孫源梓，于浩淼，郭晨

大連海事大學(xué) 船舶電氣工程學(xué)院，遼寧 大連 116026

近年來，水下無人航行器（unmanned underwater vehicle，UUV）作為海洋資源開發(fā)和海洋科學(xué)研究等領(lǐng)域的利器，受到全世界海洋工程領(lǐng)域?qū)W者和工程師們的青睞[1]?？紤]到UUV 具有適應(yīng)性強、成本低廉、作業(yè)載荷可重構(gòu)等優(yōu)點，其通常被用來執(zhí)行諸如海底資源勘探、海底管線布放和維護、海洋環(huán)境監(jiān)測等既枯燥又危險的作業(yè)任務(wù)。在執(zhí)行各種復(fù)雜作業(yè)任務(wù)時，UUV 精確跟蹤期望路徑或軌跡的能力是助力其高效完成預(yù)定作業(yè)任務(wù)的關(guān)鍵所在。因此，UUV 的跟蹤控制問題一直備受相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注。綜合考慮節(jié)約成本、降低重量以及提高推進效率等因素，大多數(shù)UUV 均被設(shè)置為欠驅(qū)動推進模式[2]。由于受到海流、海浪等外界環(huán)境擾動以及未建模動態(tài)特性、參數(shù)攝動、運動控制執(zhí)行機構(gòu)輸出非線性等自身約束，UUV 的精確動力學(xué)模型是無法被獲得的[3]。這使得欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤控制器設(shè)計具有一定的挑戰(zhàn)性。

目前，國內(nèi)外學(xué)者針對欠驅(qū)動UUV 的路徑跟蹤控制的研究已經(jīng)取得了諸多成果。Lamraoui 等[4]設(shè)計了基于改進自抗擾控制器的UUV 路徑跟蹤控制器，實現(xiàn)了UUV 在海浪和海流等周期性擾動下對期望路徑的高性能追蹤。Moe 等[5]針對未知洋流條件下的UUV 路徑跟蹤控制，提出了一種結(jié)合制導(dǎo)律、自適應(yīng)反饋線性化和滑?？刂频目刂破?；Villa 等[6]采用PID 控制與視線（line-of-sight,LOS）制導(dǎo)法設(shè)計控制器，實現(xiàn)UUV 對期望路徑的跟蹤控制，并通過數(shù)值仿真和實船實驗驗證了控制策略的可行性；Nguyen 等[7]針對海流擾動下的UUV 路徑跟蹤，設(shè)計模糊邏輯控制器，并通過卡爾曼濾波器過濾海流產(chǎn)生的噪聲，使得跟蹤誤差控制在較小的范圍內(nèi)；嚴(yán)浙平等[8-9]為實現(xiàn)參數(shù)攝動和海流擾動下的UUV 跟蹤控制，設(shè)計了一種基于積分滑模的有限時間跟蹤控制器，實現(xiàn)了有限時間的漸進收斂，隨后又設(shè)計了帶有上界自適應(yīng)估計的積分終端滑?？刂破鹘鉀Q不確定性上界未知問題；王懿偲等[10]基于LOS 制導(dǎo)律和李雅普諾夫理論設(shè)計了一種模糊滑?？刂破?，實現(xiàn)了模型參數(shù)不確定性、外部干擾未知的情況下的UUV 路徑跟蹤控制；Ji 等[11]提出了一種基于改進tanh 函數(shù)的多變量滑?？刂破?，提高了UUV 對期望路徑的跟蹤精度；向先波[12]通過引入“趨近角”路徑跟蹤引導(dǎo)策略，并且結(jié)合反步法，成功解決了海流擾動下的UUV 水平面路徑跟蹤問題；陳子印等[13]將位置誤差與速度和航向誤差解耦為2 個聯(lián)機子系統(tǒng)，利用濾波反步法設(shè)計控制器并構(gòu)造輔助系統(tǒng)補償輸入受限下的殘差，實現(xiàn)了輸入受限下的UUV 路徑跟蹤控制；于浩淼等[14]針對參數(shù)攝動下的UUV 水平面路徑跟蹤，設(shè)計非奇異終端滑模設(shè)計控制器，并結(jié)合粒子群算法獲得更優(yōu)的控制器參數(shù)，實現(xiàn)更好的控制效果；Fu[15]提出的算法將最小轉(zhuǎn)彎半徑考慮到運動控制中。

隨著UUV 作業(yè)范圍不斷拓展，目前已有的欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤控制方法已經(jīng)無法滿足其日益增長的作業(yè)能力的需求。尤其是對于狹窄水域或者復(fù)雜結(jié)構(gòu)物內(nèi)的作業(yè)任務(wù)，需要UUV 的運動控制器具有強的安全性能。然而，現(xiàn)有上述有關(guān)欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤控制研究中均未考慮其安全性能。預(yù)設(shè)性能控制策略能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)輸出最大超調(diào)量不超過預(yù)設(shè)值的控制目標(biāo)[16]；該方法能夠較好地避免UUV 發(fā)生碰撞，并且能同時改善UUV 的穩(wěn)態(tài)性能。預(yù)設(shè)性能控制已被廣泛應(yīng)用于移動機器人、無人機、船舶等對象的運動控制器設(shè)計，并取得了較好的控制性能。李錦江等[17]設(shè)計基于預(yù)設(shè)性能的魯棒時滯控制器，實現(xiàn)了執(zhí)行機構(gòu)時滯下的UUV 地形跟蹤，提高了航行器的安全性能；杜佳璐等[18]結(jié)合有限時間預(yù)設(shè)性能及超螺旋擴張狀態(tài)觀測器設(shè)計控制器，實現(xiàn)了不確定動態(tài)和未知時變擾動下的航行器三維軌跡跟蹤有限時間預(yù)設(shè)性能控制；Zheng 等[19]結(jié)合預(yù)設(shè)性能、非線性干擾觀測器和輔助系統(tǒng)等技術(shù)提出了一種具有預(yù)設(shè)性能的抗飽和、抗干擾的路徑跟蹤控制器，保證水面船在跟蹤路徑時，即使受外部干擾和輸入飽和的影響，也能有較好的安全性能；Bechlioulis 等[20]將特定的預(yù)設(shè)性能函數(shù)應(yīng)用到UUV 的軌跡跟蹤控制中，有效地避免欠驅(qū)動UUV 運動控制設(shè)計中固有的可控性和奇異性，并通過水箱實驗驗證所提出控制策略的實用性。

本文針對具有參數(shù)攝動、海流擾動影響下的欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤，同時為了提高航行器的航行安全性能，提出了一種基于反步法、預(yù)設(shè)性能、改進視線法（improved line-of-sight, IMLOS）以及非奇異終端滑模（nonsingular terminal sliding mode,NTSM）的路徑跟蹤控制器。在期望路徑上建立{S-F}坐標(biāo)系，引入虛擬向?qū)?、參考路徑曲率概念，通過坐標(biāo)變化建立UUV 路徑跟蹤誤差方程。結(jié)合預(yù)設(shè)性能與改進視線法，設(shè)計了一種預(yù)設(shè)性能改進制導(dǎo)律，將受性能函數(shù)約束地縱向跟蹤誤差與前視距離結(jié)合，使視線角可以自適應(yīng)的跟隨虛擬導(dǎo)向調(diào)整，在制導(dǎo)律內(nèi)加入海流補償項來克服海流擾動的負(fù)面影響，在確保系統(tǒng)誤差收斂的同時還兼顧了瞬態(tài)跟蹤性能；接下來，基于反步法以及非奇異終端滑模設(shè)計欠驅(qū)動UUV 的路徑跟蹤動力學(xué)控制器，實現(xiàn)欠驅(qū)動UUV 的路徑跟蹤控制；最后，通過李雅普諾夫及有限時間理論分析得出所提出的路徑跟蹤方法能在有限時間內(nèi)鎮(zhèn)定跟蹤誤差，結(jié)合仿真結(jié)果證明所設(shè)計控制策略的有效性。

1 UUV 路徑跟蹤問題描述

1.1 UUV 運動模型

欠驅(qū)動UUV 在水平面的三自由度動力學(xué)模型[3]表示如下：

式中：m11=m-Xu˙，m22=m-Yv˙，m33=Iz-Mr˙；m為UUV 的質(zhì)量；Xu˙、Yv˙、Mr˙分別為UUV 的附加質(zhì)量；Xu、Yv、Nr分別為線性阻尼項；Xu|u|、Yv|v|、Nr|r|分別為非線性二次阻尼項； τu、 τr分別為UUV 的縱向控制輸入和艏搖控制輸入。

水平面UUV 運動學(xué)模型[21]為

式中：x、y、 ψ為UUV 在固定坐標(biāo)系{I}中的位置姿態(tài)信息，u、v、r分別為隨體坐標(biāo)系{B}中UUV 的縱向速度、橫移速度和轉(zhuǎn)艏角速度，Vx、Vy為海流的流速。

1.2 路徑跟蹤誤差方程

為了有效解決欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤問題，需要建立恰當(dāng)?shù)穆窂礁櫿`差方程。因此，引入一條參數(shù)化的期望路徑，并選取期望路徑上任意一點P作為虛擬參考點，且其具有一定的速度vp=，P就是UUV 的虛擬向?qū)Аτ谄谕窂缴先我庖稽cP，都存在沿路徑切線方向的單位切向量T和沿路徑法線方向的單位法向量N，二者構(gòu)成以點P為原點的Serret-Frenet 坐標(biāo)系。欠驅(qū)動UUV路徑跟蹤示意如圖1 所示。

虛擬向?qū)在固定坐標(biāo)系{I}中的位置信息可表示為p=[xp,yp]T。則固定坐標(biāo)系下，路徑跟蹤位置誤差表示為

將路徑跟蹤位置誤差從固定坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到運動坐標(biāo)系中，得到運動坐標(biāo)系下的跟蹤位置誤差變量：

對式(1)展開求導(dǎo)，可以進一步得到：

式中s是期望路徑參量。

式中：ur、vr、r分別為相對海流的縱向速度、相對海流的橫向速度以及轉(zhuǎn)艏角速度；Uc為海流在固定坐標(biāo)系下的速度，且為海流在固定坐標(biāo)系下北向和東向的速度分量，海流方向為海流干擾下UUV 的合速度相對速度下的漂角βr= arctan(vr/ur)。

2 UUV 路徑跟蹤控制器設(shè)計

為實現(xiàn)控制目標(biāo)，本節(jié)將分別設(shè)計欠驅(qū)動UUV 的路徑跟蹤運動學(xué)控制律和動力學(xué)控制律。首先，為確保航行器的安全性能，引入預(yù)設(shè)性能概念，將預(yù)設(shè)性能函數(shù)和原始跟蹤誤差結(jié)合，變換得到新誤差，在得到的新系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)計虛擬向?qū)У乃俣群皖A(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律；其次，針對系統(tǒng)存在參數(shù)攝動問題，設(shè)計相應(yīng)趨近律，基于非奇異終端滑模和反步法設(shè)運動學(xué)設(shè)計了動力學(xué)控制器。

2.1 運動學(xué)控制律

預(yù)設(shè)性能控制理論是通過定義預(yù)設(shè)性能函數(shù)和誤差變換等步驟，保證誤差的瞬態(tài)性能在預(yù)先指定的最大超調(diào)量下以規(guī)定的指數(shù)速率收斂，使得跟蹤誤差始終保持在給定的約束界限內(nèi)，從而保證航行器的航行安全?，F(xiàn)給定預(yù)設(shè)性能誤差范圍如下：

式中：i=x、y；ei,l(t)=(ρli0-ρli∞)e-ξlit+ρli∞、ei,u(t)=(ρlu0-ρlu∞)e-ξlut+ρlu∞為航行安全性能函數(shù)，分別為對應(yīng)自由度的性能上下界；參數(shù) ρli0、 ρli∞、 ξli、 ρlu0、ρlu∞、 ξlu為待設(shè)定的正常數(shù)。

現(xiàn)引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)[22]表示如下

式中：i=x、y；ei為原始系統(tǒng)誤差變量；ei,l、ei,u分別為預(yù)設(shè)性能上下界；p(ei)為隨誤差變化而變換的變量，定義為

結(jié)合引入的預(yù)設(shè)性能函數(shù)式(4)可以將原始路徑跟蹤系統(tǒng)的誤差方程重新構(gòu)造為如下系統(tǒng)：

則系統(tǒng)可簡單表示為

令ei,u=ei,l=elim=(ρ0-ρ∞)e-ξt+ρ∞，i=x、y。

在轉(zhuǎn)換得到的新系統(tǒng)基礎(chǔ)上設(shè)計虛擬向?qū)У乃俣群椭茖?dǎo)律，給UUV 路徑跟蹤控制提供控制輸入，驅(qū)使UUV 跟蹤上目標(biāo)路徑。

由式(3)可知，海流擾動下的路徑跟蹤誤差模型存在海流干擾項Uccos(βc-ψp)和Ucsin(βc-ψp)。所以設(shè)計基于預(yù)設(shè)性能的改進制導(dǎo)律如下：

式中： λ為正常數(shù)； μ為海流補償項，表示為

假定UUV 的漂角已知，則期望LOS 制導(dǎo)角為

定義李雅普諾夫函數(shù)如下：

求導(dǎo)可得：

結(jié)合前述定義可得：

代入，化簡可得：

設(shè)計如下運動學(xué)控制律：

代入上述虛擬控制律，化簡得：

2.2 動力學(xué)控制律

定義艏向角跟蹤誤差ψe=ψ-ψd；轉(zhuǎn)艏角速度誤差re=r-rd；期望縱向速度ue=u-ud，其中rd和ud可分別當(dāng)作轉(zhuǎn)艏角速度r和縱向速度u的 虛擬控制律。

UUV 在實際作業(yè)過程中，必然會受到參數(shù)攝動和外界擾動的影響。首先假定參數(shù)攝動是有界的且上界可知，則參數(shù)攝動界限可表示為

有限時間引理[23]：對于一個非線性系統(tǒng)

若存在正定的連續(xù)函數(shù)V(x)滿足如下不等式：

式中：a>0，b>0，0

2.2.1 艏搖力矩控制律設(shè)計

設(shè)計轉(zhuǎn)艏角速度的虛擬控制律為

式中kψ是正定常數(shù)。

式中kψ≥0。 由有限時間理論可知，存在時間Tr0，當(dāng)t>Tr0時，艏向角誤差 ψe收斂到0。

由虛擬控制律rd表達式可知其中包含，當(dāng)對rd求導(dǎo)時必然會存在 ψd的高階導(dǎo)。為了避免“微分爆炸”問題，現(xiàn)采取動態(tài)面方法來獲取rd的導(dǎo)數(shù)信息，從而簡化控制器的計算。定義新狀態(tài)變量?r，動態(tài)面（低通濾波器）的輸出值即為。定義動態(tài)面如下：

式中：Tr為濾波器時間常數(shù)，動態(tài)面誤差為yr=rd-?r。

定義滑模面：

式中： λr1、λr2>0、pr>qr>0為滑模參數(shù)。

對Sr求導(dǎo)可得：

令=0，并代入艏搖自由度的動力學(xué)方程，可求得艏搖控制力矩的等效控制律：

當(dāng)控制系統(tǒng)受到參數(shù)攝動以及外界擾動的影響時，僅使用等效控制律不能確保對欠驅(qū)動UUV 的運動有較好的控制效果，所以需引入趨近律用于克服內(nèi)外擾動對欠驅(qū)動UUV 跟蹤效果的影響。與此同時，當(dāng)UUV 向左或向右轉(zhuǎn)彎時會產(chǎn)生不連續(xù)信號，引入趨近律可解決該問題并驅(qū)使UUV 沿期望路徑運動，進一步提高控制系統(tǒng)的魯棒性。趨近律選擇如下：

式中kr、ar>0。

最后，實際的控制輸入設(shè)計為

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

對V3求一階導(dǎo)可得：

由有限時間理論可知，存在時間Tr1，當(dāng)t>Tr1時滑模面Sr收斂到0。

對等式兩邊積分可得：

求解式(5)得：

因此， 存在時間Tr2=ts， 當(dāng)t>Tr=Tr0+Tr1+Tr2時，轉(zhuǎn)艏角速度誤差re收斂到0。

2.2.2 縱向速度控制律設(shè)計

為保證縱向速度能有較為快速的過度過程且不會出現(xiàn)超調(diào)，引入如下形式的二階非線性跟蹤微分器（tracking-differentiator, TD）：

式中：ude表示被跟蹤信號，此處用來表示期望縱向速度；v1、v2是跟蹤微分器的輸出，v1用來跟蹤ude，v2用來跟蹤ude的導(dǎo)數(shù)；R為跟蹤參數(shù)。

定義縱向速度誤差及滑模面為

式中： λu1、λu2>0、pu>qu>0為待定滑模參數(shù)。

對Su求導(dǎo)可得：

選擇引入趨近律形式如下：

式中ku、au>0。

最后，實際的控制輸入設(shè)計為

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)：

對V4求一階導(dǎo)可得：

由有限時間理論可知，存在一個時間Tu1，當(dāng)t>Tu1時滑模面Su收斂到0。

對等式兩邊積分可得：

求解式(6)得：

因此，存在時間Tu2=ts，當(dāng)t>Tu=Tu1+Tu2時，縱向速度誤差ue收斂到0。

3 穩(wěn)定性證明

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)如下：

對V求導(dǎo)可得：

通過設(shè)計合適的參數(shù)kx、 λx、 λy、kψ、 λ、ku、kr、Tr可確保<0。證明了閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并且UUV 可以在有限時間內(nèi)跟蹤上期望路徑，實現(xiàn)路徑跟蹤控制任務(wù)。

4 仿真結(jié)果及分析

為了檢驗所提出的路徑跟蹤控制方法的有效性，使用系統(tǒng)仿真軟件構(gòu)建基于UUV 路徑跟蹤誤差模型的仿真平臺。仿真時加入±20%的參數(shù)攝動，加入流速Uc=0.1+0.1×sin(0.1×t)、流向-30°的時變海流擾動。設(shè)定航行器的期望縱向速度為ud=1m/s，初始位置為控制器參數(shù)設(shè)定為kx=2、λ=0.1、ku=0.6、kr=0.8、kψ=1、λu1=λu2=1.5、λr1=λr2=3.5、pu=qu=5、pr=qr=7。預(yù)設(shè)性能參數(shù)設(shè)定為：ρ0=15、ρ∞=1.5、 ξ=0.1。在海流擾動、控制器參數(shù)相同的情況下進行對比試驗：方法1 采用具有預(yù)設(shè)性能制導(dǎo)律和非奇異終端滑模的控制策略；方法2 采用傳統(tǒng)IMLOS 非奇異終端滑模的控制策略。欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤曲線如圖2 所示。

圖2 水平面正弦路徑跟蹤效果

由圖2 可以看出，2 種控制策略均能控制航行器已很好地跟蹤上設(shè)定的期望路徑，而相比于方法2，采用方法1 能使航行器更加快速地跟蹤上期望路徑。圖3 為跟蹤誤差曲線。由圖3 (a)和圖3(b)可以看出，采用方法1 能更好地保證跟蹤誤差始終處于設(shè)定的性能函數(shù)界限內(nèi)，在方法1作用下跟蹤誤差能更快到達穩(wěn)態(tài)值，且方法1 產(chǎn)生的縱向誤差(-0.2 m

圖3 路徑跟蹤誤差及預(yù)設(shè)性能界限圖

圖4 艏向角跟蹤誤差曲線

圖5 縱向速度及速度誤差曲線

圖6 縱向控制力響應(yīng)曲線

圖7 轉(zhuǎn)艏力矩響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

本文針對參數(shù)攝動和海流擾動下的欠驅(qū)動UUV 路徑跟蹤控制，結(jié)合預(yù)設(shè)性能設(shè)計的虛擬向?qū)У乃俣燃爸茖?dǎo)律能使跟蹤誤差始終處于設(shè)定的性能函數(shù)界限內(nèi)；設(shè)計的非奇異終端滑模路徑跟蹤控制器能在有限時間內(nèi)實現(xiàn)路徑跟蹤的目的。仿真結(jié)果進一步證明了所提出的控制方法能在完成路徑跟蹤控制目標(biāo)的同時，有利于提高航行器的安全性能。

然而本文仍需對以下方面開展研究：1）UUV 更多情況下是在水下三維空間內(nèi)作業(yè)，因此后續(xù)可針對其三維路徑跟蹤控制展開研究；2）本文用正弦函數(shù)代替海流擾動，這簡化了航行器受到的實際海流影響；3）本文未進行制導(dǎo)子系統(tǒng)的有限時間收斂證明，因此后續(xù)研究可對未知海流進行更精確的建模以及證明制導(dǎo)子系統(tǒng)有限時間收斂展開；4）本文的研究僅是理論推導(dǎo)和仿真驗證，因此，后續(xù)可進行相應(yīng)的實船實驗，將理論應(yīng)用到實際中。