砂輪設計參數

傳統(tǒng)共軛包絡法所得蝸桿砂輪型面用rw1(θs,φs)表示,演變法所得鼓形蝸桿砂輪型面用rw2(θ,β)表示,在包絡法與演變法的兩個坐標系統(tǒng)中,如果能使兩者蝸桿砂輪的動坐標系Ow1-Xw1Yw1Zw1和Ow2-Xw2Yw2Zw2始終保持重合,并使θs=θ,φs=β,則兩種方法所得的蝸桿砂輪型面上的點一一對應,二者的計算偏差可以表示為演變法所得型面點與共軛包絡法所得型面點的矢量差在蝸桿砂輪型面法向上的投影,即

e=[rw2(θ,β)-rw1(θs,φs)]·nw1。

(14)

式中nw1為包絡法所得蝸桿砂輪型面的法向量,

nw1=Lws(φs)ns。

(15)

式中:Lws(φs)為包絡法中的坐標變換矩陣Mw1s1的3階前主子矩陣;ns為插齒刀齒面的單位法向量。

以單側齒面為例,計算演變法與共軛包絡法的型面偏差,如圖6所示?？梢?型面計算偏差的最大值為2.212×10-17mm,說明演變法計算鼓形蝸桿砂輪時具有較高的計算精度,且相對傳統(tǒng)共軛包絡法可避免求解復雜的嚙合方程,其計算結果不受奇異點限制。

2 鼓形蝸桿砂輪的成形修整方法

2.1 鼓形蝸桿砂輪成形修整運動

因為鼓形蝸桿砂輪型面由其法截面上的母線經螺旋運動掃掠而成,所以可以利用與母線輪廓相同的成形金剛滾輪,在蝸桿砂輪法截面上對其進行修整。圖7所示為成形金剛滾輪在鼓形蝸桿砂輪法截面上修整蝸桿砂輪的運動示意圖,鼓形蝸桿砂輪的成形修整運動實質上與式(8)描述的螺旋掃掠運動一致。一方面,鼓形蝸桿砂輪繞其軸線旋轉,對應1.2.1節(jié)螺旋掃掠運動中母線繞蝸桿軸線的旋轉運動;另一方面,鼓形蝸桿砂輪的外緣輪廓為圓弧而非直線,因此以成形金剛滾輪在砂輪軸向相對于砂輪的圓弧偏擺運動為修整沖程運動,偏擺中心Os與砂輪中心Ow不重合,該修整沖程運動對應1.2.1節(jié)螺旋掃掠運動中母線在法截面繞OsZs軸的旋轉運動。

2.2 基于普通蝸桿砂輪磨齒機的成形修整方法

常用的普通圓柱齒輪蝸桿砂輪磨齒機結構如圖8所示,主要的運動軸有X1徑向進給軸、Y1切向進給軸、Z1軸向進給軸,以及A1刀架回轉軸、B1砂輪旋轉軸、C1工件旋轉軸,可以實現X1,Y1,Z1,A1,B1,C1六軸聯動。除此之外,還有B2滾輪旋轉軸和C2滾輪偏擺軸。

由于普通蝸桿砂輪磨齒機的金剛滾輪偏擺軸C2的偏擺角度有限,無法滿足修整運動所需的大幅度偏擺的要求,要在不改變機床整體結構的情況下,在普通蝸桿砂輪磨齒機上對鼓形蝸桿砂輪進行修整,考慮利用砂輪的運動代替滾輪的偏擺實現二者的相對運動以完成修整沖程。如圖9所示,在修整時將金剛滾輪置于砂輪正上方,使蝸桿砂輪在豎直平面相對金剛滾輪作偏心擺動,偏擺中心為Os,基于虛擬中心距加工原理[15-16],將砂輪的偏心擺動分解為兩個運動,一是砂輪繞A1軸中心OA轉動,由刀架回轉軸A1實現,二是砂輪在Y-Z平面的平動,由切向進給軸Y1和軸向進給軸Z1聯動實現。

因此在修整鼓形蝸桿砂輪時,首先利用C1軸使?jié)L輪繞豎直方向擺動一個與鼓形蝸桿砂輪名義螺旋升角相同的角度,在法截面上對砂輪進行修整;其次,控制A1,Y1,Z1,B1四軸聯動,使砂輪在勻速旋轉的同時相對滾輪作偏心擺動,從而修整出鼓形蝸桿螺旋面。

2.3 修整運動各軸的行程關系

基于虛擬中心距的運動分解原理,結合機床的結構和運動特性,在普通蝸桿砂輪磨齒機上修整鼓形蝸桿砂輪的運動可用圖10所示的運動簡圖描述。以圖10a中的位置為參考點,在參考點砂輪刀架水平,砂輪中心Ow與滾輪中心Od在豎直方向處于同一直線上,A1軸旋轉中心OA與滾輪中心Od在水平方向存在偏距et,該偏距為常數,取決于機床結構,Os為砂輪偏擺中心。根據運動分解原理,對修整過程中砂輪在機床上的運動作如圖10b所示的分解,可計算出砂輪從參考點0偏擺到任意點i時各軸的行程。

當B1軸帶動蝸桿砂輪轉過角度Δbi時,A1軸帶動砂輪刀架旋轉角度Δai,砂輪中心從Ow0到達Ow'的位置,Y1軸的方向也相應轉過Δai,同時Y1軸和Z1軸分別運動Δyi和Δzi的距離,使砂輪中心到達Owi位置,值得注意的是,三軸的運動同時完成,Ow'為虛擬點,實際修整過程中砂輪中心并不會經過該點。如圖10b所示,A1,Y1,Z1軸的行程與B1軸的行程之間的關系表示為:

(16)

式中:Ns為與鼓形蝸桿砂輪對應的插齒刀齒數;et為A1軸旋轉中心OA與滾輪中心Od在水平方向的偏距;E為偏擺中心Os與砂輪中心Ow之間的距離。

3 鼓形蝸桿砂輪成形修整加工仿真

為了驗證方法的正確性,利用VERICUT對所提鼓形蝸桿砂輪成形修整方法進行加工仿真。VERICUT是一款專業(yè)的數控加工仿真軟件,它可以從幾何角度高精度地模擬加工過程,其Auto-diff功能可比較工件仿真加工模型與設計模型之間的偏差,常用于對加工工藝和數控程序的正確性進行仿真校驗[17]。

以表1所示的蝸桿砂輪設計參數為仿真實例,設計軸截面廓形與插齒刀端面截廓相同的成形金剛滾輪,搭建普通蝸桿砂輪磨齒機加工仿真模型,配置仿真控制系統(tǒng)為西門子840D數控系統(tǒng),根據式(16)計算各軸行程并編制加工仿真程序,然后運行程序進行鼓形蝸桿砂輪修整仿真驗證,修整仿真過程和結果如圖11所示。

利用VERICUT的Auto-diff功能比較仿真結果與設計模型,結果如圖12所示。可見仿真結果模型中,外緣部分存在“過切”,槽底部分存在“殘留”,但殘留和過切均不超過0.01 mm。在磨削面齒輪時,蝸桿砂輪的主要工作面為螺旋面,外緣和槽底不會對面齒輪齒面磨削精度產生影響,而由比較結果可知螺旋面上的偏差均小于0.001 mm,可以證明所提修整方法能夠在普通蝸桿砂輪磨齒機上有效實現對面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的修整。

4 結束語

本文針對面齒輪的蝸桿砂輪磨削加工,研究了面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的型面計算和修整方法。主要工作如下:

(1)針對面齒輪蝸桿砂輪的型面計算方法,將面齒輪插齒刀向蝸桿砂輪演變,建立了面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪的型面方程,比較了演變法與傳統(tǒng)共軛包絡法的蝸桿砂輪型面計算結果,并分析了兩者的計算偏差,結果表明演變法計算精度高且能避免奇異點的限制。

(2)基于虛擬中心距加工原理,提出在普通蝸桿砂輪磨齒機上對鼓形蝸桿砂輪進行成形修整的方法,將砂輪的偏心擺動作為修整沖程運動,通過B1-A1-Y1-Z1四軸聯動方式實現了對鼓形蝸桿砂輪螺旋面的修整。

(3)應用VERICUT加工仿真軟件對所提鼓形蝸桿砂輪成形修整方法進行了仿真驗證,結果表明所提修整方法能夠在普通蝸桿砂輪磨齒機上有效修整面齒輪磨削用鼓形蝸桿砂輪,使面齒輪磨削能夠在普通蝸桿磨齒機上進行,提高了磨齒機的通用性。